வீடு/ பராமரிப்பு

தொடுகோட்டின் அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டறியவும். ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு நேரான தொடுகோடு சமன்பாடு

ஒரு சார்பு f கொடுக்கப்பட வேண்டும், இது ஒரு கட்டத்தில் x 0 ஆனது f (x 0) வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் கோணக் குணகம் f’(x 0) கொண்ட புள்ளி (x 0 ; f (x 0)) வழியாக செல்லும் நேர்கோடு தொடுகோடு எனப்படும்.

x 0 புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை என்றால் என்ன நடக்கும்? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

வரைபடத்திற்கும் தொடுகோடு இல்லை. ஒரு உன்னதமான உதாரணம் y = |x | புள்ளியில் (0; 0).
தொடுகோடு செங்குத்தாக மாறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளியில் (1; π /2) y = arcsin x செயல்பாட்டிற்கு இது உண்மை.

தொடு சமன்பாடு

எந்த செங்குத்து அல்லாத நேர்கோடும் y = kx + b வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, இங்கு k என்பது சாய்வாகும். தொடுவானம் விதிவிலக்கல்ல, மேலும் x 0 புள்ளியில் அதன் சமன்பாட்டை உருவாக்க, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றலின் மதிப்பை அறிந்து கொள்வது போதுமானது.

எனவே, ஒரு சார்பு y = f (x) கொடுக்கப்பட வேண்டும், இது பிரிவில் y = f ’(x) என்ற வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் எந்தப் புள்ளியிலும் x 0 ∈ (a ; b) இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்படலாம், இது சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது:

y = f ’(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

இங்கே f ’(x 0) என்பது x 0 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பாகும், மேலும் f (x 0) என்பது செயல்பாட்டின் மதிப்பாகும்.

பணி. y = x 3 செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. x 0 = 2 என்ற புள்ளியில் இந்தச் சார்பின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானுக்கான சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தொடு சமன்பாடு: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). புள்ளி x 0 = 2 எங்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது, ஆனால் மதிப்புகள் f (x 0) மற்றும் f '(x 0) கணக்கிடப்பட வேண்டும்.

முதலில், செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இங்கே எல்லாம் எளிது: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
x 0 = 2 ஐ வழித்தோன்றலில் மாற்றுகிறோம்: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
மொத்தத்தில் நாம் பெறுவது: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
இது தொடுகோடு சமன்பாடு.

பணி. x 0 = π /2 என்ற புள்ளியில் f (x) = 2sin x + 5 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும்.

இந்த நேரத்தில் நாம் ஒவ்வொரு செயலையும் விரிவாக விவரிக்க மாட்டோம் - நாங்கள் மட்டுமே குறிப்பிடுவோம் முக்கிய படிகள். எங்களிடம் உள்ளது:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

தொடு சமன்பாடு:

y = 0 · (x - π /2) + 7 ⇒ y = 7

பிந்தைய வழக்கில், நேர் கோடு கிடைமட்டமாக மாறியது, ஏனெனில் அதன் கோணக் குணகம் k = 0. இதில் எந்தத் தவறும் இல்லை - நாம் ஒரு தீவிர புள்ளியில் தடுமாறினோம்.

வேலை வகை: 7

நிலை

நேர்கோடு y=3x+2 என்பது y=-12x^2+bx-10 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானது. தொடு புள்ளியின் abscissa பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதால் b ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

x_0 என்பது y=-12x^2+bx-10 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும், இதன் மூலம் இந்த வரைபடத்தின் தொடுகோடு செல்கிறது.

x_0 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம், அதாவது, y"(x_0)=-24x_0+b=3. மறுபுறம், டேன்ஜென்சியின் புள்ளி இரண்டு வரைபடத்திற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமானது. செயல்பாடு மற்றும் தொடுகோடு, அதாவது -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் \begin(வழக்குகள்) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \முடிவு(வழக்குகள்)

இந்த அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது, நாம் x_0^2=1 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது x_0=-1 அல்லது x_0=1. abscissa நிபந்தனையின் படி, தொடு புள்ளிகள் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும், எனவே x_0=-1, பின்னர் b=3+24x_0=-21.

பதில்

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

y=-x^2+5x-7 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு y=-3x+4 என்ற நேர்கோடு தொடுகோடு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி x_0 இல் y=-x^2+5x-7 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு நேர்கோட்டின் கோண குணகம் y"(x_0) க்கு சமம். ஆனால் y"=-2x+5, அதாவது y" (x_0)=-2x_0+5 என்ற நிலையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள y=3x+4 க்கு இணையான கோடுகள் = x_0 இன் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன -2x_0 +5=-3.

நாம் பெறுவது: x_0 = 4.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

நிலை

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

புள்ளி A(-6; 2) மற்றும் B(-1; 1) ஆகிய புள்ளிகள் வழியாக தொடுகோடு செல்கிறது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம். x=-6 மற்றும் y=1 ஆகிய கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை C(-6; 1) ஆல் குறிப்போம், மற்றும் \alpha கோணம் ABC (அது தீவிரமானது என்பதை படத்தில் காணலாம்). பின்னர் நேர்கோடு AB ஆனது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர் திசையுடன் \pi -\alpha கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

அறியப்பட்டபடி, tg(\pi -\alpha) என்பது x_0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பாக இருக்கும். அதை கவனி tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.இங்கிருந்து, குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

பதில்

நிலை

y=-2x-4 என்ற நேர்கோடு y=16x^2+bx+12 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால் b ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

y=16x^2+bx+12 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளியின் abscissa ஆக x_0 இருக்கட்டும்.

இந்த வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு உள்ளது.

x_0 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம், அதாவது, y"(x_0)=32x_0+b=-2. மறுபுறம், டேன்ஜென்சியின் புள்ளி இரண்டு வரைபடத்திற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமானது. செயல்பாடு மற்றும் தொடுகோடு, அதாவது 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் \begin(வழக்குகள்) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \முடிவு(வழக்குகள்)

கணினியைத் தீர்க்கும் போது, நாம் x_0^2=1 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது x_0=-1 அல்லது x_0=1. abscissa நிபந்தனையின்படி, தொடு புள்ளிகள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், எனவே x_0=1, பின்னர் b=-2-32x_0=-34.

பதில்

நிலை

படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, இது இடைவெளியில் (-2; 8) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு y=6 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

நேர்கோடு y=6 ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இந்த அட்டவணையில், அத்தகைய புள்ளிகள் தீவிர புள்ளிகள் (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்). நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, 4 தீவிர புள்ளிகள் உள்ளன.

பதில்

நிலை

y=4x-6 என்ற நேர்கோடு y=x^2-4x+9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டுக்கு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

தன்னிச்சையான புள்ளி x_0 இல் y=x^2-4x+9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு y"(x_0) க்கு சமம். ஆனால் y"=2x-4, அதாவது y"(x_0)= 2x_0-4 நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள y =4x-7 இன் சாய்வு 4. இணையான கோடுகள் 2x_0-4=4 என்ற அதே கோணக் குணகங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன.

பதில்

நிலை

படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா x_0 உடன் புள்ளியில் அதன் தொடுகையும் காட்டுகிறது. x_0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு காட்டு

தீர்வு

புள்ளிகள் A(1; 1) மற்றும் B(5; 4) மூலம் தொடுகோடு செல்கிறது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம். x=5 மற்றும் y=1 கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியை C(5; 1) ஆல் குறிப்போம், மற்றும் \alpha கோணம் BAC (அது தீவிரமானது என்பதை படத்தில் காணலாம்). பின்னர் நேர் கோடு AB ஆனது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர் திசையுடன் \alpha ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

இந்த கட்டுரையில் அனைத்து வகையான சிக்கல்களையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்

நினைவில் கொள்வோம் வடிவியல் பொருள்வழித்தோன்றல்: ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்பட்டால், தொடுகோட்டின் சாய்வு குணகம் (தொடுகோணத்திற்கும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம்) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம் புள்ளியில்.

ஆயத்தொடுகளுடன் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம்:

மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்:

இந்த முக்கோணத்தில்

இங்கிருந்து

இது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

தொடு சமன்பாட்டை எழுத, செயல்பாட்டின் சமன்பாடு மற்றும் தொடுகோடு வரையப்பட்ட புள்ளி ஆகியவற்றை மட்டுமே நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பின்னர் நாம் கண்டுபிடிக்கலாம் மற்றும் .

மூன்று முக்கிய வகையான தொடு சமன்பாடு சிக்கல்கள் உள்ளன.

1. தொடர்பு புள்ளி கொடுக்கப்பட்டது

2. தொடு சாய்வு குணகம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு.

3. தொடு புள்ளி வரையப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் இது தொடு புள்ளி அல்ல.

ஒவ்வொரு வகையான பணிகளையும் பார்ப்போம்.

1 . செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதவும் புள்ளியில் .

b) புள்ளியில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். முதலில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்: .

2. செயல்பாடுகள் வரைபடத்துடன் தொடுநிலையாக இருக்கும் புள்ளிகளின் abscissa ஐக் கண்டறியவும் x அச்சுக்கு இணையாக.

தொடுகோடு x-அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், தொடுகோணத்திற்கும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணம் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே தொடுகோணத்தின் தொடுகோடு பூஜ்ஜியமாகும். இதன் பொருள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு தொடர்பு புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியம்.

அ) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் .

b) வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம் மற்றும் தொடுவானது அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

பதில்: 0;3;5

3. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடுகளுக்கான சமன்பாடுகளை எழுதவும் , இணையான நேராக .

ஒரு தொடுகோடு ஒரு கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது. இந்த கோட்டின் சாய்வு -1. தொடுகோடு இந்த கோட்டிற்கு இணையாக இருப்பதால், தொடுகோட்டின் சாய்வும் -1 ஆகும். அது தொடுவானத்தின் சரிவை நாம் அறிவோம், மற்றும், அதன் மூலம், தொடுநிலை புள்ளியில் வழித்தோன்றல் மதிப்பு.

இது தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் இரண்டாவது வகைச் சிக்கலாகும்.

எனவே, டேன்ஜென்சி புள்ளியில் வழித்தோன்றலின் செயல்பாடு மற்றும் மதிப்பு நமக்கு வழங்கப்படுகிறது.

a) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் -1க்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

முதலில், வழித்தோன்றல் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றலை எண் -1 க்கு சமன் செய்வோம்.

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(நிபந்தனையின்படி)

b) புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(நிபந்தனை மூலம்).

இந்த மதிப்புகளை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

பதில்:

4 . வளைவுக்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதவும் , ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது

முதலில், புள்ளி ஒரு தொடு புள்ளியா என்பதைச் சரிபார்க்கலாம். ஒரு புள்ளி ஒரு தொடு புள்ளியாக இருந்தால், அது செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு சொந்தமானது, மேலும் அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம்.

தலைப்பு="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ஒரு தொடர்பு புள்ளி அல்ல.

தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான கடைசி வகை சிக்கல் இதுவாகும். முதல் விஷயம் நாம் தொடு புள்ளியின் abscissa ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தொடர்பு புள்ளியாக இருக்கட்டும். புள்ளியானது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு சேர்ந்தது. இந்த புள்ளியின் ஆயங்களை நாம் தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றினால், சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு .

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முதலில், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த .

ஒரு புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் சமம் .

தொடுகோடு சமன்பாட்டிற்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவோம். இதற்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்போம்.

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் குறைக்கவும்:

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எளிதாக்குவோம் மற்றும் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கலாம் - இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக உள்ளது.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

அதை தீர்க்கலாம். இதைச் செய்ய, இரண்டு பகுதிகளையும் ஸ்கொயர் செய்து கணினிக்கு செல்லலாம்.

தலைப்பு="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))(">!}

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

முடிவு செய்வோம் இருபடி சமன்பாடு, நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது ரூட் நிபந்தனையின் தலைப்பு="8-3x_0>=0) ஐ பூர்த்தி செய்யவில்லை">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

புள்ளியில் உள்ள வளைவுக்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றவும் - நாங்கள் ஏற்கனவே பதிவு செய்துள்ளோம்.

பதில்:
.

"ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு" என்ற வீடியோ பாடம் தலைப்பில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான கல்விப் பொருளை நிரூபிக்கிறது. வீடியோ பாடத்தின் போது, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு என்ற கருத்தை உருவாக்க தேவையான கோட்பாட்டு பொருள், அத்தகைய தொடுபொருளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறை மற்றும் ஆய்வு செய்யப்பட்ட கோட்பாட்டுப் பொருளைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. .

வீடியோ டுடோரியல் பொருளின் தெளிவை மேம்படுத்தும் முறைகளைப் பயன்படுத்துகிறது. விளக்கக்காட்சியில் வரைபடங்கள், வரைபடங்கள், முக்கியமான குரல் கருத்துகள், அனிமேஷன், தனிப்படுத்துதல் மற்றும் பிற கருவிகள் உள்ளன.

வீடியோ பாடம் பாடத்தின் தலைப்பின் விளக்கக்காட்சி மற்றும் M(a;f(a)) என்ற புள்ளியில் y=f(x) சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு படத்துடன் தொடங்குகிறது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வரைபடத்தில் வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் கோண குணகம் இந்த புள்ளியில் f΄(a) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. மேலும் இயற்கணித பாடத்தில் இருந்து y=kx+m என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை நாம் அறிவோம். ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலுக்கான தீர்வு திட்டவட்டமாக வழங்கப்படுகிறது, இது குணகங்களைக் கண்டறிவதைக் குறைக்கிறது k, m. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்த ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை அறிந்து, ஆய மதிப்பை f(a)=ka+m என்ற தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் m ஐக் கண்டறியலாம். அதிலிருந்து நாம் m=f(a)-ka என்று காண்கிறோம். இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பையும், புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் அறிந்து, நாம் தொடு சமன்பாட்டை y=f(a)+f΄(a)(x-a) என்று குறிப்பிடலாம்.

வரைபடத்தைத் தொடர்ந்து தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது. y=x 2, x=-2 சார்பு கொடுக்கப்பட்டது. a=-2ஐ எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 இல் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். f΄(x)=2x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 க்கு சமம். சமன்பாட்டை உருவாக்க, அனைத்து குணகங்களும் a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, எனவே தொடு சமன்பாடு y=4+(-4)(x+2) ஆகும். சமன்பாட்டை எளிதாக்கினால், நாம் y = -4-4x ஐப் பெறுகிறோம்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு, y=tgx செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள தொடுகோடுக்கான சமன்பாட்டை உருவாக்க பரிந்துரைக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. எனவே தொடுகோடு சமன்பாடு y=x போல் தெரிகிறது.

ஒரு பொதுமைப்படுத்தலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு சமன்பாடு தொடுகோடு உருவாக்கும் செயல்முறை 4 படிகளைக் கொண்ட ஒரு வழிமுறையின் வடிவத்தில் முறைப்படுத்தப்படுகிறது:

தொடு புள்ளியின் abscissa க்கான பதவியை உள்ளிடவும்;
f(a) கணக்கிடப்படுகிறது;
f΄(x) தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் f΄(a) கணக்கிடப்படுகிறது. a, f(a), f΄(a) இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் y=f(a)+f΄(a)(x-a) என்ற தொடுநிலை சமன்பாட்டின் சூத்திரத்தில் மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1 புள்ளி x=1 இல் y=1/x செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதைக் கருதுகிறது. சிக்கலைத் தீர்க்க, நாங்கள் ஒரு வழிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். புள்ளி a=1 இல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு, f(a)=-1 செயல்பாட்டின் மதிப்பு. f΄(x)=1/x 2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். புள்ளி a=1 இல் derivative f΄(a)= f΄(1)=1. பெறப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, தொடுகோடு சமன்பாடு y=-1+(x-1), அல்லது y=x-2 வரையப்பட்டது.

உதாரணம் 2 இல், y=x 3 +3x 2 -2x-2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம். முக்கிய நிபந்தனை y=-2x+1 என்ற தொடுகோடு மற்றும் நேர்கோட்டின் இணையாக உள்ளது. முதலில், y=-2x+1 என்ற நேர்கோட்டின் கோணக் குணகத்திற்குச் சமமான, தொடுகோடுகளின் கோணக் குணகத்தைக் காண்கிறோம். கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு f΄(a)=-2 என்பதால், விரும்பிய டேன்ஜென்ட்டுக்கு k=-2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம் (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. f΄(a)=-2 என்பதை அறிந்தால், புள்ளி 3a 2 +6a-2=-2 இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் 1 =0 மற்றும் 2 =-2 ஐப் பெறுகிறோம். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி, நன்கு அறியப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி தொடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியலாம். f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றினால், முதல் புள்ளிக்கு 1 =0 y=-2x-2 ஐப் பெறுகிறோம், இரண்டாவது புள்ளிக்கு ஒரு 2 =-2 தொடுகோடு சமன்பாடு y=-2x-22 ஐப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3, y=√x செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு (0;3) புள்ளியில் வரைவதற்கான தொடுகோடு சமன்பாட்டின் கலவையை விவரிக்கிறது. நன்கு அறியப்பட்ட அல்காரிதம் மூலம் தீர்வு செய்யப்படுகிறது. தொடு புள்ளியில் x=a ஆயத்தொகுதிகள் உள்ளன, இங்கு a>0. f(a)=√x புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு. f΄(х)=1/2√х செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் f΄(а)=1/2√а. பெறப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் தொடுகோடு சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் y = √a + (x-a)/2√a ஐப் பெறுகிறோம். சமன்பாட்டை மாற்றினால், நாம் y=x/2√а+√а/2 ஐப் பெறுகிறோம். தொடுகோடு புள்ளி (0;3) வழியாக செல்கிறது என்பதை அறிந்தால், a இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். 3=√a/2 இலிருந்து ஒரு ஐக் காண்கிறோம். எனவே √a=6, a=36. y=x/12+3 என்ற தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம். பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் கட்டமைக்கப்பட்ட விரும்பிய தொடுகோடு படம் காட்டுகிறது.

தோராயமான சமத்துவங்கள் Δy=≈f΄(x)Δx மற்றும் f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx ஆகியவை மாணவர்களுக்கு நினைவூட்டப்படுகின்றன. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a என எடுத்துக் கொண்டால், f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), எனவே f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

எடுத்துக்காட்டு 4 இல், 2.003 6 என்ற வெளிப்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம். x=2.003 என்ற புள்ளியில் f(x)=x 6 செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம் என்பதால், f(x)=x 6, a=2, f(a) ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொண்டு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. f΄(2)=192 புள்ளியில் வழித்தோன்றல். எனவே, 2.003 6 ≈65-192·0.003. வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட்டால், நமக்கு 2.003 6 ≈64.576 கிடைக்கும்.

"ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு" என்ற வீடியோ பாடம் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது பாரம்பரிய பாடம்பள்ளியில் கணிதம். தொலைதூரத்தில் கற்பிக்கும் ஆசிரியருக்கு, தலைப்பை இன்னும் தெளிவாக விளக்க வீடியோ பொருள் உதவும். பாடத்தைப் பற்றிய அவர்களின் புரிதலை ஆழப்படுத்த, தேவைப்பட்டால், சுயாதீனமாக மதிப்பாய்வு செய்ய வீடியோவைப் பரிந்துரைக்கலாம்.

உரை டிகோடிங்:

ஒரு புள்ளி M (a; f(a)) (a மற்றும் ef இலிருந்து ஆயத்தொகுப்புகளுடன்) y = f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது மற்றும் இந்த கட்டத்தில் ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியும் என்பதை நாம் அறிவோம். அச்சு abscissa க்கு செங்குத்தாக இல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு, தொடுகோட்டின் கோண குணகம் f"(a) (eff prime இலிருந்து a) க்கு சமம்.

ஒரு சார்பு y = f(x) மற்றும் ஒரு புள்ளி M (a; f(a)) கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் f´(a) உள்ளது என்பதும் அறியப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். இந்த சமன்பாடு, ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத எந்த நேர்கோட்டின் சமன்பாடு போல, y = kx+m (y என்பது ka x plus em க்கு சமம்) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இதன் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதே பணியாகும். குணகங்கள் k மற்றும் m (ka மற்றும் em)

கோணக் குணகம் k= f"(a).m இன் மதிப்பைக் கணக்கிட, விரும்பிய நேர்கோடு M(a; f (a) என்ற புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இதன் பொருள் நாம் ஆயங்களை மாற்றினால் நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டில் புள்ளி M ஐப் பெறுகிறோம், சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: f(a) = ka+m, m = f(a) - ka.

ki மற்றும் m குணகங்களின் காணப்படும் மதிப்புகளை நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதற்கு இது உள்ளது:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

ஒய்= f(அ)+ f"(அ) (எக்ஸ்- அ). ( y என்பது a இலிருந்து ஒரு கூட்டல் ef பிரைமில் இருந்து ef க்கு சமம், x கழித்தல் a ஆல் பெருக்கப்படுகிறது).

x=a என்ற புள்ளியில் உள்ள y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானுக்கான சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம்.

y = x 2 மற்றும் x = -2 (அதாவது a = -2) என்றால், f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, அதாவது f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (பின்னர் a இன் ef என்பது நான்கிற்குச் சமம், பிரைம் இன் ef x என்பது இரண்டு x க்கு சமம், அதாவது ef பிரைம் ஒரு சமம் கழித்தல் நான்கு)

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ஆகியவற்றை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: y = 4+(-4)(x+2), அதாவது y = -4x -4.

(E என்பது கழித்தல் நான்கு x கழித்தல் நான்குக்கு சமம்)

தொடக்கத்தில் y = tanx (y என்பது டேன்ஜென்ட் x க்கு சமம்) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானுக்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். எங்களிடம் உள்ளது: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , அதாவது f"(0) = l. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளான a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ஆகியவற்றை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: y=x.

ஒரு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி x புள்ளியில் உள்ள சார்பின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதில் நமது படிகளைச் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான டேன்ஜெண்டிற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறை

1) தொடுகோடு புள்ளியின் abscissa ஐ எழுத்து a உடன் குறிப்பிடவும்.

2) f(a) ஐக் கணக்கிடவும்.

3) f´(x) ஐக் கண்டுபிடித்து f´(a) ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களை a, f(a), f´(a) சூத்திரத்தில் மாற்றவும் ஒய்= f(அ)+ f"(அ) (எக்ஸ்- அ).

எடுத்துக்காட்டு 1. y = - இன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்

புள்ளி x = 1.

தீர்வு. என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவோம் இந்த எடுத்துக்காட்டில்

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூன்று எண்களை மாற்றவும்: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 சூத்திரத்தில். நாம் பெறுவது: y = -1+(x-1), y = x-2 .

பதில்: y = x-2.

எடுத்துக்காட்டு 2. y = செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் x 3 +3x 2 -2x-2. y = -2x +1 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையான y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்க அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த எடுத்துக்காட்டில் f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ஆனால் தொடு புள்ளியின் abscissa இங்கே குறிப்பிடப்படவில்லை.

இப்படி யோசிக்க ஆரம்பிப்போம். விரும்பிய தொடுகோடு y = -2x+1 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்க வேண்டும். மற்றும் இணையான கோடுகள் சமமான கோண குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன. இதன் பொருள், தொடுகோட்டின் கோண குணகம் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் கோண குணகத்திற்கு சமம்: k தொடுகோடு. = -2. ஹோக் கேஸ். = f"(a) எனவே, f´(a) = -2 என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து a இன் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் y=f(எக்ஸ்):

f"(எக்ஸ்)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

சமன்பாட்டிலிருந்து f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 நாம் ஒரு 1 =0, a 2 =-2. இதன் பொருள், பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் இரண்டு தொடுகோடுகள் உள்ளன: ஒன்று அப்சிஸ்ஸா 0 உடன் புள்ளியில், மற்றொன்று அப்சிஸ்ஸா -2 புள்ளியில் உள்ளது.

இப்போது நீங்கள் அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றலாம்.

1) a 1 =0, மற்றும் 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

சூத்திரத்தில் a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

பதில்: y=-2x-2, y=-2x+2.

எடுத்துக்காட்டு 3. புள்ளியிலிருந்து (0; 3) y = செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையவும். தீர்வு. இந்த எடுத்துக்காட்டில் f(x) = என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்க அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இங்கே, உதாரணம் 2 இல், தொடு புள்ளியின் abscissa வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இருப்பினும், நாங்கள் அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றுகிறோம்.

1) x = a என்பது தொடுநிலைப் புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்; ஒரு >0 என்பது தெளிவாகிறது.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = இன் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுதல்

y=f (a) +f "(a) (x-a), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நிபந்தனையின்படி, தொடுகோடு புள்ளி (0; 3) வழியாக செல்கிறது. சமன்பாட்டில் x = 0, y = 3 மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: 3 = , பின்னர் =6, a =36.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த எடுத்துக்காட்டில், அல்காரிதத்தின் நான்காவது படியில் மட்டுமே தொடு புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது. சமன்பாட்டில் மதிப்பு a =36 ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: y=+3

படத்தில். படம் 1, கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டின் வடிவியல் விளக்கத்தைக் காட்டுகிறது: y = செயல்பாட்டின் வரைபடம் திட்டமிடப்பட்டது, ஒரு நேர் கோடு வரையப்பட்டது y = +3.

பதில்: y = +3.

x புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்ட y = f(x) செயல்பாட்டிற்கு, தோராயமான சமத்துவம் செல்லுபடியாகும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம்: Δyf´(x)Δx (டெல்டா y என்பது டெல்டா x ஆல் பெருக்கப்படும் x இன் eff பிரைமுக்கு தோராயமாக சமம்)

அல்லது, இன்னும் விரிவாக, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x இலிருந்து எஃப் பிளஸ் டெல்டா x மைனஸ் எஃப் x இலிருந்து டெல்டா x ஆல் x இலிருந்து eff பிரைம்க்கு தோராயமாக சமம்).

மேலும் பகுத்தறிவின் வசதிக்காக, குறியீட்டை மாற்றுவோம்:

x க்கு பதிலாக நாம் எழுதுவோம் ஏ,

x+Δxக்கு பதிலாக x என்று எழுதுவோம்

Δx க்கு பதிலாக x-a என்று எழுதுவோம்.

பின்னர் மேலே எழுதப்பட்ட தோராயமான சமத்துவம் வடிவம் எடுக்கும்:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x இலிருந்து eff என்பது, a இலிருந்து ஒரு கூட்டல் ef ப்ரைம் இலிருந்து தோராயமாக சமம், x மற்றும் a இடையே உள்ள வேறுபாட்டால் பெருக்கப்படுகிறது).

எடுத்துக்காட்டு 4. எண் வெளிப்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும் 2.003 6.

தீர்வு. x = 2.003 புள்ளியில் y = x 6 செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பது பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம். f(x)f(a)+f´(a)(x-a), இந்த எடுத்துக்காட்டில் f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 மற்றும், எனவே, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

2.003 6 64+192· 0.003, அதாவது. 2.003 6 =64.576.

நாம் ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுவோம்:

2,003 6 = 64,5781643...

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தோராயமான துல்லியம் மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது.

தொடுகோடு என்பது ஒரு நேர்கோடு , இது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைத் தொடுகிறது மற்றும் அனைத்து புள்ளிகளும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து மிகக் குறுகிய தூரத்தில் இருக்கும். எனவே, தொடுவானானது ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு செல்கிறது, மேலும் பல்வேறு கோணங்களில் உள்ள பல தொடுகோடுகள் தொடு புள்ளியின் வழியாக செல்ல முடியாது. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடு சமன்பாடுகள் மற்றும் சாதாரண சமன்பாடுகள் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படுகின்றன.

தொடுகோடு சமன்பாடு கோடு சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது .

தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இயல்பான சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்.

ஒய் = kx + பி .

அவனில் கே- கோண குணகம்.

இங்கிருந்து நாம் பின்வரும் உள்ளீட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஒய் - ஒய் 0 = கே(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) .

வழித்தோன்றல் மதிப்பு f "(எக்ஸ் 0 ) செயல்பாடுகள் ஒய் = f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ்0 சரிவுக்கு சமம் கே= டிஜி φ ஒரு புள்ளியின் மூலம் வரையப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு எம்0 (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) , எங்கே ஒய்0 = f(எக்ஸ் 0 ) . இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் .

எனவே, நாம் மாற்றலாம் கேஅன்று f "(எக்ஸ் 0 ) மற்றும் பின்வருவனவற்றைப் பெறுங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடு :

ஒய் - ஒய் 0 = f "(எக்ஸ் 0 )(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் ஒரு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல்களில் (அவற்றுக்கு விரைவில் செல்வோம்), மேலே உள்ள சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாட்டைக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம். பொதுவான வடிவத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு. இதைச் செய்ய, நீங்கள் எல்லா எழுத்துக்களையும் எண்களையும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்த வேண்டும், மேலும் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விடவும்.

இப்போது சாதாரண சமன்பாடு பற்றி. இயல்பானது - இது தொடுநிலைக்கு செங்குத்தாக செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுநிலை புள்ளி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு. இயல்பான சமன்பாடு :

(எக்ஸ் - எக்ஸ் 0 ) + f "(எக்ஸ் 0 )(ஒய் - ஒய் 0 ) = 0

சூடுபடுத்த, முதல் உதாரணத்தை நீங்களே தீர்க்கும்படி கேட்கப்படுவீர்கள், பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள். இந்த பணி எங்கள் வாசகர்களுக்கு "குளிர் மழை" ஆகாது என்று நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 0.ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்கவும் எம் (1, 1) .

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு ஆகியவற்றை எழுதுங்கள் , abscissa தொடுகோடு இருந்தால் .

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது தொடு சமன்பாட்டைப் பெற கோட்பாட்டு உதவியில் கொடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டில் மாற்றியமைக்க வேண்டிய அனைத்தும் எங்களிடம் உள்ளன. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த எடுத்துக்காட்டில், நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள்: சாய்வு பூஜ்ஜியமாக மாறியது, எனவே சமன்பாட்டை தனித்தனியாக குறைக்கிறோம் பொது தோற்றம்தேவை இல்லை. இப்போது நாம் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்கலாம்:

கீழே உள்ள படத்தில்: ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் பர்கண்டி நிறம், தொடுகோடு பச்சை நிறம், சாதாரண ஆரஞ்சு.

அடுத்த எடுத்துக்காட்டும் சிக்கலானது அல்ல: செயல்பாடு, முந்தையதைப் போலவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், ஆனால் சாய்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, எனவே மேலும் ஒரு படி சேர்க்கப்படும் - சமன்பாட்டை ஒரு பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வரும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

தொடுநிலை புள்ளியில், அதாவது தொடுகோட்டின் சாய்வில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பெறப்பட்ட எல்லா தரவையும் "வெற்று சூத்திரத்தில்" மாற்றி, தொடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம் (இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர மற்ற எல்லா எழுத்துக்களையும் எண்களையும் சேகரித்து, வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விட்டுவிடுகிறோம்):

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.அப்சிஸ்ஸா என்பது தொடுநிலை புள்ளியாக இருந்தால், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு மற்றும் இயல்பான சமன்பாட்டை செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதற்கு முன், நீங்கள் சிறிது "சீப்பு" செய்ய வேண்டும்: காலத்தை 4 ஆல் பெருக்கவும். நாங்கள் இதைச் செய்து சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.அப்சிஸ்ஸா என்பது தொடுநிலை புள்ளியாக இருந்தால், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு மற்றும் இயல்பான சமன்பாட்டை செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நாம் தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

சமன்பாட்டை அதன் பொதுவான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

நாங்கள் சாதாரண சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

தொடுகோடு மற்றும் சாதாரண சமன்பாடுகளை எழுதும் போது ஒரு பொதுவான தவறு என்னவென்றால், எடுத்துக்காட்டில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதைக் கவனிக்காமல், அதன் வழித்தோன்றலை ஒரு எளிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகக் கணக்கிடுவது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் ஏற்கனவே இருந்து வந்தவை சிக்கலான செயல்பாடுகள்(தொடர்பான பாடம் புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 5.அப்சிஸ்ஸா என்பது தொடுநிலை புள்ளியாக இருந்தால், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு மற்றும் இயல்பான சமன்பாட்டை செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு எழுதவும்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கவனம்! இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது, ஏனெனில் தொடு வாதம் (2 எக்ஸ்) தானே ஒரு செயல்பாடு. எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகக் காண்கிறோம்.

பிரபலமான பொருட்கள்

ஆற்றல் காட்டேரியின் செல்வாக்கிலிருந்து உங்களைப் பாதுகாத்துக் கொள்வதற்கான வழிகள்
அகாதிஸ்ட் டு ஹிரோமார்டிர் சைப்ரியன் மற்றும் ஜஸ்டினா அகாதிஸ்ட் டு சைப்ரியன் மற்றும் ஜஸ்டினா ஆர்த்தடாக்ஸி
டயட் சுரைக்காய் சூப் டயட் சுரைக்காய் சூப்
பெயரின் பொருள், பெயரின் ரகசியம்
முட்டைக்கோஸ் கொண்ட பாலாடை: சமையல்