1 Ένα παραλληλόγραμμο έχει αντίθετες γωνίες. Ορισμός παραλληλογράμμου και ιδιότητές του

Περίληψη μαθήματος.

Άλγεβρα 8η τάξη

Δάσκαλος Sysoy A.K.

Σχολείο 1828

Θέμα μαθήματος: "Παραλληλόγραμμο και οι ιδιότητές του"

Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο

Στόχοι μαθήματος:

1) Εξασφαλίστε την αφομοίωση μιας νέας έννοιας - ενός παραλληλογράμμου και των ιδιοτήτων του

2) Συνεχίστε να αναπτύσσετε τις δεξιότητες και τις ικανότητες για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

3) Ανάπτυξη κουλτούρας μαθηματικού λόγου

Πλάνο μαθήματος:

1. Οργανωτική στιγμή

(Διαφάνεια 1)

Η διαφάνεια δείχνει μια δήλωση του Lewis Carroll. Οι μαθητές ενημερώνονται για το σκοπό του μαθήματος. Ελέγχεται η ετοιμότητα των μαθητών για το μάθημα.

2. Επικαιροποίηση γνώσεων

(Διαφάνεια 2)

Στον πίνακα υπάρχουν εργασίες για προφορική εργασία. Ο δάσκαλος καλεί τους μαθητές να σκεφτούν αυτά τα προβλήματα και να σηκώσουν τα χέρια τους σε όσους καταλαβαίνουν πώς να λύσουν το πρόβλημα. Μετά την επίλυση δύο προβλημάτων, ένας μαθητής καλείται στον πίνακα να αποδείξει το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών, ο οποίος κάνει ανεξάρτητα πρόσθετες κατασκευές στο σχέδιο και αποδεικνύει το θεώρημα προφορικά.

Οι μαθητές χρησιμοποιούν τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου:

3. Κύριο μέρος

(Διαφάνεια 3)

Ορισμός παραλληλογράμμου στον πίνακα. Ο δάσκαλος μιλάει για νέα φιγούρακαι διατυπώνει έναν ορισμό, κάνοντας τις απαραίτητες εξηγήσεις με τη βοήθεια ενός σχεδίου. Στη συνέχεια, στο καρό μέρος της παρουσίασης, χρησιμοποιώντας μαρκαδόρο και χάρακα, δείχνει πώς σχεδιάζεται ένα παραλληλόγραμμο (είναι δυνατές αρκετές περιπτώσεις)

(Διαφάνεια 4)

Ο δάσκαλος διατυπώνει την πρώτη ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου. Καλεί τους μαθητές να πουν από το σχέδιο τι δίνεται και τι πρέπει να αποδειχθεί. Μετά από αυτό, η δεδομένη εργασία εμφανίζεται στον πίνακα. Οι μαθητές μαντεύουν (ίσως με τη βοήθεια του δασκάλου) ότι οι απαιτούμενες ισότητες πρέπει να αποδειχθούν μέσω των ισοτήτων τριγώνων, οι οποίες μπορούν να ληφθούν σχεδιάζοντας μια διαγώνιο (εμφανίζεται μια διαγώνιος στον πίνακα). Στη συνέχεια, οι μαθητές μαντεύουν γιατί τα τρίγωνα είναι ίσα και ονομάζουν το σύμβολο ότι τα τρίγωνα είναι ίσα (εμφανίζεται το αντίστοιχο σχήμα). Κοινοποιούν προφορικά τα γεγονότα που είναι απαραίτητα για να γίνουν τα τρίγωνα ίσα (όπως τα ονομάζουν, εμφανίζεται μια αντίστοιχη οπτικοποίηση). Στη συνέχεια, οι μαθητές διατυπώνουν την ιδιότητα των ομοίων τριγώνων, εμφανίζεται ως το σημείο 3 της απόδειξης και στη συνέχεια συμπληρώνουν ανεξάρτητα την απόδειξη του θεωρήματος προφορικά.

(Διαφάνεια 5)

Ο δάσκαλος διατυπώνει τη δεύτερη ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου. Στον πίνακα εμφανίζεται ένα σχέδιο παραλληλογράμμου. Ο δάσκαλος προτείνει να χρησιμοποιήσετε την εικόνα για να πείτε τι δίνεται και τι πρέπει να αποδειχθεί. Αφού οι μαθητές αναφέρουν σωστά τι δίνεται και τι πρέπει να αποδειχθεί, εμφανίζεται η συνθήκη του θεωρήματος. Οι μαθητές μαντεύουν ότι η ισότητα των μερών των διαγωνίων μπορεί να αποδειχθεί μέσω της ισότητας των τριγώνωνAOBΚαι ΓΑΔΟΣ.. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου, μαντεύει κανείς ότι οι πλευρές είναι ίσεςΑΒΚαι CD. Στη συνέχεια καταλαβαίνουν ότι πρέπει να βρουν ίσες γωνίες και, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των παράλληλων ευθειών, να αποδείξουν την ισότητα του παρακείμενου ισότιμα ​​κόμματαγωνίες Αυτά τα στάδια απεικονίζονται στη διαφάνεια. Η αλήθεια του θεωρήματος προκύπτει από την ισότητα των τριγώνων - οι μαθητές το λένε και μια αντίστοιχη οπτικοποίηση εμφανίζεται στη διαφάνεια.

(Διαφάνεια 6)

Ο δάσκαλος διατυπώνει την τρίτη ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου. Ανάλογα με το χρόνο που απομένει μέχρι το τέλος του μαθήματος, ο δάσκαλος μπορεί να δώσει στους μαθητές την ευκαιρία να αποδείξουν ανεξάρτητα αυτήν την ιδιότητα ή να περιοριστούν στη διατύπωσή της και να αφήσει την ίδια την απόδειξη στους μαθητές ως εργασία για το σπίτι. Η απόδειξη μπορεί να βασίζεται στο άθροισμα των γωνιών ενός εγγεγραμμένου πολυγώνου, το οποίο επαναλήφθηκε στην αρχή του μαθήματος, ή στο άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μιας όψης δύο παράλληλων ευθειώνΕΝΑ ΔΚαι ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., και ένα τμήμα, για παράδειγμαΑΒ.

4. Στερέωση του υλικού

Σε αυτό το στάδιο, οι μαθητές χρησιμοποιούν θεωρήματα που έχουν μάθει προηγουμένως για να λύσουν προβλήματα. Οι μαθητές επιλέγουν ιδέες για να λύσουν το πρόβλημα ανεξάρτητα. Επειδή πιθανές επιλογέςΥπάρχει πολύς σχεδιασμός και όλα εξαρτώνται από το πώς θα αναζητήσουν οι μαθητές μια λύση στο πρόβλημα, δεν υπάρχει οπτικοποίηση της λύσης στα προβλήματα και οι μαθητές σχεδιάζουν ανεξάρτητα κάθε στάδιο της λύσης σε ξεχωριστό πίνακα με καταγράφοντας τη λύση σε τετράδιο.

(Διαφάνεια 7)

Εμφανίζεται η συνθήκη εργασίας. Ο δάσκαλος προτείνει τη διατύπωση του «Δεδομένου» σύμφωνα με την συνθήκη. Αφού οι μαθητές γράψουν σωστά μια σύντομη δήλωση της συνθήκης, εμφανίζεται στον πίνακα το "Given". Η διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Ας σχεδιάσουμε το ύψος BH (οπτικοποιημένο)

Το τρίγωνο AHB είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Γ και ίση με 30 0 (σύμφωνα με την ιδιότητα των απέναντι γωνιών σε ένα παραλληλόγραμμο). 2BH =AB (από την ιδιότητα του σκέλους που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30 0 in ορθογώνιο τρίγωνο). Άρα ΑΒ = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (σύμφωνα με την ιδιότητα των απέναντι πλευρών σε παραλληλόγραμμο) Άρα AB = CD = 13 cm. Εφόσον η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι 50 cm, τότε BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Απάντηση: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Διαφάνεια 8)

Εμφανίζεται η συνθήκη εργασίας. Ο δάσκαλος προτείνει να διατυπωθεί το «Δεδομένο» σύμφωνα με την συνθήκη. Έπειτα στην οθόνη εμφανίζεται η ένδειξη "Given". Χρησιμοποιώντας κόκκινες γραμμές, επισημαίνεται ένα τετράπλευρο, για το οποίο πρέπει να αποδείξετε ότι είναι παραλληλόγραμμο. Η διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Επειδή Οι BK και MD είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, τότε οι ευθείες BK και MD είναι παράλληλες.

Μέσω παρακείμενων γωνιών μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μονής όψης στις ευθείες BM και KD και της τέμνουσας MD είναι ίσο με 180 0. Επομένως, αυτές οι γραμμές είναι παράλληλες.

Εφόσον το τετράπλευρο BMDK έχει αντίθετες πλευρές που είναι παράλληλες ανά ζεύγη, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

5. Τέλος του μαθήματος. Συμπεριφορά των αποτελεσμάτων.

(Διαφάνεια 8)

Οι ερωτήσεις εμφανίζονται στη διαφάνεια νέο θέμα, στο οποίο απαντούν οι μαθητές.

Το μάθημα βίντεο «Get an A» περιλαμβάνει όλα τα θέματα που είναι απαραίτητα για επιτυχία περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Στο σημερινό μάθημα θα εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου και στη συνέχεια θα δώσουμε προσοχή στην εξέταση των δύο πρώτων ιδιοτήτων ενός παραλληλογράμμου και θα τις αποδείξουμε. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, ας θυμηθούμε τη χρήση τεστ για την ισότητα των τριγώνων, που μελετήσαμε πέρυσι και επαναλάβαμε στο πρώτο μάθημα. Στο τέλος θα δοθεί ένα παράδειγμα εφαρμογής των μελετημένων χαρακτηριστικών ενός παραλληλογράμμου.

Θέμα: Τετράπλευρα

Μάθημα: Σημάδια παραλληλογράμμου

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό του παραλληλογράμμου.

Ορισμός. Παραλληλόγραμμο- ένα τετράπλευρο στο οποίο κάθε δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες (βλ. Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Παραλληλόγραμμο

Ας θυμηθούμε βασικές ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου:

Για να μπορέσετε να χρησιμοποιήσετε όλες αυτές τις ιδιότητες, πρέπει να είστε σίγουροι ότι το εν λόγω σχήμα είναι παραλληλόγραμμο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε γεγονότα όπως τα χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου. Θα εξετάσουμε τα δύο πρώτα από αυτά σήμερα.

Θεώρημα. Το πρώτο πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν δύο απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. .

Ρύζι. 2. Το πρώτο πρόσημο παραλληλογράμμου

Απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο στο τετράγωνο (βλ. Εικ. 2), το χωρίζει σε δύο τρίγωνα. Ας γράψουμε τι γνωρίζουμε για αυτά τα τρίγωνα:

σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων.

Από την ισότητα των δεικνυόμενων τριγώνων προκύπτει ότι λόγω του παραλληλισμού των ευθειών όταν τέμνονται με μια τομή. Έχουμε ότι:

Αποδεδειγμένος.

Θεώρημα. Το δεύτερο πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν σε ένα τετράπλευρο κάθε δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. .

Ρύζι. 3. Δεύτερο πρόσημο παραλληλογράμμου

Απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο στο τετράγωνο (βλ. Εικ. 3), το χωρίζει σε δύο τρίγωνα. Ας γράψουμε τι γνωρίζουμε για αυτά τα τρίγωνα με βάση τη διατύπωση του θεωρήματος:

με το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων.

Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες όταν τέμνονται με μια τομή. Παίρνουμε:

παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Αποδεδειγμένος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα χρήσης παραλληλόγραμμων χαρακτηριστικών.

Παράδειγμα 1. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο Να βρείτε: α) τις γωνίες του τετράπλευρου; β) πλευρά.

Λύση. Ας απεικονίσουμε το Σχ. 4.

Ρύζι. 4

παραλληλόγραμμο σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο ενός παραλληλογράμμου.

Θέμα μαθήματος

• Ιδιότητες των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου.

Στόχοι μαθήματος

• Εξοικειωθείτε με νέους ορισμούς και θυμηθείτε μερικούς ήδη μελετημένους.
• Να αναφέρετε και να αποδείξετε την ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου.
• Μάθετε να εφαρμόζετε τις ιδιότητες των σχημάτων κατά την επίλυση προβλημάτων.
• Αναπτυξιακή - να αναπτύξουν την προσοχή, την επιμονή, την επιμονή των μαθητών, λογική σκέψη, μαθηματικός λόγος.
• Εκπαιδευτικό - μέσα από το μάθημα, καλλιεργήστε μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλον, ενσταλάξτε την ικανότητα να ακούτε τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια και την ανεξαρτησία.

Στόχοι μαθήματος

• Δοκιμάστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών.

Πλάνο μαθήματος

1. Εισαγωγή.
2. Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως.
3. Παραλληλόγραμμο, οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του.
4. Παραδείγματα εργασιών.
5. Αυτοελεγχος.

Εισαγωγή

"Μεγάλο επιστημονική ανακάλυψηδίνει λύση μεγάλο πρόβλημα, αλλά στην επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος υπάρχει ένας κόκκος ανακάλυψης."

Ιδιότητα απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου

Ένα παραλληλόγραμμο έχει απέναντι πλευρές που είναι ίσες.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Και αφήστε τις διαγώνιές του να τέμνονται στο σημείο Ο.
Αφού Δ AOB = Δ COD με το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων (∠ AOB = ∠ COD, ως κατακόρυφα, AO=OC, DO=OB, από την ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου), τότε AB=CD. Με τον ίδιο τρόπο, από την ισότητα των τριγώνων BOC και DOA, προκύπτει ότι BC = DA. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ιδιότητα απέναντι γωνιών παραλληλογράμμου

Σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Και αφήστε τις διαγώνιές του να τέμνονται στο σημείο Ο.
Από όσα αποδείχθηκαν στο θεώρημα για τις ιδιότητες των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου Δ ABC = Δ CDA σε τρεις πλευρές (AB=CD, BC=DA από ότι αποδείχθηκε, AC – γενική). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ ABC = ∠ CDA.
Αποδεικνύεται επίσης ότι ∠ DAB = ∠ BCD, που προκύπτει από το ∠ ABD = ∠ CDB. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ιδιότητα των διαγωνίων παραλληλογράμμου

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου τέμνονται και διχοτομούνται στο σημείο τομής.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο AC. Ας σημειώσουμε το μεσαίο O στη συνέχεια του τμήματος DO, θα αφήσουμε στην άκρη το τμήμα OB 1 ίσο με DO.
Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το AB 1 CD είναι ένα παραλληλόγραμμο. Επομένως, η ευθεία AB 1 είναι παράλληλη με το DC. Αλλά μέσω του σημείου Α μπορεί να τραβηχτεί μόνο μία ευθεία παράλληλη προς το DC. Αυτό σημαίνει ότι η γραμμή ΑΒ 1 συμπίπτει με τη γραμμή ΑΒ.
Αποδεικνύεται επίσης ότι το 1 π.Χ. συμπίπτει με το π.Χ. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο C συμπίπτει με το C 1. το παραλληλόγραμμο ABCD συμπίπτει με το παραλληλόγραμμο AB 1 CD. Κατά συνέπεια, οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται και διχοτομούνται στο σημείο τομής. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σε σχολικά βιβλία για κανονικά σχολεία(για παράδειγμα, στο Pogorelov) αποδεικνύεται ως εξής: οι διαγώνιοι χωρίζουν το παραλληλόγραμμο σε 4 τρίγωνα. Ας εξετάσουμε ένα ζευγάρι και ας μάθουμε - είναι ίσες: οι βάσεις τους είναι απέναντι πλευρές, οι αντίστοιχες γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό είναι ίσες, όπως κάθετες γωνίες με παράλληλες γραμμές. Δηλαδή, τα διαγώνια τμήματα είναι ίσα σε ζεύγη. Ολα.

Αυτό είναι όλο;
Αποδείχθηκε παραπάνω ότι το σημείο τομής διχοτομεί τις διαγώνιες - αν υπάρχει. Ο παραπάνω συλλογισμός δεν αποδεικνύει με κανένα τρόπο την ίδια την ύπαρξή του. Δηλαδή, μέρος του θεωρήματος «οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου τέμνονται» παραμένει αναπόδεικτο.

Το αστείο είναι ότι αυτό το κομμάτι είναι πολύ πιο δύσκολο να αποδειχτεί. Αυτό προκύπτει, παρεμπιπτόντως, από ένα γενικότερο αποτέλεσμα: κάθε κυρτό τετράπλευρο θα έχει διαγώνιες που τέμνονται, αλλά κάθε μη κυρτό τετράπλευρο δεν θα έχει.

Σχετικά με την ισότητα των τριγώνων κατά μήκος μιας πλευράς και δύο παρακείμενων γωνιών (το δεύτερο σημάδι ισότητας των τριγώνων) και άλλα.

Ο Θαλής βρήκε ένα σημαντικό θεώρημα για την ισότητα δύο τριγώνων κατά μήκος μιας πλευράς και δύο γειτονικών γωνιών πρακτική χρήση. Ένα αποστασιόμετρο κατασκευάστηκε στο λιμάνι της Μιλήτου για να καθορίσει την απόσταση από ένα πλοίο στη θάλασσα. Αποτελούνταν από τρεις κινούμενους γόμφους A, B και C (AB = BC) και μια σημειωμένη ευθεία γραμμή SC, κάθετη στην CA. Όταν ένα πλοίο εμφανιζόταν στην ευθεία SK, βρήκαμε το σημείο D τέτοιο ώστε τα σημεία D, .B και E να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Όπως φαίνεται από το σχέδιο, η απόσταση CD στο έδαφος είναι η επιθυμητή απόσταση από το πλοίο.

Ερωτήσεις

1. Διαιρούνται οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου στο μισό με το σημείο τομής;
   
2. Είναι ίσες οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου;
3. Είναι ίσες οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλογράμμου;
4. Να αναφέρετε τον ορισμό του παραλληλογράμμου;
5. Πόσα σημάδια ενός παραλληλογράμμου;
   
6. Μπορεί ένας ρόμβος να είναι παραλληλόγραμμο;
   

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Kuznetsov A.V., δάσκαλος μαθηματικών (τάξεις 5-9), Κίεβο
2. «Ενιαία Κρατική Εξέταση 2006. Μαθηματικά. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία των μαθητών / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. «Επίλυση των βασικών αγωνιστικών προβλημάτων στα μαθηματικά της συλλογής που επιμελήθηκε ο Μ. Ι. Σκαναβή»
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 – 9: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα"

Δουλέψαμε στο μάθημα

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Κάντε μια ερώτηση για σύγχρονη εκπαίδευση, εκφράστε μια ιδέα ή λύστε ένα πιεστικό πρόβλημα, μπορείτε Εκπαιδευτικό φόρουμ, όπου επάνω διεθνές επίπεδοσυγκεντρώνεται ένα εκπαιδευτικό συμβούλιο φρέσκιας σκέψης και δράσης. Έχοντας δημιουργήσει blog,Δεν θα βελτιώσετε μόνο την κατάστασή σας ως ικανός δάσκαλος, αλλά και θα συμβάλετε σημαντικά στην ανάπτυξη του σχολείου του μέλλοντος. Συντεχνία Εκπαιδευτικών Ηγετώνανοίγει τις πόρτες σε κορυφαίους ειδικούς και τους καλεί να συνεργαστούν για τη δημιουργία των καλύτερων σχολείων στον κόσμο.

Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 8ης τάξης

Προκειμένου να προσδιοριστεί εάν ένα δεδομένο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο, υπάρχουν πολλά σημάδια. Ας δούμε τα τρία κύρια χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου.

1 παραλληλόγραμμο σημάδι

Αν δύο πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε αυτό το τετράπλευρο θα είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη:

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Έστω παράλληλες οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ. Και ας AB=CD. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο BD σε αυτό. Θα χωρίσει αυτό το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα: ABD και CBD.

Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους σε δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους (BD - κοινή πλευρά, AB = CD κατά συνθήκη, γωνία1 = γωνία2 ως εγκάρσιες γωνίες με το εγκάρσιο BD των παράλληλων ευθειών AB και CD.), και επομένως γωνία3 = γωνία4.

Και αυτές οι γωνίες θα βρίσκονται εγκάρσια όταν οι ευθείες BC και AD τέμνονται με την τέμνουσα BD. Από αυτό προκύπτει ότι η π.Χ. και η Μ.Χ. είναι παράλληλα μεταξύ τους. Έχουμε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες, και επομένως το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Παραλληλόγραμμο σημάδι 2

Αν σε ένα τετράπλευρο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες σε ζεύγη, τότε αυτό το τετράπλευρο θα είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη:

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο BD σε αυτό. Θα χωρίσει αυτό το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα: ABD και CBD.

Αυτά τα δύο τρίγωνα θα είναι ίσα μεταξύ τους σε τρεις πλευρές (BD είναι η κοινή πλευρά, AB = CD και BC = AD κατά συνθήκη). Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι γωνία1 = γωνία2. Από αυτό προκύπτει ότι το ΑΒ είναι παράλληλο με το CD. Και εφόσον το ΑΒ = ΓΔ και το ΑΒ είναι παράλληλο προς το ΓΔ, τότε σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ενός παραλληλογράμμου, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ θα είναι παραλληλόγραμμο.

3 παραλληλόγραμμο σημάδι

Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής, τότε αυτό το τετράπλευρο θα είναι παραλληλόγραμμο.

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Ας σχεδιάσουμε σε αυτό δύο διαγώνιους AC και BD, οι οποίες θα τέμνονται στο σημείο Ο και θα διχοτομούνται από αυτό το σημείο.

Τα τρίγωνα AOB και COD θα είναι ίσα μεταξύ τους, σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων. (AO = OC, BO = OD κατά συνθήκη, γωνία AOB = γωνία COD ως κατακόρυφες γωνίες.) Επομένως, AB = CD και γωνία1 = γωνία 2. Από την ισότητα των γωνιών 1 και 2, έχουμε ότι το AB είναι παράλληλο με το CD. Τότε έχουμε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι πλευρές ΑΒ είναι ίσες με ΓΔ και παράλληλες, και σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ενός παραλληλογράμμου, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ θα είναι παραλληλόγραμμο.