Raíz de 492. Calcular la raíz cuadrada de un número: cómo calcularla manualmente

Las matemáticas se originaron cuando el hombre tomó conciencia de sí mismo y comenzó a posicionarse como una unidad autónoma del mundo. El deseo de medir, comparar, contar lo que te rodea es lo que subyace a una de las ciencias fundamentales de nuestros días. Al principio eran partículas de matemáticas elementales, que permitían conectar los números con sus expresiones físicas, luego las conclusiones comenzaron a presentarse solo teóricamente (debido a su abstracción), pero después de un tiempo, como dijo un científico, “ Las matemáticas alcanzaron el techo de la complejidad cuando desaparecieron de ella todos los números”. Concepto " Raíz cuadrada“apareció en un momento en que podía apoyarse fácilmente en datos empíricos, yendo más allá del plano de los cálculos.

Donde todo comenzo

La primera mención de la raíz, que es este momento denotado como √, se registró en las obras de los matemáticos babilónicos, quienes sentaron las bases de la aritmética moderna. Por supuesto, se parecían poco a la forma actual: los científicos de aquellos años utilizaron por primera vez tabletas voluminosas. Pero en el segundo milenio antes de Cristo. mi. Derivaron una fórmula de cálculo aproximada que mostraba cómo extraer la raíz cuadrada. La foto de abajo muestra una piedra en la que los científicos babilónicos grabaron el proceso para deducir √2, y resultó ser tan correcto que la discrepancia en la respuesta se encontró solo en el décimo decimal.

Además, se utilizaba la raíz si era necesario encontrar un lado de un triángulo, siempre que se conocieran los otros dos. Bueno, al resolver ecuaciones cuadráticas, no hay escapatoria a la extracción de la raíz.

Junto con las obras babilónicas, el objeto del artículo también se estudió en la obra china "Matemáticas en nueve libros", y los antiguos griegos llegaron a la conclusión de que cualquier número del que no se puede extraer la raíz sin dejar un resto da un resultado irracional. .

El origen de este término está asociado con la representación árabe del número: los científicos antiguos creían que el cuadrado de un número arbitrario crece a partir de una raíz, como una planta. En latín, esta palabra suena como radix (se puede rastrear un patrón: todo lo que tiene un significado de "raíz" es consonante, ya sea rábano o radiculitis).

Los científicos de las generaciones posteriores retomaron esta idea y la denominaron Rx. Por ejemplo, en el siglo XV, para indicar que se tomó la raíz cuadrada de un número arbitrario a, escribieron R 2 a. Habitual vista moderna"tick" √ apareció sólo en el siglo XVII gracias a René Descartes.

Nuestros dias

En términos matemáticos, la raíz cuadrada de un número y es el número z cuyo cuadrado es igual a y. En otras palabras, z 2 =y es equivalente a √y=z. Sin embargo esta definición relevante sólo para la raíz aritmética, ya que implica un valor no negativo de la expresión. En otras palabras, √y=z, donde z es mayor o igual a 0.

En general, lo que se aplica a la determinación de una raíz algebraica, el valor de la expresión puede ser positivo o negativo. Así, debido a que z 2 =y y (-z) 2 =y, tenemos: √y=±z o √y=|z|.

Debido a que el amor por las matemáticas sólo ha aumentado con el desarrollo de la ciencia, existen diversas manifestaciones de afecto por ellas que no se expresan en cálculos secos. Por ejemplo, junto con fenómenos tan interesantes como el Día Pi, también se celebran las fiestas de la raíz cuadrada. Se celebran nueve veces cada cien años, y se determinan según el siguiente principio: los números que indican en orden el día y el mes deben ser la raíz cuadrada del año. Entonces, la próxima vez que celebraremos esta festividad será el 4 de abril de 2016.

Propiedades de la raíz cuadrada en el campo R

Casi todas las expresiones matemáticas tienen una base geométrica, y √y, que se define como el lado de un cuadrado con área y, no ha escapado a este destino.

¿Cómo encontrar la raíz de un número?

Existen varios algoritmos de cálculo. El más sencillo, pero a la vez bastante engorroso, es el cálculo aritmético habitual, que es el siguiente:

1) del número cuya raíz necesitamos, los números impares se restan a su vez, hasta que el resto en la salida sea menor que el restado o incluso igual a cero. El número de movimientos finalmente se convertirá en el número deseado. Por ejemplo, calculando la raíz cuadrada de 25:

El siguiente número impar es 11, el resto es: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tales casos existe una expansión en serie de Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , donde n toma valores de 0 a

+∞, y |y|≤1.

Representación gráfica de la función z=√y

Consideremos la función elemental z=√y en el campo de los números reales R, donde y es mayor o igual a cero. Su horario se ve así:

La curva crece desde el origen y necesariamente cruza el punto (1; 1).

Propiedades de la función z=√y en el campo de los números reales R

1. El dominio de definición de la función considerada es el intervalo de cero a más infinito (se incluye el cero).

2. El rango de valores de la función considerada es el intervalo de cero a más infinito (nuevamente se incluye el cero).

3. La función toma su valor mínimo (0) sólo en el punto (0; 0). No existe un valor máximo.

4. La función z=√y no es par ni impar.

5. La función z=√y no es periódica.

6. Sólo existe un punto de intersección de la gráfica de la función z=√y con los ejes coordenados: (0; 0).

7. El punto de intersección de la gráfica de la función z=√y es también el cero de esta función.

8. La función z=√y crece continuamente.

9. La función z=√y toma solo valores positivos, por lo tanto, su gráfica ocupa el primer ángulo coordenado.

Opciones para mostrar la función z=√y

En matemáticas, para facilitar el cálculo de expresiones complejas, a veces se utiliza la forma potencia de escribir la raíz cuadrada: √y=y 1/2. Esta opción es conveniente, por ejemplo, para elevar una función a una potencia: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Este método también es una buena representación para la derivación con integración, ya que gracias a él la raíz cuadrada se representa como una función de potencia ordinaria.

Y en programación, reemplazar el símbolo √ es la combinación de letras sqrt.

Vale la pena señalar que en esta área la raíz cuadrada tiene una gran demanda, ya que forma parte de la mayoría de las fórmulas geométricas necesarias para los cálculos. El algoritmo de conteo en sí es bastante complejo y se basa en la recursividad (una función que se llama a sí misma).

Raíz cuadrada en campo complejo C

En general, fue el tema de este artículo el que estimuló el descubrimiento del campo de los números complejos C, ya que los matemáticos estaban perseguidos por la cuestión de obtener una raíz par de un número negativo. Así surgió la unidad imaginaria i, que se caracteriza por una propiedad muy interesante: su cuadrado es -1. Gracias a esto se resolvieron ecuaciones cuadráticas incluso con discriminante negativo. En C, las mismas propiedades son relevantes para la raíz cuadrada que en R, lo único es que se eliminan las restricciones a la expresión radical.

En matemáticas, la cuestión de cómo extraer una raíz se considera relativamente simple. Si elevamos al cuadrado números de la serie natural: 1, 2, 3, 4, 5...n, entonces obtenemos la siguiente serie de cuadrados: 1, 4, 9, 16...n 2. La fila de cuadrados es infinita, y si la miras de cerca, verás que no hay muchos números enteros en ella. Por qué esto es así se explicará un poco más adelante.

Raíz de un número: reglas de cálculo y ejemplos.

Entonces, elevamos el número 2 al cuadrado, es decir, lo multiplicamos por sí mismo y obtuvimos 4. ¿Cómo extraer la raíz del número 4? Digamos de inmediato que las raíces pueden ser cuadradas, cúbicas y de cualquier grado hasta el infinito.

La potencia de la raíz es siempre un número natural, es decir, es imposible resolver la siguiente ecuación: una raíz elevada a 3,6 de n.

Raíz cuadrada

Volvamos a la cuestión de cómo extraer la raíz cuadrada de 4. Como elevamos el número 2 al cuadrado, también extraeremos la raíz cuadrada. Para extraer correctamente la raíz de 4, sólo necesitas elegir el número correcto que, elevado al cuadrado, daría el número 4. Y este, por supuesto, es 2. Mira el ejemplo:

• 2 2 =4
• Raíz de 4 = 2

Este ejemplo es bastante simple. Intentemos extraer la raíz cuadrada de 64. ¿Qué número, multiplicado por sí mismo, da 64? Obviamente son 8.

• 8 2 =64
• Raíz de 64=8

raíz cúbica

Como se dijo anteriormente, las raíces no son sólo cuadradas usando un ejemplo, intentaremos explicar más claramente cómo extraer una raíz cúbica o una raíz de tercer grado. El principio de extracción de una raíz cúbica es el mismo que el de una raíz cuadrada, la única diferencia es que el número requerido inicialmente se multiplicó por sí mismo no una, sino dos veces. Es decir, digamos que tomamos el siguiente ejemplo:

• 3x3x3=27
• Naturalmente, la raíz cúbica de 27 es tres:
• Raíz 3 de 27 = 3

Digamos que necesitas encontrar la raíz cúbica de 64. Para resolver esta ecuación, basta con encontrar un número que, elevado a la tercera potencia, dé 64.

• 4 3 =64
• Raíz 3 de 64 = 4

Extraer la raíz de un número en una calculadora.

Por supuesto, lo mejor es aprender a extraer raíces cuadradas, cúbicas y de otro tipo mediante la práctica, resolviendo muchos ejemplos y memorizando tablas de cuadrados y cubos de números pequeños. En el futuro, esto facilitará y reducirá enormemente el tiempo necesario para resolver ecuaciones. Sin embargo, cabe señalar que a veces es necesario extraer la raíz de un número tan grande que elegir el número correcto al cuadrado costará mucho trabajo, si es que es posible. Una calculadora normal vendrá al rescate a la hora de extraer la raíz cuadrada. ¿Cómo extraer la raíz en una calculadora? Simplemente ingrese el número del cual desea encontrar el resultado. Ahora observe de cerca los botones de la calculadora. Incluso el más simple de ellos tiene una llave con un icono de raíz. Al hacer clic en él, obtendrá inmediatamente el resultado final.

No todos los números pueden tener una raíz completa; considere el siguiente ejemplo:

Raíz de 1859 = 43,116122…

Puedes intentar resolver este ejemplo simultáneamente en una calculadora. Como puedes ver, el número resultante no es un número entero; además, el conjunto de dígitos después del punto decimal no es finito; Las calculadoras de ingeniería especiales pueden dar un resultado más preciso, pero el resultado completo simplemente no cabe en la pantalla de las convencionales. Y si continúas la serie de cuadrados que empezaste antes, no encontrarás en él el número 1859 precisamente porque el número que se elevó al cuadrado para obtenerlo no es un número entero.

Si necesita extraer la tercera raíz en una calculadora simple, debe hacer doble clic en el botón con el signo de la raíz. Por ejemplo, toma el número 1859 usado arriba y sácale la raíz cúbica:

Raíz 3 de 1859 = 6,5662867…

Es decir, si elevamos el número 6.5662867... a la tercera potencia, obtenemos aproximadamente 1859. Por lo tanto, extraer raíces de números no es difícil, solo hay que recordar los algoritmos anteriores.

Raíz norte-ésima potencia de un número natural a este numero se llama norte cuya enésima potencia es igual a a. La raíz se designa de la siguiente manera: . El símbolo √ se llama signo raíz o signo radical, número a - número radical, norte - exponente raíz.

La acción mediante la cual se encuentra la raíz de un grado dado se llama extracción de raíces.

Dado que, según la definición del concepto de raíz norte grado

Eso extracción de raíces- una acción inversa a la elevación a una potencia, con la ayuda de la cual se encuentra la base del grado utilizando un grado determinado y un exponente determinado.

Raíz cuadrada

Raíz cuadrada de un número a es el número cuyo cuadrado es igual a a.

La acción mediante la cual se calcula la raíz cuadrada se llama raíz cuadrada.

Raíz cuadrada- la acción opuesta a elevar al cuadrado (o elevar un número a la segunda potencia). Al elevar al cuadrado un número, necesitas encontrar su cuadrado. Al extraer la raíz cuadrada, se conoce el cuadrado del número; es necesario usarlo para encontrar el número en sí.

Por lo tanto, para verificar la exactitud de la acción, puede elevar la raíz encontrada a la segunda potencia y, si el grado es igual al número radical, entonces la raíz se encontró correctamente.

Veamos cómo extraer la raíz cuadrada y verificarla con un ejemplo. Calculemos o (el exponente raíz con un valor de 2 generalmente no se escribe, ya que 2 es el exponente más pequeño y hay que recordar que si no hay un exponente encima del signo de la raíz, entonces el exponente 2 está implícito), para esto Necesito encontrar el número, cuando se eleva al segundo el grado será 49. Obviamente, tal número es 7, ya que

7 7 = 7 2 = 49.

Calcular la raíz cuadrada

Si un número dado es 100 o menos, entonces su raíz cuadrada se puede calcular usando la tabla de multiplicar. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 es 5, porque 5 5 = 25.

Ahora veamos una manera de encontrar la raíz cuadrada de cualquier número sin usar una calculadora. Por ejemplo, tomemos el número 4489 y comencemos a calcularlo paso a paso.

1. Determinemos en qué dígitos debe consistir la raíz requerida. Dado que 10 2 = 10 · 10 = 100 y 100 2 = 100 · 100 = 10000, queda claro que la raíz deseada debe ser mayor que 10 y menor que 100, es decir constan de decenas y unidades.
2. Encuentra el número de decenas de la raíz. Al multiplicar decenas se obtienen centenas, y hay 44 de ellas en nuestro número, por lo que la raíz debe contener tantas decenas que el cuadrado de las decenas dé aproximadamente 44 centenas. Por lo tanto, la raíz debe tener 6 decenas, porque 60 2 = 3600 y 70 2 = 4900 (esto es demasiado). Así, descubrimos que nuestra raíz contiene 6 decenas y varias unidades, ya que está en el rango de 60 a 70.
3. La tabla de multiplicar te ayudará a determinar la cantidad de unidades en la raíz. Mirando el número 4489, vemos que el último dígito es 9. Ahora miramos la tabla de multiplicar y vemos que 9 unidades solo se pueden obtener elevando al cuadrado los números 3 y 7. Esto significa que la raíz del número será igual a 63 o 67.
4. Comprobamos los números que recibimos, 63 y 67, elevándolos al cuadrado: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

En el prefacio de su primera edición, "En el reino del ingenio" (1908), E. I. Ignatiev escribe: "... la iniciativa intelectual, el ingenio y el "ingenio" no pueden "perforarse" ni "meterse" en la cabeza de nadie. Los resultados son fiables sólo cuando la introducción al campo del conocimiento matemático se realiza de forma fácil y amena, utilizando objetos y ejemplos de situaciones ordinarias y cotidianas, seleccionados con el ingenio y el entretenimiento adecuados”.

En el prefacio de la edición de 1911 “El papel de la memoria en las matemáticas”, E.I. Ignatiev escribe "... en matemáticas lo que hay que recordar no son las fórmulas, sino el proceso de pensar".

Para extraer la raíz cuadrada, existen tablas de cuadrados para números de dos dígitos, puedes factorizar el número en factores primos y extraer la raíz cuadrada del producto. A veces una tabla de cuadrados no es suficiente; extraer la raíz mediante factorización es una tarea que requiere mucho tiempo y que además no siempre conduce al resultado deseado. ¿Intentas sacar la raíz cuadrada de 209764? Al factorizar factores primos se obtiene el producto 2*2*52441. Mediante prueba y error, selección; esto, por supuesto, se puede hacer si está seguro de que se trata de un número entero. El método que quiero proponer te permite sacar la raíz cuadrada en cualquier caso.

Érase una vez en el instituto (Instituto Pedagógico Estatal de Perm) nos presentaron este método, del que ahora quiero hablar. Nunca me pregunté si este método tenía una prueba, así que ahora tenía que deducir algunas de las pruebas yo mismo.

La base de este método es la composición del número =.

=&, es decir & 2 = 596334.

1. Divide el número (5963364) en pares de derecha a izquierda (5`96`33`64)

2. Extraiga la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda ( - número 2). Así obtenemos el primer dígito de &.

3. Encuentra el cuadrado del primer dígito (2 2 =4).

4. Encuentra la diferencia entre el primer grupo y el cuadrado del primer dígito (5-4=1).

5. Anotamos los siguientes dos dígitos (obtenemos el número 196).

6. Duplique el primer dígito que encontramos y escríbalo a la izquierda detrás de la línea (2*2=4).

7. Ahora necesitamos encontrar el segundo dígito del número &: el doble del primer dígito que encontramos se convierte en el dígito de las decenas del número, que cuando se multiplica por el número de unidades, necesitas obtener un número menor que 196 (esto es el número 4, 44*4=176). 4 es el segundo dígito de &.

8. Encuentra la diferencia (196-176=20).

9. Derribamos el siguiente grupo (obtenemos el número 2033).

10. Al duplicar el número 24, obtenemos 48.

Hay 11,48 decenas en un número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, deberíamos obtener un número menor que 2033 (484*4=1936). El dígito de las unidades que encontramos (4) es el tercer dígito del número &.

He dado la prueba para los siguientes casos:

1. Extraer la raíz cuadrada de un número de tres cifras;

2. Extraer la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras.

Métodos aproximados para extraer raíces cuadradas (sin utilizar calculadora).

1. Los antiguos babilonios usaban el siguiente método para encontrar el valor aproximado de la raíz cuadrada de su número x. Representaron el número x como la suma a 2 + b, donde a 2 es el cuadrado exacto del número natural a (a 2 ? x) más cercano al número x, y usaron la fórmula . (1)

Usando la fórmula (1), extraemos la raíz cuadrada, por ejemplo, del número 28:

El resultado de extraer la raíz de 28 usando MK es 5.2915026.

Como puedes ver, el método babilónico da una buena aproximación al valor exacto de la raíz.

2. Isaac Newton desarrolló un método para sacar raíces cuadradas que se remonta a Herón de Alejandría (alrededor del año 100 d.C.). Este método (conocido como método de Newton) es el siguiente.

Dejar un 1- la primera aproximación de un número (como 1 se pueden tomar los valores de la raíz cuadrada de un número natural - un cuadrado exacto que no exceda X) .

Siguiente aproximación más precisa un 2 números encontrado por la fórmula .