Υπολογισμός της υποτείνουσας. Πώς να βρείτε πόδια εάν είναι γνωστή η υπόταση

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι ορθή γωνία. Είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ή χρησιμοποιώντας τους τύπους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Οδηγίες

• Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που γειτνιάζουν με ορθή γωνία ονομάζονται σκέλη. Στο σχήμα, τα πόδια χαρακτηρίζονται AB και BC. Αφήστε τα μήκη και των δύο ποδιών να δοθούν. Ας τις χαρακτηρίσουμε ως |AB| και |π.Χ.|. Για να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας |AC|, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, δηλ. στη σημειογραφία του σχήματός μας |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Από τον τύπο βρίσκουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας AC βρίσκεται ως |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
• Ας δούμε ένα παράδειγμα. Αφήστε τα μήκη των ποδιών |AB| = 13, |π.Χ.| = 21. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Για να ληφθεί το μήκος της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να εξαχθεί Τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλ. από τον αριθμό 610: |AC| = √610. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τετραγώνων των ακεραίων, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός 610 δεν είναι τέλειο τετράγωνο οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού. Για να λάβουμε την τελική τιμή του μήκους της υποτείνουσας, ας προσπαθήσουμε να αφαιρέσουμε το πλήρες τετράγωνο κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Για να γίνει αυτό, ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 610. 610 = 2 * 5 * 61. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των πρώτων αριθμών, βλέπουμε ότι το 61 είναι πρώτος αριθμός. Επομένως, περαιτέρω μείωση του αριθμού √610 είναι αδύνατη. Παίρνουμε την τελική απάντηση |AC| = √610.
  Αν το τετράγωνο της υποτείνουσας ήταν, για παράδειγμα, 675, τότε √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Εάν είναι δυνατή μια τέτοια μείωση, εκτελέστε έναν αντίστροφο έλεγχο - τετραγωνίστε το αποτέλεσμα και συγκρίνετε το με την αρχική τιμή.
• Ενημερώστε μας ένα από τα σκέλη και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα του. Για να είμαστε συγκεκριμένοι, ας είναι αυτά η πλευρά |AB| και γωνία α. Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνημίτονο - το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ίσο με τον λόγο του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Εκείνοι. στον συμβολισμό μας cos α = |AB| / |AC|. Από αυτό παίρνουμε το μήκος της υποτείνουσας |AC| = |AB| / cos α.
  Αν γνωρίζουμε την πλευρά |π.Χ.| και γωνία α, τότε θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το ημίτονο της γωνίας - το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υπόταση: sin α = |BC| / |AC|. Βρίσκουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας είναι |AC| = |π.Χ.| / cos α.
• Για λόγους σαφήνειας, ας δούμε ένα παράδειγμα. Έστω το μήκος του ποδιού |AB|. = 15. Και γωνία α = 60°. Παίρνουμε |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
  Ας δούμε πώς μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμά σας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους |BC|. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εφαπτομένη της γωνίας tan α = |BC| / |AC|, παίρνουμε |BC| = |AB| * ταν α = 15 * μαύρισμα 60° = 15 * √3. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Ο έλεγχος ολοκληρώθηκε.

Υπάρχουν πολλά είδη τριγώνων: θετικά, ισοσκελές, οξέα και ούτω καθεξής. Όλα έχουν ιδιότητες που είναι κλασικές μόνο για αυτούς και το καθένα έχει τους δικούς του κανόνες για την εύρεση ποσοτήτων, είτε πρόκειται για πλευρά είτε γωνία στη βάση. Αλλά από κάθε ποικιλία αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, είναι δυνατό να ξεχωρίσουμε ένα τρίγωνο με ορθή γωνία σε μια ξεχωριστή ομάδα.

Θα χρειαστείτε

• Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.

Οδηγίες

1. Ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο αν μια από τις γωνίες του είναι 90 μοίρες. Αποτελείται από 2 πόδια και μια υποτείνουσα. Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά αυτού του τριγώνου. Βρίσκεται σε αντίθεση με τη σωστή γωνία. Τα πόδια, κατά συνέπεια, ονομάζονται μικρότερες πλευρές του. Μπορούν να είναι είτε ίσα μεταξύ τους είτε να έχουν διαφορετικά μεγέθη. Ισότητα των ποδιών σημαίνει ότι εργάζεστε με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Η ομορφιά του είναι ότι συνδυάζει τις ιδιότητες δύο μορφών: ενός ορθογώνιου τριγώνου και ενός ισοσκελούς τριγώνου. Εάν τα σκέλη δεν είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι αυθαίρετο και υπακούει στον βασικό νόμο: όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία, τόσο μεγαλύτερο κυλάει αυτό που βρίσκεται απέναντι του.

2. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση της υποτείνουσας με βάση το πόδι και τη γωνία. Αλλά πριν χρησιμοποιήσετε ένα από αυτά, θα πρέπει να προσδιορίσετε ποιο πόδι και ποια γωνία είναι γνωστά. Αν δοθεί μια γωνία και ένα σκέλος δίπλα σε αυτήν, τότε η υποτείνουσα είναι πιο εύκολο να ανιχνευθεί κοιτάζοντας το συνημίτονο της γωνίας. Συνημίτονο οξεία γωνία(συν α) σε ορθογώνιο τρίγωνοονομάζεται η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Από αυτό προκύπτει ότι η υποτείνουσα (γ) θα είναι ίση με τον λόγο του διπλανού σκέλους (β) προς το συνημίτονο της γωνίας α (συν α). Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Εάν δίνεται γωνία και αντίθετο πόδι, τότε θα πρέπει να δουλέψετε με το ημίτονο. Το ημίτονο οξείας γωνίας (sin a) σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς (a) προς την υποτείνουσα (c). Η διατριβή εδώ λειτουργεί όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, μόνο αντί της συνημίτονος λαμβάνεται το ημίτονο. αμαρτία α=α/γ => γ=α/αμαρτία α.

4. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση όπως η εφαπτομένη. Αλλά η εύρεση της επιθυμητής τιμής θα γίνει ελαφρώς πιο δύσκολη. Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας (tg a) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (a) προς το διπλανό σκέλος (b). Έχοντας ανακαλύψει και τα δύο σκέλη, εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα (το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών) και θα ανακαλυφθεί η τεράστια πλευρά του τριγώνου.

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Για να υπολογίσουμε το μήκος του, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος ενός σκέλους και το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

Οδηγίες

1. Με ένα προπορευόμενο σκέλος και μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, το μέγεθος της υποτείνουσας μπορεί να είναι ίσο με το λόγο του σκέλους προς το συνημίτονο/ημίτονο αυτής της γωνίας, εάν αυτή η γωνία είναι αντίθετη/γειτονική με αυτήν: h = C1 ( ή C2)/sin?; h = C1 (ή C2 )/cos μήκος του σκέλους BC είναι 8 cm Πρέπει να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας AB. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που προτείνονται παραπάνω: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

λέξη" πόδι"προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις "κάθετο" ή "βαρίδι" - αυτό εξηγεί γιατί και οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, που αποτελούν τη γωνία ενενήντα μοιρών του, ονομάστηκαν έτσι. Βρείτε το μήκος του καθενός πόδιΔεν είναι δύσκολο αν γνωρίζετε την τιμή της γωνίας δίπλα σε αυτήν και κάποια άλλη παράμετρο, γιατί σε αυτήν την περίπτωση οι τιμές και των 3 γωνιών θα γίνουν πραγματικά γνωστές.

Οδηγίες

1. Αν εκτός από την τιμή της διπλανής γωνίας (β), το μήκος της δεύτερης πόδια (β), μετά το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να οριστεί ως το πηλίκο του μήκους του διάσημου πόδικαι για την εφαπτομένη της επιθυμητής γωνίας: a=b/tg(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό αυτής της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Μπορείτε να κάνετε χωρίς την εφαπτομένη αν χρησιμοποιήσετε το θεώρημα των ημιτόνων. Από αυτό προκύπτει ότι η αναλογία του μήκους της επιθυμητής πλευράς προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι ίση με την αναλογία του μήκους της επιθυμητής πόδικαι στο ημίτονο της περίφημης γωνίας. Αντίθετο με το επιθυμητό πόδι y η οξεία γωνία μπορεί να εκφραστεί μέσω της περίφημης γωνίας ως 180°-90°-β = 90°-β, επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πρέπει να είναι 180°, και με τον ορισμό ενός ορθογωνίου τριγώνου, μία από τις γωνίες είναι ίσες με 90°. Αυτό σημαίνει το επιθυμητό μήκος πόδικαι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Αν είναι γνωστή η τιμή της διπλανής γωνίας (β) και του μήκους της υποτείνουσας (c), τότε το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της περίφημης γωνίας: a=c∗cos(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του συνημιτόνου ως τριγωνομετρικής συνάρτησης. Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, όπως στο προηγούμενο βήμα, το θεώρημα των ημιτόνων και στη συνέχεια το μήκος του επιθυμητού πόδια θα είναι ίσο με το γινόμενο του ημιτόνου της διαφοράς μεταξύ 90° και της γωνίας αναφοράς και το λόγο του μήκους της υποτείνουσας προς το ημίτονο της ορθής γωνίας. Και επειδή το ημίτονο των 90° είναι ίσο με ένα, ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως εξής: a=sin(90°-β)∗c.

3. Οι πραγματικοί υπολογισμοί μπορούν να γίνουν, ας πούμε, χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή λογισμικού που περιλαμβάνεται στο λειτουργικό σύστημα Windows. Για να το εκκινήσετε, μπορείτε να επιλέξετε το στοιχείο "Εκτέλεση" στο κύριο μενού στο κουμπί "Έναρξη", πληκτρολογήστε την εντολή calc και κάντε κλικ στο κουμπί "OK". Στην απλούστερη έκδοση της διεπαφής αυτού του προγράμματος που ανοίγει από προεπιλογή τριγωνομετρικές συναρτήσειςδεν παρέχονται, επομένως, μετά την εκκίνησή του, πρέπει να κάνετε κλικ στην ενότητα "Προβολή" στο μενού και να επιλέξετε τη γραμμή "Επιστήμονας" ή "Μηχανικός" (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος που χρησιμοποιείται).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Η λέξη "kathet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. Σε ακριβή μετάφραση, σημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, σκέλη είναι οι πλευρές που σχηματίζουν μια ορθή γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος «καθετής» χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την ειδική τεχνολογία εργασίες συγκόλλησης.

Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο DIA. Επισημάνετε τα πόδια του ως a και b και την υποτείνησή του ως c. Όλες οι πλευρές και οι γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις. Η αναλογία του σκέλους απέναντι από μία από τις οξείες γωνίες προς την υπότεινουσα ονομάζεται ημιτονοειδές δεδομένη γωνία. Σε αυτό το τρίγωνο sinCAB=a/c. Συνημίτονο είναι η αναλογία προς την υποτείνουσα του διπλανού σκέλους, δηλαδή cosCAB=b/c. Οι αντίστροφες σχέσεις ονομάζονται τέμνουσα και συνέκταση Η τομή μιας δεδομένης γωνίας προκύπτει με διαίρεση της υποτείνουσας με το διπλανό σκέλος, δηλαδή, secCAB = c/b. Το αποτέλεσμα είναι το αντίστροφο του συνημιτόνου, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο secCAB=1/cosSAB. Η συνέκταση ισούται με το πηλίκο της υποτείνουσας διαιρούμενο με την αντίθετη πλευρά και είναι το αντίστροφο του ημιτόνου. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο cosecCAB = 1/sinCAB Και τα δύο σκέλη σχετίζονται μεταξύ τους κατά εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή η απέναντι πλευρά προς τη διπλανή πλευρά. Αυτή η σχέση μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a. Η σχέση μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών καθορίστηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα. Το θεώρημα που πήρε το όνομά του εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από τους ανθρώπους μέχρι σήμερα. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλαδή c2 = a2 + b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b=?(c2-a2). Το μήκος του ποδιού μπορεί να εκφραστεί και μέσα από τις γνωστές σχέσεις. Σύμφωνα με τα θεωρήματα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, ένα σκέλος ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και μιας από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω εφαπτομένης ή συνεφαπτομένης. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, ας πούμε, χρησιμοποιώντας τον τύπο a = b*tan CAB. Με τον ίδιο τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη, προσδιορίζεται το 2ο σκέλος Ο όρος «πόδι» χρησιμοποιείται και στην αρχιτεκτονική. Χρησιμοποιείται σε σχέση με ένα ιωνικό κιονόκρανο και υποδηλώνει ένα βαρέλι στο μέσο της ράχης του. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αυτός ο όρος υποδηλώνει μια κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία. Στην ειδική τεχνολογία συγκόλλησης υπάρχει η έννοια του «πόδι συγκόλλησης φιλέτου». Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλάμε για το διάστημα μεταξύ ενός από τα μέρη που συγκολλούνται στο όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός άλλου τμήματος.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σημείωση!
Όταν εργάζεστε με το Πυθαγόρειο θεώρημα, να θυμάστε ότι έχετε να κάνετε με ένα πτυχίο. Έχοντας ανακαλύψει το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, για να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα, πρέπει να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα.

Η γεωμετρία δεν είναι μια απλή επιστήμη. Μπορεί να είναι χρήσιμο και για τα δύο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, και στο πραγματική ζωή. Η γνώση πολλών τύπων και θεωρημάτων θα απλοποιήσει τους γεωμετρικούς υπολογισμούς. Ενα από τα πολλά απλές φιγούρεςστη γεωμετρία είναι τρίγωνο. Μία από τις ποικιλίες τριγώνων, ισόπλευρη, έχει τα δικά της χαρακτηριστικά.

Χαρακτηριστικά ισόπλευρου τριγώνου

Εξ ορισμού, τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. Πρόκειται για μια επίπεδη δισδιάστατη φιγούρα, οι ιδιότητές της μελετώνται Λύκειο. Ανάλογα με τον τύπο της γωνίας, διακρίνονται οξέα, αμβλεία και ορθογώνια τρίγωνα. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα όπου μία από τις γωνίες είναι 90º. Ένα τέτοιο τρίγωνο έχει δύο σκέλη (δημιουργούν ορθή γωνία) και μια υποτείνουσα (είναι απέναντι από τη σωστή γωνία). Ανάλογα με το ποιες ποσότητες είναι γνωστές, υπάρχουν τρεις απλούς τρόπουςΝα υπολογίσετε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου.

Ο πρώτος τρόπος είναι να βρεθεί η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ο παλαιότερος τρόπος υπολογισμού οποιασδήποτε από τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ακούγεται ως εξής: «Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Έτσι, για τον υπολογισμό της υποτείνουσας, πρέπει να εξαχθεί η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των δύο ποδιών στο τετράγωνο. Για λόγους σαφήνειας, δίνονται τύποι και διάγραμμα.

Δεύτερος τρόπος. Υπολογισμός της υποτείνουσας με χρήση 2 γνωστών μεγεθών: σκέλος και παρακείμενη γωνία

Μία από τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου δηλώνει ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ισοδύναμος με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτού του σκέλους και της υποτείνουσας. Ας ονομάσουμε τη γνωστή σε εμάς γωνία α. Τώρα, χάρη στον γνωστό ορισμό, μπορείτε εύκολα να διατυπώσετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της υποτείνουσας: Υποτείνουσα = πόδι/συν(α)

Τρίτος τρόπος. Υπολογισμός της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας 2 γνωστά μεγέθη: σκέλος και αντίθετη γωνία

Εάν είναι γνωστή η αντίθετη γωνία, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν ξανά οι ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ο λόγος του μήκους του σκέλους και της υποτείνουσας είναι ισοδύναμος με το ημίτονο της αντίθετης γωνίας. Ας ονομάσουμε πάλι τη γνωστή γωνία α. Τώρα για τους υπολογισμούς θα χρησιμοποιήσουμε έναν ελαφρώς διαφορετικό τύπο:
Υποτείνουσα = πόδι/αμαρτία (α)

Παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τους τύπους

Για μια βαθύτερη κατανόηση καθενός από τους τύπους, θα πρέπει να εξετάσετε ενδεικτικά παραδείγματα. Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπου υπάρχουν τα ακόλουθα δεδομένα:

• Πόδι - 8 cm.
• Η διπλανή γωνία cosα1 είναι 0,8.
• Η αντίθετη γωνία sina2 είναι 0,8.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: Υποτείνουσα = τετραγωνική ρίζα του (36+64) = 10 cm.
Ανάλογα με το μέγεθος του σκέλους και τη γειτονική γωνία: 8/0,8 = 10 cm.
Ανάλογα με το μέγεθος του ποδιού και την αντίθετη γωνία: 8/0,8 = 10 cm.

Μόλις κατανοήσετε τον τύπο, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την υποτείνουσα με οποιαδήποτε δεδομένα.

Βίντεο: Πυθαγόρειο Θεώρημα

«Και μας λένε ότι το πόδι είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα...» Αυτές οι γραμμές από το διάσημο τραγούδι που ακούστηκε στην ταινία μεγάλου μήκους «The Adventures of Electronics» είναι όντως σωστές στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Εξάλλου, τα πόδια είναι δύο πλευρές που σχηματίζουν μια γωνία της οποίας το μέτρο της μοίρας είναι 90 μοίρες. Και η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη «τεντωμένη» πλευρά που συνδέει δύο πόδια κάθετα μεταξύ τους και βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι δυνατό να βρεθεί η υποτείνουσα με σκέλη μόνο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και αν το σκέλος ήταν μακρύτερο από την υποτείνουσα, τότε δεν θα υπήρχε τέτοιο τρίγωνο.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα εάν είναι γνωστές και οι δύο πλευρές

Το θεώρημα δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: x^2+y^2=z^2, όπου:

• x – πρώτο σκέλος.
• y – δεύτερο σκέλος;
• z – υποτείνουσα.

Αλλά χρειάζεται απλώς να βρείτε την υποτείνουσα και όχι το τετράγωνό της. Για να το κάνετε αυτό, εξαγάγετε τη ρίζα.

Αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας δύο γνωστά σκέλη:

• Υποδείξτε μόνοι σας πού είναι τα πόδια και πού η υποτείνουσα.
• Τετράγωνο το πρώτο πόδι.
• Τετράγωνο το δεύτερο πόδι.
• Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.
• Εξάγετε τη ρίζα του αριθμού που λήφθηκε στο βήμα 4.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του ημιτονοειδούς αν είναι γνωστό το σκέλος και η οξεία γωνία απέναντί ​​του

Στάση διάσημο πόδιστην οξεία γωνία απέναντι ισούται με την τιμή της υποτείνουσας: a/sin A = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του ημιτονοειδούς:

Ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα: sin A = a/c, όπου:

• α – πρώτο σκέλος.
• A – οξεία γωνία απέναντι από το πόδι.
• γ- υποτείνουσα.

Αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα:

• Υποδείξτε μόνοι σας ένα γνωστό πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό.
• Χωρίστε το πόδι στην αντίθετη γωνία.
• Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του συνημιτόνου εάν είναι γνωστά το σκέλος και η οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του

Ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την οξεία γειτονική γωνία είναι ίσος με την τιμή της υποτείνουσας a/cos B = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του συνημιτόνου: ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα: cos B= a/c, όπου:

• α – δεύτερο σκέλος.
• B – οξεία γωνία δίπλα στο δεύτερο σκέλος.
• γ- υποτείνουσα.

Αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου:

• Υποδείξτε για τον εαυτό σας ένα γνωστό πόδι και μια γειτονική γωνία.
• Διαχωρίστε το πόδι με τη διπλανή γωνία.
• Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το αιγυπτιακό τρίγωνο

Το "αιγυπτιακό τρίγωνο" είναι ένα τρίγωνο αριθμών, γνωρίζοντας τους οποίους μπορείτε να εξοικονομήσετε χρόνο για να βρείτε την υποτείνουσα ή ακόμα και ένα άλλο άγνωστο σκέλος. Το τρίγωνο έχει αυτό το όνομα γιατί στην Αίγυπτο κάποιοι αριθμοί συμβόλιζαν τους Θεούς και αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή πυραμίδων και άλλων διαφόρων δομών.

• Οι τρεις πρώτοι αριθμοί: 3-4-5. Τα πόδια εδώ είναι ίσα με 3 και 4. Τότε η υποτείνουσα θα είναι σίγουρα ίση με 5. Ελέγξτε: (9+16=25).
• Δεύτερο τριπλό αριθμών: 5-12-13. Και εδώ τα σκέλη είναι ίσα με 5 και 12. Επομένως, η υποτείνουσα θα είναι ίση με 13. Ελέγξτε: (25+144=169).

Τέτοιοι αριθμοί βοηθούν ακόμη και όταν διαιρούνται ή πολλαπλασιάζονται με οποιονδήποτε αριθμό. Εάν τα σκέλη είναι 3 και 4, τότε η υποτείνουσα θα είναι ίση με 5. Εάν πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς με 2, τότε η υποτείνουσα θα πολλαπλασιαστεί επίσης με 2. Για παράδειγμα, θα ταιριάζει και το τριπλό των αριθμών 6-8-10 το Πυθαγόρειο θεώρημα και δεν χρειάζεται να υπολογίσετε την υποτείνουσα αν θυμάστε αυτές τις τριάδες αριθμών.



Έτσι, υπάρχουν 4 τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τα γνωστά πόδια. Το περισσότερο η καλύτερη επιλογήείναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά επίσης δεν θα ήταν κακό να θυμάστε τις τριπλέτες αριθμών που συνθέτουν το «αιγυπτιακό τρίγωνο», γιατί μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ χρόνο αν συναντήσετε τέτοιες τιμές.

Σε μετάφραση από τα ελληνικά, η υποτείνουσα σημαίνει «σφιχτός». Για να καταλάβετε σωστά, φανταστείτε ένα φιόγκο που συνδέει τις δύο άκρες ενός εύκαμπτου ραβδιού. Ομοίως, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα, η οποία βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία. Λειτουργεί ως σύνδεσμος στις άλλες δύο πλευρές, που ονομάζονται πόδια. Για να μάθετε πόσο μακριά είναι αυτή η "χορδή", πρέπει να έχετε το μήκος των ποδιών ή το μέγεθος δύο οξειών γωνιών. Συνδυάζοντας αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή χρησιμοποιώντας τύπους.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα με τα πόδια

Ο ευκολότερος τρόπος για να υπολογίσετε είναι αν γνωρίζετε το μέγεθος δύο ποδιών (ας συμβολίσουμε το ένα ως Α και το άλλο ως Β). Ο ίδιος ο Πυθαγόρας και το παγκοσμίου φήμης θεώρημά του έρχονται στη διάσωση. Μας λέει ότι αν τετραγωνίσουμε το μήκος των ποδιών και αθροίσουμε τις υπολογιζόμενες τιμές, τότε ως αποτέλεσμα θα γνωρίζουμε την τετραγωνική τιμή του μήκους της υποτείνουσας. Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε: για να βρούμε την τιμή της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα του συνολικού αθροίσματος των τετραγώνων των σκελών C = √ (A² + B²). Παράδειγμα: πλευρά A=10 cm, πλευρά B=20 cm Η υποτείνουσα είναι ίση με 22,36 cm.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας

Είναι λίγο πιο δύσκολο να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας μέσω μιας δεδομένης γωνίας. Εάν γνωρίζετε το μέγεθος ενός από τα δύο σκέλη (που συμβολίζεται με Α) και το μέγεθος της γωνίας (που συμβολίζεται με α) που βρίσκεται απέναντι του, τότε το μέγεθος της υποτείνουσας βρίσκεται χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, και συγκεκριμένα, το ημίτονο. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να διαιρέσετε την τιμή του γνωστού σκέλους με το ημίτονο της γωνίας. C=A/sin(α). Παράδειγμα: το μήκος του σκέλους A = 30 cm, η γωνία απέναντι του είναι 45°, η υποτείνουσα θα είναι 42,25 cm Ο υπολογισμός είναι ως εξής: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Ένας άλλος τρόπος είναι να βρείτε το μέγεθος της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το συνημίτονο. Χρησιμοποιείται αν γνωρίζετε το μέγεθος του ποδιού (που συμβολίζεται με Β) και την οξεία γωνία (που συμβολίζεται με α) που βρίσκεται δίπλα του. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να διαιρέσετε την τιμή του ποδιού με το ημίτονο της γωνίας. С=В/ cos(α). Παράδειγμα: το μήκος του σκέλους B = 30 cm, η γωνία απέναντι είναι 45°, η υποτείνουσα θα είναι 42,25 cm Ο υπολογισμός είναι ως εξής: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου

Κάθε μαθητής που σέβεται τον εαυτό του γνωρίζει ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, με την προϋπόθεση ότι δύο από τις τρεις πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλάγιες και αυτή που παραμένει ονομάζεται βάση. Εάν μία από τις γωνίες είναι 90°, τότε έχετε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Η εύρεση της υποτείνουσας σε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι απλή, γιατί έχει αρκετές ιδιότητες που θα βοηθήσουν. Οι γωνίες δίπλα στη βάση είναι ίσες σε αξία, το συνολικό άθροισμα των τιμών γωνίας είναι 180°. Αυτό σημαίνει ότι η ορθή γωνία βρίσκεται απέναντι από τη βάση, που σημαίνει ότι η βάση είναι η υποτείνουσα και οι πλευρές είναι τα πόδια.