Το αντίθετο γεγονός. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση «Επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων» ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα στο σημείο α
Ένα γεγονός που αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχειώδη αποτελέσματα εμπειρίας που δεν περιλαμβάνονται στο Α ονομάζεται το αντίθετο του γεγονότος Α.
Ασυμβίβαστα συμβάντα- γεγονότα που δεν συμβαίνουν σε μία εμπειρία. Για παράδειγμα, τα αντίθετα γεγονότα είναι ασύμβατα.
Πιθανότητες αντίθετων γεγονότων:
; .
Τύπος για την προσθήκη πιθανοτήτων για κοινά γεγονότα: Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο κοινά γεγονότα Α και Β ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους χωρίς την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους. .
Τύπος για την προσθήκη πιθανοτήτων για ασύμβατα συμβάντα: Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο ασύμβατα γεγονότα Α και Β είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους.
Τύπος πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα:Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων Α και Β είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων των γεγονότων Α και Β.
Τύπος πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων για εξαρτημένα γεγονότα:Η πιθανότητα της από κοινού εμφάνισης δύο εξαρτημένων γεγονότων Α και Β είναι ίση με το γινόμενο της πιθανότητας ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του άλλου.
Ακολουθεί ένα διάγραμμα που διευκολύνει τη χρήση τύπων κατά την επίλυση προβλημάτων:
Η πιθανότητα ότι ένα νέο στυλό γράφει άσχημα (ή δεν γράφει) είναι 0,1. Ένας αγοραστής σε ένα κατάστημα επιλέγει ένα τέτοιο στυλό. Βρείτε την πιθανότητα αυτό το στυλό να γράφει καλά.
Λύση.
Ας ορίσουμε το συμβάν A= (η επιλεγμένη πένα γράφει καλά).
Τότε το αντίθετο συμβάν = (το επιλεγμένο στυλό γράφει άσχημα).
Από την συνθήκη γνωρίζουμε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος: .
Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος: .
Απάντηση: 0,9.
10. Στις εξετάσεις της γεωμετρίας, ο μαθητής παίρνει μία ερώτηση από τη λίστα των ερωτήσεων εξέτασης. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση με εγγεγραμμένο κύκλο είναι 0,2. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση στο θέμα «Παραλληλόγραμμο» είναι 0,15. Δεν υπάρχουν ερωτήσεις που να σχετίζονται ταυτόχρονα με αυτά τα δύο θέματα. Βρείτε την πιθανότητα ένας μαθητής να λάβει μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα στην εξέταση.
Λύση.
Ας ορίσουμε τα γεγονότα:
A= (ερώτηση για το θέμα «Εγγεγραμμένος κύκλος»),
Β= (ερώτηση με θέμα «Παραλληλόγραμμο»).
Τα συμβάντα Α και Β είναι ασύμβατα, αφού κατά συνθήκη δεν υπάρχουν ερωτήσεις στη λίστα που να σχετίζονται με αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα.
Το συμβάν C= (μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα) είναι η ένωσή τους: .
Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για την προσθήκη των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων: .
Απάντηση: 0,35.
Ένα λεωφορείο εκτελεί δρομολόγια καθημερινά από το κέντρο της περιοχής προς το χωριό. Η πιθανότητα να υπάρχουν λιγότεροι από 20 επιβάτες στο λεωφορείο τη Δευτέρα είναι 0,94. Η πιθανότητα να υπάρχουν λιγότεροι από 15 επιβάτες είναι 0,56. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός των επιβατών να είναι μεταξύ 15 και 19.
Λύση.
Εξετάστε τα γεγονότα A = «υπάρχουν λιγότεροι από 15 επιβάτες στο λεωφορείο» και B = «υπάρχουν από 15 έως 19 επιβάτες στο λεωφορείο». Το άθροισμά τους είναι το συμβάν A + B = «υπάρχουν λιγότεροι από 20 επιβάτες στο λεωφορείο». Τα γεγονότα Α και Β είναι ασύμβατα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:
Ρ(Α + Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β).
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτά τα προβλήματα, λαμβάνουμε: 0,94 = 0,56 + P(B), από όπου P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Απάντηση: 0,38.
Σε ένα εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπες μηχανές πουλάνε καφέ. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να τελειώσουν και οι δύο μηχανές από καφέ είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα στο τέλος της ημέρας να μείνει καφές και στις δύο μηχανές.
Λύση.
Ας ορίσουμε τα γεγονότα
A= (ο καφές θα τελειώσει στην πρώτη μηχανή),
B= (ο καφές θα τελειώσει στο δεύτερο μηχάνημα).
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος και .
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την προσθήκη πιθανοτήτων, βρίσκουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος
= (ο καφές θα τελειώσει σε τουλάχιστον ένα από τα μηχανήματα): .
Επομένως, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος (ο καφές θα παραμείνει και στις δύο μηχανές) είναι ίση με P = 1-0,48 = 0,52.
Απάντηση: 0,52.
Ένας αθλητής του δίαθλου πυροβολεί σε στόχους πέντε φορές. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ο αθλητής του δίαθλου να χτυπήσει τους στόχους τις πρώτες τρεις φορές και να αστοχήσει τις δύο τελευταίες φορές. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στα εκατοστά.
Λύση.
Σε αυτό το πρόβλημα θεωρείται ότι το αποτέλεσμα κάθε επόμενης βολής δεν εξαρτάται από τις προηγούμενες. Επομένως, τα γεγονότα «χτύπησαν στην πρώτη βολή», «χτύπησαν στη δεύτερη βολή» κ.λπ. ανεξάρτητος.
Η πιθανότητα κάθε χτυπήματος είναι 0,8. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα κάθε αστοχίας είναι 1-0,8=0,2. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων. Διαπιστώνουμε ότι η ακολουθία
Το A= (χτύπησε, χτύπησε, χτύπησε, έχασε, έχασε) έχει πιθανότητα .
Απάντηση: 0,02.
Υπάρχουν δύο μηχανήματα πληρωμής στο κατάστημα. Κάθε ένα από αυτά μπορεί να είναι ελαττωματικό με πιθανότητα 0,05, ανεξάρτητα από το άλλο μηχάνημα. Βρείτε την πιθανότητα να λειτουργεί τουλάχιστον ένα μηχάνημα.
Λύση.
Αυτό το πρόβλημα προϋποθέτει επίσης ότι τα αυτόματα λειτουργούν ανεξάρτητα.
Ας βρούμε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος
= (και τα δύο μηχανήματα είναι ελαττωματικά).
Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων: .
Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα του γεγονότος A= (τουλάχιστον μία μηχανή είναι λειτουργική) είναι ίση με .
Απάντηση: 0,9975.
15. Κατά τη διάρκεια βολής πυροβολικού, το αυτόματο σύστημα εκτοξεύει μια βολή στον στόχο. Εάν ο στόχος δεν καταστραφεί, το σύστημα εκτοξεύει μια δεύτερη βολή. Οι βολές επαναλαμβάνονται μέχρι να καταστραφεί ο στόχος. Η πιθανότητα καταστροφής ενός συγκεκριμένου στόχου με την πρώτη βολή είναι 0,4 και με κάθε επόμενη βολή είναι 0,6. Πόσες βολές θα απαιτηθούν για να διασφαλιστεί ότι η πιθανότητα καταστροφής του στόχου είναι τουλάχιστον 0,98;
Λύση.
Ας βρούμε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, που είναι να μην καταστραφεί ο στόχος nπυροβολισμοί. Η πιθανότητα να χαθεί η πρώτη βολή είναι 0,6 και κάθε επόμενη βολή είναι 0,4. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα εμφάνισής τους είναι ίση με το γινόμενο της πιθανότητας αυτών των γεγονότων. Επομένως, η πιθανότητα να λείπει nβολές ισούται με: . Μένει να βρεθεί η μικρότερη φυσική λύση στην ανισότητα. . Ελέγχοντας συνεχώς τις τιμές n, ίσο με 1, 2, 3 κλπ. βρίσκουμε ότι η επιθυμητή λύση είναι n=5. Επομένως, πρέπει να γίνουν 5 βολές.
Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα "με δράση", υπολογίζοντας την πιθανότητα επιβίωσης μετά από μια σειρά διαδοχικών λαθών:
Ρ(1) = 0,6.
Ρ(2) = Ρ(1) 0,4 = 0,24.
Ρ(3) = Ρ(2) 0,4 = 0,096.
Ρ(4) = Ρ(3) 0,4 = 0,0384;
Ρ(5) = Ρ(4) 0,4 = 0,015536.
Η τελευταία πιθανότητα είναι μικρότερη από 0,02, άρα πέντε βολές στο στόχο είναι αρκετές.
16. Πριν από την έναρξη ενός αγώνα βόλεϊ, οι αρχηγοί των ομάδων κάνουν δίκαιη κλήρωση για να καθορίσουν ποια ομάδα θα ξεκινήσει το παιχνίδι με την μπάλα. Η ομάδα «Stator» παίζει εναλλάξ με τις ομάδες «Rotor», «Motor» και «Starter». Βρείτε την πιθανότητα ότι ο Stator θα ξεκινήσει μόνο τον πρώτο και τον τελευταίο αγώνα.
Λύση.
Πρέπει να βρείτε την πιθανότητα να συμβούν τρία γεγονότα: το "Stator" ξεκινά το πρώτο παιχνίδι, δεν ξεκινά το δεύτερο παιχνίδι και ξεκινά το τρίτο παιχνίδι. Η πιθανότητα ενός γινόμενου ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Η πιθανότητα καθενός από αυτά είναι 0,5, από την οποία βρίσκουμε: P=0,5·0,5·0,5 = 0,125.
Άλλη λύση:
Επειδή Η κλήρωση μπορεί να θεωρηθεί ότι πετάτε ένα κέρμα, τότε το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την τεχνολογία επίλυσης προβλημάτων με νομίσματα. Η κλήρωση έγινε τρεις φορές, άρα Ν=2 3 =8. Ας αντιστοιχίσουμε την τιμή "Eagle" στο στοιχειώδες γεγονός "Ο Στάτορας ξεκινά το παιχνίδι". Τότε ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα αντιστοιχεί μόνο στον συνδυασμό "ORO", δηλ. Ν(Α)=1. Να γιατί
Απάντηση: 0,125.
17. Υπάρχουν 21 άτομα στην τάξη. Ανάμεσά τους είναι δύο φίλοι: η Άνυα και η Νίνα. Η τάξη χωρίζεται τυχαία σε 3 ομάδες, 7 άτομα η καθεμία. Βρείτε την πιθανότητα η Anya και η Nina να είναι στην ίδια ομάδα.
Λύση.
Οι φίλες μπορούν να καταλήξουν μαζί σε οποιαδήποτε από τις τρεις ομάδες. Ας εξετάσουμε μια ομάδα. Η πιθανότητα ότι η Anya θα είναι σε αυτό είναι ίση με . Εάν η Anya είναι ήδη σε αυτήν την ομάδα, τότε η πιθανότητα ότι η Nina θα είναι στην ίδια ομάδα είναι ίση με . Έτσι, η πιθανότητα να είναι και οι δύο φίλοι σε αυτήν την ομάδα είναι ίση. Η πιθανότητα η Anya και η Nina να είναι στη δεύτερη ομάδα ή στην τρίτη ομάδα θα είναι η ίδια. Αυτά τα γεγονότα είναι ασυνεπή, τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:
Απάντηση: 0,3.
Στα παρακάτω προβλήματα, είναι βολικό στη χρήση δέντρο πιθανοτήτων. Σε ορισμένα προβλήματα, το δέντρο είναι χτισμένο απευθείας στην κατάσταση. Σε άλλα προβλήματα αυτό το δέντρο θα πρέπει να χτιστεί.
18. Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει.
Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να χτυπήσει το σημείο G.
Λύση.
Το διάγραμμα διαδρομής είναι ένα γράφημα, δηλαδή ένα δέντρο. Οι άκρες (κλαδιά) του δέντρου αντιστοιχούν στα μονοπάτια. Δίπλα σε κάθε άκρη γράφουμε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να ακολουθήσει την αντίστοιχη διαδρομή. Η επιλογή της διαδρομής σε κάθε διχάλα είναι τυχαία, επομένως η πιθανότητα διαιρείται εξίσου σε όλες τις πιθανότητες. Ας υποθέσουμε ότι ο Pavel Ivanovich έφτασε στην κορυφή C. Τρεις ακμές CH, CK και CL βγαίνουν από αυτήν. Επομένως, η πιθανότητα ο Pavel Ivanovich να επιλέξει την άκρη CH είναι 1/3. Όλες οι πιθανότητες μπορούν να διευθετηθούν με παρόμοιο τρόπο.
Κάθε διαδρομή από το σημείο εκκίνησης Α σε οποιοδήποτε από τα σημεία λήξης είναι ένα στοιχειώδες γεγονός σε αυτό το πείραμα. Τα γεγονότα εδώ δεν είναι εξίσου πιθανά. Η πιθανότητα κάθε στοιχειώδους γεγονότος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού.
Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ενός στοιχειώδους γεγονότος
G= (Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς έφτασε στο σημείο Ζ).
Αυτό το γεγονός είναι ότι ο Πάβελ Ιβάνοβιτς πέρασε τη διαδρομή της ΑΤΕ. Η πιθανότητα βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες κατά μήκος των ακμών ΑΒ και ΒΓ: .
Απάντηση: 0,125.
19. Η εικόνα δείχνει έναν λαβύρινθο. Η αράχνη σέρνεται στον λαβύρινθο στο σημείο εισόδου. Η αράχνη δεν μπορεί να γυρίσει και να σέρνεται πίσω, έτσι σε κάθε κλαδί η αράχνη επιλέγει ένα από τα μονοπάτια κατά μήκος των οποίων δεν έχει συρθεί ακόμα. Υποθέτοντας ότι η επιλογή του περαιτέρω μονοπατιού είναι καθαρά τυχαία, καθορίστε με ποια πιθανότητα θα έρθει η αράχνη στην έξοδο.
Λύση.
Σε καθεμία από τις τέσσερις σημειωμένες διχάλες, η αράχνη μπορεί να επιλέξει είτε τη διαδρομή που οδηγεί στην έξοδο D είτε άλλη διαδρομή με πιθανότητα 0,5. Αυτά είναι ανεξάρτητα γεγονότα, η πιθανότητα εμφάνισής τους (η αράχνη φτάνει στην έξοδο D) είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Επομένως, η πιθανότητα να φτάσετε στην έξοδο D είναι (0,5) 4 = 0,0625.
Απάντηση: 0,0625.
Ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που γενικεύει τις συνθήκες ενός αριθμού πιθανοτικών προβλημάτων που επιλύονται χρησιμοποιώντας ένα δέντρο πιθανοτήτων.
Σε κάποιο πείραμα, η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι 0,3. Εάν συμβεί το συμβάν Α, τότε η πιθανότητα του συμβάντος Γ είναι 0,2 και διαφορετικά η πιθανότητα του συμβάντος Γ είναι 0,4. Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Γ.
Λύση.
Σε τέτοια προβλήματα, είναι βολικό να απεικονίζεται το πείραμα γραφικά ως δέντρο πιθανοτήτων. Η διαφορά από τα προηγούμενα προβλήματα είναι ότι οι πιθανότητες στα άκρα δεν λαμβάνονται από ίσες πιθανότητες, αλλά διαφορετικά.
Ας υποδηλώσουμε ολόκληρο το πείραμα με ένα γράμμα (μεγάλο ωμέγα) και ας βάλουμε μια τελεία κοντά σε αυτό το γράμμα - τη ρίζα του δέντρου από την οποία μεγαλώνουν τα κλαδιά-πλευρές. Από το σημείο που σχεδιάζουμε μια ακμή προς τα αριστερά στο σημείο Α. Το γεγονός Α έχει πιθανότητα 0,3, οπότε ας χαρακτηρίσουμε αυτήν την ακμή με πιθανότητα 0,3. Το αντίθετο γεγονός έχει πιθανότητα 0,7. Ας σχεδιάσουμε τη δεύτερη άκρη σε σημείο .
Εάν συμβεί το γεγονός Α, τότε το γεγονός Γ κατά συνθήκη έχει πιθανότητα 0,2. Επομένως, από το σημείο Α θα σχεδιάσουμε μια ακμή προς τα αριστερά προς το σημείο Γ και θα υπογράψουμε την πιθανότητα. Προχωρώντας με τον ίδιο τρόπο, θα ολοκληρώσουμε ολόκληρο το δέντρο (βλ. εικόνα).
Για να βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος C, πρέπει να επιλέξετε μόνο εκείνα τα μονοπάτια που οδηγούν από το ριζικό σημείο στο συμβάν C. Στο σχήμα, αυτά τα μονοπάτια είναι φωτεινά και τα μονοπάτια που δεν οδηγούν στο C απεικονίζονται αμυδρά. Τα επισημασμένα μονοπάτια είναι τα στοιχειώδη γεγονότα που ευνοούν το γεγονός Γ.
Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε τις πιθανότητες των επιλεγμένων μονοπατιών και να τις προσθέσουμε. Χρησιμοποιώντας τους κανόνες πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης πιθανοτήτων, παίρνουμε:
.
Απάντηση: 0,34.
20. Δύο εργοστάσια της ίδιας εταιρείας παράγουν πανομοιότυπα κινητά τηλέφωνα. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 30% όλων των τηλεφώνων αυτής της μάρκας και το δεύτερο - τα υπόλοιπα τηλέφωνα. Είναι γνωστό ότι από όλα τα τηλέφωνα που παράγονται από το πρώτο εργοστάσιο, το 1% έχει κρυφά ελαττώματα και το 1,5% από αυτά που παράγονται από το δεύτερο εργοστάσιο έχουν κρυφά ελαττώματα. Βρείτε την πιθανότητα ένα τηλέφωνο αυτής της μάρκας που αγοράστηκε σε κατάστημα να έχει κρυφό ελάττωμα.
Λύση.
Ας εισάγουμε σημειώσεις για συμβάντα:
A 1 = (το τηλέφωνο κυκλοφόρησε στο πρώτο εργοστάσιο),
A 2 = (τηλέφωνο που παράγεται στο δεύτερο εργοστάσιο),
D= (το τηλέφωνο έχει κρυφό ελάττωμα).
.
Απάντηση: 0,0135
21. Μια αγροτική εταιρεία αγοράζει αυγά κοτόπουλου από δύο νοικοκυριά. Το 40% των αυγών από την πρώτη φάρμα είναι αυγά της υψηλότερης κατηγορίας και από τη δεύτερη φάρμα - το 20% των αυγών της υψηλότερης κατηγορίας. Συνολικά, το 35% των αυγών από αυτές τις δύο φάρμες λαμβάνει την υψηλότερη κατηγορία. Βρείτε την πιθανότητα ένα αυγό που αγοράστηκε από αυτήν την αγροτική εταιρεία να είναι από την πρώτη φάρμα.
Λύση.
Αυτή η εργασία είναι η αντίστροφη από την προηγούμενη. Θα ονομάσουμε το γεγονός «το αυγό έχει την υψηλότερη κατηγορία» Η. Θα ονομάσουμε τα γεγονότα «το αυγό ήρθε από την πρώτη φάρμα» και «το αυγό ήρθε από τη δεύτερη φάρμα» Α 1 και Α 2, αντίστοιχα. Ας υποδηλώσουμε την επιθυμητή πιθανότητα του συμβάντος A 1 με το γράμμα p και ας σχεδιάσουμε ένα δέντρο.
Παίρνουμε: .
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, αυτή η τιμή είναι 0,35.
Επειτα ,
από πού και, επομένως, .
Απάντηση: 0,75.
22. Ο καουμπόι Τζον χτυπά μια μύγα στον τοίχο με πιθανότητα 0,9 αν πυροβολήσει με μηδενικό περίστροφο. Εάν ο John πυροβολήσει ένα άκαρπο περίστροφο, χτυπά τη μύγα με πιθανότητα 0,2. Υπάρχουν 10 περίστροφα στο τραπέζι, εκ των οποίων μόνο τα 4 έχουν πυροβοληθεί. Ο καουμπόι Τζον βλέπει μια μύγα στον τοίχο, αρπάζει τυχαία το πρώτο περίστροφο που συναντά και πυροβολεί τη μύγα. Βρείτε την πιθανότητα να χάσει ο Γιάννης.
Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, θα δημιουργήσουμε ένα δέντρο και θα βρούμε τις απαραίτητες πιθανότητες.
|
|
Ο Γιάννης θα χάσει αν: Α) αρπάξει ένα μηδενισμένο περίστροφο και αστοχήσει μαζί του, ή εάν Β) αρπάξει ένα περίστροφο που δεν πυροβολήθηκε και αστοχήσει μαζί του. Σύμφωνα με τον τύπο πιθανοτήτων υπό όρους, οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων είναι ίσες, αντίστοιχα, P(A)= 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 και P(B)=0,6·(1 − 0,2) = 0, 48. Αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με P = 0,04 + 0,48 = 0,52.
Απάντηση: 0,52.
23. Όλοι οι ασθενείς με υποψία ηπατίτιδας υποβάλλονται σε εξέταση αίματος. Εάν η εξέταση αποκαλύψει ηπατίτιδα, καλείται το αποτέλεσμα της εξέτασης θετικός. Σε ασθενείς με ηπατίτιδα το τεστ δίνει θετικό αποτέλεσμα με πιθανότητα 0,9. Εάν ο ασθενής δεν έχει ηπατίτιδα, η εξέταση μπορεί να δώσει ψευδώς θετικό αποτέλεσμα με πιθανότητα 0,01. Είναι γνωστό ότι το 5% των ασθενών που εισάγονται με ύποπτη ηπατίτιδα έχουν πράγματι ηπατίτιδα. Βρείτε την πιθανότητα ένας ασθενής που εισάγεται στην κλινική με ύποπτη ηπατίτιδα να είναι θετικός.
Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, θα δημιουργήσουμε ένα δέντρο και θα βρούμε τις απαραίτητες πιθανότητες.
|
|
Η ανάλυση ενός ασθενούς μπορεί να είναι θετική για δύο λόγους: Α) ο ασθενής έχει ηπατίτιδα, η ανάλυσή του είναι σωστή. Β) ο ασθενής δεν έχει ηπατίτιδα, η ανάλυσή του είναι ψευδής. Αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Έχουμε: 4 Ιουλίου P(A) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128;
P(B) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128;
P(C) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008;
P(D) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128.
Αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:
P= 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 4
Προβολή περιεχομένων εγγράφου
«Πώς να λύσετε προβλήματα πιθανοτήτων»
Mitrofanova Snezhana Viktorovna, MBOU "Verkhovskaya School" περιοχή Vologda
Θέμα: Εργαστήριο επίλυσης προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Πώς να λύσετε προβλήματα πιθανοτήτων;
Πιθανότητα. Τι είναι αυτό;
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2
Θεωρία πιθανοτήτωνΤο , όπως υποδηλώνει το όνομα, ασχολείται με τις πιθανότητες. Μας περιβάλλουν πολλά πράγματα και φαινόμενα για τα οποία, όσο ανεπτυγμένη κι αν είναι η επιστήμη, είναι αδύνατο να κάνουμε ακριβείς προβλέψεις. Δεν ξέρουμε τι κάρτα θα τραβήξουμε από την τράπουλα τυχαία ή πόσες μέρες θα βρέξει τον Μάιο, αλλά με κάποιες πρόσθετες πληροφορίες μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις και να υπολογίσουμε τις πιθανότητες αυτών των τυχαίων γεγονότων.
Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με τη βασική έννοια τυχαίο συμβάν- πρόκειται για ένα φαινόμενο του οποίου η συμπεριφορά δεν μπορεί να προβλεφθεί ή είναι ένα πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα δεν μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων κ.λπ. Είναι οι πιθανότητες γεγονότων που υπολογίζονται σε τυπικά προβλήματα Ενιαίας Εξέτασης Πολιτείας.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2 (ΠΑΛΙ)
Πιθανότητα- αυτή είναι κάποια, αυστηρά μιλώντας, συνάρτηση που παίρνει τιμές από 0 έως 1 και χαρακτηρίζει ένα δεδομένο τυχαίο συμβάν.
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε κατά προσέγγιση διάγραμμα, το οποίο θα πρέπει να χρησιμοποιείται για την επίλυση τυπικών εκπαιδευτικών προβλημάτων για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος,
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 3
και στη συνέχεια παρακάτω θα επεξηγήσω την εφαρμογή του με παραδείγματα.
Βρείτε την κύρια ερώτηση της εργασίας (βρείτε ποιο είναι το αποτέλεσμα της εργασίας, βρείτε ευνοϊκά αποτελέσματα.)
Επιλέξτε έναν τύπο (ή πολλούς) προς επίλυση.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 4
ΓΙΑΤΙ ΔΙΑΒΑΖΟΥΜΕ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ ΤΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ;
Από τα 20 εισιτήρια που προσφέρονται στην εξέταση, ο μαθητής μπορεί να απαντήσει μόνο στα 17. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να μπορεί να απαντήσει σε ένα δελτίο που επιλέγεται τυχαία;
Από τα 20 εισιτήρια που προσφέρονται στην εξέταση, ο μαθητής μπορεί να απαντήσει μόνο στα 17. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να μην μπορεί να απαντήσει στο εισιτήριο που επιλέχθηκε τυχαία;
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 5,6,7
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 8.9
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 10
Εργασία 1.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 11
Λύση.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 12
0,5 0,25= 0,125
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 13
Εργασία 2.
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 14
Λύση.
P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 15
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 16
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 17
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 18
ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 19, 20
Εργασία 4.
Προβολή περιεχομένου παρουσίασης
"Παρουσίαση"
Πώς να λύσετε προβλήματα
κατά πιθανότητα;
Mitrofanova Snezhana Viktorovna,
καθηγητής μαθηματικών
MBOU "Σχολείο Verkhovskaya"
Περιοχή Vologda
Πιθανότητα ?
Πιθανότητα είναι μια συνάρτηση που παίρνει τιμές από 0 έως 1.
Κατά προσέγγιση διάγραμμα , σύμφωνα με το οποίο θα πρέπει να λυθούν τυπικά εκπαιδευτικά προβλήματα για τον υπολογισμό της πιθανότητας:
Βρείτε την κύρια ερώτηση της εργασίας
Ένας τύπος (ή περισσότεροι) έχει επιλεγεί για τη λύση.
Από τα 20 εισιτήρια που προσφέρονται στην εξέταση, ο μαθητής μπορεί να απαντήσει μόνο στα 17. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να μπορεί να απαντήσει σε ένα δελτίο που επιλέγεται τυχαία;
Από τα 20 εισιτήρια που προσφέρονται στην εξέταση, ο μαθητής μπορεί να απαντήσει μόνο στα 17. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να μην μπορεί να απαντήσει στο εισιτήριο που επιλέχθηκε τυχαία;
Πιθανότητα εκδηλώσειςείναι ο λόγος του αριθμού των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για την εμφάνισή του προς τον αριθμό όλων των αποτελεσμάτων (ασύμβατα, μόνο δυνατά και εξίσου δυνατά):
Προβλήματα που λύνονται με την κατασκευή ενός δέντρου πιθανοτήτων.
Εργασία 1.Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διχάλα, επιλέγει τυχαία την επόμενη διαδρομή χωρίς να επιστρέψει Η διάταξη των μονοπατιών φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να χτυπήσει το σημείο G.
Λύση.
Δίπλα σε κάθε άκρη γράφουμε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να ακολουθήσει την αντίστοιχη διαδρομή. Η επιλογή της διαδρομής σε κάθε διχάλα είναι τυχαία, επομένως η πιθανότητα διαιρείται εξίσου σε όλες τις πιθανότητες.
Κάθε διαδρομή από το σημείο εκκίνησης Α σε οποιοδήποτε από τα σημεία λήξης είναι ένα στοιχειώδες γεγονός σε αυτό το πείραμα. Τα γεγονότα εδώ δεν είναι εξίσου πιθανά. Η πιθανότητα κάθε στοιχειώδους γεγονότος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού.
Αυτό το γεγονός είναι ότι ο Πάβελ Ιβάνοβιτς πέρασε τη διαδρομή της ΑΤΕ. Η πιθανότητα βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες κατά μήκος των ακμών AB και BG
0,5 · 0,25= 0,125
Εργασία 2.
Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει. Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Κάποιες διαδρομές οδηγούν στο χωριό Ν, άλλες στο πεδίο F ή στο έλος Μ. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να περιπλανηθεί σε ένα βάλτο.
Λύση.Υπάρχουν τρεις διαδρομές μέσα στο βάλτο. Ας υποδηλώσουμε τις κορυφές σε αυτές τις διαδρομές και ας γράψουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες στις ακμές κατά μήκος αυτών των διαδρομών. Δεν θα εξετάσουμε άλλες διαδρομές.
Η πιθανότητα του γεγονότος (ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να μπει στο βάλτο) είναι ίση με
P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)
Απάντηση: 0,125
Εργασία 4.Δύο εργοστάσια της ίδιας εταιρείας παράγουν πανομοιότυπα κινητά τηλέφωνα.
Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 30% όλων των τηλεφώνων αυτής της μάρκας και το δεύτερο - τα υπόλοιπα τηλέφωνα.
Είναι γνωστό ότι από όλα τα τηλέφωνα που παράγονται από το πρώτο εργοστάσιο, το 1% έχει κρυφά ελαττώματα και το 1,5% από αυτά που παράγονται από το δεύτερο εργοστάσιο.
Βρείτε την πιθανότητα ένα τηλέφωνο αυτής της μάρκας που αγοράστηκε σε κατάστημα να έχει κρυφό ελάττωμα.
Λύση.Ας παρουσιάσουμε τις σημειώσεις για συμβάντα: A 1 = (το τηλέφωνο κυκλοφόρησε στο πρώτο εργοστάσιο), A 2 = (το τηλέφωνο κυκλοφόρησε στο δεύτερο εργοστάσιο), D = (το τηλέφωνο έχει κρυφό ελάττωμα). Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, θα δημιουργήσουμε ένα δέντρο και θα βρούμε τις απαραίτητες πιθανότητες.
P(D)=0,3 *0,01+0,7 *0,015=0,003+0,0105=0,0135 .
Γυμνάσιο MBOU Ostankino
Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων
Σε ένα εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπες μηχανές πουλάνε καφέ. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να τελειώσουν και οι δύο μηχανές από καφέ είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα στο τέλος της ημέρας να μείνει καφές και στις δύο μηχανές.
A – ο καφές θα τελειώσει στην πρώτη μηχανή. B – ο καφές θα τελειώσει στη δεύτερη μηχανή.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος,
Σημειώστε ότι αυτές οι εκδηλώσεις δεν είναι ανεξάρτητες, διαφορετικά
Η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος «ο καφές θα παραμείνει και στις δύο μηχανές» είναι ίση με
Στη Μαγική Γη υπάρχουν δύο τύποι καιρού: καλός και εξαιρετικός, και ο καιρός, όταν καθιερωθεί το πρωί, παραμένει αμετάβλητος όλη την ημέρα. Είναι γνωστό ότι με πιθανότητα 0,8 ο καιρός αύριο θα είναι ίδιος με σήμερα. Σήμερα είναι 3 Ιουλίου, ο καιρός στη Magic Land είναι καλός. Βρείτε την πιθανότητα ο καιρός να είναι υπέροχος στη Χώρα των Νεραϊδών στις 6 Ιουλίου.
4 επιλογές: ХХО, ХОО, ОХО, LLC
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+
0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392
Απάντηση: 0,392
Αυγό αγορασμένο από 1 φάρμα
Αυγό αγορασμένο από 2 φάρμες
P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35
Δύο εργοστάσια της ίδιας εταιρείας παράγουν πανομοιότυπα κινητά τηλέφωνα. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 30% όλων των τηλεφώνων αυτής της μάρκας και το δεύτερο παράγει τα υπόλοιπα τηλέφωνα. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτό που αγοράσατε Στο κατάστημα, ένα τηλέφωνο αυτής της μάρκας έχει κρυφό ελάττωμα.
Το τηλέφωνο κυκλοφόρησε
σε 1 εργοστάσιο
Το τηλέφωνο κυκλοφόρησε
στο εργοστάσιο 2
Το D-phone έχει ένα ελάττωμα
0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135
Απάντηση: 0,0135
Γυαλιά που κυκλοφόρησαν
1 εργοστάσιο
το ποτήρι είναι έξω
2 εργοστάσιο
Τα γυαλιά D είναι ελαττωματικά
0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019
Απάντηση: 0,019
Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει. Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να χτυπήσει το σημείο G
Απάντηση: 0,125
Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει. Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Ορισμένες διαδρομές οδηγούν στο χωριό S, άλλες στο πεδίο F ή στο βάλτο M. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να περιπλανηθεί στο βάλτο.
Γεγονός Α - υπάρχουν λιγότεροι από 15 επιβάτες στο λεωφορείο
Γεγονός Β - υπάρχουν από 15 έως 19 επιβάτες στο λεωφορείο
Εκδήλωση A + B - υπάρχουν λιγότεροι από 20 επιβάτες στο λεωφορείο
Τα γεγονότα Α και Β είναι ασύμβατα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:
Ρ(Α + Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β).
P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
P(A + B+ C) = P(A) + P(B)+ P(C)= P(A) + P(B)
Ρ(Α)=0,97-0,89=0,08
Γεγονός Α - ο μαθητής λύνει 11 προβλήματα
Γεγονός Β - ο μαθητής λύνει περισσότερα από 11 προβλήματα
Γεγονός Α + Β - ο μαθητής λύνει περισσότερα από 10 προβλήματα
Απάντηση: 0,035
Γεγονός Α – Ο Γιάννης θα λάβει
βλέποντας περίστροφο
Γεγονός Β – Ο Γιάννης θα λάβει
άπυροβολο περίστροφο
ρ(Α)=0,4 ρ(Β)=0,6
0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52
Συμβάν Α - ο ασθενής έχει ηπατίτιδα
Συμβάν Β - ο ασθενής δεν έχει ηπατίτιδα
0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545
Απάντηση: 0,0545
0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296
Απάντηση: 0,0296
Πριν από την έναρξη ενός ποδοσφαιρικού αγώνα, ο διαιτητής πετάει ένα νόμισμα για να καθορίσει ποια ομάδα θα ξεκινήσει με την μπάλα. Η ομάδα Fizik παίζει τρεις αγώνες με διαφορετικές ομάδες. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε αυτά τα παιχνίδια ο "Φυσικός" θα κερδίσει την παρτίδα ακριβώς δύο φορές
Μετατροπή σε νομίσματα Εφόσον υπάρχουν 3 αγώνες, το κέρμα πετιέται τρεις φορές.
Γεγονός Α - οι κεφαλές θα εμφανιστούν 2 φορές (στα παιχνίδια ο "Φυσικός" θα κερδίσει την παρτίδα ακριβώς δύο φορές)
Υποθέσεις LLC, ORO, ROO
Απάντηση: 0,375
Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας
Περιγραφή της παρουσίασης ανά μεμονωμένες διαφάνειες:
1 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
2 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Σε ένα εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπες μηχανές πουλάνε καφέ. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να τελειώσουν και οι δύο μηχανές από καφέ είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα στο τέλος της ημέρας να μείνει καφές και στις δύο μηχανές. A – ο καφές θα τελειώσει στην πρώτη μηχανή. B – ο καφές θα τελειώσει στη δεύτερη μηχανή. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, σημειώστε ότι αυτά τα συμβάντα δεν είναι ανεξάρτητα, διαφορετικά η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος «ο καφές θα παραμείνει και στις δύο μηχανές» ισούται με Απάντηση: 0,52
3 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Στη Μαγική Γη υπάρχουν δύο τύποι καιρού: καλός και εξαιρετικός, και ο καιρός, όταν καθιερωθεί το πρωί, παραμένει αμετάβλητος όλη την ημέρα. Είναι γνωστό ότι με πιθανότητα 0,8 ο καιρός αύριο θα είναι ίδιος με σήμερα. Σήμερα είναι 3 Ιουλίου, ο καιρός στη Magic Land είναι καλός. Βρείτε την πιθανότητα ο καιρός να είναι υπέροχος στη Χώρα των Νεραϊδών στις 6 Ιουλίου. 4 επιλογές: ХХО, ХОО, ОХО, LLC P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙ 0,8+ +0,2∙0,2∙0,2+. ∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392 Απάντηση: 0,392
4 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Αυγό αγορασμένο από φάρμα 1 - αυγό αγορασμένο από φάρμα 2 P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35 0,2p=0,15 p=0,75 Απάντηση: 0,75 D-αυγό υψηλότερη κατηγορία Η αγροτική εταιρεία αγοράζει αυγά κοτόπουλου από φάρμες δύο νοικοκυριών . Το 40% των αυγών από την πρώτη φάρμα είναι αυγά της υψηλότερης κατηγορίας και από τη δεύτερη φάρμα - 20% των αυγών της υψηλότερης κατηγορίας. Συνολικά, το 35% των αυγών λαμβάνουν την υψηλότερη κατηγορία.
5 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Δύο εργοστάσια της ίδιας εταιρείας παράγουν πανομοιότυπα κινητά τηλέφωνα. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 30% όλων των τηλεφώνων αυτής της μάρκας και το δεύτερο παράγει τα υπόλοιπα τηλέφωνα. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτό που αγοράσατε Στο κατάστημα, ένα τηλέφωνο αυτής της μάρκας έχει κρυφό ελάττωμα. -το τηλέφωνο κατασκευάστηκε στο εργοστάσιο 1 -το τηλέφωνο κατασκευάστηκε στο εργοστάσιο 2 D-το τηλέφωνο έχει ελάττωμα 0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135 Απάντηση: 0,0135
6 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Γυαλί που παράγεται από 1 εργοστάσιο Το γυαλί που παράγεται από 2 εργοστασιακά γυαλιά D είναι ελαττωματικά 0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019 Απάντηση: 0,019 Δύο εργοστάσια παράγουν τα ίδια γυαλιά για τα πρώτα γυαλιά αυτοκινήτου 5% αυτών των προβολέων , το δεύτερο - 55%. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 3% των ελαττωματικών γυαλιών, το δεύτερο - 1%.
Διαφάνεια 7
Περιγραφή διαφάνειας:
Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει. Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να χτυπήσει το σημείο G Απάντηση: 0,125
8 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Ο Πάβελ Ιβάνοβιτς κάνει μια βόλτα από το σημείο Α κατά μήκος των μονοπατιών του πάρκου. Σε κάθε διακλάδωση, επιλέγει τυχαία το επόμενο μονοπάτι χωρίς να επιστρέψει. Η διάταξη του κομματιού φαίνεται στο σχήμα. Ορισμένες διαδρομές οδηγούν στο χωριό S, άλλες στο πεδίο F ή στο βάλτο M. Βρείτε την πιθανότητα ο Πάβελ Ιβάνοβιτς να περιπλανηθεί στο βάλτο.
Διαφάνεια 9
Περιγραφή διαφάνειας:
Γεγονός Α - υπάρχουν λιγότεροι από 15 επιβάτες στο λεωφορείο Γεγονός Β - υπάρχουν από 15 έως 19 επιβάτες στο λεωφορείο Γεγονός Α + Β - υπάρχουν λιγότεροι από 20 επιβάτες στο λεωφορείο Τα συμβάντα Α και Β είναι ασύμβατα, η πιθανότητα άθροισμα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: P(A + B) = P(A) + P(B). P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Απάντηση: 0,38 Ένα λεωφορείο τρέχει από το κέντρο της περιοχής προς το χωριό Η πιθανότητα να υπάρχουν λιγότεροι από 20 επιβάτες στο λεωφορείο είναι 0,56 ότι ο αριθμός των επιβατών θα είναι από 15 έως 19.
10 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
P(A + B+ C) = P(A) + P(B)+ P(C)= P(A) + P(B) P(A) = 0,97-0,89 = 0,08 Απάντηση: 0,08 Η πιθανότητα ότι ένα νέο Ο ηλεκτρικός βραστήρας θα διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο είναι 0,97 Η πιθανότητα να διαρκέσει περισσότερο από δύο χρόνια είναι 0,89. Γεγονός Α - ο βραστήρας θα διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο, αλλά λιγότερο από δύο χρόνια Εκδήλωση Β - ο βραστήρας θα διαρκέσει περισσότερο από δύο χρόνια Εκδήλωση Γ - ο βραστήρας θα διαρκέσει ακριβώς δύο χρόνια A + B + C - ο βραστήρας θα διαρκούν περισσότερο από ένα χρόνο Γεγονότα Α, Β και Γ Ασυμβίβαστα, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων Η πιθανότητα του συμβάντος Γ, που συνίσταται στο γεγονός ότι ο βραστήρας θα αποτύχει ακριβώς σε δύο χρόνια - αυστηρά την ίδια μέρα, ώρα και δευτερόλεπτο - ισούται με μηδέν.
11 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
Γεγονός Α - ο μαθητής θα λύσει 11 προβλήματα Γεγονός Β - ο μαθητής θα λύσει περισσότερα από 11 προβλήματα Γεγονός Α + Β - ο μαθητής θα λύσει περισσότερα από 10 προβλήματα P(A) = 0,74-0,67 = 0,07 Απάντηση: 0,07 Πιθανότητα ότι το τεστ Βιολογίας μαθητής Ο. θα λύσει σωστά περισσότερα από 11 προβλήματα είναι 0,67 Η πιθανότητα ο Ο. να λύσει σωστά περισσότερα από 10 προβλήματα είναι 0,74. Γεγονότα A και Extras, η πιθανότητα του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: P(A + B) = P(A) + P(B).
12 διαφάνεια
Περιγραφή διαφάνειας:
1-0,965 = 0,035 Απάντηση: 0,035 Κατά την κατασκευή ρουλεμάν με διάμετρο 67 mm, η πιθανότητα η διάμετρος να διαφέρει από την καθορισμένη κατά όχι περισσότερο από 0,01 mm είναι 0,965 Βρείτε την πιθανότητα ένα τυχαίο ρουλεμάν να έχει διάμετρο μικρότερη από 66,99 mm ή περισσότερο από 67,01 mm.
Διαφάνεια 13
Περιγραφή διαφάνειας:
Γεγονός Α – Ο Γιάννης θα πάρει ένα μηδενισμένο περίστροφο Γεγονός Β – Ο Γιάννης θα πάρει ένα περίστροφο χωρίς πυροβολισμό p(A)=0,4 p(B)=0,6 0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52 Απάντηση: 0,52 Ο καουμπόι Τζον χτυπά μια μύγα στον τοίχο με πιθανότητα 0,9 αν πυροβολήσει περίστροφο. Αν ο Γιάννης πυροβολήσει από έξω ένα μηδενισμένο περίστροφο, τότε χτυπά τη μύγα με πιθανότητα 0,2. Υπάρχουν 10 περίστροφα στο τραπέζι, μόνο 4 από αυτά έχουν πυροβοληθεί ο καουμπόη John βλέπει μια μύγα στον τοίχο, τυχαία αρπάζει το πρώτο περίστροφο που συναντά και πυροβολεί τη μύγα.
«Διακύμανση σημείου» - Ενδιάμεση κατάσταση. Η κίνηση είναι απόσβεση και μη περιοδική. 5. Γραμμικές ταλαντώσεις. 7. Ελεύθερες δονήσεις με ιξώδη αντίσταση. Γενική λύση = γενική λύση + ειδική λύση ομογενούς y-i ανομοιογενούς y-i. 1. Παραδείγματα ταλαντώσεων. Αρμονική κινητήρια δύναμη. Ελεύθερες δονήσεις που προκαλούνται από μια κινητήρια δύναμη.
«Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο» - Τι τιμή παίρνει η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) στο σημείο Β; Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου y= f‘(x) της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-3;3). Τι τιμή παίρνει η παράγωγος των συναρτήσεων y= f(x) στο σημείο Α; Τι γωνία κάνει η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τη θετική φορά του άξονα x;
«Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης» - Μεταξύ των κρίσιμων σημείων υπάρχουν ακραία σημεία. Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ. Κρίσιμα σημεία της συνάρτησης Extrema points. Ορισμός. Ακραία σημεία (επανάληψη). Αλλά, εάν f" (x0) = 0, τότε δεν είναι απαραίτητο το σημείο x0 να είναι ένα ακραίο σημείο. Παραδείγματα. Κρίσιμα σημεία.
«Συντεταγμένες σημείων» - Η συμμετρία του σημείου σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης (Ox). Το σώμα της σαύρας είναι συμμετρικό σε σχέση με μια ευθεία γραμμή. Το ανθρώπινο σώμα έχει έναν άξονα συμμετρίας. Στη φύση, η δομή των σωμάτων των ζώων υπακούει επίσης στους νόμους της συμμετρίας. Το σημείο Β(3;6) είναι συμμετρικό με το σημείο Β(3;-6), που βρίσκεται κάτω από την τετμημένη. Συμπέρασμα: Το Semirichnik είναι ένα σπάνιο φυτό, αλλά τα επτά πέταλα του λουλουδιού έχουν αμφίπλευρη συμμετρία.
"Εθνικά Πάρκα Νότιας Αφρικής" - "Ταξιδέψτε στη Δημοκρατία της Νότιας Αφρικής." Ο διάσημος καταρράκτης Tugela (948 m) με πέντε καταρράκτες βρίσκεται επίσης κοντά. Τρίτη ημέρα Εθνικά πάρκα και καταφύγια. Πρώτη μέρα Η πρωτεύουσα της Νότιας Αφρικής. Οι τιμές των δωματίων του ξενοδοχείου ξεκινούν από 400 $. Ένα ουράνιο τόξο λάμπει σε ένα σύννεφο σκόνης νερού που υψώνεται 100 μέτρα.
"Τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου" - Μια κάθετη που σύρεται από την κορυφή ενός τριγώνου σε μια ευθεία γραμμή που περιέχει την αντίθετη πλευρά ονομάζεται. Υψος. Μέσος τριγώνου. Πρόβλημα Νο. 1. Ύψος τριγώνου. Το τμήμα AN είναι μια κάθετη πτώση από το σημείο Α στην ευθεία α, αν. Το τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς ονομάζεται.