Физические величины. Единицы измерения Историческое развития международной системы физических единиц

Под физической величиной понимают характеристику физических объектов или явлений материального мира, общую в качественном отношении для множества объектов или явлений, но индивидуальную для каждого из них в количественном отношении. Например, масса – физическая величина. Она является общей характеристикой физических объектов в качественном отношении, но в количественном отношении для различных объектов имеет свое индивидуальное значение.

Под значением физической величины понимают ее оценку, выражаемую произведением отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу. Например, в выражении для давления атмосферного воздуха р = 95,2 кПа, 95,2 – отвлеченное число, представляющее числовое значение давления воздуха, кПа – принятая в данном случае единица давления.

Под единицей физической величины понимают физическую величину, фиксированную по размеру и принятую в качестве основы для количественной оценки конкретных физических величин. Например, в качестве единиц длины применяют метр, сантиметр и др.

Одной из важнейших характеристик физической величины является ее размерность. Размерность физической величины отражает связь данной величины с величинами, принятыми за основные в рассматриваемой системе величин.

Система величин, которая определяется Международной системой единиц СИ и которая принята в России, содержит семь основных системных величин, представленных в Табл.1.1.

Существуют две дополнительные единицы СИ – радиан и стерадиан, характеристики которых представлены в Табл.1.2.

Из основных и дополнительных единиц СИ образованы 18 производных единиц СИ, которым присвоены специальные, обязательные к применению наименования. Шестнадцать единиц названы в честь ученых, остальные две – люкс и люмен (см. Табл.1.3).

Специальные наименования единиц могут быть использованы при образовании других производных единиц. Производными единицами, не имеющими специального обязательного наименования являются: площадь, объем, скорость, ускорение, плотность, импульс, момент силы и др.

Наравне с единицами СИ допускается применять десятичные кратные и дольные от них единицы. В Табл.1.4 представлены наименования и обозначения приставок таких единиц и их множители. Такие приставки называются приставками СИ.

Выбор той или иной десятичной кратной или дольной единицы прежде всего определяется удобством ее применения на практике. В принципе выбирают такие кратные и дольные единицы, при которых числовые значения величин находятся в диапазоне от 0,1 до 1000. Например, вместо 4000000 Па лучше применять 4 МПа.

Таблица 1.1. Основные единицы СИ

Величина			Единица
Наименование	Размерность	Рекомендуемое обозначение	Наименование	Обозначение		Определение
				международное	русское
Длина	L	l	метр	m	м	Метр равен расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долей секунды	км, см, мм, мкм, нм
Масса	М	m	килограмм	kg	кг	Килограмм равен массе международного прототипа килограмма	Мг, г, мг, мкг
Время	Т	t	секунда	s	с	Секунда равна 9192631770 периодам излучения при переходе между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133	кс, мс, мкс, нс
Сила электрического тока	I	I	ампер	А	А	Ампер равен силе изменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия 2·10 -7 Н	кА, мА, мкА, нА, пА
Термодинамическая температура		T	кельвин*	К	К	Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды	МК, кК, мК, мкК
Количество вещества	N	n; n	моль	mol	моль	Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг	кмоль, ммоль, мкмоль
Сила света	J	J	кандела	cd	кд	Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частостей 540·10 12 Гц, сила излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср

* Кроме температуры Кельвина (обозначение Т ) допускается применять также температуру Цельсия (обозначение t ), определяемую выражением t = Т – 273,15 К. Температура Кельвина выражается в кельвинах, а температура Цельсия – в градусах Цельсия (°С). Интервал или разность температур Кельвина выражают только в кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.

Таблица 1.2

Дополнительные единицы СИ

Величина			Единица					Обозначения рекомендуемых кратных и дольных единиц
Наименование	Размерность	Рекомендуемое обозначение	Определяющее уравнение	Наименование	Обозначение		Определение
					международное	русское
Плоский угол	1	a, b, g, q, n, j	a = s /r	радиан	rad	рад	Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу	мрад, мкрад
Телесный угол	1	w, W	W = S /r 2	стерадиан	sr	ср	Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы

Таблица 1.3

Производные единицы СИ, имеющие специальные наименования

Величина		Единица
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение
			международное	русское
Частота	Т -1	герц	Hz	Гц
Сила, вес	LMT -2	ньютон	N	Н
Давление, механическое напряжение, модуль упругости	L -1 MT -2	паскаль	Pa	Па
Энергия, работа, количество теплоты	L 2 MT -2	джоуль	J	Дж
Мощность, поток энергии	L 2 MT -3	ватт	W	Вт
Электрический заряд (количество электричества)	ТI	кулон	С	Кл
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила	L 2 MT -3 I -1	вольт	V	В
Электрическая емкость	L -2 M -1 T 4 I 2	фарад	F	Ф
Электрическое сопротивление	L 2 MT -3 I -2	ом		Ом
Электрическая проводимость	L -2 M -1 T 3 I 2	сименс	S	См
Поток магнитной индукции, магнитный поток	L 2 MT -2 I -1	вебер	Wb	Вб
Плотность магнитного потока, магнитная индукция	MT -2 I -1	тесла	Т	Тл
Индуктивность, взаимная индуктивность	L 2 MT -2 I -2	генри	Н	Гн
Световой поток	J	люмен	lm	лм
Освещенность	L -2 J	люкс	lx	лк
Активность нуклида в радиоактивном источнике	T -1	беккерель	Bq	Бк
Поглощенная доза излучения, керма	L 2 T -2	грей	Gy	Гр
Эквивалентная доза излучения	L 2 T -2	зиверт	Sv	Зв

Таблица 1.4

Наименования и обозначения приставок СИ для образования десятичных кратных и дольных единиц и их множители

Наименование приставки	Обозначение приставки		Множитель
	международное	русское
экса	E	Э	10 18
пета	P	П	10 15
тера	T	Т	10 12
гига	G	Г	10 9
мега	M	М	10 6
кило	k	к	10 3
гекто*	h	г	10 2
дека*	da	да	10 1
деци*	d	д	10 -1
санти*	c	с	10 -2
милли	m	м	10 -3
микро		мк	10 -6
нано	n	н	10 -9
пико	p	п	10 -12
фемто	f	ф	10 -15
атто	a	а	10 -18

* Приставки "гекто", "дека", "деци" и "санти" допускается применять только для единиц, получивших широкое распространение, например: дециметр, сантиметр, декалитр, гектолитр.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

В результате измерений, а также при проведении многих математических операций получаются приближенные значения искомых величин. Поэтому необходимо рассмотреть ряд правил вычислений с приближенными значениями. Эти правила позволяют уменьшить объем вычислительной работы и исключить дополнительные погрешности. Приближенные значения имеют такие величины, как , логарифмы и т. п., различные физические постоянные, результаты измерений.

Как известно, любое число записывают с помощью цифр: 1, 2, …, 9, 0; при этом значащими цифрами считают 1, 2, …, 9. Нуль может быть как значащей цифрой, если он стоит в середине или конце числа, так и незначащей, если он стоит в десятичной дроби с левой стороны и указывает лишь разряд остальных цифр.

При записи приближенного числа следует учитывать, что цифры, составляющие его, могут быть верными, сомнительными и неверными. Цифра верна , если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры (слева от нее все цифры будут верными). Сомнительной называют цифру, стоящую справа от верной цифры, а цифры справа от сомнительной неверные . Неверные цифры необходимо отбросить не только в результате, но и в исходных данных. Округлять число при этом не нужно. Когда погрешность числа не указана, то следует считать, что абсолютная погрешность его равна половине единицы разряда последней цифры. Разряд старшей цифры погрешности показывает разряд сомнительной цифры в числе. В качестве значащих цифр могут быть только верные и сомнительные цифры, но если погрешность числа не указана, то все цифры значащие.

Следует применять следующее основное правило записи приближенных чисел (в соответствии со СТ СЭВ 543-77): приближенное число должно быть записано с таким числом значащих цифр, которое гарантирует верность последней значащей цифры числа, например:

1) запись числа 4,6 означает, что верны только цифры целых и десятых (истинное значение числа может быть 4,64; 4,62; 4,56);

2) запись числа 4,60 означает, что верны и сотые доли числа (истинное значение числа может быть 4,604; 4,602; 4,596);

3) запись числа 493 означает, что верны все три цифры; если за последнюю цифру 3 ручаться нельзя, это число должно быть записано так: 4,9·10 2 ;

4) при выражении плотности ртути 13,6 г/см 3 в единицах СИ (кг/м 3) следует писать 13,6·10 3 кг/м 3 и нельзя писать 13600 кг/м 3 , что означало бы верность пяти значащих цифр, в то время как в исходном числе приведены только три верные значащие цифры.

Результаты экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записываются так 4,35·10 -3 и 2,34·10 5 . Подобная запись упрощает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.

Округление числа (в соответствии со СТ СЭВ 543-77) представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

При округлении последняя сохраняемая цифра не изменяется, если:

1) первая отбрасываемая цифра, считая слева направо, меньше 5;

2) первая отбрасываемая цифра, равная 5, получилась в результате предыдущего округления в большую сторону.

При округлении последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если

1) первая отбрасываемая цифра больше 5;

2) первая отбрасываемая цифра, считая слева направо, равна 5 (при отсутствии предыдущих округлений или при наличии предыдущего округления в меньшую сторону).

Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, а не по этапам, что может привести к ошибкам.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ НАУЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Каждый эксперимент представляет собой совокупность трех составных частей: исследуемого явления (процесса, объекта), условий и средств проведения эксперимента. Эксперимент проводится в несколько этапов:

1) предметно-содержательное изучение исследуемого процесса и его математическое описание на основе имеющейся априорной информации, анализ и определение условий и средств проведения эксперимента;

2) создание условий для проведения эксперимента и функционирования исследуемого объекта в желаемом режиме, обеспечивающем наиболее эффективное наблюдение за ним;

3) сбор, регистрация и математическая обработка экспериментальных данных, представление результатов обработки в требуемой форме;

5) использование результатов эксперимента, например коррекция физической модели явления или объекта, применение модели для прогноза, управления или оптимизации и др.

В зависимости от типа исследуемого объекта (явления) выделяют несколько классов экспериментов: физические, инженерные, медицинские, биологические, экономические, социологические и др. Наиболее глубоко разработаны общие вопросы проведения физических и инженерных экспериментов, в которых исследуются естественные или искусственные физические объекты (устройства) и протекающие в них процессы. При их проведении исследователь может неоднократно повторять измерения физических величин в сходных условиях, задавать желаемые значения входных переменных, изменять их в широких масштабах, фиксировать или устранять влияние тех факторов, зависимость от которых в настоящий момент не исследуется.

Классификацию экспериментов можно провести по следующим признакам:

1) степени близости используемого в эксперименте объекта к объекту, в отношении которого планируется получение новой информации (натурный, стендовый или полигонный, модельный, вычислительный эксперименты);

2) цели проведения – исследование, испытание (контроль), управление (оптимизация, настройка);

3) степени влияния на условия проведения эксперимента (пассивный и активный эксперименты);

4) степени участия человека (эксперименты с использованием автоматических, автоматизированных и неавтоматизированных средств проведения эксперимента).

Результатом эксперимента в широком смысле является теоретическое осмысление экспериментальных данных и установление законов и причинно-следственных связей, позволяющих предсказывать ход интересующих исследователя явлений, выбирать такие условия, при которых удается добиться требуемого или наиболее благоприятного их протекания. В более узком смысле под результатом эксперимента часто понимается математическая модель, устанавливающая формальные функциональные или вероятностные связи между различными переменными, процессами или явлениями.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СРЕДСТВАХ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Исходная информация для построения математической модели исследуемого явления добывается с помощью средств проведения эксперимента, представляющих собой совокупность средств измерений различных типов (измерительных устройств, преобразователей и принадлежностей к ним), каналов передачи информации и вспомогательных устройств для обеспечения условий проведения эксперимента. В зависимости от целей эксперимента иногда различают измерительные информационные (исследование), измерительные контролирующие (контроль, испытание) и измерительные управляющие (управление, оптимизация) системы, которые различаются как составом оборудования, так и сложностью обработки экспериментальных данных. Состав средств измерений в существенной степени определяется математической моделью описываемого объекта.

В связи с возрастанием сложности экспериментальных исследований в состав современных измерительных систем включаются вычислительные средства различных классов (ЭВМ, программируемые микрокалькуляторы). Эти средства выполняют как задачи сбора и математической обработки экспериментальной информации, так и задачи управления ходом эксперимента и автоматизации функционирования измерительной системы. Эффективность применения вычислительных средств при проведении экспериментов проявляется в следующих основных направлениях:

1) сокращение времени подготовки и проведении эксперимента в результате ускорения сбора и обработки информации;

2) повышение точности и достоверности результатов эксперимента на основе использования более сложных и эффективных алгоритмов обработки измерительных сигналов, увеличении объема используемых экспериментальных данных;

3) сокращение числа исследователей и появление возможности создания автоматических систем;

4) усиление контроля за ходом проведения эксперимента и повышение возможностей его оптимизации.

Таким образом, современные средства проведения эксперимента представляют собой, как правило, измерительно-вычислительные системы (ИВС) или комплексы, снабженные развитыми вычислительными средствами. При обосновании структуры и состава ИВС необходимо решить следующие основные задачи:

1) определить состав аппаратной части ИВС (средств измерения, вспомогательного оборудования);

2) выбрать тип ЭВМ, входящей в состав ИВС;

3) установить каналы связи между ЭВМ, устройствами, входящими в аппаратную часть ИВС, и потребителем информации;

4) разработать программное обеспечение ИВС.

2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Большинство исследований проводят для установления с помощью эксперимента функциональных или статистических связей между несколькими величинами или для решения экстремальных задач. Классический метод постановки эксперимента предусматривает фиксирование на принятых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, значения которого определенным образом изменяют в области его определения. Этот метод составляет основу однофакторного эксперимента (такой эксперимент часто называют пассивным ). При однофакторном эксперименте, варьируя один фактор и стабилизируя все прочие на выбранных уровнях, находят зависимость исследуемой величины только от одного фактора. Производя большое число однофакторных экспериментов при изучении многофакторной системы, получают частотные зависимости, представленные многими графиками, имеющими иллюстративный характер. Найденные таким образом частные зависимости невозможно объединить в одну большую. В случае однофакторного (пассивного) эксперимента статистические методы применяют после окончания экспериментов, когда данные уже получены.

Использование однофакторного эксперимента для всестороннего исследования многофакторного процесса требует постановки очень большого числа опытов. Для их выполнения в ряде случаев необходимо значительное время, в течение которого влияние неконтролируемых факторов на результаты опытов может существенно измениться. По этой причине данные большого числа опытов оказываются несопоставимыми. Отсюда следует, что результаты однофакторных экспериментов, полученные при исследовании многофакторных систем, часто малопригодны для практического использования. Кроме того, при решении экстремальных задач данные значительного числа опытов оказываются ненужными, так как получены они для области, далекой от оптимума. Для изучения многофакторных систем наиболее целесообразным является применение статистических методов планирования эксперимента.

Под планированием эксперимента понимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Планирование эксперимента – это раздел математической статистики. В нем рассматриваются статистические методы планирования эксперимента. Эти методы позволяют во многих случаях при минимальном числе опытов получать модели многофакторных процессов.

Эффективность использования статистических методов планирования эксперимента при исследовании технологических процессов объясняется тем, что многие важные характеристики этих процессов являются случайными величинами, распределения которых близко следуют нормальному закону.

Характерными особенностями процесса планирования эксперимента являются стремление минимизировать число опытов; одновременное варьирование всех исследуемых факторов по специальным правилам – алгоритмам; применение математического аппарата, формализующего многие действия исследователя; выбор стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

При планировании эксперимента статистические методы применяются на всех этапах исследования и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в ходе эксперимента, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решения о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют активным и он предполагает планирование эксперимента .

Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1) минимизировать общее число опытов;

2) выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3) использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

4) одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

5) организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6) получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;

7) рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8) оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, получаемые разными исследователями.

Чаще всего активный эксперимент ставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной . Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции (*проиллюстрировать графиком*). Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными .

Вторую задачу называют интерполяционной . Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов.

Для решения экстремальной или интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемого объекта. Модель объекта получают, используя результаты опытов.

При исследовании многофакторного процесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связана с огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов очень велико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов и условий их проведения, в выборе методов математической обработки результатов и в принятии решений.

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И РЕЖИМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

2. Составление плана эксперимента, в частности, определение значений независимых переменных, выбор тестовых сигналов, оценка объема наблюдений. Предварительное обоснование и выбор методов и алгоритмов статистической обработки экспериментальных данных.

3. Проведение непосредственно экспериментальных исследований, сбор экспериментальных данных, их регистрация и ввод в ЭВМ.

4. Предварительная статистическая обработка данных, предназначенная, в первую очередь, для проверки выполнения предпосылок, лежащих в основе выбранного статистического метода построения стохастической модели объекта исследований, а при необходимости – для коррекции априорной модели и изменения решения о выборе алгоритма обработки.

5. Составление детального плана дальнейшего статистического анализа экспериментальных данных.

6. Статистическая обработка экспериментальных данных (вторичная, полная, итоговая обработка), направленная на построение модели объекта исследования, и статистический анализ ее качества. Иногда на этом же этапе решаются и задачи использования построенной модели, например: оптимизируются параметры объекта.

7. Формально-логическая и содержательная интерпретация результатов экспериментов, принятие решения о продолжении или завершении эксперимента, подведение итогов исследования.

Статистическая обработка экспериментальных данных может быть осуществлена в двух основных режимах.

В первом режиме сначала производится сбор и регистрация полного объема экспериментальных данных и лишь затем они обрабатываются. Этот вид обработки называют off-line-обработкой, апостериорной обработкой, обработкой данных по выборке полного (фиксированного) объема. Достоинством этого режима обработки является возможность использования всего арсенала статистических методов анализа данных и, соответственно, наиболее полное извлечение из них экспериментальной информации. Однако оперативность такой обработки может не удовлетворять потребителя, кроме того, управление ходом эксперимента почти невозможно.

Во втором режиме обработка наблюдений производится параллельно с их получением. Этот вид обработки называют on-line-обработкой, обработкой данных по выборке нарастающего объема, последовательной обработкой данных. В этом режиме появляется возможность экспресс-анализа результатов эксперимента и оперативного управления его ходом.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ

При решении задач обработки экспериментальных данных используются методы, основанные на двух основных составных частях аппарата математической статистики: теории статистического оценивания неизвестных параметров, используемых при описании модели эксперимента, и теории проверки статистических гипотез о параметрах или природе анализируемой модели.

1. Корреляционный анализ. Его сущность состоит в определении степени вероятности связи (как правило, линейной) между двумя и более случайными величинами. В качестве этих случайных величин могут выступать входные, независимые переменные. В этот набор может включаться и результирующая (зависимая переменная). В последнем случае корреляционный анализ позволяет отобрать факторы или регрессоры (в регрессионной модели), оказывающие наиболее существенное влияние на результирующий признак. Отобранные величины используются для дальнейшего анализа, в частности при выполнении регрессионного анализа. Корреляционный анализ позволяет обнаруживать заранее неизвестные причинно-следственные связи между переменными. При этом следует иметь в виду, что наличие корреляции между переменными является только необходимым, но не достаточным условием наличия причинных связей.

Корреляционный анализ используется на этапе предварительной обработки экспериментальных данных.

2. Дисперсионный анализ. Этот метод предназначен для обработки экспериментальных данных, зависящих от качественных факторов, и для оценки существенности влияния этих факторов на результаты наблюдений.

Его сущность состоит в разложении дисперсии результирующей переменной на независимые составляющие, каждая из которых характеризует влияние того или иного фактора на эту переменную. Сравнение этих составляющих позволяет оценить существенность влияния факторов.

3. Регрессионный анализ. Методы регрессионного анализа позволяют установить структуру и параметры модели, связывающей количественные результирующую и факторные переменные, и оценить степень ее согласованности с экспериментальными данными. Этот вид статистического анализа позволяет решать главную задачу эксперимента в случае, если наблюдаемые и результирующие переменные являются количественными, и в этом смысле он является основным при обработке этого типа экспериментальных данных.

4. Факторный анализ. Его сущность состоит в том, что "внешние" факторы, используемые в модели и сильно взаимосвязанные между собой, должны быть заменены другими, более малочисленными "внутренними факторами, которые трудно или невозможно измерить, но которые определяют поведение "внешних" факторов и тем самым поведение результирующей переменной. Факторный анализ делает возможным выдвижение гипотез о структуре взаимосвязи переменных, не задавая эту структуру заранее и не имея о ней предварительно никаких сведений. Эта структура определяется по результатам наблюдений. Полученные гипотезы могут быть проверены в ходе дальнейших экспериментов. Задачей факторного анализа является нахождение простой структуры, которая бы достаточно точно отражала и воспроизводила реальные, существующие зависимости.

4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Конечной целью предварительной обработки экспериментальных данных является выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемого явления, определение состава и объема дополнительных измерений, выбор возможных методов последующей статистической обработки. Для этого необходимо решить некоторые частные задачи, среди которых можно выделить следующие:

1. Анализ, отбраковка и восстановление аномальных (ошибочных) или пропущенных измерений, так как экспериментальная информация обычно неоднородна по качеству.

2. Экспериментальная проверка законов распределения полученных данных, оценка параметров и числовых характеристик наблюдаемых случайных величин или процессов. Выбор методов последующей обработки, направленной на построение и проверку адекватности математической модели исследуемому явлению, существенно зависит от закона распределения наблюдаемых величин.

3. Сжатие и группировка исходной информации при большом объеме экспериментальных данных. При этом должны быть учтены особенности их законов распределения, которые выявлены на предыдущем этапе обработки.

4. Объединение нескольких групп измерений, полученных, возможно, в различное время или в различных условиях, для совместной обработки.

5. Выявление статистических связей и взаимовлияния различных измеряемых факторов и результирующих переменных, последовательных измерений одних и тех же величин. Решение этой задачи позволяет отобрать те переменные, которые оказывают наиболее сильное влияние на результирующий признак. Выделенные факторы используются для дальнейшей обработки, в частности, методами регрессионного анализа. Анализ корреляционных связей делает возможным выдвижение гипотез о структуре взаимосвязи переменных и, в конечном итоге, о структуре модели явления.

Для предварительной обработки характерно итерационное решение основных задач, когда повторно возвращаются к решению той или иной задачи после получения результатов на последующем этапе обработки.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЯ.

Под измерением понимают нахождение значения физической величины экспериментальным путем с помощью специальных технических средств. Измерения могут быть как прямыми , когда искомую величину находят непосредственно из опытных данных, так и косвенными , когда искомую величину определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Значение величины, найденное измерением, называют результатом измерения .

Несовершенство измерительных приборов и органов чувств человека, а часто и природа самой измеряемой величины приводят к тому, что при любых измерениях результаты получаются с определенной точностью, т. е. эксперимент дает не истинное значение измеряемой величины, а лишь ее приближенное значение. Под действительным значением физической величины понимают ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Точность измерения определяется близостью его результата к истинному значению измеряемой величины. Точность прибора определяется степенью приближения его показаний к истинному значению искомой величины, а точность метода – физическим явлением, на котором он основан.

Ошибки (погрешности ) измерений характеризуются отклонением результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Ошибка измерения, как и истинное значение измеряемой величины, обычно неизвестна. Поэтому одной из основных задач статистической обработки результатов эксперимента и является оценка истинного значения измеряемой величины по полученным опытным данным. Другими словами, после неоднократного измерения искомой величины и получения ряда результатов, каждый из которых содержит некоторую неизвестную ошибку, ставится задача вычисления приближенного значения искомой величины с возможно меньшей ошибкой.

Ошибки измерений делят на грубые ошибки (промахи), систематические и случайные .

Грубые ошибки . Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора. При обнаружении грубой ошибки результат измерения следует сразу отбросить и повторить измерение. Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от остальных результатов. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок по их величине (будут рассмотрены далее), однако самым надежным и эффективным способом браковки неверных результатов является браковка их непосредственно в процессе самих измерений.

Систематические ошибки. Систематической является такая погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности появляются из-за неправильной регулировки приборов, неточности метода измерения, какого-либо упущения экспериментатора, использования для вычисления неточных данных.

Систематические ошибки возникают также при проведении сложных измерений. Экспериментатор может и не догадываться о них, хотя они могут быть очень большими. Поэтому в таких случаях нужно тщательно проанализировать методику измерений. Такие ошибки можно обнаружить, в частности, проведя измерения искомой величины другим методом. Совпадение результатов измерений обоими методами служит определенной гарантией отсутствия систематических погрешностей.

При измерениях необходимо сделать все возможное, чтобы исключить систематические погрешности, так как они могут быть так велики, что сильно исказят результаты. Выявленные погрешности устраняют введением поправок.

Случайные ошибки. Случайной ошибкой является составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом, т. е. это ошибка измерения, остающаяся после устранения всех выявленных систематических и грубых ошибок. Случайные ошибки вызываются большим числом как объективных, так и субъективных факторов, которые нельзя выделить и учесть в отдельности. Поскольку причины, приводящие к случайным ошибкам, не одинаковы, в каждом эксперименте и не могут быть учтены, исключить такие ошибки нельзя, можно лишь оценить их значение. С помощью методов теории вероятностей можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины со значительно меньшей ошибкой, чем ошибки отдельных измерений.

Поэтому, когда случайная погрешность больше погрешности измерительного прибора, необходимо многократно повторять одно и то же измерение для уменьшения ее значения. Это позволяет минимизировать случайную погрешность и сделать ее сравнимой с погрешностью прибора. Если же случайная ошибка меньше погрешности прибора, то уменьшать ее не имеет смысла.

Кроме этого, ошибки делят на абсолютные , относительные и инструментальные . Абсолютной ошибкой считают погрешность, выраженную в единицах измеряемой величины. Относительной ошибкой является отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Составляющую ошибки измерения, которая зависит от погрешности применяемых средств измерения, называют инструментальной погрешностью измерения.

2. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Прямые измерения – это такие измерения, когда значение изучаемой величины находят непосредственно из опытных данных, например снимая показания прибора, измеряющего значение искомой величины. Для нахождения случайной погрешности измерение необходимо провести несколько раз. Результаты таких измерений имеют близкие значения погрешностей и называются равноточными .

Пусть в результате n измерений величины х , проведенных с одинаковой точностью, получен ряд значений: х 1 , х 2 , …, х n . Как показано в теории ошибок, наиболее близким к истинному значению х 0 измеряемой величины х является среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение рассматривают только как наиболее вероятное значение измеряемой величины. Результаты отдельных измерений в общем случае отличаются от истинного значения х 0 . При этом абсолютная погрешность i -го измерения составляет

Dx i " = х 0 – x i 4

и может принимать как положительные, так и отрицательные значения с равной вероятностью. Суммируя все погрешности, получаем

,

. (2.2)

В этом выражении второе слагаемое в правой части при большом n равно нулю, так как всякой положительной погрешности можно поставить в соответствие равную ей отрицательную. Тогда х 0 =. При ограниченном числе измерений будет лишь приближенное равенство х 0 . Таким образом, можно назвать действительным значением.

Во всех практических случаях значение х 0 неизвестно и есть лишь определенная вероятность того, что х 0 находится в каком-то интервале вблизи и требуется определить этот интервал, соответствующий этой вероятности. В качестве оценки абсолютной погрешности отдельного измерения используют Dx i = – x i .

Она определяет точность данного измерения.

Для ряда измерений определяют среднюю арифметическую погрешность

.

Она определяет пределы, в которых лежит более половины измерений. Следовательно, х 0 с достаточно большой вероятностью попадает в интервал от –h до +h. Результаты измерений величины х записывают тогда в виде:

Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится истинное значение х 0 .

Абсолютная погрешность результатов измерений Dx сама по себе еще не определяет точности измерений. Пусть, например, точность некоторого амперметра составляет 0.1а . Были проведены измерения силы тока в двух электрических цепях. При этом получили следующие значения: 320.1а и 0.20.1а . Из примера видно, что, хотя абсолютная погрешность измерений одинакова, точность измерений различна. В первом случае измерения достаточно точны, а во втором – позволяют судить лишь о порядке величины. Следовательно, при оценке качества измерения необходимо сравнивать погрешность с измеренным значением, что дает более наглядное представление о точности измерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности

d x = Dx /. (2.3)

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Так как в большинстве случаев измеряемые величины имеют размерность, то и абсолютные погрешности размерны, а относительные ошибки безразмерны. Поэтому с помощью последних можно производить сравнение точности измерений разнородных величин. Наконец, эксперимент должен быть поставлен таким образом, чтобы относительная погрешность оставалась постоянной во всем диапазоне измерений.

Следует отметить, что при правильных и тщательно выполненных измерениях средняя арифметическая погрешность их результата близка к погрешности измеряемого прибора.

Если измерения искомой величины х проведены много раз, то частоты появления того или иного значения х i можно представить в виде графика, имеющего вид ступенчатой кривой – гистограммы (см. рис. 1), где у – число отсчетов; Dx i = х i – x i +1 (i изменяется от –n до +n ). С увеличением числа измерений и уменьшением интервала Dx i гистограмма переходит в непрерывную кривую, характеризующую плотность распределения вероятности того, что величина x i окажется в интервале Dx i .

Под распределением случайной величины понимают совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей. Законом распределения случайной величины называют всякое соответствие случайной величины возможным значениям их вероятностей. Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения Р (х ).

Тогда функция р (х ) = Р" (х ) – плотность распределения вероятности или дифференциальная функция распределения. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.

Функция р (х ) характерна тем, что произведение р (х )dx есть вероятность оказаться отдельному, случайно выбранному значению измеряемой величины в интервале (х ,x + dx ).

В общем случае эта вероятность может определяться различными законами распределений (нормальный (Гаусса), Пуассона, Бернулли, биномиальный, отрицательный биномиальный, геометрический, гипергеометрический, равномерный дискретный, отрицательный экспоненциальный). Однако чаще всего вероятность появления величины x i в интервале (х ,x + dx ) в физических экспериментах описывают нормальным законом распределения – законом Гаусса (см. рис. 2):

, (2.4)

где s 2 - дисперсия генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называют все множество возможных значений измерений x i или возможных значений погрешностей Dx i .

Широкое использование закона Гаусса в теории ошибок объясняется следующими причинами:

1) равные по абсолютному значению погрешности встречаются одинаково часто при большом числе измерений;

2) малые по абсолютному значению погрешности встречаются чаще, чем большие, т. е. вероятность появления погрешности тем меньше, чем больше ее абсолютное значение;

3) погрешности измерений принимают непрерывный ряд значений.

Однако, эти условия никогда строго не выполняются. Но эксперименты подтвердили, что в области, где погрешности не очень велики, нормальный закон распределения хорошо согласуется с опытными данными. С помощью нормального закона можно найти вероятность появления погрешности того или иного значения.

Распределение Гаусса характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины и дисперсией s 2 . Среднее значение определяется абсциссой (х =) оси симметрии кривой распределения, а дисперсия показывает, как быстро уменьшается вероятность появления погрешности с увеличением ее абсолютного значения. Кривая имеет максимум при х =. Следовательно, среднее значение является наиболее вероятным значением величины х . Дисперсия определяется полушириной кривой распределения, т. е. расстоянием от оси симметрии до точек перегиба кривой. Она является средним квадратом отклонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения по всему распределению. Если при измерении физической величины получают только постоянные значения х =, то s 2 = 0. Но если значения случайной величины х принимают значения, не равные , то ее дисперсия не равна нулю и положительна. Дисперсия, таким образом, служит мерой флуктуации значений случайной величины.

Мера рассеяния результатов отдельных измерений от среднего значения должна выражаться в тех же единицах, что и значения измеряемой величины. В связи с этим в качестве показателя флуктуации результатов измерений гораздо чаще используют величину

называемую средней квадратичной погрешностью .

Она является важнейшей характеристикой результатов измерений и остается постоянной при неизменности условий эксперимента.

Значение этой величины определяет форму кривой распределения.

Так как при изменении sплощадь под кривой, оставаясь постоянной (равной единице), меняет свою форму, то с уменьшением sкривая распределения вытягивается вверх вблизи максимума при х =, и сжимаясь в горизонтальном направлении.

С увеличением sзначение функции р (х i ) уменьшается, и кривая распределения растягивается вдоль оси х (см. рис. 2).

Для нормального закона распределения средняя квадратическая погрешность отдельного измерения

, (2.5)

а средняя квадратическая погрешность среднего значения

. (2.6)

Средняя квадратическая погрешность более точно характеризует погрешности измерений, чем средняя арифметическая погрешность, так как она получена достаточно строго из закона распределения случайных величин погрешностей. Кроме того, непосредственная связь ее с дисперсией, вычисление которой облегчается рядом теорем, делает среднюю квадратическую погрешность очень удобным параметром.

Наряду с размерной погрешностью sиспользуют и безразмерную относительную погрешность d s =s/, которая, как и d x , выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Окончательный результат измерений записывают в виде:

Однако, на практике невозможно провести слишком много измерений, поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение х 0 . В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать , а достаточно точной оценкой ошибки измерений – выборочную дисперсию , вытекающую из нормального закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерений. Такое название величины объясняется тем, что из всего множества значений х i , т. е. генеральной совокупности выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины х i (равное n ), называемых выборкой . Выборка характеризуется уже выборочным средним значением и выборочной дисперсией.

Тогда выборочная средняя квадратическая погрешность отдельного измерения (или эмпирический стандарт)

, (2.8)

а выборочная средняя квадратическая погрешность ряда измерений

. (2.9)

Из выражения (2.9) видно, что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическую погрешность . При n > 10 заметное изменение величины достигается лишь при весьма значительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно. К тому же, невозможно полностью исключить систематические погрешности, и при , меньшей систематической ошибки дальнейшее увеличение числа опытов также не имеет смысла.

Таким образом, задача нахождения приближенного значения физической величины и его погрешности решена. Теперь необходимо определить надежность найденного действительного значения. Под надежностью измерений понимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал. Интервал (– e,+ e), в котором находится с заданной вероятностью истинное значение х 0 , называют доверительным интервалом . Допустим, что вероятность отличия результата измерений х от истинного значения х 0 на величину, большую, чем e, равна 1 – a, т. е.

p (– e< х 0 <+ e) = 1 – a. (2.10)

В теории ошибок обычно под eпонимают величину . Поэтому

p (– < х 0 <+ ) = Ф(t ), (2.11)

где Ф(t ) – интеграл вероятности (или функция Лапласа), а также нормальная функция распределения:

, (2.12) где .

Таким образом, чтобы охарактеризовать истинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительный интервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение х 0 попадает в данный интервал. Высокая степень надежности необходима при ответственных измерениях. Это означает, что в таком случае нужно выбирать большой доверительный интервал или вести измерения с большей точностью (т. е. уменьшить величину ), что можно сделать, например, многократным повторением измерений.

Под доверительной вероятностью понимается вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

В подавляющем большинстве экспериментальных задач доверительная вероятность составляет 0.90.95 и более высокая надежность не требуется. Так при t = 1 согласно формулам (2.10 –2.12) 1 – a= Ф(t ) = 0.683, т. е. более 68 % измерений находится в интервале (–,+). При t = 2 1 – a= 0.955, а при t = 3 параметр 1 – a= 0.997. Последнее означает, что в интервале (–,+) находятся почти все измеренные значения. Из данного примера видно, что интервал действительно содержит большин­ство измеренных значений, т. е. параметр aможет служить хорошей характеристикой точности измерений.

До сих пор предполагалось, что число измерений хотя и конечно, но достаточно велико. В действительности же число измерений почти всегда бывает небольшим. Более того, как в технике, так и в научных исследованиях нередко используют результаты двух-трех измерений. В этой ситуации величины и в лучшем случае могут определить лишь порядок величины дисперсии. Существует корректный метод для определения вероятности нахождения искомого значения в заданном доверительном интервале, основанный на использовании распределения Стьюдента (предложенного в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом). Обозначим через интервал, на который может отклоняться среднее арифметическое значение от истинного значения х 0 , т. е. Dx = х 0 ­–. Иными словами, мы хотим определить значение

.

где S n определяется формулой (2.8). Эта величина подчиняется распределению Стьюдента. Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметров х 0 и sнормальной генеральной совокупности и позволяет при небольшом числе измерений (n < 20) оценить погрешность Dx = ­­– х i по заданной доверительной вероятности aили по заданному значению Dx найти надежность измерений. Это распределение зависит только от переменной t a и числа степеней свободы l = n – 1.

Распределение Стьюдента справедливо при n 2 и симметрично относительно t a = 0 (см. рис. 3). С ростом числа измерений t a -распределение стремится к нормальному распределению (фактически при n > 20).

Доверительную вероятность при заданной погрешности результата измерений получают из выражения

p (–< х 0 <+) = 1 – a. (2.14)

При этом величина t a аналогична коэффициенту t в формуле (2.11). Величину t a называют коэффициентом Стьюдента , его значения приводятся в справочных таблицах. Используя соотношения (2.14) и справочные данные можно решить и обратную задачу: по заданной надежности aопределить допустимую погрешность результата измерений.

Распределение Стьюдента позволяет также установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточно большом n среднее арифметическое значение будет как угодно мало отличаться от истинного значения х 0 .

Предполагалось, что закон распределения случайной погрешности известен. Однако часто при решении практических задач не обязательно знания закона распределения, достаточно лишь изучить некоторые числовые характеристики случайной величины, например среднее значение и дисперсию. При этом вычисление дисперсии позволяет оценить доверительную вероятность даже в случае, когда закон распределения погрешности неизвестен или отличается от нормального.

В случае, если проведено всего одно измерение, точность измерения физической величины (если оно проведено тщательно) характеризуется точностью измерительного прибора.

3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Часто при проведении эксперимента встречается ситуация, когда искомые величины и (х i ) непосредственно определить невозможно, однако можно измерить величины х i .

Например, для измерения плотности rчаще всего измеряют массу m и объем V , а значение плотности рассчитывают по формуле r= m /V .

Величины х i содержат, как обычно, случайные погрешности, т. е. наблюдают величины x i " = x i Dx i . Как и ранее, считаем, что x i распределены по нормальному закону.

1. Пусть и = f (х ) является функцией одной переменной. В этом случае абсолютная погрешность

. (3.1)

Относительная погрешность результата косвенных измерений

. (3.2)

2. Пусть и = f (х , у ) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность

, (3.3)

а относительная погрешность составит

. (3.4)

3. Пусть и = f (х , у , z , …) является функцией нескольких переменных. Тогда абсолютная погрешность по аналогии

(3.5)

и относительная погрешность

где , и определяются согласно формуле (2.9).

В таблице 2 приводятся формулы для определения погрешностей косвенных измерений для некоторых часто встречающихся формул.

Таблица 2

Функция u	Абсолютная погрешность Du	Относительная погрешность d u
e x
ln x
sin x
cos x
tg x
ctg x
x y
xy
x /y

4. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Все приведенные выше доверительные оценки как средних значений, так и дисперсий основаны на гипотезе нормальности закона распределения случайных ошибок измерения и поэтому могут применяться лишь до тех пор, пока результаты эксперимента не противоречат этой гипотезе.

Если результаты эксперимента вызывают сомнение в нормальности закона распределения, то для решения вопроса о пригодности или непригодности нормального закона распределения нужно произвести достаточно большое число измерений и применить одну из описанных ниже методик.

Проверка по среднему абсолютному отклонению (САО). Методика может использоваться для не очень больших выборок (n < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:

. (4.1)

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение

. (4.2)

Если данное неравенство (4.2) выполняется, то гипотеза нормальности распределения подтверждается.

Проверка по критерию соответствия c 2 ("хи-квадрат") или критерию согласия Пирсона. Критерий основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими, которые можно ожидать при принятии гипотезы о нормальности распределения. Результаты измерений после исключения грубых и систематических ошибок группируют по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось и чтобы количество данных в каждом интервале было достаточно большим (не менее пяти). Для каждого интервала (х i –1 , х i ) подсчитывают число т i результатов измерения, попавших в этот интервал. Затем вычисляют вероятность попадания в этот интервал при нормальном законе распределения вероятностей р i :

, (4.3)

, (4.4)

где l – число всех интервалов, n – число всех результатов измерений (n = т 1 + т 2 +…+ т l ).

Если сумма, рассчитанная по данной формуле (4.4) окажется больше критического табличного значения c 2 , определяемого при некоторой доверительной вероятности р и числе степеней свободы k = l – 3, то с надежностью р можно считать, что распределение вероятностей случайных ошибок в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.

Проверка по показателям асимметрии и эксцесса. Данный метод дает приближенную оценку. Показатели асимметрии А и эксцесса Е определяются по следующим формулам:

, (4.5)

. (4.6)

Если распределение нормально, то оба эти показателя должны быть малы. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками. Коэффициенты сравнения рассчитываются соответственно:

, (4.7)

. (4.8)

5. МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ОШИБОК

При получении результата измерения, резко отличающегося от всех других результатов, возникает подозрение, что допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия измерения. Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки резко отличающихся значений решается путем сравнения его с остальными результатами измерений. При этом применяются различные критерии, в зависимости от того, известна или нет средняя квадратическая ошибка s i измерений (предполагается, что все измерения производятся с одной и той же точностью и независимо друг от друга).

Метод исключения при известной s i . Сначала определяется коэффициент t по формуле

, (5.1)

где x * – резко выделяющееся значение (предполагаемая ошибка). Значение определяется по формуле (2.1) без учета предполагаемой ошибки x *.

Далее задаются уровнем значимости a, при котором исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше величины a. Обычно используют один из трех уровней значимости: 5 % уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0.05); 1 % уровень (соответственно меньше 0.01) и 0.1 % уровень (соответственно менее 0.001).

При выбранном уровне значимости aвыделяющееся значение x * считают грубой ошибкой и исключают его из дальнейшей обработки результатов измерений, если для соответствующего коэффициента t , рассчитанного по формуле (5.1), выполняется условие: 1 – Ф(t ) < a.

Метод исключения при неизвестной s i .

Если средняя квадратическая ошибка отдельного измерения s i заранее неизвестна, то она оценивается приближенно по результатам измерений посредством формулы (2.8). Далее применяется тот же алгоритм, что и при известной s i с той лишь разницей, что в формуле (5.1) вместо s i используется величина S n , рассчитанная по формуле (2.8).

Правило трех сигм.

Так как выбор надежности доверительной оценки допускает некоторый произвол, в процессе обработки результатов эксперимента широкое распространение получило правило трех сигм: отклонение истинного значения измеряемой величины не превосходит среднего арифметического значения результатов измерений не превосходит утроенной средней квадратической ошибки этого значения.

Таким образом, правило трех сигм представляет собой доверительную оценку в случае известной величины s

или доверительную оценку

в случае неизвестной величины s.

Первая из этих оценок имеет надежность 2Ф(3) = 0.9973 независимо от количества измерений.

Надежность второй оценки существенно зависит от количества измерений n .

Зависимость надежности р от количества измерений n для оценки грубой ошибки в случае неизвестной величины sуказана в

Таблица 4

n	5	6	7	8	9	10	14	20	30	50	150
р(х)	0.960	0.970	0.976	0.980	0.983	0.985	0.990	0.993	0.995	0.996	0.997	0.9973

6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результаты измерений можно представить в виде графиков и таблиц. Последний способ наиболее прост. В ряде случаев результаты исследований можно представлять только в виде таблицы. Но таблица не дает наглядного представления о зависимости одной физической величины от другой, поэтому во многих случаях строят график. Им можно пользоваться для быстрого нахождения зависимости одной величины от другой, т. е. по измеренным данным находят аналитическую формулу, связывающую величины х и у . Такие формулы называют эмпирическими. Точность нахождения функции у (х ) по графику определяется корректностью построения графика. Следовательно, когда не требуется большой точности, графики удобнее таблиц: они занимают меньше места, по ним быстрее проводить отсчеты, при построении их сглаживаются выбросы в ходе функции из-за случайных погрешностей измерений. Если требуется особо высокая точность, результаты эксперимента предпочтительнее представлять в виде таблиц, а промежуточные значения находить по интерполяционным формулам.

Математическая обработка результатов измерений экспериментатором не ставит задачу раскрыть истинный характер функциональной зависимости между переменными, а лишь дает возможность наиболее простой формулой описать результаты эксперимента, что позволяет использовать интерполирование и применить к наблюдаемым данным методы математического анализа.

Графический метод. Чаще всего для построения графиков используют прямоугольную систему координат. Чтобы облегчить построение, можно использовать миллиметровую бумагу. При этом отсчеты расстояний на графиках следует делать только по делениям на бумаге, а не при помощи линейки, так как длина делений может быть различной по вертикали и горизонтали. Предварительно нужно выбрать разумные масштабы по осям так, чтобы точность измерения соответствовала точности отсчета по графику и график не был растянут или сжат вдоль одной из осей, так как это ведет к увеличению погрешности отсчета.

Далее на график наносят точки, представляющие результаты измерений. Для выделения разных результатов их наносят различными значками: кружками, треугольниками, крестиками и т. п. Так как в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешностей аргумента, то наносят только погрешность функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальная точка находится в середине этого отрезка, который с обоих концов ограничивается черточками. После этого проводят плавную кривую так, чтобы она проходила возможно ближе ко всем экспериментальным точкам и примерно одинаковое число точек находилось по обеим сторонам кривой. Кривая должна (как правило) лежать в пределах погрешностей измерений. Чем меньше эти погрешности, тем лучше кривая совпадает с экспериментальными точками. Важно отметить, что лучше провести плавную кривую вне пределов погрешности, чем допустить излом кривой вблизи отдельной точки. Если одна или несколько точек лежат далеко от кривой, то это часто свидетельствует о грубой ошибке при вычислении или измерении. Кривые на графиках чаще всего строят с помощью лекал.

Не следует брать очень много точек при построении графика плавной зависимости и только для кривых с максимумами и минимумами необходимо в области экстремума наносить точки более часто.

При построении графиков часто используют прием, называемый способом выравнивания или способом натянутой нити. Он основан на геометрическом подборе прямой "на глаз".

Если этот прием не удается, то во многих случаях преобразование кривой в прямую достигается применением одной из функциональных шкал или сеток. Чаще всего применяются логарифмическая или полулогарифмическая сетки. Этот прием полезен и в тех случаях, когда нужно растянуть или сжать какой-либо участок кривой. Так, логарифмический масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Этот метод рекомендуется для нахождения приближенных значений коэффициентов в эмпирических формулах или для измерений с невысокой точностью данных. Прямой линией при использовании логарифмической сетки изображается зависимость типа , а при использовании полулогарифмической сетки – зависимость типа . Коэффициент В 0 в некоторых случаях может быть равен нулю. Однако, при использовании линейного масштаба все значения на графике отсчитывают с одинаковой абсолютной точностью, а при использовании логарифмического масштаба – с одинаковой относительной точностью.

Следует также заметить, что часто бывает трудно по имеющемуся ограниченному участку кривой (особенно, если не все точки лежат на кривой) судить о том, какого типа функцию необходимо использовать для приближения. Поэтому переводят экспериментальные точки на ту или иную координатную сетку и уже потом смотрят, на какой из них полученные данные ближе всего совпадают с прямой, и в соответствии с этим выбирают эмпирическую формулу.

Подбор эмпирических формул. Хотя нет общего метода, который давал бы возможность подобрать наилучшую эмпирическую формулу для любых результатов измерений, все же можно найти эмпирическое соотношение, наиболее точно отражающее искомую зависимость. Не следует добиваться полного совпадения между экспериментальными данными и искомой формулой, так как интерполяционный многочлен или другая аппроксимирующая формула будет повторять все погрешности измерений, а коэффициенты не будут иметь физического смысла. Поэтому, если не известна теоретическая зависимость, то выбирают такую формулу, которая лучше совпадает с измеренными значениями и содержит меньше параметров. Для определения подходящей формулы экспериментальные данные изображают графически и сравнивают с различными кривыми, которые строят по известным формулам в том же масштабе. Изменяя параметры в формуле, можно в определенной степени менять вид кривой. В процессе сравнения необходимо учитывать имевшиеся экстремумы, поведение функции при различных значениях аргумента, выпуклость или вогнутость кривой на разных участках. Подобрав формулу, определяют значения параметров так, чтобы различие между кривой и экспериментальными данными было не больше погрешностей измерений.

На практике наиболее часто используются линейная, показательная и степенная зависимости.

7. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Интерполирование. Под интерполированием понимают, во-первых, нахождение значений функции для промежуточного значений аргумента, отсутствующих в таблице и, во-вторых, замену функции интерполирующим многочленом, если аналитическое выражение ее неизвестно, а функция должна подвергаться определенным математическим операциям. Наиболее простые способы интерполирования – линейное и графическое. Линейное интерполирование можно применять тогда, когда зависимость у (х ) выражается прямой линией или кривой, близкой к прямой, для которой такое интерполирование не приводит к грубым погрешностям. В некоторых случаях можно проводить линейное интерполирование и при сложной зависимости у (х ), если оно ведется в пределах настолько малого изменения аргумента, что зависимость между переменными можно считать линейной без заметных погрешностей. При графическом интерполировании неизвестную функцию у (х ) заменяют ее приближенным графическим изображением (по экспериментальным точкам или табличным данным), из которого определяют значения у при любых х в пределах измерений. Однако точное графическое построение сложных кривых иногда оказывается очень трудным, например кривой с резкими экстремумами, поэтому графическое интерполирование имеет ограниченное применение.

Таким образом, во многих случаях невозможно применить ни линейного, ни графического интерполирования. В связи с этим были найдены интерполирующие функции, позволяющие вычислить значения у с достаточной точностью для любой функциональной зависимости у (х ) при условии, что она является непрерывной. Интерполирующая функция имеет вид

где B 0 ,B 1 , … B n – определяемые коэффициенты. Так как данный многочлен (7.1) изображается кривой параболического типа, то такая интерполяция называется параболической.

Коэффициенты интерполирующего многочлена находят, решая систему из (l + 1) линейных уравнений, получающихся при подстановке в уравнение (7.1) известных значений у i и х i .

Наиболее просто производится интерполирование, когда интервалы между значениями аргумента постоянны, т. е.

где h – постоянная величина, называемая шагом. В общем случае

При использовании интерполяционных формул приходится иметь дело с разностями значений у и разностями этих разностей, т. е. разностями функции у (х ) различных порядков. Разности любого порядка вычисляются по формуле

. (7.4)

Например,

При вычислении разностей их удобно располагать в виде таблицы (см. Табл. 4), в каждом столбце которой разности записывают между соответствующими значениями уменьшаемого и вычитаемого, т. е. составляется таблица диагонального типа. Обычно разности записывают в единицах последнего знака.

Таблица 4

Разности функции у (х )

x	y	Dy	D 2 y	D 3 y	D 4 y
x 0	у 0
x 1	у 1
x 2	у 2				D 4 у 0
x 3	у 3
х 4	у 4

Так как функция у (х ) выражается многочленом (7.1) n -ой степени относительно х , то разности также являются многочленами, степени которых понижаются на единицу при переходе к последующей разности. N -я разность многочлена n -ой степени является постоянным числом, т. е. содержит х в нулевой степени. Все разности более высокого порядка равны нулю. Это определяет степень интерполирующего многочлена.

Преобразовав функцию (7.1), можно получить первую интерполяционную формулу Ньютона:

Она используется для нахождения значений у при любых х в пределах измерений. Представим эту формулу (7.5) в несколько ином виде:

Последние две формулы иногда называют интерполяционными формулами Ньютона для интерполирования вперед. В эти формулы входят разности, идущие по диагонали вниз, и их удобно использовать в начале таблицы экспериментальных данных, где разностей достаточно.

Вторая интерполяционная формула Ньютона, выведенная из того же уравнения (7.1), выглядит следующим образом:

Данную формулу (7.7) принято называть интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Она используется для определения значений у в конце таблицы.

Теперь рассмотрим интерполяцию при неравноотстоящих значениях аргумента.

Пусть по-прежнему функция у (х ) задается рядом значений х i и у i , но интервалы между последовательными значениями х i неодинаковы. Использовать вышеприведенные формулы Ньютона нельзя, так как они содержат постоянный шаг h . В задачах такого рода необходимо вычислить приведенные разности:

; и т. д. (7.8)

Разности более высоких порядков вычисляются аналогично. Как и для случая равноотстоящих значений аргумента, если f (х ) – многочлен n -ой степени, то разности n -го порядка постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. В простых случаях таблицы приведенных разностей имеют вид, аналогичный таблицам разностей при равноотстоящих значениях аргумента.

Помимо рассмотренных интерполяционных формул Ньютона часто применяют интерполяционную формулу Лагранжа:

В этой формуле каждое из слагаемых представляет собой многочленn -ой степени и все они равноправны. Поэтому до окончания вычислений нельзя пренебрегать какими-либо из них.

Обратное интерполирование. На практике иногда бывает необходимо найти значение аргумента, которому соответствует определенное значение функции. В этом случае интерполируют обратную функцию и следует иметь в виду, что разности функции не постоянны и интерполирование нужно проводить для неравноотстоящих значений аргумента, т. е. использовать формулу (7.8) или (7.9).

Экстраполирование. Экстраполированием называют вычисление значений функции у за пределами интервала значений аргумента х , в котором были проведены измерения. При неизвестном аналитическом выражении искомой функции экстраполирование нужно проводить весьма осторожно, так как не известно поведение функции у (х ) за пределами интервала измерений. Экстраполяция допускается, если ход кривой плавный и нет причин ждать резких изменений в исследуемом процессе. Тем не менее экстраполирование должно проводиться в узких пределах, например в пределах шага h . В более далеких точках можно получить неверные значения у . Для экстраполирования применяются те же формулы, что и для интерполирования. Так, первая формула Ньютона используется при экстраполировании назад, а вторая формула Ньютона – при экстраполировании вперед. Формула Лагранжа применяется в обоих случаях. Надо также иметь в виду, что экстраполирование приводит к большим погрешностям, чем интерполирование.

Численное интегрирование.

Формула трапеций. Формулу трапеций обычно применяют в том случае, если значения функции измерены для равноотстоящих значений аргумента, т. е. с постоянным шагом. По правилу трапеций в качестве приближенного значения интеграла

принимают величину

, (7.11)

Рис. 7.1. Сравнение методов численного интегрирования

т. е. полагают . Геометрическая интерпретация формулы трапеций (см. рис. 7.1) следующая: площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Полная ошибка вычисления интеграла по формуле трапеций оценивается как сумма двух ошибок: ошибки усечения, вызванной заменой криволинейной трапеции прямолинейными, и ошибки округления, вызванной ошибками измерения значений функции. Ошибка усечения для формулы трапеций составляет

, где . (7.12)

Формулы прямоугольников. Формулы прямоугольников, как и формулу трапеций применяют также в случае равноотстоящих значений аргумента. Приближенная интегральная сумма определяется по одной из формул

Геометрическая интерпретация формул прямоугольников дана на рис. 7.1. Погрешность формул (7.13) и (7.14) оценивается неравенством

, где . (7.15)

Формула Симпсона. Приближенно интеграл определяется по формуле

где n – четное число. Ошибка формулы Симпсона оценивается неравенством

, где . (7.17)

Формула Симпсона приводит к точным результатам для случая, когда подынтегральная функция является многочленом второй или третьей степени.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка у " = f (х , у ) с начальным условием у = у 0 при х = х 0 . Требуется найти приближенно его решение у = у (х ) на отрезке [х 0 , х k ].

Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Для этого данный отрезок делится на n равных частей длиной (х k – х 0)/n . Поиск приближенных значений у 1 , у 2 , … , у n функции у (х ) в точках деления х 1 , х 2 , … , х n = х k осуществляется различными методами.

Метод ломаных Эйлера. При заданном значении у 0 = у (х 0) остальные значения у i у (х i ) последовательно вычисляются по формуле

, (7.18)

где i = 0, 1, …, n – 1.

Графически метод Эйлера представлен на рис. 7.1, где график решения уравнения у = у (х ) приближенно представляется ломаной (откуда и происходит название метода). Метод Рунге-Кутта. Обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом Эйлера. Искомые значения у i последовательно вычисляются по формуле

, (7.19), где,

, , .

ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Обзор литературы – обязательная часть всякого отчета об исследовании. Обзор должен полно и систематизированно излагать состояние вопроса, позволять объективно оценивать научно-технический уровень работы, правильно выбирать пути и средства достижения поставленной цели и оценивать как эффективность этих средств, так и работы в целом. Предметом анализа в обзоре должны быть новые идеи и проблемы, возможные подходы к решению этих проблем, результаты предыдущих исследований, данные экономического характера, возможные пути решения задач. Противоречивые сведения, содержащиеся в различных литературных источниках, должны быть проанализированы и оценены с особой тщательностью.

Из анализа литературы должно быть видно, что в этом узком вопросе известно вполне достоверно, что сомнительно, спорно; какие задачи в поставленной технической проблеме первоочередные, ключевые; где и как стоит искать их решения.

Затраты времени на обзор складываются примерно так:

Исследование всегда имеет узкую конкретную цель. В заключении обзора обоснованы выбор цели и метода. Обзор должен подготовить это решение. Отсюда следует его план и отбор материала. В обзоре рассматривают только такие узкие вопросы, которые могут прямо повлиять на решение задачи, но настолько полно, чтобы охватить практически всю современную литературу по этому вопросу.

ОРГАНИЗАЦИЯ СПРАВОЧНО–ИНФОРМАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В нашей стране в основу информационной деятельности положен принцип централизованной обработки научных документов, позволяющий с наименьшими затратами достичь полного охвата источников информации, наиболее квалифицированно их обобщить и систематизировать. В результате такой обработки подготавливаются различные формы информационных изданий. К ним относятся:

1) реферативные журналы (РЖ) – основное информационное издание, содержащее преимущественно рефераты (иногда аннотации и библиографические описания) источников, представляющих наибольший интерес для науки и практики. Реферативные журналы, оповещающие о появившейся научно-технической литературе, позволяют осуществлять ретроспективный поиск, преодолевать языковые барьеры, дают возможность следить за достижениями в смежных областях науки и техники;

2) бюллетени сигнальной информации (СИ), включающие в себя библиографические описания литературы, выходящей по определенной отрасли знаний и являющиеся по существу библиографическими указателями. Их основной задачей является оперативное информирование о всех новинках научной и технической литературы, так как появляется эта информация значительно раньше, чем в реферативных журналах;

3) экспресс-информация – информационные издания, содержащие расширенные рефераты статей, описание изобретений и других публикаций и позволяющие не обращаться к первоисточнику. Задача экспресс-информации – быстрое и достаточно полное ознакомление специалистов с новейшими достижениями науки и техники;

4) аналитические обзоры – информационные издания, дающие представление о состоянии и тенденциях развития определенной области (раздела, проблемы) науки и техники;

5) реферативные обзоры – преследующие ту же цель, что и аналитические обзоры, и в то же время носящие более описательный характер. Авторы реферативных обзоров не дают собственной оценки содержащихся в них сведений;

6) печатные библиографические карточки , т. е. полное библиографическое описание источника информации. Относятся к числу сигнальных изданий и выполняют функции оповещения о новых публикациях и возможностях создания каталогов и картотек, необходимых каждому специалисту, научному работнику;

7) аннотированные печатные библиографические карточки ;

8) библиографические указатели .

Большая часть этих изданий распространяется и по индивидуальной подписке. Подробные сведения о них можно найти в издаваемых ежегодно "Каталогах изданий органов научно-технической информации".

Чтобы исключить произвольный выбор единиц физических величин, обеспечить единообразное выражение и адекватное понимание качества параметров, характеристик и свойств различных объектов, процессов, состояний, т.е. чтобы обеспечить условия единства измерений, единицы физических величин должны быть общепринятыми и общепризнанными. Этим требованиям полностью отвечает Международная система единиц физических величин (СИ), являющаяся современной формой представления и развития метрической системы мер.

Достоинства системы СИ таковы:

• ? универсальность, которая подразумевает охват ею всех областей науки, техники, производства; все производные единицы образованы по единому правилу. Это дает возможность создать новые производные единицы по мере развития науки и техники;
• ? когерентность, которая позволяет до минимума упростить расчетные формулы за счет освобождения от переводных коэффициентов (когда числовой множитель равен 1). Например, скорость движения тел может быть выражена соотношением V = = L/t, где L - длина пути в метрах; t - время движения в секундах. Подстановка размерности указанных величин в формулу дает V = = 1м/с;
• ? унификация единиц всех областей измерений, под которой понимают приведение единиц к единообразию на основе рационального сокращения числа их разновидностей.

По условной зависимости от других величин единицы подразделяют на основные (независимые физические величины, находящиеся в основной системе единиц) и производные (условно зависимые от основных величин).

В системе СИ имеются семь основных и две дополнительные единицы. Дополнительные единицы используют для образования производных единиц, зависящих от определенных условий, связанных с плоским и телесным углами.

Основные и дополнительные единицы Международной системы приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Единицы Международной системы (СИ)

Наименование физической величины	Обозначение физической величины
		Наименова- ние единицы	Обозначение
			международное
Основные единицы
		килограмм
Сила электрического тока
Термодинамическая температура

Окончание

Решениями Генеральной конференции по мерам и весам установлены следующие определения основных единиц:

U метр - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 долю секунды;

• ? килограмм - единица массы, равная массе международного прототипа килограмма;
• ? секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133;
• ? ампер равен силе неизменяющегося тока, который, проходя по двум нормальным параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывает между проводниками силу взаимодействия, равную 2 10 7 Н на каждый метр длины;
• ? кельвин - единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды;
• ? кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540 10 12 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср;
• ? моль - количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько атомов содержится в углероде-12 массой 0,012 кг.

Дополнительные единицы - это единицы измерения плоского и телесного угла (радиан и стерадиан). Они не включены в основные из-за трудностей в трактовке размерностей величин, связанных с вращением.

Их нельзя отнести и к производным, так как они не зависят от основных величин. Эти единицы не зависят от размера единицы длины.

Радиан - единица плоского угла, равная углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу. В градусном исчислении 1 рад = 57° 17"45”.

Стерадиан - единица, равная телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Производные единицы СИ образуются из основных и дополнительных единиц, исходя из уравнений между физическими величинами. Производные единицы СИ, имеющие специальные наименования, приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Производные единицы СИ, имеющие специальные наименования

Наименование величины
	Наименование	Обозначение
		международное
Сила, вес
Давление механического напряжения, модуль упругости
Энергия, работа, количество теплоты
Мощность, поток энергии			Вт
Электрическое напряжение, электрический потенциал, электродвижущая сила, разность электрических потенциалов
Электрическая емкость
Электрическое сопротивление
Электрическая проводимость
Поток магнитной индукции, магнитный поток
Плотность магнитного потока, магнитная индукция
Индуктивность, взаимная индуктивность
Световой поток

Окончание

Для того чтобы не получались слишком большие или малые значения физических величин, в СИ установлено применение десятичных кратных и дольных единиц СИ, которые образуются с помощью множителей и содержат приставки, соответствующие множителям (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Множители единиц и приставки

Множитель	Приставка	Обозначение приставки
		международное

Образованные таким образом наименования кратных и дольных единиц физических величин пишутся слитно с наименованием основной или производной единицы СИ, например километр - км, мегаватт - МВт, микрометр - мкм, милливольт - мВ и др. Две и более приставки применять нельзя.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Краткая история метрологии

В процессе истории человечества вырабатывались определенные представления о размерах, формах, свойствах предметов и процессов, а в связи с этим возникали и развивались всевозможные методы и средства измерений.

Любой объект (предмет, процесс, явление) можно охарактеризо-вать его свойствами или качествами, которые проявляются в большей или меньшей степени и, следовательно, подвергаются количествен-ной оценке. В настоящее время хорошо известно высказывание Ф. Энгельса «Всякое качество имеет бесконечно много количествен-ных градаций». Как же производится количественная оценка этих свойств или качеств объекта? Конечно, путем измерений.

В России в древности единицами измерения длины были пядь, локоть. Локоть как единица измерения применялся во многих государствах (Вавилон, Египет). Естественно размер локтя был различным.

Одной из основных мер длины в России долгое время была сажень (упоминается в летописях начала Х в.). Размер ее не был постоянным: были известны простая сажень, косая, казенная сажень и др. По указу Петра I русские меры длины были согласованы с английскими (~ 1725 г.).

В 1835 г. Николай I в «Указе правительствующему Сенату» утвердил сажень в качестве основной меры длины в России, а за основную единицу массы был принят образцовый фунт – кубический дюйм воды при температуре 13,3 градуса по Реомюру в безвоздушном пространстве (фунт равнялся 409,51241 г). Также в России использовались также аршин (0,7112 м) и верста (в разные времена ее размер был различным, 500 саженей – 1,0668 км).

Для поддержания единства установленных мер существовали эталонные (образцовые) меры, которые находились в храмах и церквях.

В 1841 г. в соответствии с указом «О системе Российских мер и весов», узаконившим ряд мер длины, объема и веса, при Петербургском монетном дворе было организовано Депо образцовых мер и весов – первое государственное поверочное учреждение. Основными задачами Депо являлись хранение эталонов, составление таблиц русских и иностранных мер, изготовление образцовых мер и рассылка последних в регионы страны. Поверка мер и весов была вменена в обязанность городских дум, управ и казенных палат. В 1892 г. ученым хранителем Депо образцовых мер и весов был назначен великий русский ученый Д.И. Менделеев. По его предложению Депо было преобразовано в 1893 г. в Главную палату мер и весов, быстро ставшую выдающимся научно-методическим центром. Для сравнения можно сказать, что в Германии метрологический центр был основан в 1887, в Англии – в 1900, в США – в 1901 г.

«Наука начинается … с тех пор, как начинают измерять», – в этом научном кредо Д.И. Менделеева выражен, по существу, важнейший принцип развития науки, который не утратил актуальности в современных условиях.

Д.И. Менделеев внес большой практический и научный вклад в развитие науки об измерениях. В 1860 г. он разработал прибор для определения плотности жидкости, названный пикнометром Менделеева. В 1865 г. создал оригинальный метод взвешивания при постоянной нагрузке, исключающий температурную погрешность и применяемый и поныне. В 1875 г. уточнил формулу Эйлера для расчета прецизионных лабораторных весов с максимальной чувствительностью. В 1873-1874 гг. предложил, независимо от Кельвина новую шкалу температур с «одной экспериментально реализуемой точкой». В 1889 г. было утверждено «Положение о мерах и весах», в котором узаконились русские эталоны аршина и фунта и были введены точные соотношения их с метрическими мерами. В этом Положении допускалось факультативно применение в России прогрессивной метрологической системы мер, внедрению которой Менделеев отдал много сил.

Менделеев первым выступил с трибуны съезда русских естество-испытателей с призывом содействовать подготовке метрической ре-формы путем употребления метрической системы в научных исследо-ваниях, на лекциях и уроках. Менделеев сказал тогда; «Облегчим же и на нашем скромном поприще возможность всеобщего распространения метрической системы и через то содействуем общей пользе и будущему желанному сближению народов. Не скоро, понемногу, но оно придет. Пойдем ему навстречу».

Работы Менделеева заложили прочный фундамент как для факультативного, так и для последующего обязательного внедрения метрической системы мер в нашей стране. Официально Россия перешла на метрическую систему в сентябре 1918 г.

В 1849 г. была издана первая научно-учебная книга Ф.И. Петрушевского «Общая метрология» (в двух частях), по которой учились первые поколения русских метрологов.

Важным этапом в развитии русской метрологии явилось подписание Россией метрической конвенции 20 мая 1875 г. В этом же году была создана Международная организация мер и весов (МОМВ), которая расположилась в г. Севре (близ Парижа, Франция). Ученые России активно принимали участие в работе этой организации.

Объекты измерений

Обычным объектом измерений являются физические величины, то есть какие-либо свойства физического объекта (предмета, процесса), например длина, масса, время, температура и др. Однако в последнее десятилетие кроме физических величин в прикладной метрологии начали использоваться так называемые нефизические дисциплины. Это связано с применением термина «измерение» в экономике, информатике, управлении качеством.

Бесконечное множество физических величин, окружающих нас, обладает бесконечным множеством различных качеств и свойств. Из этого огромного количества человек выделяет некоторое ограниченное число свойств, общих в качественном отношении для ряда однородных объектов и достаточных для их описания. В каждом таком качестве, в свою очередь, может быть выделено множество градаций. Если мы в состоянии установить размер градации, то есть величину данного свойства, и физически реализовать ее в виде меры или шкалы, то, сопоставив размер интересующего нас свойства объекта с такой мерой или со шкалой, мы получим его количественную оценку. Свойства, для которых могут быть установлены и воспроизведены градации определенного размера, называются физическими величинами.

Иначе говоря, физическая величина (physical quantity) – одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса) общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Качественная сторона понятия «физическая величина» определяет род величины (длина как характеристика протяженности вообще, электрическое сопротивление как общее свойство проводников электричества и т.п.), а количественная – ее размер (длина конкретного предмета, сопротивление конкретного проводника). Размер физической величины существует объективно, независимо от того, знаем мы его или не знаем.

Анализ существующих величин показывает, что они могут быть разделены на два вида: реальные и идеальные (рис. 2).

Рис. 2. Классификация величин

К нефизическим величинам относят те, которыми оперируют нефизические науки (философия, социология, экономика управления качеством и т.д.).

Нефизическая величина – величина нематериального размера, оцениваемая не инструментальными методами, а также величина размера нематериального объекта. Нефизическими величинами оценивают ум, знания, безопасность, привлекательность и т.п.

Для того, чтобы для каждого объекта можно было установить различия в количественном содержании свойства, отображаемого физической величиной, в метрологии введены понятия ее размераи значения.

Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.

Значение физической величины (value of a quantity) – выражение размера физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц.

Единица измерения физической величины (unit of measurement) – физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и применяемое для количественного выражения однородных с ней физических величин.

В общем случае согласно классификации (рис. 2) все физические величины разделяют на измеряемые и оцениваемые. Измеряемые физические величины могут быть выражены количественно в виде определенного числа установленных единиц измерения физической величины, а оцениваемые – являются результатом выполнения операции оценивания. Оценивание проводят, когда невозможно сделать измерение: не выделена величина как физическая и не определена единица измерений этой величины, например интенсивность цвета.

Выявляя общие метрологические особенности отдельных групп физических величин, можно предложить их классификацию по следующим признакам (рис. 3):

1) по видам явлений (I группа): на вещественные, энергетические и характеризующие протекание процессов во времени;

2) по принадлежности к различным группам физических процессов (II группа): на пространственно-временные, механические, тепловые, электрические, акустические, световые, физико-химические, ионизирующих излучений, атомной и ядерной физики;

3) по степени условной независимости от других величин (III группа): на основные (условно независимые), производные (условно зависимые) и дополнительные;

4) по наличию (размерности) физических величин (IV группа): на имеющие размерность (размерные) и безразмерные.

Целью измерения и его конечным результатом является нахождение значения физической величины. Для достижения этой цели в метрологии используют понятия истинного и действительного значения физической величины.

Нахождение истинного значения измеряемой величиныявляется центральной проблемой метрологии.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

По видам явлений		По принадлеж-ности к различным группам физических процессов		По степени условий независмости от других величин		По наличию размерности физических величин
1. Вещественные (пассивные)		1. Пространствен-но-временные		1. Основные		1. Размерные
2. Энергетические (активные)		2. Механические		2. Производные		2. Безразмерные
3. Характе-ризующие процессы		3. Тепловые		3. Дополни-тельные
		4. Электрические и магнитные
		5. Акустические
		6. Световые
		7. Ионизирующих излучений
		8. Физико-хими-ческие
		9. Атомной и ядерной физики

Рис. 3. Классификация физических величин

Истинное значение физической величины (true value of a quantity) – это значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении соответствующую физическую величину. Такое значение физической величины считается неизвестным и применяется в теоретических исследованиях. Значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него, называется действительным значением (conventional true value).

Как известно, существуют основные и производные физические величины. В качестве основных выбирают величины, которые характеризуют фундаментальные свойства материального мира. Механика базируется на трех основных величинах, теплотехника – на четырех, вся физика – на семи: длина, масса, время, термодинамическая температура, количество вещества, сила света, сила электрического тока, с помощью которых создается все многообразие производных физических величин и обеспечивается описание любых свойств физических объектов и явлений.

Основная физическая величина (base quantity) – физическая величина, входящая в систему величин и условно принятая в качестве независимой от других величин этой системы.

Производная физическая величина (derived quantity) – физическая величина, входящая в систему величин и определяемая через основные величины этой системы.

Формализованным отражением качественного различия измеряемых величин является их размерность. Согласно международному стандарту ИСО размерность основных величин – длины, массы и времени – обозначается соответствующими буквами:

dim l = L; dim m = M; dim t = T.

Размерность физической величины (dimension of a quantity) – выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной физической величины с физическими величинами, принятыми в данной системе единиц за основные:

где L, M, T – размерности величин: длины, массы и времени, соответственно;

a, b, g – показатели размерности физических величин (показатели степени, в которую возведены размерности основных величин).

Каждый показатель размерности может быть положительным или отрицательным, целым, дробным или равным нулю. Если все показатели размерности равны нулю, то величина называется безразмерной.

Результатом измерения является получение информации о размере измеряемой физической величины.

Над размерностями можно проводить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня, при этом следует подчеркнуть, что одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим разную качественную природу и различающимся между собой по форме определяющих их уравнений. Например, путь пройденный автомобилем и длина окружности в качественном отношении являются длинами, но определяются совершенно различными уравнениями.

Международная система единиц физических величин

Применяемая в настоящий момент Международная система единиц СИ (Systeme International d`Unitas - SI) утверждена в 1960 г. ХI Генеральной конференцией по мерам и весам (ГКМВ). На территории нашей страны система единиц СИ действует с 1 января 1982 г. в соответствии с ГОСТ 8.417- 2000 ГСИ. Единицы величин. По этой системе предусмотрено семь основных единиц и две дополнительные (табл.1).

- L - длина. Единица измерения – метр - длина пути, которую проходит свет в вакууме за 1/299 792 458 секунды;

- M - масса. Единица измерения – килограмм – масса, равная массе международного прототипа килограмма;

- T – время. Единица измерения – секунда – продолжительность 9192631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 при отсутствии возмущений со стороны внешних полей;

- I – сила электрического тока .Единица измерения – ампер – сила, неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 m один от другого, создает на каждом участке проводника длиной 1 m силу взаимодействия равную 2×10 -7 Н;

- q – термодинамическая температура. Единица измерения – кельвин (градус Кельвина до 1967 г.) – 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды;

- N – количество вещества . Единица измерения – моль– количество вещества системы, содержащее столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде ~ 12 массой 0,012 кг (при применении понятия моля структурные элементы должны быть специфицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами и другими частицами);

- J – сила света . Единица измерения – кандела – сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540×10 12 Hz, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 W/sr (Вт/ср 2).

Таблица 1

Основные и дополнительные единицы системы SI

Величина	Единица
Наименование	Размер-ность	Наимено-вание	Обозначение
русское	международное
Основные
Длина	L	метр	м	m
Масса	М	кило-грамм	кг	kg
Время	Т	секунда	с	s
Сила электрического тока	I	ампер	А	F
Термодинамическая температура	q	кельвин	К	R
Количество вещества	N	моль	моль	mol
Сила света	J	кандела	кд	cd
Дополнительные
Плоский угол	-	радиан	рад	rad
Телесный угол	-	стерадиан	ср	cr

Сложность приведенных формулировок отражает развитие современной науки, позволяющей представить основные единицы, с одной стороны, как достоверные и точные, а с другой, как объяснимые и понятные для всех стран мира. Именно это и делает рассматриваемую систему подлинно международной.

В системе СИ в 1960 г. введены две дополнительные единицы для измерения плоского и телесного углов – радиан и стерадиан, соответственно.

Плоский угол. Единица измерения – радиан – угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Телесный угол .Единица измерения – стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Все остальные физические величины могут быть получены как производные основных. Например единица измерения силы – ньютон – это производная единица, образованная основными единицами – килограммом, метром и секундой. Используя второй закон Ньютона: (), находим размерность единицы измерения силы:

.

Производные единицы системы СИ, имеющие специальные наименования, также могут быть использованы для образования других производных единиц. Например паскаль – эта производная единица образована производными единицами – ньютоном и метром квадратным.

Единицы, не входящие в принятую систему носят название внесистемных и делятся на четыре вида:

Допускаемые наравне с единицами СИ (тонна, минута, градус, секунда, литр и т.д.);

Допускаемые к применению в специальных областях (в астрономии – парсек, световой год; в оптике – диоптрия; в физике – электрон-вольт и т.д.);

Временно допускаемые к применению наравне с единицами СИ (миля, карат и т. д.), но подлежащие изъятию из обращения;

Изъятые из употребления (миллиметр ртутного столба, лошадиная сила и т.д.).

Применение первой группы внесистемных единиц допускается в силу их удобства и распространенности в конкретных жизненных ситуациях (прошедшие проверку временем), например: тонна, атомная единица массы, час, градус и д.р. Вторую и третью группы составляют специфичные, традиционные для конкретной области своего применения, единицы (табл. 2).

Таблица 2

Внесистемные единицы физических величин

Наименование величины	Единица
Наименование	Обозначение	Соотношение с единицей СИ
Масса	тонна	т	10 3 кг
атомная единица массы	а.е.м.	1,66057×10 -27 кг (приблизительно)
Время	минута	мин	60 с
час	ч	3600 с
сутки	сут	86400 с
Плоский угол	градус	… о	(π/180) рад =1,745329….10 -2 рад
минута	…¢	(π/10800)рад = 2,908882...10 -4 рад
секунда	…²	(π/648000) рад = 4,8848137….10 -6 рад
град	град	(π/200) рад
Объем	литр	л	10 -3 м 3
Длина	Астрономическая единица	а.е.	1,45598·10 -11 м (приблизительно)
световой год	св.год	9,4605·10 -15 м (приблизительно)
парсек	пк	3,0857·10 -16 м (приблизительно)
Оптическая сила	диоптрия	дптр	1 м -1
Площадь	гектар	га	10 4 м 3
Энергия	электрон-вольт	эВ	1,60219·10 -19 Дж (приблизительно)
Полная мощность	вольт-ампер	В×А	-
Реактивная мощность	вар	вар	-

Для удобства применения единиц физических величин СИ приняты приставки для образования десятичных кратных и дольных (меньших) единиц, множители и приставки которых приведены в табл. 3.

Таблица 3

Множители и приставки для образования десятичных

кратных и дольных единиц и их наименования

Кратная единица – это единица физической величины, в целое число раз превышающая, а дольная – в целое число раз уменьшающая системную или внесистемную единицу.

Шкалы

В теории измерений принято, в основном, различать четыре типа шкал: наименований, порядка, интервалов и отношений (рис. 4).

Шкала физической величины - упорядоченная совокупность значений физической величины, служащая исходной основой для измерения данной величины. Она может быть представлена в общем случае совокупностью условных знаков, выстроенных определенным образом; при этом определенные знаки означают начало и конец шкалы, а интервалы между знаками характеризуют принятую градацию шкалы (цена деления, ширина спектра) и могут иметь цветовое и цифровое оформление.

Шкала наименований - это своего рода качественная, а не количественная шкала, она, не содержит нуля и единиц измерений. Примером может служить атлас цветов (шкала цветов). Процесс измерения заключается в визуальном сравнении окрашенного предмета с образцами цветов (эталонными образцами цветов).

ОЦЕНИВАНИЕ Измерение Рис. 4. Типы шкал

Поскольку каждый цвет имеет немало вариантов, такое сравнение под силу опытному эксперту, который обладает не только практическим опытом, но и соответствующими особыми характеристиками зрительных возможностей. При оценивании по шкале наименований объекту приписывают цифру или знак только с целью их идентификации или для нумерации классов. Такое приписывание цифр выполняет на практике ту же функцию, что и наименование.

Шкала порядка характеризует упорядочение объектов относительно какого-то определенного свойства, то есть расположение объектов в порядке убывания или возрастания данного свойства. Например шкала землятресений, шкала твердости физических тел и т.п. Полученный при этом упорядоченный ряд называют ранжированным рядом, а саму процедуру ранжированием.

По шкале порядка сравниваются между собой однородные объекты, у которых значение интересующих свойств неизвестны. Поэтому ранжированный ряд может дать ответ на вопросы типа - «Что больше (меньше)?» или, «Что лучше (хуже)?». Более подробную информацию (на сколько больше или меньше, во сколько раз хуже или лучше), шкала порядка дать не может. Очевидно, что назвать процедуру оценивания свойств объекта по шкале порядка измерением можно только с большой натяжкой. Результаты, полученные по шкале порядка, не могут подвергаться никаким арифметическим действиям.

Шкала интервалов. На шкале интервалов откладывается разность значений физической величины. Примерами шкал интервалов являются шкалы температур. На температурной шкале Цельсия за начало отсчета разности температур принята температура таяния льда. С ней сравниваются все другие температуры. Для удобства пользования шкалой интервал между температурой таяния льда и температурой кипения воды разделен на 100 равных интервалов – градусов. Шкала Цельсия распространяется как в сторону положительных, так и в сторонуотрицательных интервалов. Когда говорят, что температура воздуха равна 25 °С, это означает, что она на 25 °С выше температуры, принятой за нулевую отметку шкалы (выше нуля). На температурной шкале Фаренгейта тот же интервал разбит на 180 градусов. Следовательно, градус Фаренгейта по размеру меньше, чем градус Цельсия. Кроме того, начало отсчета интервалов на шкале Фаренгейта сдвинуто на 32 градуса в сторону низких температур, температура таяния льда по шкале Фаренгейта составляет 32 °F.

Деление шкалы интервалов на равные части-градации устанавливает единицу физической величины, что позволяет не только выразить результат измерения в числовой мере, но и оценить погрешность измерения.

Результаты измерений по шкале интервалов можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, то есть определять, насколько одно значение физической величины больше или меньше другого. Определить по шкале интервалов, во сколько раз одно значение величины больше или меньше другого, невозможно, поскольку на шкале не определено начало отсчета физической величины. Но в тоже время это может быть сделано в отношении интервалов (разностей). Так, разность температур 25 градусов в 5 раз больше разности температур 5 градусов.

Шкала отношений представляет собой интервальную шкалу с естественным нулевым началом, например температурная шкала Кельвина, шкала длины или шкала массы. Шкала отношений является самой совершенной и наиболее информативной. Результаты измерений по шкале отношений можно складывать между собой, вычитать, перемножать и делить.

Шкалы наименований и порядка называют неметрическими (концептуальными), а шкалы интервалов и отношений метрическими (материальными).

Практически шкалы измерений реализуются через стандартизацию как самих шкал единиц измерений, так, в необходимых случаях, способов и условий их однозначного воспроизведения.

Глава 2

ИЗМЕРЕНИЯ

Постулаты теории измерений

Метрология, как и любая другая наука, строится на ряде основополагающих постулатов, описывающих ее основные аксиомы. В настоящее время можно говорить о построении теоретического фундамента метрологии на основе нескольких общих свойств для всего многообразия любых физических объектов в виде формулировки следующих постулатов:

1) постулат α . В рамках принятой модели объекта исследования существует определенная измеряемая физическая величина и ее истинное значение;

2) постулат β. Истинное значение измеряемой величины постоянно;

3) постулатγ. Существует несоответствие измеряемой величины исследуемому свойству объекта.

При проведении измерений физически определяется расстояние между двумя точками, находящимися между фиксированными элементами измерительного инструмента. Каждому варианту стыковки измеряемой детали и измерительного инструмента будет соответствовать конкретный результат измерения. Исходя из этого, можно утверждать, что измеряемая величина существует лишь в рамках принятой модели, то есть имеет смысл только до тех пор, пока модель признается адекватной объекту.

Конкретная процедура выполнения измерений рассматривается как последовательность сложных и разнородных действий, состоящих из ряда этапов, которые могут существенно различаться по числу, виду и трудоемкости выполняемых операций. В каждом конкретном случае соотношение и значимость каждого из этапов могут заметно меняться, но четкое выделение этапов и осознанное выполнение необходимого и достаточного числа выполняемых действий измерения приводит к оптимизации процесса реализации измерений и устранению соответствующих методических ошибок. К числу основных этапов относятся следующие:

¨ постановка измерительной задачи;

¨ планирование измерений;

¨ проведение измерительного эксперимента;

¨ обработка экспериментальных данных.

Таблица 4

Этап	Содержание этапа
1. Постановка измерительной задачи	1.1. Сбор данных об условиях измерений и исследуемой физической величине. 1.2. Выбор конкретных величин, посредством которых будет находится значение измеряемой величины. 1.3. Формулировка уравнения измерения
2. Планирование измерений	2.1. Выбор методов измерений и возможных типов средств измерений. 2.2. Априорная оценка погрешности измерения 2.3. Определение требований к метрологической характеристике средств измерения и условий измерения. 2.4. Подготовка средств измерений. 2.5. Обеспечение требуемых условий измерений и создание возможности их контроля.
3. Проведение измерительного эксперимента	3.1. Взаимодействие средств объектов измерений. 3.2. Регистрация результата
4. Обработка экспериментальных данных	4.1. Предварительный анализ информации, полученной на предыдущих этапах измерения. 4.2. Вычисление и внесение возможных поправок на систематические погрешности. 4.3. Формулирование и анализ математической задачи обработки данных. 4.4. Проведение вычислений, в итоге которых получают значения измеряемой величины и погрешностей измерения. 4.5. Анализ и интерпретация полученных результатов. 4.6. Запись результатов измерений и показателей погрешности в соответствии с установленной формой представления

Качество подготовки измерения всегда зависит от того, в какой степени была получена и использована необходимая априорная информация. Ошибки, допущенные при подготовке измерений, с трудом обнаруживаются и корректируются на последующих этапах.

Виды и методы измерений

Для проведения измерительного эксперимента необходимы особые технические средства – средства измерений. Результатом измерения является оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц.

Измерение физической величины (measurement) – совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающая нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины.

Несмотря на то, что измерения непрерывно развиваются и становятся все более сложными, метрологическая сущность остается неизменный и сводится к основному уравнению измерения:

Q = X[Q]

где Q – измеряемая величина;

X – числовое значение измеряемой величины в принятой единице измерения;

[Q] – выбранная для измерения единица.

В зависимости от того, на какие интервалы разбита шкала, один и тот же размер представляется по-разному. Допустим, измеряется длина отрезка прямой в 10 см с помощью линейки, имеющей деления в сантиметрах и миллиметрах.

Для первого случая Q 1 = 10 см при X 1 = 10 и = 1 см.

Для второго случая Q 2 = 100 ммпри X 2 = 100 и = 1 мм.

При этом Q 1 = Q 2 , так как 10 см = 100 мм.

Применение различных единиц в процессе измерения приводит только к изменению численного значения результата измерения.

Цель измерения – получение определенной физической величины в форме наиболее удобной для пользования. Любое измерение заключается в сравнении данной величины с некоторым ее значение, принятым за единицу сравнения. Такой подход выработан практикой измерений, исчисляемой сотнями лет. Еще великий математик Л.Эйлер утверждал: «Невозможно определить или измерить одну величину иначе как, приняв в качестве известной другую величину этого же рода и указав соотношение в котором они находятся».

Измерения как экспериментальные процедуры весьма разнообразны и классифицируются по разным признакам (рис.5).

Общее понятие.

Разделом науки, изучающей измерения, является метрология.

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспе­чения их единства и способах достижения требуемой точности.

В метрологии решаются следующие основные задачи : разработ­ка общей теории измерений единиц физических величин и их сис­тем, разработка методов и средств измерений, методов определения точности измерений, основ обеспечения единства и единообразия средств измерений, эталонов и образцовых средств измерений, методов передачи размеров единиц от эталонов и образцовых средств измерений к рабочим средствам измерений.

Физические величины. Международная система единиц физических величин Si.

Физическая величина – это характеристика одного из свойств фи­зического объекта (явления или процесса), общая в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном от­ношении индивидуальная для каждого объекта.

Значение физической величины – это оценка ее величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц или числа по приня­той для нее шкале. Например, 120 мм – значение линейной вели­чины; 75 кг – значение массы тела, НВ190 – число твердости по Бринеллю.

Измерением физической величины называют совокупность опера­ций, выполняемых с помощью технического средства, хранящего единицу, или воспроизводящую шкалу физической величины, зак­лючающихся в сравнении (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей или шкалой с целью получения значения этой величины в форме, наиболее удобной для использования.

В теории измерений принято, в основном, пять типов шкал : наи­менования, порядка, интервалов, отношений и абсолютная.

Можно выделить три вида физических величин , измерение которых осуществляется по различным правилам.

К первому виду физических величин относятся величины, на множестве размеров которых определены лишь отношения порядка и эквивалентности. Это отношения типа «мягче», «тверже», «теплее», «холоднее» и т. Д. К величинам такого рода относятся, например, твердость, определяемая как способность тела оказывать сопротивление проникновению в него другого тела; температура как степень нагретости тела и т. П. Существование таких отношений устанавливается теоретически или экспериментально с помощью специальных средств сравнения, а также на основе наблюдений за результатами воздействия физической величины на какие-либо объекты.

Для второго вида физических величин отношение порядка и эквивалентности имеет место, как между размерами, так и между размерностями в парах их размеров. Гак. Разности интервалов времени считаются равными, если расстояния между соответствующими отметками равны.

Третий вид составляют аддитивные физические величины. Аддитивными физическими величинами называются величины, на множестве размеров которых определены не только отношения порядка и эквивалентности, но операции сложения и вычитания. К таким величинам относятся длина, масса, сила тока и т. П. Их можно измерять по частям, а также воспроизводить с помощью многозначной меры, основанной на суммировании отдельных мер. Например, сумма масс двух тел – это масса такого тела, которое уравновешивает на равноплечих весах первые два.

Система физических величин – это совокупность взаимосвязанных физических величин, образованная в соответствии с принятыми принципами, когда одни величины принимаются за независимые, а другие являются функциями независимых величин. Система физи­ческих величин содержит основные физические величины, условно принятые в качестве независимых от других величин этой системы, и производные физические величины, определяемые через основ­ные величины этой системы.

Аддитивными физическими величинами называются величины, на множестве размеров которых определены не только отношения по­рядка и эквивалентности, но операции сложения и вычитания. К таким величинам относятся длина, масса, сила тока и т. П. Их можно измерять по частям, а также воспроизводить с помощью многозначной меры, основанной на суммировании отдельных мер. Например, сумма масс двух тел – это масса такого тела, которое уравновешивает на равноплечих весах первые два.

Основная физическая величина – это физическая величина, вхо­дящая в систему единиц и условно принятая в качестве независи­мой от других величин этой системы.

Производная единица системы единиц – единица производной фи­зической величины системы единиц, образованная в соответствии с уравнением, связывающим ее с основными единицами.

Производная единица называется когерентной, если в этом урав­нении числовой коэффициент принят равным единице. Соответ­ственно, система единиц, состоящая из основных единиц и коге­рентных производных, называется когерентной системой единиц физических величин.

Абсолютные шкалы обладают всеми признаками шкал отношений, но дополнительно в них существует естественное однозначное опреде­ление единицы измерения. Такие шкалы соответствуют относительным величинам (отношениям одноименных физических величин, описыва­емых шкалами отношений). Среди абсолютных шкал выделяются абсо­лютные шкалы, значения которых находятся в пределах от 0 до 1. Такой величиной является, например, коэффициент полезного действия.

Шкалы наименований характеризуются только отношением экви­валентности. По своей сути она является качественной, не содер­жит нуля и единицы измерения. Примером такой шкалы является оценка цвета по наименованиям (атласы цветов). Так как каждый цвет имеет множество вариаций, то такое сравнение может выполнить только опытный эксперт, обладающий соответствующими зри­тельными возможностями.

Шкалы порядка характеризуются отношением эквивалентности и порядка. Для практического использования такой шкалы необхо­димо установить ряд эталонов. Классификация объектов осуществ­ляется сравнением интенсивности оцениваемого свойства с его эта­лонным значением. К шкалам порядка относятся, например, шкала землетрясений, шкала силы ветра, шкала твердости тел и т. п.

Шкала разностей отличается от шкалы порядка тем, что кроме отношений эквивалентности и порядка добавляется эквивалентность интервалов (разностей) между различными количественными про­явлениями свойства. Она имеет условные нулевые значения, а ве­личина интервалов устанавливается по согласованию. Характерным примером такой шкалы является шкала интервалов времени. Ин­тервалы времени можно суммировать (вычитать).

Шкалы отношений описывают свойства, к которым применимы отношения эквивалентности, порядка и суммирования, а, следова­тельно, вычитания и умножения. Эти шкалы имеют естественное нулевое значение, а единицы измерений устанавливаются по согла­сованию. Для шкалы отношений достаточно одного эталона, чтобы распределить все исследуемые объекты по интенсивности измеряе­мого свойства. Примером шкалы отношений является шкала мас­сы. Масса двух объектов равна сумме масс каждого из них.

Единица физической величины – физическая величина фиксиро­ванного размера, которой условно присвоено значение, равное еди­нице, и применяемая для количественного выражения однородных физических величин. Число независимо установленных величин равно разности числа величин, входящих в систему, и числа независимых уравнений связи между величинами. Например, если скорость тела определяется по формуле υ = L/t, то независимо можно установить только две величины, а третью выразить через них.

Размерность физической величины – выражение в форме степен­ного одночлена, составленного из произведений символов основ­ных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной величины с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные, и с коэффициентом пропорциональ­ности, равным единице.

Степени символов основных величин, входящих в одночлен, мо­гут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными.

Размерность величин обозначают знаком dim. В системе LMT размерность величин X будет:

где L , M , Т - символы величин, принятые за основные (соответ­ственно, длины, массы, времени); l , m , t – целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, которые являются показателями размерности.

Размерность физической величины является более общей характеристикой, чем определяющее величину уравнение, так как одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим различную качественную сторону.

Например, работа силы A определяется уравнением A = FL ; кинетическая энергия движущегося тела – уравнением Е к = mυ 2 /2, а размерности первой и второй – одинаковы.

Над размерностями можно производить различные действия: умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня.

Основные единицы СИ

Показатель размерности физической величины – показатель степени, в которую возведена размерность основной физической величины, входящая в размерность производной физической величины. Размерности широко используют при образовании производных единиц и проверки однородности уравнений. Если вес показатели степени размерности равны нулю, то такая физическая величина называется безразмерной. Все относительные величины (отношение одноименных величин) являются безразмерными. Учитывая необходимость охвата Международной системой единиц всех областей науки и техники, в ней в качестве основных выбраны сечь единиц. В механике такими являются единицы длины, массы и времени, в электричестве добавляется единица силы электрического тока, в теплоте – единица термодинамической тем­пературы, в оптике – единица силы света, в молекулярной физике, термодинамике и химии – единица количества вещества. Эти семь единиц соответственно: метр, килограмм, секунда, ампер. Кельвин, кандела и моль – и выбраны в качестве основных единиц СИ.

Важным принципом, который соблюден в Международной системе единиц, является ее когерентность (согласованность). Так, выбор основных единиц системы обеспечил полную согласованность механических и электрических единиц. Например, ватт – единица механи­ческой мощности (равный джоулю в секунду) равняется мощности, выделяемой электрическим током силой 1 ампер при напряжении 1 вольт. Например, единица скорости образуется с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся точки

υ =L /t , где

υ – скорость, L – длина пройденного пути, t – время. Подстановка вместо υ , L и t и их единиц СИ даст {υ }={L )/{t ) = 1 м/с. Следовательно, единицей скорости СИ является метр в секунду. Он равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой эта точка за время t = 1с перемещается на расстояние L = 1м. Например, для образования единицы энергии используется

уравнение T = тυ e ,где T – кинетическая энергия; т – масса тела; t – скорость движения точки, то когерентная единица энергии СИ образуется следующим образом:

Производные единицы СИ,

Похожая информация.

В принципе, можно представить себе какое угодно большое число разных систем единиц, но широкое распространение получили лишь несколько. Во всем мире для научных и технических измерений и в большинстве стран в промышленности и быту пользуются метрической системой.

Основные единицы.

В системе единиц для каждой измеряемой физической величины должна быть предусмотрена соответствующая единица измерения. Таким образом, отдельная единица измерения нужна для длины, площади, объема, скорости и т.д., и каждую такую единицу можно определить, выбрав тот или иной эталон. Но система единиц оказывается значительно более удобной, если в ней всего лишь несколько единиц выбраны в качестве основных, а остальные определяются через основные. Так, если единицей длины является метр, эталон которого хранится в Государственной метрологической службе, то единицей площади можно считать квадратный метр, единицей объема – кубический метр, единицей скорости – метр в секунду и т.д.

Удобство такой системы единиц (особенно для ученых и инженеров, которые гораздо чаще встречаются с измерениями, чем остальные люди) в том, что математические соотношения между основными и производными единицами системы оказываются более простыми. При этом единица скорости есть единица расстояния (длины) в единицу времени, единица ускорения – единица изменения скорости в единицу времени, единица силы – единица ускорения единицы массы и т.д. В математической записи это выглядит так: v = l /t , a = v /t , F = ma = ml /t 2 . Представленные формулы показывают «размерность» рассматриваемых величин, устанавливая соотношения между единицами. (Аналогичные формулы позволяют определить единицы для таких величин, как давление или сила электрического тока.) Такие соотношения носят общий характер и выполняются независимо от того, в каких единицах (метр, фут или аршин) измеряется длина и какие единицы выбраны для других величин.

В технике за основную единицу измерения механических величин обычно принимают не единицу массы, а единицу силы. Таким образом, если в системе, наиболее употребительной в физических исследованиях, металлический цилиндр принимается за эталон массы, то в технической системе он рассматривается как эталон силы, уравновешивающей действующую на него силу тяжести. Но поскольку сила тяжести неодинакова в разных точках на поверхности Земли, для точной реализации эталона необходимо указание местоположения. Исторически было принято местоположение на уровне моря на географической широте 45° . В настоящее же время такой эталон определяется как сила, необходимая для того, чтобы придать указанному цилиндру определенное ускорение. Правда, в технике измерения проводятся, как правило, не со столь высокой точностью, чтобы нужно было заботиться о вариациях силы тяжести (если речь не идет о градуировке измерительных приборов).

Немало путаницы связано с понятиями массы, силы и веса. Дело в том, что существуют единицы всех этих трех величин, носящие одинаковые названия. Масса – это инерционная характеристика тела, показывающая, насколько трудно выводится оно внешней силой из состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения. Единица силы есть сила, которая, воздействуя на единицу массы, изменяет ее скорость на единицу скорости в единицу времени.

Все тела притягиваются друг к другу. Таким образом, всякое тело вблизи Земли притягивается к ней. Иначе говоря, Земля создает действующую на тело силу тяжести. Эта сила называется его весом. Сила веса, как указывалось выше, неодинакова в разных точках на поверхности Земли и на разной высоте над уровнем моря из-за различий в гравитационном притяжении и в проявлении вращения Земли. Однако полная масса данного количества вещества неизменна; она одинакова и в межзвездном пространстве, и в любой точке на Земле.

Точные эксперименты показали, что сила тяжести, действующая на разные тела (т.е. их вес), пропорциональна их массе. Следовательно, массы можно сравнивать на весах, и массы, оказавшиеся одинаковыми в одном месте, будут одинаковы и в любом другом месте (если сравнение проводить в вакууме, чтобы исключить влияние вытесняемого воздуха). Если же некое тело взвешивать на пружинных весах, уравновешивая силу тяжести силой растянутой пружины, то результаты измерения веса будут зависеть от места, где проводятся измерения. Поэтому пружинные весы нужно корректировать на каждом новом месте, чтобы они правильно показывали массу. Простота же самой процедуры взвешивания явилась причиной того, что сила тяжести, действующая на эталонную массу, была принята за независимую единицу измерения в технике. ТЕПЛОТА.

Метрическая система единиц.

Метрическая система – это общее название международной десятичной системы единиц, основными единицами которой являются метр и килограмм. При некоторых различиях в деталях элементы системы одинаковы во всем мире.

История.

Метрическая система выросла из постановлений, принятых Национальным собранием Франции в 1791 и 1795 по определению метра как одной десятимиллионной доли участка земного меридиана от Северного полюса до экватора.

Декретом, изданным 4 июля 1837, метрическая система была объявлена обязательной к применению во всех коммерческих сделках во Франции. Она постепенно вытеснила местные и национальные системы в других странах Европы и была законодательно признана как допустимая в Великобритании и США. Соглашением, подписанным 20 мая 1875 семнадцатью странами, была создана международная организация, призванная сохранять и совершенствовать метрическую систему.

Ясно, что, определяя метр как десятимиллионную долю четверти земного меридиана, создатели метрической системы стремились добиться инвариантности и точной воспроизводимости системы. За единицу массы они взяли грамм, определив его как массу одной миллионной кубического метра воды при ее максимальной плотности. Поскольку было бы не очень удобно проводить геодезические измерения четверти земного меридиана при каждой продаже метра ткани или уравновешивать корзинку картофеля на рынке соответствующим количеством воды, были созданы металлические эталоны, с предельной точностью воспроизводящие указанные идеальные определения.

Вскоре выяснилось, что металлические эталоны длины можно сравнивать друг с другом, внося гораздо меньшую погрешность, чем при сравнении любого такого эталона с четвертью земного меридиана. Кроме того, стало ясно, что и точность сравнения металлических эталонов массы друг с другом гораздо выше точности сравнения любого подобного эталона с массой соответствующего объема воды.

В связи с этим Международная комиссия по метру в 1872 постановила принять за эталон длины «архивный» метр, хранящийся в Париже, «такой, каков он есть». Точно так же члены Комиссии приняли за эталон массы архивный платино-иридиевый килограмм, «учитывая, что простое соотношение, установленное создателями метрической системы, между единицей веса и единицей объема представляется существующим килограммом с точностью, достаточной для обычных применений в промышленности и торговле, а точные науки нуждаются не в простом численном соотношении подобного рода, а в предельно совершенном определении этого соотношения». В 1875 многие страны мира подписали соглашение о метре, и этим соглашением была установлена процедура координации метрологических эталонов для мирового научного сообщества через Международное бюро мер и весов и Генеральную конференцию по мерам и весам.

Новая международная организация незамедлительно занялась разработкой международных эталонов длины и массы и передачей их копий всем странам-участницам.

Эталоны длины и массы, международные прототипы.

Международные прототипы эталонов длины и массы – метра и килограмма – были переданы на хранение Международному бюро мер и весов, расположенному в Севре – пригороде Парижа. Эталон метра представлял собой линейку из сплава платины с 10% иридия, поперечному сечению которой для повышения изгибной жесткости при минимальном объеме металла была придана особая X-образная форма. В канавке такой линейки была продольная плоская поверхность, и метр определялся как расстояние между центрами двух штрихов, нанесенных поперек линейки на ее концах, при температуре эталона, равной 0° С. За международный прототип килограмма была принята масса цилиндра, сделанного из того же платино-иридиевого сплава, что и эталон метра, высотой и диаметром около 3,9 см. Вес этой эталонной массы, равной 1 кг на уровне моря на географической широте 45° , иногда называют килограмм-силой. Таким образом, ее можно использовать либо как эталон массы для абсолютной системы единиц, либо как эталон силы для технической системы единиц, в которой одной из основных единиц является единица силы.

Международные прототипы были выбраны из значительной партии одинаковых эталонов, изготовленных одновременно. Другие эталоны этой партии были переданы всем странам-участницам в качестве национальных прототипов (государственных первичных эталонов), которые периодически возвращаются в Международное бюро для сравнения с международными эталонами. Сравнения, проводившиеся в разное время с тех пор, показывают, что они не обнаруживают отклонений (от международных эталонов), выходящих за пределы точности измерений.

Международная система СИ.

Метрическая система была весьма благосклонно встречена учеными 19 в. частично потому, что она предлагалась в качестве международной системы единиц, частично же по той причине, что ее единицы теоретически предполагались независимо воспроизводимыми, а также благодаря ее простоте. Ученые начали выводить новые единицы для разных физических величин, с которыми они имели дело, основываясь при этом на элементарных законах физики и связывая эти единицы с единицами длины и массы метрической системы. Последняя все больше завоевывала различные европейские страны, в которых ранее имело хождение множество не связанных друг с другом единиц для разных величин.

Хотя во всех странах, принявших метрическую систему единиц, эталоны метрических единиц были почти одинаковы, возникли различные расхождения в производных единицах между разными странами и разными дисциплинами. В области электричества и магнетизма появились две отдельные системы производных единиц: электростатическая, основанная на силе, с которой действуют друг на друга два электрических заряда, и электромагнитная, основанная на силе взаимодействия двух гипотетических магнитных полюсов.

Положение еще более усложнилось с появлением системы т.н. практических электрических единиц, введенной в середине 19 в. Британской ассоциацией содействия развитию науки для удовлетворения запросов быстро развивающейся техники проводной телеграфной связи. Такие практические единицы не совпадают с единицами обеих названных выше систем, но от единиц электромагнитной системы отличаются лишь множителями, равными целым степеням десяти.

Таким образом, для столь обычных электрических величин, как напряжение, ток и сопротивление, существовало несколько вариантов принятых единиц измерения, и каждому научному работнику, инженеру, преподавателю приходилось самому решать, каким из этих вариантов ему лучше пользоваться. В связи с развитием электротехники во второй половине 19 и первой половине 20 вв. находили все более широкое применение практические единицы, которые стали в конце концов доминировать в этой области.

Для устранения такой путаницы в начале 20 в. было выдвинуто предложение объединить практические электрические единицы с соответствующими механическими, основанными на метрических единицах длины и массы, и построить некую согласованную (когерентную) систему. В 1960 XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла единую Международную систему единиц (СИ), дала определение основных единиц этой системы и предписала употребление некоторых производных единиц, «не предрешая вопроса о других, которые могут быть добавлены в будущем». Тем самым впервые в истории международным соглашением была принята международная когерентная система единиц. В настоящее время она принята в качестве законной системы единиц измерения большинством стран мира.

Международная система единиц (СИ) представляет собой согласованную систему, в которой для любой физической величины, такой, как длина, время или сила, предусматривается одна и только одна единица измерения. Некоторым из единиц даны особые названия, примером может служить единица давления паскаль, тогда как названия других образуются из названий тех единиц, от которых они произведены, например единица скорости – метр в секунду. Основные единицы вместе с двумя дополнительными геометрического характера представлены в табл. 1. Производные единицы, для которых приняты особые названия, даны в табл. 2. Из всех производных механических единиц наиболее важное значение имеют единица силы ньютон, единица энергии джоуль и единица мощности ватт. Ньютон определяется как сила, которая придает массе в один килограмм ускорение, равное одному метру за секунду в квадрате. Джоуль равен работе, которая совершается, когда точка приложения силы, равной одному ньютону, перемещается на расстояние один метр в направлении действия силы. Ватт – это мощность, при которой работа в один джоуль совершается за одну секунду. Об электрических и других производных единицах будет сказано ниже. Официальные определения основных и дополнительных единиц таковы.

Метр – это длина пути, проходимого в вакууме светом за 1/299 792 458 долю секунды. Это определение было принято в октябре 1983.

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма.

Секунда – продолжительность 9 192 631 770 периодов колебаний излучения, соответствующего переходам между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома цезия-133.

Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.

Моль равен количеству вещества, в составе которого содержится столько же структурных элементов, сколько атомов в изотопе углерода-12 массой 0,012 кг.

Радиан – плоский угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на ее поверхности площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Для образования десятичных кратных и дольных единиц предписывается ряд приставок и множителей, указываемых в табл. 3.

Таблица 3. ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ СИ
экса			деци
пета			санти
тера			милли
гига			микро	мк
мега			нано
кило			пико
гекто			фемто
дека	да		атто

Таким образом, километр (км) – это 1000 м, а миллиметр – 0,001 м. (Эти приставки применимы ко всем единицам, как, например, в киловаттах, миллиамперах и т.д.)

Первоначально предполагалось, что одной из основных единиц должен быть грамм, и это отразилось в названиях единиц массы, но в настоящее время основной единицей является килограмм. Вместо названия мегаграмм употребляется слово «тонна». В физических дисциплинах, например для измерения длины волны видимого или инфракрасного света, часто применяется миллионная доля метра (микрометр). В спектроскопии длины волн часто выражают в ангстремах (Å); ангстрем равен одной десятой нанометра, т.е. 10 - 10 м. Для излучений с меньшей длиной волны, например рентгеновского, в научных публикациях допускается пользоваться пикометром и икс-единицей (1 икс-ед. = 10 –13 м). Объем, равный 1000 кубических сантиметров (одному кубическому дециметру), называется литром (л).

Масса, длина и время.

Все основные единицы системы СИ, кроме килограмма, в настоящее время определяются через физические константы или явления, которые считаются неизменными и с высокой точностью воспроизводимыми. Что же касается килограмма, то еще не найден способ его реализации с той степенью воспроизводимости, которая достигается в процедурах сравнения различных эталонов массы с международным прототипом килограмма. Такое сравнение можно проводить путем взвешивания на пружинных весах, погрешность которых не превышает 1Ч 10 –8 . Эталоны кратных и дольных единиц для килограмма устанавливаются комбинированным взвешиванием на весах.

Поскольку метр определяется через скорость света, его можно воспроизводить независимо в любой хорошо оборудованной лаборатории. Так, интерференционным методом штриховые и концевые меры длины, которыми пользуются в мастерских и лабораториях, можно проверять, проводя сравнение непосредственно с длиной волны света. Погрешность при таких методах в оптимальных условиях не превышает одной миллиардной (1Ч 10 –9). С развитием лазерной техники подобные измерения весьма упростились, и их диапазон существенно расширился.

Точно так же секунда в соответствии с ее современным определением может быть независимо реализована в компетентной лаборатории на установке с атомным пучком. Атомы пучка возбуждаются высокочастотным генератором, настроенным на атомную частоту, и электронная схема измеряет время, считая периоды колебаний в цепи генератора. Такие измерения можно проводить с точностью порядка 1Ч 10 –12 – гораздо более высокой, чем это было возможно при прежних определениях секунды, основанных на вращении Земли и ее обращении вокруг Солнца. Время и его обратная величина – частота – уникальны в том отношении, что их эталоны можно передавать по радио. Благодаря этому всякий, у кого имеется соответствующее радиоприемное оборудование, может принимать сигналы точного времени и эталонной частоты, почти не отличающиеся по точности от передаваемых в эфир.

Механика.

Температура и теплота.

Механические единицы не позволяют решать все научные и технические задачи без привлечения каких-либо других соотношений. Хотя работа, совершаемая при перемещении массы против действия силы, и кинетическая энергия некой массы по своему характеру эквивалентны тепловой энергии вещества, удобнее рассматривать температуру и теплоту как отдельные величины, не зависящие от механических.

Термодинамическая шкала температуры.

Единица термодинамической температуры Кельвина (К), называемая кельвином, определяется тройной точкой воды, т.е. температурой, при которой вода находится в равновесии со льдом и паром. Эта температура принята равной 273,16 К, чем и определяется термодинамическая шкала температуры. Данная шкала, предложенная Кельвином, основана на втором начале термодинамики. Если имеются два тепловых резервуара с постоянной температурой и обратимая тепловая машина, передающая тепло от одного из них другому в соответствии с циклом Карно, то отношение термодинамических температур двух резервуаров дается равенством T 2 /T 1 = –Q 2 Q 1 , где Q 2 и Q 1 – количества теплоты, передаваемые каждому из резервуаров (знак «минус» говорит о том, что у одного из резервуаров теплота отбирается). Таким образом, если температура более теплого резервуара равна 273,16 К, а теплота, отбираемая у него, вдвое больше теплоты, передаваемой другому резервуару, то температура второго резервуара равна 136,58 К. Если же температура второго резервуара равна 0 К, то ему вообще не будет передана теплота, поскольку вся энергия газа была преобразована в механическую энергию на участке адиабатического расширения в цикле. Эта температура называется абсолютным нулем . Термодинамическая температура, используемая обычно в научных исследованиях, совпадает с температурой, входящей в уравнение состояния идеального газа PV = RT , где P – давление, V – объем и R – газовая постоянная. Уравнение показывает, что для идеального газа произведение объема на давление пропорционально температуре. Ни для одного из реальных газов этот закон точно не выполняется. Но если вносить поправки на вириальные силы, то расширение газов позволяет воспроизводить термодинамическую шкалу температуры.

Международная температурная шкала.

В соответствии с изложенным выше определением температуру можно с весьма высокой точностью (примерно до 0,003 К вблизи тройной точки) измерять методом газовой термометрии. В теплоизолированную камеру помещают платиновый термометр сопротивления и резервуар с газом. При нагревании камеры увеличивается электросопротивление термометра и повышается давление газа в резервуаре (в соответствии с уравнением состояния), а при охлаждении наблюдается обратная картина. Измеряя одновременно сопротивление и давление, можно проградуировать термометр по давлению газа, которое пропорционально температуре. Затем термометр помещают в термостат, в котором жидкая вода может поддерживаться в равновесии со своими твердой и паровой фазами. Измерив его электросопротивление при этой температуре, получают термодинамическую шкалу, поскольку температуре тройной точки приписывается значение, равное 273,16 К.

Существуют две международные температурные шкалы – Кельвина (К) и Цельсия (С). Температура по шкале Цельсия получается из температуры по шкале Кельвина вычитанием из последней 273,15 К.

Точные измерения температуры методом газовой термометрии требуют много труда и времени. Поэтому в 1968 была введена Международная практическая температурная шкала (МПТШ). Пользуясь этой шкалой, термометры разных типов можно градуировать в лаборатории. Данная шкала была установлена при помощи платинового термометра сопротивления, термопары и радиационного пирометра, используемых в температурных интервалах между некоторыми парами постоянных опорных точек (температурных реперов). МПТШ должна была с наибольшей возможной точностью соответствовать термодинамической шкале, но, как выяснилось позднее, ее отклонения весьма существенны.

Температурная шкала Фаренгейта.

Температурную шкалу Фаренгейта, которая широко применяется в сочетании с британской технической системой единиц, а также в измерениях ненаучного характера во многих странах, принято определять по двум постоянным опорным точкам – температуре таяния льда (32° F) и кипения воды (212° F) при нормальном (атмосферном) давлении. Поэтому, чтобы получить температуру по шкале Цельсия из температуры по шкале Фаренгейта, нужно вычесть из последней 32 и умножить результат на 5/9.

Единицы теплоты.

Поскольку теплота есть одна из форм энергии, ее можно измерять в джоулях, и эта метрическая единица была принята международным соглашением. Но поскольку некогда количество теплоты определяли по изменению температуры некоторого количества воды, получила широкое распространение единица, называемая калорией и равная количеству теплоты, необходимому для того, чтобы повысить температуру одного грамма воды на 1° С. В связи с тем что теплоемкость воды зависит от температуры, пришлось уточнять величину калории. Появились по крайней мере две разные калории – «термохимическая» (4,1840 Дж) и «паровая» (4,1868 Дж). «Калория», которой пользуются в диететике, на самом деле есть килокалория (1000 калорий). Калория не является единицей системы СИ, и в большинстве областей науки и техники она вышла из употребления.

Электричество и магнетизм.

Все общепринятые электрические и магнитные единицы измерения основаны на метрической системе. В согласии с современными определениями электрических и магнитных единиц все они являются производными единицами, выводимыми по определенным физическим формулам из метрических единиц длины, массы и времени. Поскольку же большинство электрических и магнитных величин не так-то просто измерять, пользуясь упомянутыми эталонами, было сочтено, что удобнее установить путем соответствующих экспериментов производные эталоны для некоторых из указанных величин, а другие измерять, пользуясь такими эталонами.

Единицы системы СИ.

Ниже дается перечень электрических и магнитных единиц системы СИ.

Ампер, единица силы электрического тока, – одна из шести основных единиц системы СИ. Ампер – сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины с ничтожно малой площадью кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2Ч 10 - 7 Н.

Вольт, единица разности потенциалов и электродвижущей силы. Вольт – электрическое напряжение на участке электрической цепи с постоянным током силой 1 А при затрачиваемой мощности 1 Вт.

Кулон, единица количества электричества (электрического заряда). Кулон – количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника при постоянном токе силой 1 А за время 1 с.

Фарада, единица электрической емкости. Фарада – емкость конденсатора, на обкладках которого при заряде 1 Кл возникает электрическое напряжение 1 В.

Генри, единица индуктивности. Генри равен индуктивности контура, в котором возникает ЭДС самоиндукции в 1 В при равномерном изменении силы тока в этом контуре на 1 А за 1 с.

Вебер, единица магнитного потока. Вебер – магнитный поток, при убывании которого до нуля в сцепленном с ним контуре, имеющем сопротивление 1 Ом, протекает электрический заряд, равный 1 Кл.

Тесла, единица магнитной индукции. Тесла – магнитная индукция однородного магнитного поля, в котором магнитный поток через плоскую площадку площадью 1 м 2 , перпендикулярную линиям индукции, равен 1 Вб.

Практические эталоны.

Свет и освещенность.

Единицы силы света и освещенности нельзя определить на основе только механических единиц. Можно выразить поток энергии в световой волне в Вт/м 2 , а интенсивность световой волны – в В/м, как в случае радиоволн. Но восприятие освещенности есть психофизическое явление, в котором существенна не только интенсивность источника света, но и чувствительность человеческого глаза к спектральному распределению этой интенсивности.

Международным соглашением за единицу силы света принята кандела (ранее называвшаяся свечой), равная силе света в данном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частоты 540Ч 10 12 Гц (l = 555 нм), энергетическая сила светового излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср. Это примерно соответствует силе света спермацетовой свечи, которая когда-то служила эталоном.

Если сила света источника равна одной канделе во всех направлениях, то полный световой поток равен 4 p люменов. Таким образом, если этот источник находится в центре сферы радиусом 1 м, то освещенность внутренней поверхности сферы равна одному люмену на квадратный метр, т.е. одному люксу.

Рентгеновское и гамма-излучение, радиоактивность.

Рентген (Р) – это устаревшая единица экспозиционной дозы рентгеновского, гамма- и фотонного излучений, равная количеству излучения, которое с учетом вторичноэлектронного излучения образует в 0,001 293 г воздуха ионы, несущие заряд, равный одной единице заряда СГС каждого знака. В системе СИ единицей поглощенной дозы излучения является грэй, равный 1 Дж/кг. Эталоном поглощенной дозы излучения служит установка с ионизационными камерами, которые измеряют ионизацию, производимую излучением.