எண்கள். முழு எண்கள்

“குவாட்ராடிக் ஃபங்ஷன்” - பண்புகள்: -ஒருக்கு > 0க்கு மோனோடோனிசிட்டி இடைவெளிகள்< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение இருபடி செயல்பாடு 2 ஒரு செயல்பாட்டின் பண்புகள் 3 ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடங்கள் 4 இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகள் 5 முடிவு. இருபடி செயல்பாடுகள் பல ஆண்டுகளாக பயன்படுத்தப்பட்டு வருகின்றன.

"பவர் செயல்பாடு தரம் 9" - செயல்பாடுகளை நாங்கள் நன்கு அறிந்திருக்கிறோம். சக்தி செயல்பாடு. U. 0. 9 ஆம் வகுப்பு ஆசிரியர் லடோஷ்கினா I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... குறிகாட்டியானது சமமான இயற்கை எண் (2n) ஆகும். Y = x. பரவளைய க்யூபிக் பரவளையம். y=x2n சார்பு சமமானது, ஏனெனில் (–x)2n = x2n.

“8ஆம் வகுப்பு இருபடிச் செயல்பாடு” - 1) பரவளையத்தின் உச்சியைக் கட்டமைத்தல். -1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும். 2) x=-1 சமச்சீர் அச்சை உருவாக்கவும். ஒய். இயற்கணிதம் 8ஆம் வகுப்பு ஆசிரியர் 496 போவினா பள்ளி டி.வி. ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குதல். எக்ஸ். -7. கட்டுமானத் திட்டம்.

“Y X செயல்பாட்டின் வரைபடம்” - y=x2 + n செயல்பாட்டின் வரைபடம் (0; n) புள்ளியில் உள்ள உச்சியுடன் கூடிய பரவளையமாகும். y=(x - m)2 செயல்பாட்டின் வரைபடம், புள்ளியில் (m; 0) அதன் உச்சியைக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடங்களைப் பார்க்க, சுட்டியைக் கிளிக் செய்யவும். கிளிக்கில் பக்கம் காட்டப்படும். மேற்கூறியவற்றிலிருந்து y=(x - m)2 + n செயல்பாட்டின் வரைபடம், புள்ளியில் (m; n) உச்சியைக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.

“இயற்கை மடக்கை” - 0.1. "மடக்கை ஈட்டிகள்" 0.04 121. இயற்கை மடக்கைகள். 7. 4.

"Quadratic function and its graph" - ஆசிரியர்: Ilya Granov. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது: Solution.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-உரியது. 4. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=4x புள்ளி: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4)? a=1 எனும் போது, ​​y=ax என்ற வாய்ப்பாடு வடிவம் பெறுகிறது.

தலைப்பில் மொத்தம் 25 விளக்கக்காட்சிகள் உள்ளன

MBOU லைசியம் எண். 000

தலைப்பில் கணிதக் கட்டுரை

"முழு எண்கள்"

நிறைவு:

5ம் வகுப்பு மாணவி

மொரோசோவ் வான்யா

சரிபார்க்கப்பட்டது:

கணித ஆசிரியர்

நோவோசிபிர்ஸ்க், 2012

அறிமுகம் – 3

நமக்கு ஏன் இயற்கை எண்கள் தேவை - 4

இயற்கை எண்களின் வகைகள் - 5

முடிவு - 6

பயன்படுத்திய இலக்கியம் – 7

அறிமுகம்

இன்று மக்கள் எண்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. எண்கள் எல்லா இடங்களிலும் நம்மைச் சூழ்ந்துள்ளன, அவற்றை நம் வாழ்வின் ஒவ்வொரு நிமிடமும் சந்திக்கிறோம். பல்வேறு வகையான எண்களில், எளிமையான குழு முழு எண்கள், அதன் மூலம் நாம் எண்ணத் தொடங்குகிறோம்.

இலக்கு: இயற்கை எண்களை எந்த வகைகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதைக் கண்டறியவும்.

இயற்கை எண்கள் நமக்கு ஏன் தேவை?

பொருட்களை எண்ணுவதற்கு இயற்கை எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எந்த இயற்கை எண்ணையும் பத்து இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. எண்களை உருவாக்குவதில் எண்கள் “கட்டிடங்கள்”. எண்ணை எழுத ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தலாம். எண்களின் இந்த குறியீடானது தசமம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் 10 வெவ்வேறு இலக்கங்கள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசையும் அழைக்கப்படுகிறது அடுத்த இயற்கை: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

இயற்கை தொடர்எல்லையற்றது, அதற்கு ஆரம்பம் உள்ளது, ஆனால் முடிவே இல்லை, அதாவது மிகப் பெரிய இயற்கை எண் எதுவுமில்லை, நீங்கள் எப்போதும் அதிகமாக இருக்கும் இயற்கை எண்ணைக் காணலாம்.

சிறிய இயற்கை எண் ஒன்று (1), மற்றும் ஒவ்வொன்றும் அடுத்த எண்முந்தையதை விட 1 அதிகம்.

இலக்கத்தின் பொருள் எண் பதிவில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 4 என்பதன் பொருள்: 4 அலகுகள், எண் பதிவில் (அலகுகள் இடத்தில்) கடைசி இடத்தில் இருந்தால்: 4 பத்துகள், அது கடைசி இடத்தில் இருந்தால் (பத்து இடத்தில்), 4 நூறுகள், என்றால் அது முடிவில் இருந்து மூன்றாவது இடத்தில் உள்ளது (நூற்றுக்கணக்கான இடத்தில்).

எண் 0 என்பது எண்ணின் தசம குறியீட்டில் இந்த இலக்கத்தின் அலகுகள் இல்லை என்று அர்த்தம். இது "பூஜ்யம்" என்ற எண்ணைக் குறிக்கவும் உதவுகிறது. இந்த எண் "இல்லை" என்று பொருள். மதிப்பெண் 0: 3 கால்பந்து போட்டிமுதல் அணி எதிரணிக்கு எதிராக ஒரு கோல் கூட அடிக்கவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது.

பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண் அல்ல என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இதன் பொருள் பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண் அல்ல, ஆனால் அந்த எண்ணில் ஒன்று அல்லது பத்துகள் அல்லது நூற்றுக்கணக்கானவை இல்லை என்பதைக் குறிக்க இயற்கை எண்களை எழுத இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இயற்கை எண்களின் வகைகள்.

ஒரு இயற்கை எண்ணின் பதிவு ஒரு அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் - ஒரு இலக்கம், அது அழைக்கப்படுகிறது தெளிவற்ற. எடுத்துக்காட்டாக, 1, 5, 8 எண்கள் ஒற்றை இலக்கங்கள்.

ஒரு எண் இரண்டு எழுத்துக்களைக் கொண்டிருந்தால் - இரண்டு இலக்கங்கள், அது அழைக்கப்படுகிறது இரட்டை இலக்கம். எடுத்துக்காட்டாக, 14, 33, 28, 95 ஆகிய எண்கள் இரண்டு இலக்க எண்கள்.

மேலும், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில், அவை மற்ற எண்களுக்கு பெயர்களைக் கொடுக்கின்றன: எண்கள் 386, 555, 951 - மூன்று இலக்கங்கள்; எண்கள் 1346, 5787, 9999 - நான்கு இலக்கங்கள்முதலியன

இரண்டு இலக்கங்கள், மூன்று இலக்கங்கள், நான்கு இலக்கங்கள், ஐந்து இலக்கங்கள் போன்ற எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பலசொற்கள். உணர்தல் மற்றும் வாசிப்பின் எளிமைக்காக பல இலக்க எண்கள்அவை வலமிருந்து தொடங்கி, ஒவ்வொன்றும் மூன்று இலக்கங்களைக் கொண்ட குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன (இடதுபுறக் குழு ஒன்று அல்லது இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்). உதாரணமாக: , 1,250.

இந்த குழுக்கள் அழைக்கப்படுகின்றன வகுப்புகள். வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் மூன்று இலக்கங்கள் அலகுகளின் வகுப்பை உருவாக்குகின்றன, அடுத்த மூன்று ஆயிரக்கணக்கான வகுப்புகள், பின்னர் மில்லியன்கள், பில்லியன்கள் போன்ற வகுப்புகள் வரும்.

ஆயிரம் என்பது ஆயிரம் அலகுகள் (1,000). 1 ஆயிரம் அல்லது 1,000 என்று எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஒரு மில்லியன் என்பது ஆயிரம் ஆயிரம் (1000 ஆயிரம்). இது எழுதப்பட்டுள்ளது: 1 மில்லியன் அல்லது 1

ஒரு பில்லியன் என்பது ஆயிரம் மில்லியன் (1000 மில்லியன்). இது எழுதப்பட்டுள்ளது: 1 பில்லியன் அல்லது 1,000.

எண்ணைக் கவனியுங்கள்

இந்த எண்ணில் அலகுகள் வகுப்பில் 286 அலகுகள், மில்லியன் வகுப்பில் n அலகுகள் மற்றும் பில்லியன்கள் வகுப்பில் 15 அலகுகள் உள்ளன.

அவை அலகுகளின் வகுப்பின் பெயரையும், மூன்று இலக்கங்கள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும் வகுப்பின் பெயரையும் உச்சரிக்காது.

15 பில்லியன் 389 மில்லியன் 286. (ஆயிரங்கள் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே நாங்கள் அவற்றை உச்சரிக்க மாட்டோம்).

முடிவுரை.

இப்போது இயற்கை எண்களை பல வகைகளாகப் பிரிக்கலாம் என்று நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம். இயற்கை எண்களைப் படிக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும்.

குறிப்புகள்:

2. http://www. *****/பாடங்கள்/5/1.html

இயற்கை எண்களை வரையறுக்க இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன:

• எண்ணுதல் (எண்ணிடுதல்)பொருட்களை ( முதலில், இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது, ஐந்தாவது…);
• இயற்கை எண்கள் எப்போது எழும் எண்கள் அளவு பதவிபொருட்களை ( 0 உருப்படிகள், 1 உருப்படி, 2 பொருட்கள், 3 பொருட்கள், 4 பொருட்கள், 5 பொருட்கள்…).

முதல் வழக்கில், இயற்கை எண்களின் தொடர் ஒன்றிலிருந்து தொடங்குகிறது, இரண்டாவது - பூஜ்ஜியத்துடன். முதல் அல்லது இரண்டாவது அணுகுமுறை விரும்பத்தக்கதா என்பதில் பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்களிடையே ஒருமித்த கருத்து இல்லை (அதாவது, பூஜ்ஜியத்தை இயற்கை எண்ணாகக் கருத வேண்டுமா இல்லையா). பெரும்பான்மையான ரஷ்ய ஆதாரங்கள் பாரம்பரியமாக முதல் அணுகுமுறையை பின்பற்றுகின்றன. இரண்டாவது அணுகுமுறை, எடுத்துக்காட்டாக, நிக்கோலஸ் போர்பாகியின் படைப்புகளில் எடுக்கப்பட்டது, அங்கு இயற்கை எண்கள் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் கார்டினாலிட்டிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.

அடிப்படை உண்மை என்னவென்றால், இந்த கோட்பாடுகள் இயற்கை எண்களை தனித்துவமாக வரையறுக்கின்றன (பீனோ ஆக்சியோம் அமைப்பின் வகைப்படுத்தப்பட்ட தன்மை). அதாவது, அதை நிரூபிக்க முடியும் (பார்க்க, அதே போல் ஒரு சுருக்கமான ஆதாரம்) என்றால் (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))மற்றும் (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N))),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- பீனோ ஆக்சியோம் அமைப்புக்கான இரண்டு மாதிரிகள், பின்னர் அவை ஐசோமார்பிக் அவசியம், அதாவது தலைகீழான மேப்பிங் (பைஜெக்ஷன்) உள்ளது f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))அதுபோல் f (1) = 1 ~ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(1)=(\tilde (1)))மற்றும் f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))எல்லோருக்கும் x ∈ N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x\in \mathbb (N) ).

எனவே, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியாக சரிசெய்தால் போதும்.

இயற்கை எண்ணாக பூஜ்ஜியம்

சில நேரங்களில், குறிப்பாக வெளிநாட்டு மற்றும் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட இலக்கியங்களில், முதல் மற்றும் மூன்றாவது பீனோ கோட்பாடுகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்தால் மாற்றப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண்ணாக கருதப்படுகிறது. ஈக்விபவர் செட் வகுப்புகள் மூலம் வரையறுக்கப்படும் போது, ​​பூஜ்ஜியம் என்பது வரையறையின்படி ஒரு இயற்கை எண். அதை வேண்டுமென்றே நிராகரிப்பது இயற்கைக்கு மாறானது. கூடுதலாக, இது கோட்பாட்டின் மேலும் கட்டுமானம் மற்றும் பயன்பாட்டை கணிசமாக சிக்கலாக்கும், ஏனெனில் பெரும்பாலான கட்டுமானங்களில் பூஜ்ஜியம், வெற்று தொகுப்பு போன்றது, தனித்தனியாக இல்லை. பூஜ்ஜியத்தை இயற்கை எண்ணாகக் கருதுவதன் மற்றொரு நன்மை அது N (\displaystyle \mathbb (N) )ஒரு மோனாய்டை உருவாக்குகிறது.

ரஷ்ய இலக்கியத்தில், பூஜ்ஜியம் பொதுவாக இயற்கை எண்களின் பட்டியலிலிருந்து விலக்கப்படுகிறது ( 0 ∉ N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​0\notin \mathbb (N) )), மற்றும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு என குறிக்கப்படுகிறது N 0 (\displaystyle \mathbb (N)_(0)). இயற்கை எண்களின் வரையறையில் பூஜ்ஜியம் சேர்க்கப்பட்டால், இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு இவ்வாறு எழுதப்படும் N (\displaystyle \mathbb (N) ), மற்றும் பூஜ்யம் இல்லாமல் N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

சர்வதேச கணித இலக்கியத்தில், மேற்கூறியவற்றைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, தெளிவின்மைகளைத் தவிர்க்க, பல உள்ளன ( 1 , 2 , … ) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\(1,2,\புள்ளிகள் \))பொதுவாக நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது Z + (\displaystyle \mathbb (Z)_(+)). ஒரு கொத்து ( 0 , 1 , … ) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\(0,1,\புள்ளிகள் \))பெரும்பாலும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிப்பது Z ⩾ 0 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Z)_(\geqslant 0)).

எனவே, இரண்டு விதிகளின்படி, ஒரு தொகுப்பின் கருத்தின் அடிப்படையில் இயற்கை எண்களும் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன:

இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் ஆர்டினல் எனப்படும்.

முதல் சில ஆர்டினல் எண்கள் மற்றும் தொடர்புடைய இயற்கை எண்களை விவரிப்போம்:

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அளவு

எல்லையற்ற தொகுப்பின் அளவு "ஒரு தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி" என்ற கருத்தாக்கத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை எல்லையற்ற தொகுப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். அளவில் (அதாவது, கார்டினாலிட்டி), இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு எந்த வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் விட பெரியது, ஆனால் எந்த இடைவெளியையும் விட சிறியது, எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளி (0, 1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(0,1)). இயற்கை எண்களின் தொகுப்பானது விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பின் அதே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளது. இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அதே கார்டினாலிட்டியின் தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, எந்தவொரு வரிசையின் விதிமுறைகளின் தொகுப்பு கணக்கிடத்தக்கது. அதே நேரத்தில், ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் எண்ணற்ற முறை தோன்றும் ஒரு வரிசை உள்ளது, ஏனெனில் இயல் எண்களின் தொகுப்பை எண்ணக்கூடிய எண்ணக்கூடிய கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் (உதாரணமாக, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ பெரிய கப் \ வரம்புகள் _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\வலது))).

இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள்

இயற்கை எண்களில் மூடப்பட்ட செயல்பாடுகள் (இயற்கை எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து பெறாத செயல்பாடுகள்) பின்வரும் எண்கணித செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது:

கூடுதலாக, மேலும் இரண்டு செயல்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன (முறையான பார்வையில், அவை இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வரையறுக்கப்படவில்லை. அனைவரும்ஜோடி எண்கள் (சில நேரங்களில் இருக்கும், சில நேரங்களில் இல்லை)):

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் அடிப்படையானவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். குறிப்பாக, முழு எண்களின் வளையம் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பைனரி செயல்பாடுகள் மூலம் துல்லியமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

அடிப்படை பண்புகள்

• கூட்டல் பரிமாற்றம்:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• பெருக்கத்தின் பரிமாற்றம்:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• கூட்டமைப்பு:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• பெருக்கல் தொடர்பு:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோகம்:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

இயற்கணித அமைப்பு

கூட்டல் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை அலகுடன் அரைகுழுவாக மாற்றுகிறது, அலகு பங்கு வகிக்கிறது 0 . பெருக்கல் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை அடையாளத்துடன் அரைகுழுவாக மாற்றுகிறது, அடையாள உறுப்புடன் 1 . கூட்டல்-கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல்-வகுப்பு ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகள் தொடர்பான மூடல்களைப் பயன்படுத்தி, முழு எண்களின் குழுக்கள் பெறப்படுகின்றன. Z (\displaystyle \mathbb (Z) )மற்றும் பகுத்தறிவு நேர்மறை எண்கள் Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))முறையே.

கோட்பாட்டு வரையறைகள்

இயற்கை எண்களின் வரையறையை வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் சம வகுப்புகளாகப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு தொகுப்பின் சமமான வகுப்பைக் குறிக்கிறோம் ஏ, சதுர அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி பைஜெக்ஷன்களால் உருவாக்கப்படுகிறது: [ ஏ], அடிப்படை எண்கணித செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன:

வகுப்புகளின் விளைவான செயல்பாடுகள் சரியாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதைக் காட்டலாம், அதாவது, அவை வகுப்பு கூறுகளின் தேர்வைச் சார்ந்து இல்லை, மேலும் தூண்டல் வரையறைகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன.

மேலும் பார்க்கவும்

குறிப்புகள்

இலக்கியம்

• வைகோட்ஸ்கி எம். யா.தொடக்கக் கணிதத்தின் கையேடு. - எம்.: நௌகா, 1978.
  • மறுபதிப்பு: எம்.: ஏஎஸ்டி, 2006,

கிமு ஆறாம் நூற்றாண்டில் கணிதம் பொது தத்துவத்தில் இருந்து வெளிப்பட்டது. e., மற்றும் அந்த தருணத்திலிருந்து உலகம் முழுவதும் அவரது வெற்றிகரமான அணிவகுப்பு தொடங்கியது. வளர்ச்சியின் ஒவ்வொரு கட்டமும் புதிதாக ஒன்றை அறிமுகப்படுத்தியது - அடிப்படை எண்ணுதல் உருவானது, வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸாக மாற்றப்பட்டது, பல நூற்றாண்டுகள் கடந்துவிட்டன, சூத்திரங்கள் மேலும் மேலும் குழப்பமடைந்தன, மேலும் "மிகவும் சிக்கலான கணிதம் தொடங்கியது - எல்லா எண்களும் அதிலிருந்து மறைந்துவிட்டன" என்ற தருணம் வந்தது. ஆனால் அடிப்படை என்ன?

காலத்தின் ஆரம்பம்

முதல் கணித செயல்பாடுகளுடன் இயற்கை எண்கள் தோன்றின. ஒரு முதுகெலும்பு, இரண்டு முதுகெலும்புகள், மூன்று முதுகெலும்புகள் ... முதல் நிலையை உருவாக்கிய இந்திய விஞ்ஞானிகளுக்கு நன்றி தெரிவித்தன

"நிலைமை" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம், ஒரு எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கத்தின் இருப்பிடமும் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்டு அதன் தரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 784 மற்றும் 487 ஆகியவை ஒரே எண்கள், ஆனால் எண்கள் சமமானவை அல்ல, ஏனெனில் முதலில் 7 நூறுகள் அடங்கும், இரண்டாவது 4 மட்டுமே. இந்திய கண்டுபிடிப்பு அரேபியர்களால் எடுக்கப்பட்டது, அவர்கள் எண்களை வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்தனர். இப்போது நமக்குத் தெரியும்.

பண்டைய காலங்களில், எண்களுக்கு ஒரு மாய அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்டது - நெருப்பு, நீர், பூமி, காற்று ஆகிய அடிப்படைக் கூறுகளுடன் இந்த எண் உலகத்தை உருவாக்குகிறது என்று நம்பினார். எல்லாவற்றையும் கணிதப் பக்கத்திலிருந்து மட்டுமே கருத்தில் கொண்டால், இயற்கை எண் என்றால் என்ன? இயற்கை எண்களின் புலம் N எனக் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் இது முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை எண்களின் எல்லையற்ற தொடர்: 1, 2, 3, ... + ∞. பூஜ்யம் விலக்கப்பட்டுள்ளது. பொருட்களை எண்ணுவதற்கும் வரிசையைக் குறிப்பிடுவதற்கும் முதன்மையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணிதத்தில் அது என்ன? பீனோவின் கோட்பாடுகள்

புலம் N என்பது அடிப்படைக் கணிதத்தின் அடிப்படையிலான அடிப்படையாகும். காலப்போக்கில், முழு எண், பகுத்தறிவு,

இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கியூசெப் பீனோவின் பணி, எண்கணிதத்தின் மேலும் கட்டமைப்பை சாத்தியமாக்கியது, அதன் சம்பிரதாயத்தை அடைந்தது மற்றும் புலப் பகுதி N ஐத் தாண்டிய மேலும் முடிவுகளுக்கு வழியைத் தயாரித்தது.

இயற்கை எண் என்றால் என்ன என்பது முன்பே தெளிவுபடுத்தப்பட்டது எளிய மொழியில், கீழே நாம் பீனோவின் கோட்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஒரு கணித வரையறையை பரிசீலிப்போம்.

• ஒன்று இயற்கை எண்ணாகக் கருதப்படுகிறது.
• இயல் எண்ணைத் தொடர்ந்து வரும் எண் இயற்கை எண்ணாகும்.
• ஒன்றுக்கு முன் இயற்கை எண் இல்லை.
• b என்ற எண் c மற்றும் d என்ற எண் இரண்டையும் பின்பற்றினால், c=d.
• தூண்டலின் கோட்பாடு, இது ஒரு இயற்கை எண் என்ன என்பதைக் காட்டுகிறது: ஒரு அளவுருவைச் சார்ந்திருக்கும் சில கூற்று எண் 1 க்கு உண்மையாக இருந்தால், அது இயற்கை எண்கள் N புலத்திலிருந்து n எண்ணுக்கும் வேலை செய்கிறது என்று கருதுகிறோம். இயல் எண்கள் N புலத்தில் இருந்து n =1 க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாகும்.

இயற்கை எண்களின் புலத்திற்கான அடிப்படை செயல்பாடுகள்

கணிதக் கணக்கீடுகளுக்கு புலம் N முதன்மையானது என்பதால், வரையறையின் களங்கள் மற்றும் கீழே உள்ள பல செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்புகள் இரண்டும் அதற்கு சொந்தமானது. அவை மூடப்பட்டுள்ளன, இல்லை. முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், மூடிய செயல்பாடுகள் எந்த எண்கள் சம்பந்தப்பட்டிருந்தாலும், N தொகுப்பிற்குள் முடிவை விட்டுவிட உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகின்றன. அவை இயற்கையாக இருந்தால் போதும். மற்ற எண் தொடர்புகளின் விளைவு இனி அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை மற்றும் வெளிப்பாட்டில் எந்த வகையான எண்கள் ஈடுபட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்தது, ஏனெனில் இது முக்கிய வரையறைக்கு முரணாக இருக்கலாம். எனவே, மூடப்பட்ட செயல்பாடுகள்:

• கூடுதலாக - x + y = z, x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன;
• பெருக்கல் - x * y = z, x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன;
• விரிவாக்கம் - x y, இதில் x, y ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

மீதமுள்ள செயல்பாடுகள், "இயற்கை எண் என்றால் என்ன" என்ற வரையறையின் பின்னணியில் இல்லாமல் இருக்கலாம்:

N புலத்தைச் சேர்ந்த எண்களின் பண்புகள்

மேலும் அனைத்து கணித பகுத்தறிவும் பின்வரும் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மிகவும் அற்பமானது, ஆனால் குறைவான முக்கியத்துவம் இல்லை.

• கூட்டல் மாற்றும் பண்பு x + y = y + x ஆகும், இதில் எண்கள் x, y ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. அல்லது நன்கு அறியப்பட்ட "விதிகளின் இடங்களை மாற்றுவதன் மூலம் கூட்டுத்தொகை மாறாது."
• பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்பு x * y = y * x ஆகும், இதில் x, y எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• கூட்டலின் கூட்டுப் பண்பு (x + y) + z = x + (y + z), இதில் x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• பெருக்கத்தின் பொருந்தக்கூடிய பண்பு (x * y) * z = x * (y * z), இதில் x, y, z எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• விநியோக சொத்து - x (y + z) = x * y + x * z, இதில் x, y, z எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

பித்தகோரியன் அட்டவணை

எந்த எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைத் தாங்களே புரிந்து கொண்ட பிறகு, ஆரம்பக் கணிதத்தின் முழு அமைப்பையும் மாணவர்களின் அறிவின் முதல் படிகளில் ஒன்று பித்தகோரியன் அட்டவணை. இது அறிவியலின் பார்வையில் மட்டுமல்ல, மிகவும் மதிப்புமிக்க அறிவியல் நினைவுச்சின்னமாகவும் கருதப்படலாம்.

இந்த பெருக்கல் அட்டவணை காலப்போக்கில் பல மாற்றங்களுக்கு உட்பட்டுள்ளது: பூஜ்ஜியம் அதிலிருந்து அகற்றப்பட்டது, மேலும் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்கள் தங்களைக் குறிக்கின்றன, ஆர்டர்களை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் (நூற்றுக்கணக்கான, ஆயிரக்கணக்கான ...). இது வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை தலைப்புகள் எண்களாக இருக்கும் அட்டவணையாகும், மேலும் அவை வெட்டும் கலங்களின் உள்ளடக்கங்கள் அவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்.

சமீபத்திய தசாப்தங்களில் கற்பித்தல் நடைமுறையில், பித்தகோரியன் அட்டவணையை "வரிசைப்படி" மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியம் உள்ளது, அதாவது மனப்பாடம் முதலில் வந்தது. 1 ஆல் பெருக்கல் விலக்கப்பட்டது, ஏனெனில் இதன் விளைவாக 1 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பெருக்கல். இதற்கிடையில், நிர்வாணக் கண்ணால் அட்டவணையில் நீங்கள் ஒரு வடிவத்தை கவனிக்க முடியும்: எண்களின் தயாரிப்பு ஒரு படி அதிகரிக்கிறது, இது வரியின் தலைப்புக்கு சமம். எனவே, விரும்பிய பொருளைப் பெறுவதற்கு முதல் ஒன்றை எத்தனை முறை எடுக்க வேண்டும் என்பதை இரண்டாவது காரணி காட்டுகிறது. இந்த அமைப்பு இடைக்காலத்தில் நடைமுறையில் இருந்ததை விட மிகவும் வசதியானது: இயற்கை எண் என்ன, அது எவ்வளவு அற்பமானது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கூட, இரண்டு சக்திகளின் அடிப்படையில் ஒரு அமைப்பைப் பயன்படுத்தி மக்கள் தங்கள் அன்றாட எண்ணிக்கையை சிக்கலாக்க முடிந்தது.

கணிதத்தின் தொட்டிலாக துணைக்குழு

அன்று இந்த நேரத்தில்இயற்கை எண்களின் புலம் N கலப்பு எண்களின் துணைக்குழுக்களில் ஒன்றாக மட்டுமே கருதப்படுகிறது, ஆனால் இது அறிவியலில் அவற்றின் மதிப்பு குறைவாக இல்லை. ஒரு குழந்தை தன்னைப் படிக்கும் போது கற்றுக் கொள்ளும் முதல் விஷயம் இயற்கை எண் உலகம். ஒரு விரல், இரண்டு விரல்கள் ... அவருக்கு நன்றி, ஒரு நபர் உருவாகிறார் தருக்க சிந்தனை, அத்துடன் காரணத்தைத் தீர்மானிக்கும் திறன் மற்றும் விளைவைக் குறைப்பது, சிறந்த கண்டுபிடிப்புகளுக்கு வழி வகுக்கிறது.

எளிமையான எண் இயற்கை எண். அவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன அன்றாட வாழ்க்கைஎண்ணுவதற்கு பொருள்கள், அதாவது. அவர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வரிசையை கணக்கிட.

இயற்கை எண் என்றால் என்ன: இயற்கை எண்கள்பயன்படுத்தப்படும் எண்களுக்கு பெயரிடுங்கள் பொருட்களை எண்ணுதல் அல்லது அனைத்து ஒரே மாதிரியான பொருளின் வரிசை எண்ணைக் குறிக்கவும்பொருட்களை.

முழு எண்கள்ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும் எண்கள். எண்ணும் போது அவை இயற்கையாகவே உருவாகின்றன.உதாரணமாக, 1,2,3,4,5... -முதல் இயற்கை எண்கள்.

மிகச் சிறிய இயற்கை எண்- ஒன்று. மிகப்பெரிய இயற்கை எண் எதுவும் இல்லை. எண்ணை எண்ணும் போது பூஜ்ஜியம் பயன்படுத்தப்படவில்லை, எனவே பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண்.

இயற்கை எண் தொடர்அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசை. இயற்கை எண்களை எழுதுதல்:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

இயற்கைத் தொடரில், ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தையதை விட ஒவ்வொன்றாக அதிகமாக இருக்கும்.

இயற்கை தொடரில் எத்தனை எண்கள் உள்ளன? இயற்கையான தொடர் எல்லையற்றது; மிகப்பெரிய இயற்கை எண் இல்லை.

எந்த இலக்கத்தின் 10 அலகுகள் அதிகபட்ச இலக்கத்தின் 1 அலகு ஆகும். நிலையாக அப்படி ஒரு இலக்கத்தின் பொருள் எண்ணில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது, அதாவது. அது எழுதப்பட்ட வகையிலிருந்து.

இயற்கை எண்களின் வகுப்புகள்.

எந்த இயற்கை எண்ணையும் 10 அரபு எண்களைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

இயற்கை எண்களைப் படிக்க, அவை வலமிருந்து தொடங்கி ஒவ்வொன்றும் 3 இலக்கங்களைக் கொண்ட குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. 3 முதலில் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்கள் அலகுகளின் வர்க்கம், அடுத்த 3 ஆயிரக்கணக்கான வகுப்புகள், பின்னர் மில்லியன்கள், பில்லியன்கள் மற்றும்முதலியன வகுப்பு இலக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் எனப்படும்வெளியேற்றம்.

இயற்கை எண்களின் ஒப்பீடு.

2 இயற்கை எண்களில், சிறியது எண்ணும் போது முன்பு அழைக்கப்படும் எண்ணாகும். உதாரணத்திற்கு, எண் 7 குறைவாக 11 (இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:7 < 11 ) ஒரு எண் இரண்டாவது எண்ணை விட அதிகமாக இருந்தால், அது இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:386 > 99 .

இலக்கங்களின் அட்டவணை மற்றும் எண்களின் வகுப்புகள்.

1 ஆம் வகுப்பு அலகு	அலகின் 1வது இலக்கம் 2வது இலக்கம் பத்துகள் 3வது இடம் சதம்
2ம் வகுப்பு ஆயிரம்	ஆயிரங்களின் அலகின் 1வது இலக்கம் 2வது இலக்கம் பத்தாயிரங்கள் 3வது வகை நூறாயிரக்கணக்கானோர்
3 ஆம் வகுப்பு மில்லியன்கள்	மில்லியன் யூனிட்டின் 1வது இலக்கம் 2வது வகை பத்து மில்லியன்கள் 3வது வகை நூற்றுக்கணக்கான மில்லியன்கள்
4 ஆம் வகுப்பு பில்லியன்கள்	பில்லியன்களின் யூனிட்டின் 1வது இலக்கம் 2வது வகை பத்து பில்லியன்கள் 3வது வகை நூற்றுக்கணக்கான பில்லியன்கள்

ஐந்தாம் வகுப்பு மற்றும் அதற்கு மேல் உள்ள எண்கள் குறிப்பிடுகின்றன பெரிய எண்கள். 5 ஆம் வகுப்பின் அலகுகள் டிரில்லியன்கள், 6 வது வகுப்பு - குவாட்ரில்லியன்கள், 7 ஆம் வகுப்பு - குயின்டில்லியன்கள், 8 ஆம் வகுப்பு - செக்ஸ்டில்லியன்கள், 9 ஆம் வகுப்பு -எப்டில்லியன்கள். இயற்கை எண்களின் அடிப்படை பண்புகள். கூட்டல் பரிமாற்றம் . a + b = b + a பெருக்கத்தின் பரிமாற்றம். ab = ba கூட்டல் தொடர்பு. (a + b) + c = a + (b + c) பெருக்கத்தின் தொடர்பு. கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோகம்: இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள். 4. இயல் எண்களின் வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடாகும். என்றால் b ∙ c = a, அந்த பிரிவுக்கான சூத்திரங்கள்: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (ஏ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (ஏ∙ b) : c = (b:c) ∙ a எண் வெளிப்பாடுகள் மற்றும் எண் சமத்துவங்கள். செயல் குறிகளால் எண்கள் இணைக்கப்பட்டிருக்கும் குறியீடாகும் எண் வெளிப்பாடு. உதாரணமாக, 10∙3+4; (60-2∙5):10. 2 எண் வெளிப்பாடுகள் சம அடையாளத்துடன் இணைக்கப்பட்ட பதிவுகள் எண் சமத்துவங்கள். சமத்துவம் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. எண்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வதற்கான வரிசை. எண்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முதல் நிலையின் செயல்பாடுகள், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை இரண்டாம் நிலையின் செயல்பாடுகள் ஆகும். ஒரு எண் வெளிப்பாடு ஒரே ஒரு பட்டத்தின் செயல்களைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​அவை தொடர்ச்சியாக நிகழ்த்தப்படுகின்றனஇடமிருந்து வலம். வெளிப்பாடுகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது டிகிரிகளின் செயல்களைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​செயல்கள் முதலில் செய்யப்படுகின்றன இரண்டாவது பட்டம், பின்னர் - முதல் பட்டத்தின் செயல்கள். ஒரு வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகள் இருக்கும்போது, ​​அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள செயல்கள் முதலில் செய்யப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.