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Hexágono inscrito. ¿Qué es un hexágono regular y qué problemas se pueden asociar con él? Círculo circunscrito y constructibilidad.

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¿Sabes cómo es un hexágono regular?
Esta pregunta no fue hecha por casualidad. La mayoría de los estudiantes de 11º grado no saben la respuesta a esta pregunta.

Un hexágono regular es aquel en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos también son iguales..

Tuerca de hierro. Copo de nieve. Celda de un panal en el que viven las abejas. Molécula de benceno. ¿Qué tienen estos objetos en común? - El hecho de que todos ellos tienen una forma hexagonal regular.

Muchos escolares se confunden cuando ven problemas que involucran un hexágono regular y creen que se necesitan algunas fórmulas especiales para resolverlos. ¿Es tan?

Dibujemos las diagonales de un hexágono regular. Tenemos seis triángulos equiláteros.

Sabemos que el área de un triángulo regular es: .

Entonces el área de un hexágono regular es seis veces mayor.

¿Dónde está el lado de un hexágono regular?

Tenga en cuenta que en un hexágono regular, la distancia desde su centro a cualquiera de los vértices es la misma e igual al lado del hexágono regular.

Esto significa que el radio de un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular es igual a su lado..
El radio de un círculo inscrito en un hexágono regular no es difícil de encontrar.
Es igual.
Ahora puedes resolver fácilmente cualquier problema de USE que involucre un hexágono regular.

Encuentra el radio de un círculo inscrito en un hexágono regular de lado.

El radio de dicho círculo es igual a .

Respuesta: .

¿Cuál es el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es 6?

Sabemos que el lado de un hexágono regular es igual al radio del círculo que lo rodea.

¿Hay un lápiz cerca de ti? Mire su sección transversal: es un hexágono regular o, como también se le llama, un hexágono. Esta forma también tiene la sección transversal de una nuez, un campo de ajedrez hexagonal, algunas moléculas de carbono complejas (por ejemplo, el grafito), un copo de nieve, un panal y otros objetos. Recientemente se descubrió un hexágono regular gigante en ¿No parece extraño que la naturaleza utilice con tanta frecuencia estructuras de esta forma particular para sus creaciones? Miremos más de cerca.

Un hexágono regular es un polígono con seis lados iguales y ángulos iguales. De curso escolar Sabemos que tiene las siguientes propiedades:

La longitud de sus lados corresponde al radio del círculo circunscrito. De todos, sólo el hexágono regular tiene esta propiedad.
Los ángulos son iguales entre sí y la magnitud de cada uno es 120°.
El perímetro de un hexágono se puede encontrar mediante la fórmula Р=6*R, si se conoce el radio del círculo descrito a su alrededor, o Р=4*√(3)*r, si el círculo está inscrito en él. R y r son los radios del círculo circunscrito e inscrito.
El área ocupada por un hexágono regular se determina de la siguiente manera: S=(3*√(3)*R 2)/2. Si se desconoce el radio, sustituya la longitud de uno de los lados; como se sabe, corresponde a la longitud del radio del círculo circunscrito.

Un hexágono regular tiene una característica interesante, gracias a lo cual se ha generalizado tanto en la naturaleza que es capaz de llenar cualquier superficie del plano sin superposiciones ni huecos. Incluso existe el llamado lema Palema, según el cual un hexágono regular, cuyo lado es igual a 1/√(3), es una cobertura universal, es decir, puede cubrir cualquier conjunto con un diámetro de una unidad. .

Ahora veamos cómo construir un hexágono regular. Existen varios métodos, el más sencillo de los cuales consiste en utilizar un compás, un lápiz y una regla. Primero, dibujamos un círculo arbitrario con un compás, luego marcamos un punto en un lugar arbitrario de este círculo. Sin cambiar el ángulo del compás, colocamos la punta en este punto, marcamos la siguiente muesca en el círculo y continuamos así hasta conseguir los 6 puntos. Ahora solo queda unirlos con segmentos rectos y obtendrás la figura deseada.

En la práctica, hay casos en los que es necesario dibujar un hexágono grande. Por ejemplo, en dos niveles. techo de placas de yeso, alrededor del lugar donde se adjunta la lámpara de araña central, es necesario instalar seis lámparas pequeñas en el nivel inferior. Será muy, muy difícil encontrar brújulas de este tamaño. ¿Qué hacer en este caso? ¿Cómo se puede dibujar un círculo grande? Muy simple. Debe tomar un hilo fuerte de la longitud requerida y atar uno de sus extremos frente al lápiz. Ahora solo queda encontrar un asistente que presione el segundo extremo del hilo contra el techo en el punto deseado. Por supuesto, en este caso, es posible que se produzcan errores menores, pero es poco probable que un extraño los note.

El tema de los polígonos se trata en currículum escolar, pero no le prestes suficiente atención. Mientras tanto, es interesante, y esto es especialmente cierto para un hexágono regular o un hexágono; después de todo, muchas personas tienen esta forma. objetos naturales. Estos incluyen panales y mucho más. Esta forma funciona muy bien en la práctica.

Definición y construcción

Un hexágono regular es una figura plana que tiene seis lados de igual longitud y el mismo número de ángulos iguales.

Si recordamos la fórmula para la suma de los ángulos de un polígono

resulta que en esta figura es igual a 720°. Bueno, como todos los ángulos de la figura son iguales, es fácil calcular que cada uno de ellos es igual a 120°.

Dibujar un hexágono es muy sencillo; todo lo que necesitas es un compás y una regla.

Las instrucciones paso a paso se verán así:

Si lo deseas, puedes prescindir de una línea dibujando cinco círculos de igual radio.

La figura así obtenida será un hexágono regular, y así se puede comprobar a continuación.

Las propiedades son simples e interesantes.

Para entender las propiedades de un hexágono regular, tiene sentido dividirlo en seis triángulos:

Esto ayudará en el futuro a visualizar más claramente sus propiedades, las principales de las cuales son:

diámetro del círculo circunscrito;
diámetro del círculo inscrito;
cuadrado;
perímetro.

Círculo circunscrito y constructibilidad.

Se puede describir un círculo alrededor de un hexágono, y sólo uno. Dado que esta figura es regular, puedes hacerlo de manera muy simple: dibuja una bisectriz desde dos esquinas adyacentes hacia adentro. Se cruzan en el punto O y junto con el lado entre ellos forman un triángulo.

Los ángulos entre el lado del hexágono y las bisectrices serán de 60°, por lo que definitivamente podemos decir que un triángulo, por ejemplo, AOB, es isósceles. Y como el tercer ángulo también será igual a 60°, también es equilátero. De ello se deduce que los segmentos OA y OB son iguales, lo que significa que pueden servir como radio de un círculo.

Después de esto, puedes pasar al siguiente lado y también dibujar una bisectriz desde el ángulo en el punto C. El resultado será otro triángulo equilátero, y el lado AB será común a ambos, y OS será el siguiente radio por el que pasa el mismo círculo. Habrá seis triángulos de este tipo en total y tendrán un vértice común en el punto O. Resulta que será posible describir un círculo, y solo hay uno, y su radio es igual al lado de el hexágono:

Por eso es posible construir esta figura utilizando un compás y una regla.

Bueno, el área de este círculo será estándar:

círculo inscrito

El centro del círculo circunstante coincidirá con el centro del círculo inscrito. Para verificar esto, puedes dibujar perpendiculares desde el punto O a los lados del hexágono. Serán las alturas de los triángulos que forman el hexágono. Y en un triángulo isósceles la altura es la mediana respecto del lado sobre el que descansa. Así, esta altura no es más que la bisectriz perpendicular, que es el radio del círculo inscrito.

La altura de un triángulo equilátero se calcula simplemente:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

Y como R=a y r=h, resulta que

r=R(√3)/2.

Por tanto, la circunferencia pasa por los centros de los lados de un hexágono regular.

Su área será:

S=3πa²/4,

es decir, tres cuartas partes de lo descrito.

Perímetro y área

Con el perímetro todo está claro, es la suma de las longitudes de los lados:

P=6a, o P=6R

Pero el área será igual a la suma de los seis triángulos en los que se puede dividir el hexágono. Como el área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por la altura, entonces:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 o

S=3R²(√3)/2

Quienes deseen calcular esta área a través del radio del círculo inscrito pueden hacer esto:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Construcciones entretenidas

Puedes encajar un triángulo en un hexágono, cuyos lados conectarán los vértices a través de uno:

Habrá dos en total y, superponiéndolas, aparecerá la Estrella de David. Cada uno de estos triángulos es equilátero. Esto no es difícil de verificar. Si miras el lado AC, pertenece a dos triángulos a la vez: BAC y AEC. Si en el primero de ellos AB = BC, y el ángulo entre ellos es de 120°, entonces cada uno de los restantes será de 30°. De esto podemos sacar conclusiones lógicas:

La altura ABC desde el vértice B será igual a la mitad del lado del hexágono, ya que sen30°=1/2. A quienes quieran comprobar esto se les puede recomendar que vuelvan a calcular utilizando el teorema de Pitágoras; aquí encaja perfectamente.
El lado AC será igual a dos radios del círculo inscrito, que nuevamente se calcula usando el mismo teorema. Es decir, AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
Los triángulos ABC, CDE y AEF son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos, y de esto se sigue que los lados AC, CE y EA son iguales.

Al cruzarse entre sí, los triángulos forman un nuevo hexágono, y también es regular. Esto se demuestra simplemente:

Así, la figura cumple con las características de un hexágono regular: tiene seis lados iguales y esquinas. De la igualdad de los triángulos en los vértices es fácil deducir la longitud del lado del nuevo hexágono:

d=a(√3)/3

También será el radio del círculo descrito a su alrededor. El radio inscrito será la mitad del tamaño del lado de un hexágono grande, lo que se demostró al considerar el triángulo ABC. Su altura es exactamente la mitad del lado, por tanto, la segunda mitad es el radio del círculo inscrito en el hexágono pequeño:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Resulta que el área del hexágono dentro de la Estrella de David es tres veces menor que la del hexágono grande en el que está inscrita la estrella.

De la teoría a la práctica

Las propiedades del hexágono se utilizan muy activamente tanto en la naturaleza como en Varias áreas actividad humana. En primer lugar, esto se aplica a los tornillos y tuercas: las cabezas del primero y del segundo no son más que un hexágono regular, si no se tienen en cuenta los chaflanes. Tamaño llaves inglesas corresponde al diámetro del círculo inscrito, es decir, la distancia entre caras opuestas.

Las baldosas hexagonales también han encontrado su aplicación. Es mucho menos común que el cuadrangular, pero es más conveniente colocarlo: en un punto se encuentran tres baldosas, y no cuatro. Las composiciones pueden resultar muy interesantes:

Producido y baldosas de hormigón para pavimentar.

La prevalencia de los hexágonos en la naturaleza se explica de forma sencilla. Por lo tanto, es más fácil colocar círculos y bolas firmemente en un plano si tienen el mismo diámetro. Por eso los panales tienen esta forma.