Разложение функции в ряд тейлора, маклорена, лорана. Разложение в ряд маклорена на примерах

16.1. Разложение элементарныхфункций в ряды Тейлора и

Маклорена

Покажем,что если произвольная функциязадана на множестве, в окрестности точкиимеет множество производных и являетсясуммой степенного ряда:

томожно найти коэффициенты этого ряда.

Подставимв степенной ряд.Тогда.

Найдемпервую производную функции:

При:.

Длявторой производной получим:

При:.

Продолжаяэту процедуру nраз получим:.

Такимобразом, получили степенной ряд вида:

,

которыйназывается рядом Тейлорадля функциив окресности точки.

Частнымслучаем ряда Тейлора является рядМаклоренапри:

Остатокряда Тейлора (Маклорена) получаетсяотбрасыванием от основных рядов nпервых членов и обозначается как.Тогда функциюможно записать как суммуnпервых членов рядаи остатка:,

.

Остатокобычновыражают разными формулами.

Однаиз них в форме Лагранжа:

, где..

Заметим,что на практике чаще используетсяряд Маклорена. Такимобразом, для того, чтобы записать функциюв виде суммыстепенного ряданеобходимо:

1)найти коэффициенты ряда Маклорена(Тейлора);

2)найти область сходимости полученногостепенногоряда;

3)доказать, что данный ряд сходитсяк функции.

Теорема1(необходимое и достаточное условиесходимости ряда Маклорена). Пусть радиуссходимости ряда.Для того, чтобы этот ряд сходилсяв интервалек функции,необходимои достаточно, чтобы выполнялось условие:в указанном интервале.

Теорема2.Если производные любого порядкафункциив некотором промежуткеограниченны по абсолютной величинеодним и тем же числомM,то есть,то в этом промежутке функциюможно разложитьв рядМаклорена.

Пример1.Разложить вряд Тейлора вокрестноститочкифункцию.

Решение.

.

,;

,;

,;

,

………………………………………………………………………………………………………………………

,;

Область сходимости.

Пример2.Разложитьфункциюв ряд Тейлора вокрестноститочки.

Решение:

Находимзначение функции и ее производных при.

,;

,;

………..……………………………

,.

Подставляемэти значения в ряд. Получаем:

или.

Найдемобласть сходимости этого ряда. Попризнаку Даламбера ряд сходится,если

.

Следовательно,при любомэтот пределменее 1, апотому область сходимости ряда будет:.

Рассмотримнесколько примеров разложенияв ряд Маклорена основных элементарныхфункций. Напомним, что ряд Маклорена:

.

сходитсянаинтервалек функции.

Отметим,что для разложенияфункциив ряд необходимо:

а)найти коэффициенты ряда Маклорена дляданной функции;

б)вычислить радиус сходимостидля полученного ряда;

в)доказать, что полученный ряд сходитсяк функции.

Пример3.Рассмотримфункцию.

Решение.

Вычислимзначение функции и ее производных при.

Тогда числовые коэффициенты рядаимеют вид:

длялюбого n.Подставим найденныекоэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдемрадиус сходимости полученного ряда, аименно:

.

Следовательно,ряд сходитсянаинтервале.

Этотряд сходитсяк функциипри любых значениях,потому чтоналюбомпромежуткефункцияиее производныепоабсолютной величинеограничены числом.

Пример4.Рассмотримфункцию.

Решение.

:

Нетруднозаметить, что производные четногопорядка,а производные нечетногопорядка.Подставим найденные коэффициенты в рядМаклорена иполучимразложение:

Найдеминтервал сходимости данного ряда. Попризнаку Даламбера:

длялюбого.Следовательно, ряд сходитсянаинтервале.

Этотряд сходитсяк функции,потому что все ее производныеограничены единицей.

Пример5..

Решение.

Найдемзначение функции и ее производных при:

Такимобразом, коэффициенты данного ряда:и,следовательно:

Аналогичнос предыдущим рядом область сходимости.Ряд сходитсяк функции,потому что все еепроизводные ограничены единицей.

Обратимвнимание, что функциянечетнаяи разложениев рядпо нечетнымстепеням, функция– четная и разложение в ряд по четнымстепеням.

Пример6.Биномиальныйряд:.

Решение.

Найдемзначение функции и ее производных при:

Отсюдавидно, что:

Подставимэти значения коэффициентов в рядМаклорена и получим разложение даннойфункции в степенной ряд:

Найдемрадиус сходимости этого ряда:

Следовательно,ряд сходится на интервале.В предельных точках прииряд может сходится или нет в зависимостиот показателя степени.

Исследованныйряд сходится на интервалек функции,то есть суммарядапри.

Пример7.Разложим вряд Маклорена функцию.

Решение.

Дляразложенияв ряд этойфункции используем биномиальный рядпри.Получим:

Наоснове свойства степенных рядов(степенной ряд можно интегрировать вобласти его сходимости) найдем интегралот левой и правой частей данного ряда:

Найдемобласть сходимости данного ряда:,

тоесть областью сходимости данного рядаявляется интервал. Определим сходимость ряда на концахинтервала. При.Этот ряд является гармоничным рядом,то есть расходится. Приполучим числовой ряд с общим членом.

Рядпо признаку Лейбница сходится. Такимобразом, областью сходимости данногоряда является промежуток.

16.2. Применениестепенных рядов степеней в приближенныхвычислениях

Вприближенных вычислениях степенныеряды играют исключительно большую роль.С их помощью составлены таблицытригонометрических функций, таблицылогарифмов, таблицы значений другихфункций, которые используют в разныхобластях знаний, например в теориивероятностей и математической статистике.Кроме того, разложениефункций в степенной ряд полезно для ихтеоретического исследования. Главнымвопросом при использовании степенныхрядов в приближенных вычисленияхявляется вопрос оценки погрешности призамене суммы ряда суммой его первыхnчленов.

Рассмотримдва случая:

функция разложена в знакочередующийся ряд;

функция разложена в знакопостоянный ряд.

Вычисление с помощью знакочередующихсярядов

Пустьфункцияразложена в знакочередующийся степеннойряд. Тогда при вычислении этой функциидля конкретного значенияполучаем числовой ряд, к которому можноприменить признак Лейбница. В соответствиис этим признаком, если сумму ряда заменитьсуммой его первыхnчленов, тоабсолютная погрешность не превышаетпервого члена остатка этого ряда, тоесть:.

Пример8.Вычислитьс точностью до 0,0001.

Решение.

Будемиспользовать ряд Маклорена для,подставив значение угла в радианах:

Еслисравнить первый и второй члены ряда сзаданной точностью, то:.

Третийчлен разложения:

меньшезаданной точности вычисления.Следовательно, для вычислениядостаточно оставить два члена ряда, тоесть

.

Такимобразом.

Пример9.Вычислитьс точностью 0,001.

Решение.

Будемиспользовать формулу биномиальногоряда. Для этого запишемв виде:.

Вэтом выражении,

Сравнимкаждый из членов ряда с точностью,которая задана. Видно, что.Следовательно, для вычислениядостаточно оставить три члена ряда.

или.

Вычисление с помощьюзнакоположительныхрядов

Пример10.Вычислитьчислос точностью до 0,001.

Решение.

Вряд для функцїїподставим.Получим:

Оценимпогрешность, которая возникает призамене суммы ряда суммой первыхчленов. Запишем очевидное неравенство:

тоесть 2,.

Поусловию задачи нужно найти nтакое, чтобы выполнялось неравенство:или.

Легкопроверить, что при n= 6:.

Следовательно,.

Пример11.Вычислитьс точностью0,0001.

Решение.

Заметим,что для вычисления логарифмов можнобыло бы применить ряд для функции,но этот ряд очень медленно сходится идля достижения заданной точности нужнобыло бы взять 9999 членов! Поэтому длявычисления логарифмов, как правило,используется ряд для функции,который сходится на интервале.

Вычислимс помощью этого ряда. Пусть,тогда.

Следовательно,,

Длятого, чтобы вычислитьс заданной точностью, возьмем суммупервых четырех членов:.

Остатокрядаотбросим. Оценим погрешность. Очевидно,что

или .

Такимобразом, в ряду, который был использовандля вычисления, достаточно было взятьтолько четырепервыеслагаемые вместо 9999 в ряду для функции.

Вопросы для самодиагностики

1.Что такое ряд Тейлора?

2.какой вид имеел ряд Маклорена?

3.Сформулировать теорему о разложениифункции в ряд Тейлора.

4.Записать разложение в ряд Маклоренаосновных функций.

5.Указать области сходимости рассмотренныхрядов.

6.Как выполнить оценку погрешности вприближенных вычислениях с помощьюстепенных рядов?

«Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x)» — именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.

Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x

Вычисления: Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции напоследок умножим разложение на числитель. Первое слагаемое — значение функции в нуле f (0) = 1/3. Найдем производные функции первого и высших порядков f (x) и значение этих производных в точке x=0 Далее с закономерности изменения значения производных в 0 записываем формулу для n-й производной Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х Как видите ничего сложного здесь нет. Все ключевые моменты базируются на умении вычислять производные и быстрому обобщении значение производной старших порядков в нуле. Следующие примеры помогут Вам научиться быстро раскладывать функцию в ряд.

Пример 4.10 Найти разложение в ряд Маклорена функцииВычисления: Как Вы возможно догадались раскладывать в ряд будем косинус в числителе. Для этого можете использовать формулы для бесконечно малых величин, или же вывести разложение косинуса через производные. В результате придем к следующему ряду по степеням x Как видите имеем минимум вычислений и компактную запись разложения в ряд.

Пример 4.16 Разложить функцию в ряд по степеням x: 7/(12-x-x^2)Вычисления: В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей. Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей. Далее записываем знаменатели в показательной форме Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях «икс» составляем формулу общего члена разложения функции в ряд Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.

Пример 4.18 Найти разложение в ряд Маклорена функцииВычисления: Найдем производную этой функции: Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена: Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.

Пример 4.28 Найти разложение в ряд Маклорена функции: Запишем логарифм следующим образом По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x логарифм функцию Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а.

Если для некоторого значения х r n®0 при n®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

Пример 1 f(x)=2 x.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0

f(x) = 2 x, f(0) = 2 0=1;

f¢(x) = 2 xln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n2, f (n) (0) = 2 0 ln n2= ln n2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥x

Пример 2х+4) для функции f(x)=e x.

Решение. Находим производные функции e x и их значения в точке х=-4.

f(x) = е x, f(-4) = е -4;

f¢(x) = е x, f¢(-4) = е -4;

f¢¢(x) = е x, f¢¢(-4) = е -4;

f (n) (x) = е x, f (n) ( -4) = е -4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥x

Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).

Решение. Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х-1½

Ряд сходится, если ½х-1½xх=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:

(2) ,

(3) ,

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию

Решение. В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо хв формулу –х, получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо хстоит k(х-а) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.

Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3x-3x

Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .

Решение.

Ряд сходится при , или -2 x£ 5.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:,где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:, где число x заключено между х и а.

f(x)=

В точке x 0 =Количество элементов ряда 3 4 5 6 7Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций:

Если для некоторого значения х r n→0 при n→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:,Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:1) она имеет производные всех порядков;2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:,Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:Показательные функции, R=∞Тригонометрические функции, R=∞, R=∞, (-π/2 Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞Гиперболические функцииЛогарифмические функции, -1Биномиальные ряды.

Пример №1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2 x.Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0f(x) = 2 x, f(0) = 2 0=1;f»(x) = 2 xln2, f»(0) = 2 0 ln2= ln2;f»»(x) = 2 x ln 2 2, f»»(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;…f (n) (x) = 2 x ln n2, f (n) (0) = 2 0 ln n2= ln n2.Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞x

Пример №2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=e x.Решение. Находим производные функции e x и их значения в точке х=-4.f(x) = е x, f(-4) = е -4;f»(x) = е x, f»(-4) = е -4;f»»(x) = е x, f»»(-4) = е -4;…f (n) (x) = е x, f (n) ( -4) = е -4.Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:Данное разложение также справедливо для -∞x

Пример №3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).Решение. Находим производные данной функции. f(x)=lnx , , , , f(1)=ln1=0, f»(1)=1, f»»(1)=-1, f»»»(1)=1*2,…, f (n) =(-1) n-1 (n-1)!Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½Ряд сходится, если ½х-1½xх=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4. Разложить в степенной ряд функцию .Решение. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:, -∞

Пример №5. Разложить в ряд Маклорена функцию .Решение. Имеем Пользуясь формулой (4), можем записать:подставляя вместо х в формулу –х, получим:Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = — Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , . на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| с областью сходимости |x|

Пример №6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5): = Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .Решение.Ряд сходится при , или -2

Пример №8. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.Решение. Сделаем замену t=х-2:Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞Таким образом,, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:

• если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
• если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
• в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.Решение. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2. Вычислить с точностью до 0,0001.Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .Решение. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.Таким образом, находим.

Пример №4. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.Решение.. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.≈0.0001.

Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) — это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением — многочленом — является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.

Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α — R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

1. Определить производные первого, второго, третьего… порядков.
2. Высчитать, чему равны производные в х=0.
3. Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
4. Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2… Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f » (х) = cos х = sin(х+п/2), f «» (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)…, f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:

3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|

Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.