Cтраница 1
Римская система счисления является примером системы с очень сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций.
Римская система счисления неудобна в пользовании и в настоящее время почти не применяется.
Римская система счисления — не позиционная, поскольку значение числа не зависит от положения цифры в ряду цифр.
Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое. Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения.
В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.
Примером непозиционной системы может служить римская система счисления, которая сохранилась до наших дней.
Так, например, в римской системе счисления число XXX содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.
Более сложной непозиционной системой счисления является римская система счисления. В этой системе используются принципы не только сложения, но и вычитания. Если цифра, имеющая меньший количественный эквивалент, располагается справа от цифры с большим количественным эквивалентом, то их количественные эквиваленты складываются, если слева, то вычитаются.
До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем — римская система счисления.
В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит и изменяется от ее положения в записи числа. К непозиционным относится римская система счисления, в которой значение цифры не зависит от места ее расположения в числе.
В римской системе счисления каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, т.е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Таким образом, римская система счисления не является позиционной системой счисления.
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Так, например, десятичная система счисления является позиционной, а римская система счисления непозиционной.
Непозиционной системой счисления называют такую систему, в которой количественный эквивалент цифры не зависит от ее месторасположения в записи числа. Примером непозиционной системы счисления, основанной на принципе сложения и вычитания, является общеизвестная римская система счисления, которая практического применения почти не имеет и в дальнейшем не рассматривается.
21-й XXI20-й XX19-й XIX18-й XVIII17-й XVII16-й XVI15-й XV14-й XIV13-й XIII12-й XII11-й XI10-й X9-й IX8-й VIII7-й VII6-й VI5-йV4-йIV3-йIII2-йII1-й I
Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.
Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.
Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей).Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).
В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).
Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.
На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.
По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.
Цифры
ЧислоРимскоеобозначение1I5V10X50L100C500D1000M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
Примеры
ЧислоРимское обозначение0отсутствует4IV (иногда IIII)8VIII9IX31XXXI46XLVI99IC666DCLXVI1668MDCLXVIII1989MCMLXXXIX3999MMMCMXCIX2009MMIX
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
- 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
- 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
- 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке , до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV» , главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Применение
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.
- Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
- Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
- Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
- В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
- Маркировка циферблатов часов «под старину».
- Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война , XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Расширение
Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы [кто?] расширенные римские цифры .
Юникод
Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms), в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму : Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥ ), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.
Римские цифры в ЮникодКод0123456789ABCDEFЗначение123456789101112501005001 000U+2160Ⅰ 2160Ⅱ 2161Ⅲ 2162Ⅳ 2163Ⅴ 2164Ⅵ 2165Ⅶ 2166Ⅷ 2167Ⅸ 2168Ⅹ 2169Ⅺ 216AⅫ 216BⅬ 216CⅭ 216DⅮ 216EⅯ 216FU+2170ⅰ 2170ⅱ 2171ⅲ 2172ⅳ 2173ⅴ 2174ⅵ 2175ⅶ 2176ⅷ 2177ⅸ 2178ⅹ 2179ⅺ 217Aⅻ 217Bⅼ 217Cⅽ 217Dⅾ 217Eⅿ 217FЗначение1 0005 00010 000––65050 000100 000U+2160! U+2180ↀ 2180ↁ 2181ↂ 2182Ↄↄↄↄↄↄ
Символы в диапазоне U+2160-217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и
Замечание 1
Данная система относится к непозиционной системе счисления, использующей для записи чисел буквы латинского алфавита.
Обозначение чисел
Обозначение чисел в Древнем Риме напоминало первый способ греческой нумерации. Римлянами были приняты специальные обозначения не только для чисел $1$, $10$, $100$ и $1000$, но и для чисел $5$, $50$ и $500$. Римские цифры выглядели следующим образом:
Рисунок 1.
Представленные в таблице семь чисел называли узловыми и с их помощью можно было записывать любые многозначные числа. Изначально написание римских цифр несколько отличалось от тех цифр, которыми мы привыкли оперировать в настоящее время. Их внешний вид со временем претерпел небольшие изменения.
По поводу происхождения римских цифр ученые до сих пор ведут споры. Существует несколько взглядов на данную проблему.Если присмотреться внимательнее к цифрам $1$, $5$ и $10$, то можно заметить, на что они похожи:
знак $I$ – на палочку;
знак $V$ — на раскрытую руку;
$X$ – на две скрещенные руки.
Но существует и другое объяснение этому факту.
Изначально числа от $1$ до $9$ изображались соответствующим количеством вертикальных палочек. Для изображения десятка делали следующее: нарисовав $9$ палочек, десятой их перечеркивали. Чтобы не писать много палочек, перечеркивали одну. Так появилось изображение знака $X$. Изображение же знака $V$ (число $5$) получили путем разрезания знака $X$ (число $10$) пополам. В свою очередь, соседний с римлянами народ этруски, который был завоеван Римской империей, употреблял для написания числа $5$ нижнюю часть символа $X$, а сами римляне использовали верхнюю.
При обозначении числа $100$ перечеркивали палочку дважды или использовали изображение кружка с точкой внутри. Очевидно, $50$ обозначалось половиной этого знака.
Не утихают и споры ученых по поводу происхождения других римских цифр, Вероятнее всего, обозначения $C$ и $M$ связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли «милле» (слово «миля» когда-то обозначало путь в тысячу шагов).
Замечание 2
Для легкого запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания используют мнемоническое правило:
$M$ы $D$арим $C$очные $L$имоны, $X$ватит $V$сем $I$х
Что соответствует $M, D, C, L, X, V, I$.
Правила записи чисел
При обозначении цифр римляне записывали такое их количество, чтобы их сумма достигала требуемого числа. Например, число $8$ они записывали как $VIII$, а число $382$ как: $CCCLXXXII$. При написании данного числа можно отметить, что в начале пишутся большие цифры, а только потом маленькие.
Однако иногда римляне делали обратное, т.е. меньшую цифру ставили перед большей, это значило, что требуется не складывать, а вычитать.
Пример 1
Например, число $4$ обозначалось $IV$ (без одного пять), а число $9 – IX$ (без одного десять). Запись $XC$ обозначала $90$ (без одного сто). Перед цифрой, большей по значению, могла стоять только одна цифра, меньшего значения ($IV$ – верная запись числа, $IIV$ – неверная запись).
Если рядом стояли две одинаковые цифры, то их значения складывались. Например: $CC – 200$, $XX – 20$. Причем, одна и та же цифра не могла быть написана подряд более трех раз.
В любом числе одни и те же цифры $V$, $L$, $D$ не могли использоваться отдельно друг от друга более одного раза ($DC$ и $DL$ – верная запись чисел, $VV$ – неверная запись числа).
Другим правилом является то, что если перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то последняя может быть представлена только одной из цифр $I$, $X$, $C$ ($IX$ – верная запись числа, $VX$ – неверная запись).
Если же перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то после большей цифры в этой паре может стоять цифра, имеющая значение меньше того, которое имеет меньшая цифра пары ($CDX$ – верная запись числа, $CDC$ – неверная запись).
Если цифра упоминалась в числе как меньшая, находящаяся перед большей, то она не могла использоваться ещё раз (если читать слева направо) в этом числе, кроме тех ситуаций, когда она выступала в роли большей цифры, следующей за меньшей ($CDXC$ – верная запись числа, $CDCC$ — неверная запись).
В случае, когда за цифрой с большим значением следовала цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом являлся отрицательным. Примеры, которые иллюстрируют общие правила написания чисел в римской системе счисления, приведены в таблице:
Рисунок 2.
Самое большое число, которое могли обозначить римляне, было $100000$. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова «сотен тысяч» опускались. Запись означала $10$ тыс. сотен, т.е. миллион.
Мы привели несколько правил написания чисел, которые использовались в римской системе счисления. Так что, если вы теперь, путешествуя где-то в Европе, заметите на старинном здании надпись римскими цифрами $MDCCCXLIV$, то легко сможете определить, что он построен в $1844$ году.
Правила выполнения арифметических операций с числами
Сложение и вычитание.
Сложить два римских числа достаточно просто. Например:
$XIX + XXVI = XXXV$
Сложение выполняется в следующей последовательности:
а) $IX + VI = XV$ ($I$ после $V$ «уничтожает» $I$ перед $X$);
б) $X + XX = XXX$ (при добавлении еще одного $X$, получаем $XXXX$, или $XL$).
Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Например, для вычитания из $500$ числа $263$ уменьшаемое число необходимо для начала разложить на более мелкие составляющие, а затем сократить повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки:
$D — CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII — CCLXIII = CCXXXVII$
Умножение.
С умножением дело обстояло гораздо сложнее.
Допустим, требовалось умножить $126$ на $37$ (у римлян знаков действий не было, названия действий писали словами).
$CXXVI cdot XXXVII$
Приходилось умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения.
Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.
Деление.
Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак (древние счеты). Только высоко образованные люди умели и могли работать с ним.
Использование римской системы счисления
Хотя римская нумерация была не совсем удобной, однако она распространилась по всей ойкумене – так называли древние греки известный им обитаемый мир. Римляне – это завоеватели, они поработили и подчинили себе многие страны, что привело к росту их империи. С порабощенных народов они собирали огромные налоги, а для этого им необходимо было пользоваться обозначениями чисел. Поэтому жителям этих стран приходилось, проклиная своих поработителей, учить римскую нумерацию. И даже после крушения Римской империи, в деловых бумагах Западной Европы осталась применяться эта неудобная нумерация. Неудобна она тем, что выполнять арифметические действия с многозначными числами в этой системе тяжело. И все-таки римская нумерация использовалась в Италии до $13$ века, а в других странах Западной Европы до $16$ века.
Недостатком римской системы счисления стало то, что у нее отсутствуют формальные правила записи чисел и, соответственно, правила арифметических действий с многозначными числами. В связи с тем, что система не совсем удобна и сложна, в настоящее время мы ее используем только там, где это действительно удобно: для нумерации глав и томов в литературе, для определения веков и порядковых номеров монархов в истории, при оформлении ценных бумаг, для маркировки циферблата часов и в ряде других случаев.
Римскаясистема нумерации с помощью букв былараспространена в Древнем Риме и Европена протяжении двух тысяч лет. Только впозднем средневековье ее сменила болееудобная для вычислений десятичнаясистема цифр, заимствованная у арабов(1,2,3,4,5…).
Но,до сих пор римскими цифрами обозначаютсядаты на монументах, время на часах и (вангло-американской типографическойтрадиции) страницы книжных предисловий,размеры одежды, главы монографий иучебников. Кроме того, в русском языкеримскими цифрами принято обозначатьпорядковые числительные. Система Римскихцифр в настоящее время применяется приобозначения веков (XV век и т.д.), годовн. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указаниидат (например, 1. V.1975), в историческихпамятниках права как номера статей(Каролина и др)
Дляобозначения чисел применялось 7 буквлатинского алфавита (первая буква слов– пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот,тысяча):
I= 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000
С(100) -это первая буква латинского словаcentum (сто)
аМ — (1000) — на первую букву слова mille (тысяча).
Чтоже касается знака D (500), то он представлялсобой половину знака Ф (1000)
ЗнакV (5) является верхней половиной знака Х(10)
Промежуточныечисла образовывались путем прибавлениянескольких букв справа или слева. Сначалапишутся тысячи и сотни, затем десяткии единицы. Таким образом, число 24 пишетсякак XXIV
Натуральныечисла записываются при помощи повторенияэтих цифр.
Приэтом, если большая цифра стоит передменьшей, то они складываются (принципсложения), если же меньшая — перед большей,то меньшая вычитается из большей (принципвычитания).
Другимисловами — если знак, обозначающий меньшеечисло, стоит справа от знака, обозначающегобольшее число, то меньшее прибавляют кбольшему; если слева — то вычитают:VI- 6, т.е. 5+1IV — 4, т.е. 5-1LX — 60, т.е. 50+10XL- 40, т.е. 50-10CX — 110, т.е.100+10XC — 90, т.е.100-10MDCCCXII — 1812, т.е. 1000+500+100+100+100+10+1+1
Последнееправило применяется только во избежаниечетырёхкратного повторения одной и тойже цифры. Воизбежание 4-х кратного повторения число3999 записывается как MMMIM.
Возможноразличное обозначение одного и того жечисла. Так, число 80 можно представитькак LXXX (50+10+10+10) и как XXC(100-20).
Например,I, Х, С ставятся соответственно перед Х,С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V,L, D для обозначения 4, 40, 400.
Например,VI = 5+1 = 6, IV = 5 — 1 = 4 (вместо IIII).
XIX= 10 + 10 — 1 = 19 (вместо XVIIII),
XL= 50 — 10 =40 (вместо XXXX),
XXXIII= 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.
Римские цифры
MCMLXXXIV
Примечание:
Основныеримские цифры:I(1) — unus (унус)II(2) — duo(дуо)III(3) — tres (трэс)IV(4) — quattuor(кваттуор)V(5) — quinque (квинквэ)VI(6) — sex(сэкс)VII (7) — septem (сэптэм)VIII (8) — octo(окто)IX (9) — novem (новэм)X (10) — decem (дэцем)и т.д.XX (20) — viginti (вигинти)XXI (21) -unus et viginti или viginti unusXXII (22) — duo et viginti илиviginti duo и т.д.XXVIII (28) — duodetriginta(дуодэтригинта)XXIX (29) — undetriginta(ундэтригинта)XXX (30) — triginta (тригинта)XL(40) — quadraginta (квадрагинта)L (50) — quinquaginta(квинквагинта)LX (60) — sexaginta (сэксагинта)LXX(70) — septuaginta (сэптуагинта)LXXX (80) — octoginta(октогинтна)XC (90) — nonaginta (нонагинта)C(100) — centum (центум)CC (200) — ducenti (дуценти)CCC(300) — trecenti (трэценти)CD (400) — quadrigenti(квадригэнти)D (500) — quingenti (квингэнти)DC(600) — sexcenti (сэксценти)DCC (700) — septigenti(сэптигэнти)DCCC(800) — octingenti (октигенти)CM(DCCCC) (900) — nongenti (нонгэнти)M (1000) — mille(милле)MM (2000) — duo milia (дуо милиа)V (5000)- quinque milia (квинквэ милиа)X (10000) — decemmilia (дэцем милиа)XX (20000) — viginti milia (вигинтимилиа)C (1000000) — centum milia (центум милиа)XI(1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа)»