Najjednostavnije jednadžbe s tangentom. Rješenje trigonometrijskih jednadžbi. Kako riješiti trigonometrijsku jednadžbu

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi zadaci uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearni i kvadrat nejednakosti, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je utvrditi koja se vrsta zadatka rješava, zapamtiti potreban redoslijed akcije koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju, potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija situacija se događa s trigonometrijske jednadžbe. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Po izgled jednadžbi ponekad je teško odrediti njegovu vrstu. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod "iste kutove";
2. dovesti jednadžbu na "iste funkcije";
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Smatrati osnovne metode rješenja trigonometrijske jednadžbe.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. izraziti trigonometrijska funkcija kroz poznate komponente.

Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna supstitucija

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) grijeh (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom pomoću formule za smanjenje snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednadžbu u oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobiti jednadžbu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Korištenje svih vrsta trigonometrijske formule, dovesti ovu jednadžbu do jednadžbe riješene metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važno, njihov razvoj zahtijeva znatan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi povezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih problema, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da Vas kontaktiramo i informiramo jedinstvene ponude, promocije i druga događanja te nadolazeća događanja.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge javne važne prilike.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Primjeri:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe:

Svaku trigonometrijsku jednadžbu treba svesti na jednu od sljedećih vrsta:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

gdje je \(t\) izraz s x, \(a\) je broj. Takve trigonometrijske jednadžbe nazivaju se protozoa. Lako ih je riješiti pomoću () ili posebnim formulama:

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Riješenje:

Odgovor: \(\lijevo[ \begin(sakupljeno)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(sakupljeno)\desno.\) \(k,n∈Z\)

Što znači svaki simbol u formuli za korijene trigonometrijskih jednadžbi, vidi.

Pažnja! Jednadžbe \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) nemaju rješenja ako \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Budući da su sinus i kosinus za bilo koji x veći ili jednak \(-1\) i manji ili jednak \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Primjer . Riješite jednadžbu \(\cos⁡x=-1,1\).
Riješenje: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odgovor : nema rješenja.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu tg\(⁡x=1\).
Riješenje:

Riješi jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Za ovo: 1) Izgradimo krug) 2) Konstruirajte osi \(x\) i \(y\) i os tangenti (prolazi točkom \((0;1)\) paralelno s osi \(y\)). 3) Na osi tangenti označimo točku \(1\). 4) Spojite ovu točku i ishodište - ravnom crtom. 5) Zabilježite točke sjecišta ove linije i brojevne kružnice. 6) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Zapišite sve vrijednosti ovih točaka. Budući da su točno \(π\) udaljene jedna od druge, sve vrijednosti mogu se napisati u jednoj formuli:

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Riješenje:

Upotrijebimo ponovno brojčani krug. 1) Konstruirajmo kružnicu, osi \(x\) i \(y\). 2) Na kosinusnoj osi (osi \(x\)) označite \(0\). 3) Kroz ovu točku povucite okomicu na kosinusnu os. 4) Označite sjecišta okomice i kružnice. 5) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Napišimo cijelu vrijednost ovih točaka i izjednačimo ih s kosinusom (onim što je unutar kosinusa). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Kao i obično, izrazit ćemo \(x\) u jednadžbama. Zapamtite da brojeve tretirate s \(π\), kao i s \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), itd. To su isti brojevi kao i svi ostali. Nema numeričke diskriminacije! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Svođenje trigonometrijskih jednadžbi na najjednostavnije je kreativan zadatak, ovdje morate koristiti obje i posebne metode za rješavanje jednadžbi:
- Metoda (najpopularnija na ispitu).
- Metoda.
- Metoda pomoćnih argumenata.

Razmotrimo primjer rješavanja kvadratne trigonometrijske jednadžbe

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Riješenje:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Napravimo promjenu \(t=\cos⁡x\).
	Naša je jednadžba postala tipična. Možete to riješiti s .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vršimo zamjenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvu jednadžbu rješavamo brojevnim krugom. Druga jednadžba od tada nema rješenja \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i ne može biti jednako dva za bilo koji x.
	Zapišimo sve brojeve koji leže u tim točkama.

Odgovor: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Primjer rješavanja trigonometrijske jednadžbe s proučavanjem ODZ:

Primjer (USE) . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Postoji razlomak i postoji kotangens - pa morate zapisati. Dopustite mi da vas podsjetim da je kotangens zapravo razlomak: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prema tome, DPV za ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Zabilježite "ne-rješenja" na krugu brojeva.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Oslobodimo se nazivnika u jednadžbi množenjem sa ctg\(x\). To možemo jer smo gore napisali da je ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Primijenite formulu dvostrukog kuta za sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ako su vam ruke ispružene da podijelite kosinusom - povucite ih natrag! Možete dijeliti izrazom s varijablom ako ona definitivno nije jednaka nuli (na primjer, kao: \(x^2+1,5^x\)). Umjesto toga, \(\cos⁡x\) vadimo iz zagrada.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Podijelimo jednadžbu na dvije.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Prvu jednadžbu rješavamo brojevnim krugom. Podijelite drugu jednadžbu s \(2\) i pomaknite \(\sin⁡x\) na desnu stranu.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Korijeni koji su se pokazali nisu uključeni u ODZ. Stoga ih nećemo pisati u odgovoru. Druga jednadžba je tipična. Podijelite ga s \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ne može biti rješenje jednadžbe jer u ovom slučaju \(\cos⁡x=1\) ili \(\cos⁡ x =-1\)).
	Opet koristimo krug.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ove korijene ne isključuje ODZ, pa se mogu pisati kao odgovor.

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je utvrditi kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju, potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija situacija se događa s trigonometrijske jednadžbe. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njegovu vrstu pojavom jednadžbe. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod "iste kutove";
2. dovesti jednadžbu na "iste funkcije";
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Smatrati osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju poznatim komponentama.

Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna supstitucija

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) grijeh (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom pomoću formule za smanjenje snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednadžbu u oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobiti jednadžbu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, ovu jednadžbu dovedite do jednadžbe koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važno, njihov razvoj zahtijeva znatan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi povezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih problema, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Dobiti pomoć od učitelja -.
Prvi sat je besplatan!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.