எண் தொகுப்புகளின் பதவி, பதிவு மற்றும் பிரதிநிதித்துவம். தொகுப்பின் கருத்து. தொகுப்புகளைக் குறிப்பிடுவதற்கான முறைகள்

கணித பகுப்பாய்வு என்பது ஒரு எண்ணற்ற செயல்பாட்டின் யோசனையின் அடிப்படையில் செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்யும் கணிதத்தின் கிளை ஆகும்.

கணித பகுப்பாய்வின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் அளவு, தொகுப்பு, செயல்பாடு, எல்லையற்ற செயல்பாடு, வரம்பு, வழித்தோன்றல், ஒருங்கிணைந்த.

அளவுஎண் மூலம் அளவிடக்கூடிய மற்றும் வெளிப்படுத்தக்கூடிய எதையும் அழைக்கப்படுகிறது.

நிறையசிலவற்றால் ஒன்றிணைக்கப்பட்ட சில கூறுகளின் தொகுப்பாகும் பொதுவான அம்சம். ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் எண்கள், உருவங்கள், பொருள்கள், கருத்துக்கள் போன்றவையாக இருக்கலாம்.

தொகுப்புகள் பெரிய எழுத்துகளால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் தொகுப்பின் கூறுகள் சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. தொகுப்புகளின் கூறுகள் சுருள் பிரேஸ்களில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன.

உறுப்பு என்றால் எக்ஸ்தொகுப்பைச் சேர்ந்தது எக்ஸ், பின்னர் எழுதவும் எக்ஸ்∈எக்ஸ் (∈ - சொந்தமானது).
A என்பது செட் B இன் பகுதியாக இருந்தால், எழுதவும் ஏ ⊂ பி (⊂ - அடங்கியுள்ளது).

ஒரு தொகுப்பை இரண்டு வழிகளில் ஒன்றில் வரையறுக்கலாம்: கணக்கீடு மற்றும் வரையறுக்கும் சொத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் தொகுப்புகள் கணக்கீடு மூலம் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

• A=(1,2,3,5,7) - எண்களின் தொகுப்பு
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - சில தனிமங்களின் தொகுப்பு x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — முழு எண்களின் தொகுப்பு

தொகுப்பு (-∞;+∞) அழைக்கப்படுகிறது எண் வரி, மற்றும் எந்த எண்ணும் இந்த வரியில் ஒரு புள்ளியாகும். எண் கோட்டில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியாகவும், δ ஆகவும் இருக்கட்டும் நேர்மறை எண். இடைவெளி (a-δ; a+δ) என்று அழைக்கப்படுகிறது δ-புள்ளியின் அக்கம்.

எந்த x ∈ X க்கும் சமத்துவமின்மை x≤с (x≥c) வைத்திருக்கும் ஒரு எண் c இருந்தால், X ஒரு தொகுப்பு மேலே இருந்து (கீழே இருந்து) வரம்பிடப்படும். இந்த வழக்கில் சி எண் அழைக்கப்படுகிறது மேல் (கீழ்) விளிம்பு X செட். மேலேயும் கீழேயும் வரம்புள்ள ஒரு தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது வரையறுக்கப்பட்ட. ஒரு தொகுப்பின் மேல் (கீழ்) முகங்களின் சிறிய (பெரிய) முகங்கள் அழைக்கப்படுகிறது சரியான மேல் (கீழ்) விளிம்புஇந்த கூட்டம்.

அடிப்படை எண் தொகுப்புகள்

என்	(1,2,3,...,n) அனைத்தின் தொகுப்பு
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) அமை முழு எண்கள்.முழு எண்களின் தொகுப்பில் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு அடங்கும்.
கே	ஒரு கொத்து விகிதமுறு எண்கள். முழு எண்களுக்கு கூடுதலாக, பின்னங்களும் உள்ளன. பின்னம் என்பது வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும் ப- முழு, கே- இயற்கை. தசம பின்னங்களை என்றும் எழுதலாம். உதாரணமாக: 0.25 = 25/100 = 1/4. முழு எண்களை என்றும் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, "ஒன்று" என்ற வகுப்பைக் கொண்ட பின்னத்தின் வடிவத்தில்: 2 = 2/1. எனவே, எந்த விகிதமுறு எண்ணையும் எழுதலாம் தசம- வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற கால.
ஆர்	எல்லோருக்கும் ஏராளம் உண்மையான எண்கள். விகிதாசார எண்கள் எல்லையற்ற காலமற்ற பின்னங்கள். இவற்றில் அடங்கும்: ஒன்றாக இரண்டு தொகுப்புகள் (பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள்) - உண்மையான (அல்லது உண்மையான) எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்கவும்.

ஒரு தொகுப்பில் ஒற்றை உறுப்பு இல்லை என்றால், அது அழைக்கப்படுகிறது வெற்று தொகுப்புமற்றும் பதிவு செய்யப்படுகிறது Ø .

தர்க்கரீதியான குறியீட்டின் கூறுகள்

குறிப்பு ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

குவாண்டிஃபையர்

கணித வெளிப்பாடுகளை எழுதும்போது அளவுகோல்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

குவாண்டிஃபையர்இது ஒரு தருக்க சின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது பின்வரும் கூறுகளை அளவு அடிப்படையில் வகைப்படுத்துகிறது.

• ∀- பொது அளவுகோல், "அனைவருக்கும்", "யாருக்கும்" என்ற வார்த்தைகளுக்கு பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• ∃- இருப்பு அளவுகோல், "இருக்கிறது", "கிடைக்கிறது" என்ற வார்த்தைகளுக்கு பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. ∃ என்ற குறியீட்டு கலவையும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒன்று மட்டுமே உள்ளது என வாசிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாடுகளை அமைக்கவும்

இரண்டு செட் A மற்றும் B சமம்(A=B) அவை ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால்.
எடுத்துக்காட்டாக, A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) எனில் A=B.

யூனியன் மூலம் (தொகை)செட் A மற்றும் B என்பது ஒரு தொகுப்பு A ∪ B ஆகும், அதன் கூறுகள் குறைந்தபட்சம் இந்த தொகுப்புகளில் ஒன்றுக்கு சொந்தமானது.
எடுத்துக்காட்டாக, A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

குறுக்குவெட்டு மூலம் (தயாரிப்பு) A மற்றும் B தொகுப்புகள் A ∩ B எனப்படும், இவற்றின் கூறுகள் A மற்றும் B தொகுப்பு இரண்டிற்கும் சொந்தமானது.
எடுத்துக்காட்டாக, A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), A ∩ B = (2,4)

வித்தியாசத்தால் A மற்றும் B தொகுப்புகள் AB எனப்படும், இவற்றின் கூறுகள் A தொகுப்பைச் சேர்ந்தவை, ஆனால் B தொகுப்பைச் சேர்ந்தவை அல்ல.
எடுத்துக்காட்டாக, A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), AB = (1,2)

சமச்சீர் வேறுபாடு A மற்றும் B செட் A Δ B என அழைக்கப்படுகிறது, இது AB மற்றும் BA தொகுப்புகளின் வேறுபாடுகளின் ஒன்றியம், அதாவது A Δ B = (AB) ∪ (BA).
எடுத்துக்காட்டாக, A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

செட் செயல்பாடுகளின் பண்புகள்

மாற்றக்கூடிய பண்புகள்

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

பொருந்தக்கூடிய சொத்து

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

எண்ணக்கூடிய மற்றும் கணக்கிட முடியாத தொகுப்புகள்

A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு செட்களை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, அவற்றின் கூறுகளுக்கு இடையே ஒரு கடித தொடர்பு ஏற்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த கடிதப் பரிமாற்றம் ஒன்றுக்கு ஒன்று எனில், செட் சமமான அல்லது சமமான சக்தி வாய்ந்த, A B அல்லது B A எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

லெக் BC மற்றும் முக்கோண ABC இன் ஹைபோடென்யூஸ் AC ஆகியவற்றில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு சம சக்தி கொண்டது.

தொகுப்பு கோட்பாட்டின் கூறுகள். அவற்றில் செட் மற்றும் செயல்பாடுகள்

தொகுப்பின் கருத்து அடிப்படை கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். இது ஒரு வரையறுக்கப்படாத கருத்து மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் மட்டுமே விவரிக்க அல்லது விளக்க முடியும். இவ்வாறு, லத்தீன் எழுத்துக்களில் உள்ள எழுத்துக்களின் தொகுப்பு, கொடுக்கப்பட்ட நூலகத்தில் உள்ள அனைத்து புத்தகங்களின் தொகுப்பு, கொடுக்கப்பட்ட குழுவில் உள்ள மாணவர்களின் தொகுப்பு, கொடுக்கப்பட்ட வரியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஆகியவற்றைப் பற்றி பேசலாம். ஒரு தொகுப்பை வரையறுக்க, உறுப்புகளை பட்டியலிடவும் அல்லது குறிப்பிடவும் பண்புஉறுப்புகளின் பண்புகள், அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளும் மற்றும் அவை மட்டுமே கொண்ட சொத்து.

வரையறை 1.1.ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருட்கள் (பொருள்கள்) அதன் அழைக்கப்படுகின்றன உறுப்புகள்.

ஒரு தொகுப்பை பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களிலும், தொகுப்பின் உறுப்புகள் - சிறிய எழுத்துக்களிலும் குறிப்பிடுவது வழக்கம். என்ன எக்ஸ்தொகுப்பின் ஒரு அங்கமாகும் ஏ, இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: x ஏ(எக்ஸ்சொந்தமானது ஏ) பதிவு வகை x ஏ(x ஏ) என்று பொருள் எக்ஸ்சொந்தமில்லை ஏ, அதாவது தொகுப்பின் உறுப்பு அல்ல ஏ.

ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் பொதுவாக சுருள் பிரேஸ்களில் எழுதப்படுகின்றன. உதாரணமாக, என்றால் A –லத்தீன் எழுத்துக்களின் முதல் மூன்று எழுத்துக்களைக் கொண்ட தொகுப்பு, பின்னர் அது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: A={a,b,c} .

ஒரு தொகுப்பில் எண்ணற்ற தனிமங்கள் இருக்கலாம் (ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு), வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனிமங்கள் (ஒரு வகுப்பில் உள்ள பள்ளி மாணவர்களின் தொகுப்பு) அல்லது எந்த உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்க முடியாது (தொகுப்பு வெற்று வகுப்பறையில் மாணவர்கள்).

வரையறை 1.2.ஒரு தனிமம் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது வெற்று தொகுப்பு, Ø ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 1.3.ஒரு கொத்து ஏஅழைக்கப்பட்டது துணைக்குழுஅமைக்கிறது பி, தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் ஏபலருக்கும் சொந்தமானது பி. இது சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது ஏ பி(A –துணைக்குழு பி).

வெற்று தொகுப்பு எந்த தொகுப்பின் துணைக்குழுவாக கருதப்படுகிறது. செட் என்றால் ஏதொகுப்பின் துணைக்குழு அல்ல பி, பின்னர் எழுதுகிறார்கள் ஏ பி.

வரையறை 1.4.இரண்டு செட் ஏமற்றும் பிஅழைக்கப்பட்டது சமமான, அவை ஒன்றுக்கொன்று துணைக்குழுக்களாக இருந்தால். நியமிக்கவும் ஏ = பி.என்றால் என்று அர்த்தம் x ஏ, அந்த x பிமற்றும் நேர்மாறாக, அதாவது. என்றால் மற்றும் , பின்னர்.

வரையறை 1.5.குறுக்குவெட்டுஅமைக்கிறது ஏமற்றும் பிஒரு தொகுப்பை அழைக்கவும் எம், அதன் கூறுகள் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு தொகுப்புகளின் கூறுகளாகும் ஏமற்றும் பி.நியமிக்கவும் எம்=ஏ பி.அந்த. x ஏ பி, அந்த x ஏமற்றும் x பி.

எழுதுங்கள் ஏ பி={x | x ஏமற்றும் x பி) (ஒரு தொழிற்சங்கத்திற்கு பதிலாக மற்றும் -அறிகுறிகள் , &).

வரையறை 1.6.என்றால் ஏ பி=Ø, பிறகு செட் என்று சொல்கிறார்கள் ஏமற்றும் பி வெட்டுவதில்லை.

இதேபோல், 3, 4 மற்றும் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டையும் நீங்கள் வரையறுக்கலாம்.

வரையறை 1.7.சங்கம்அமைக்கிறது ஏமற்றும் பிஒரு தொகுப்பை அழைக்கவும் எம், அதன் கூறுகள் குறைந்தபட்சம் இந்த தொகுப்புகளில் ஒன்றைக் குறிக்கின்றன எம்=ஏ பி.அந்த. ஏ பி={x | x ஏஅல்லது x பி) (ஒரு தொழிற்சங்கத்திற்கு பதிலாக அல்லது -அடையாளம் வைக்கப்பட்டுள்ளது).

தொகுப்பு இதேபோல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது A 1 A 2 … ஒரு .இது கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு தொகுப்புக்கு சொந்தமானது A 1,A 2,…,ஒரு(மற்றும் ஒரே நேரத்தில் பல இருக்கலாம்) .

எடுத்துக்காட்டு 1.8. 1) என்றால் A=(1;2;3;4;5) மற்றும் பி=(1;3;5;7;9), பிறகு ஏ பி=(1;3;5) மற்றும் ஏ பி={1;2;3;4;5;7;9}.

2) என்றால் A=(2;4) மற்றும் பி=(3;7), பின்னர் ஏ பி=Ø மற்றும் ஏ பி={2;3;4;7}.

3) என்றால் A=(கோடை மாதங்கள்) மற்றும் பி=(30 நாட்கள் கொண்ட மாதங்கள்), பின்னர் ஏ பி=(ஜூன்) மற்றும் ஏ பி=(ஏப்ரல்; ஜூன்; ஜூலை; ஆகஸ்ட்; செப்டம்பர்; நவம்பர்).

வரையறை 1.9.இயற்கைஎண்கள் 1,2,3,4,... என்று அழைக்கப்படுகின்றன, பொருள்களை எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு N, N=(1;2;3;4;...;n;...) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இது எல்லையற்றது, மிகச்சிறிய உறுப்பு 1 மற்றும் பெரிய உறுப்பு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.10. ஏ– 40 என்ற எண்ணின் இயற்கை வகுப்பிகளின் தொகுப்பு. இந்த தொகுப்பின் தனிமங்களை பட்டியலிடுங்கள். 5 என்பது உண்மையா A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

ஏ= (1,2,4,5,8,10,20,40). (வி,வி,என்,என்,என்,வி)

தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்

தொகுப்பு என்ற கருத்து நவீன கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்தாகும். நாங்கள் அதை ஆரம்பமாகக் கருதி, உள்ளுணர்வாக செட் கோட்பாட்டை உருவாக்குவோம். இந்த ஆரம்பக் கருத்தை விளக்குவோம்.

ஒரு கொத்து- பொருள்களின் (பாடங்கள் அல்லது கருத்துக்கள்) ஒரு தொகுப்பாகும், இது ஒரு முழுதாகக் கருதப்படுகிறது. இந்தத் தொகுப்பில் உள்ள பொருள்கள் அழைக்கப்படுகின்றன உறுப்புகள்கூட்டம்.

பல முதல் ஆண்டு கணித மாணவர்கள், கடலில் உள்ள பல மீன்கள் போன்றவற்றைப் பற்றி நாம் பேசலாம். கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக கணிதப் பொருள்களின் தொகுப்பில் ஆர்வமாக உள்ளனர்: பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு, செவ்வகங்களின் தொகுப்பு போன்றவை.

தொகுப்புகள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்களாலும், அதன் கூறுகள் சிறியவற்றாலும் குறிக்கப்படும்.

தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு என்றால் எம், பின்னர் அவர்கள் "சொந்தமானது" என்று கூறுகிறார்கள் எம்" மற்றும் எழுதவும்: . சில பொருள் ஒரு தொகுப்பின் உறுப்பு இல்லை என்றால், அது "சொந்தமில்லை" என்று கூறப்படுகிறது. எம்” மற்றும் எழுதவும் (சில நேரங்களில்).

தொகுப்புகளை வரையறுக்க இரண்டு முக்கிய வழிகள் உள்ளன: பரிமாற்றம்அதன் கூறுகள் மற்றும் அறிகுறி பண்பு சொத்துஅதன் கூறுகள். இந்த முறைகளில் முதலாவது முக்கியமாக வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பரிசீலனையில் உள்ள தொகுப்பின் கூறுகளை பட்டியலிடும்போது, ​​அதன் கூறுகள் சுருள் பிரேஸ்களால் சூழப்பட்டுள்ளன. உதாரணத்திற்கு, 2, 4, 7 ஆகிய எண்கள் மற்றும் அவை மட்டுமே கொண்ட ஒரு தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. இந்த முறை எப்போதும் பொருந்தாது, எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பையும் இந்த வழியில் குறிப்பிட முடியாது.

சிறப்பியல்பு சொத்துதொகுப்பின் கூறுகள் எம்இந்த சொத்தை வைத்திருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் சொந்தமானது எம், மற்றும் இந்த சொத்து இல்லாத எந்த உறுப்பும் சொந்தமானது அல்ல எம். சொத்துக்களுடன் கூடிய உறுப்புகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

அல்லது .

மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் தொகுப்புகள் அவற்றின் சொந்த சிறப்புப் பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன. பின்வருவனவற்றில் நாம் பின்வரும் குறிப்பைக் கடைப்பிடிப்போம்:

என்= - அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு;

Z= – அனைத்து முழு எண்களின் தொகுப்பு;

- அனைத்து பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு;

ஆர்- அனைத்து உண்மையான (உண்மையான) எண்களின் தொகுப்பு, அதாவது. பகுத்தறிவு எண்கள் (எல்லையற்ற தசம கால பின்னங்கள்) மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் (எல்லையற்ற தசம அல்லாத கால பின்னங்கள்);

- அனைத்து சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பு.

ஒரு குணாதிசயமான சொத்தை குறிப்பிடுவதன் மூலம் தொகுப்புகளைக் குறிப்பிடுவதற்கான சிறப்பு எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்.

உதாரணமாக 1. 48 என்ற எண்ணின் அனைத்து இயற்கை வகுப்பாளர்களின் தொகுப்பையும் பின்வருமாறு எழுதலாம்: (குறியீடு முழு எண்களுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இது வகுபடும் என்று பொருள்).

உதாரணமாக 2. 7 க்கும் குறைவான அனைத்து நேர்மறை விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

உதாரணமாக 3. - 1 மற்றும் 5 முடிவுகளுடன் உண்மையான எண்களின் இடைவெளி; - 2 மற்றும் 7 முடிவுகளுடன் உண்மையான எண்களின் ஒரு பகுதி.

"பல" என்ற சொல் பல கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஆனால் அது எப்போதும் இல்லை. கணிதத்தில், ஒரே ஒரு தனிமத்தைக் கொண்ட தொகுப்புகளைக் கருதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டின் முழு எண் வேர்களின் தொகுப்பு . மேலும், ஒரு உறுப்பு இல்லாத ஒரு தொகுப்பைப் பற்றி பேசுவது வசதியானது. அத்தகைய தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது காலியாகமற்றும் Ø ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் தொகுப்பு காலியாக உள்ளது.

வரையறை 1.தொகுப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமான(குறிப்பிடப்படுகிறது A=B), இந்த தொகுப்புகள் ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால்.

வரையறை 2.ஒரு தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தொகுப்பைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது துணைக்குழுஅமைக்கிறது.

பதவிகள்: ("சேர்க்கப்பட்டுள்ளது"); ("அடங்கும்").

Ø மற்றும் தொகுப்பே தொகுப்பின் துணைக்குழுக்கள் என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு தொகுப்பின் வேறு எந்த துணைக்குழுவும் அதன் எனப்படும் சரியான பகுதி. மற்றும் , பின்னர் அவர்கள் கூறுகிறார்கள் " ஏ – சொந்த துணைக்குழு"அல்லது என்ன" A கண்டிப்பாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது"மற்றும் எழுதுங்கள்.

பின்வரும் அறிக்கை வெளிப்படையானது: அமைக்கிறது மற்றும் சமம் என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே.

இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில் இரண்டு தொகுப்புகளின் சமத்துவத்தை நிரூபிக்கும் உலகளாவிய முறை: செட் என்பதை நிரூபிக்க மற்றும் சமம், என்று காட்டினால் போதும் ,ஏ தொகுப்பின் துணைக்குழு ஆகும் .

ஒரே ஒரு முறை இல்லாவிட்டாலும், இது மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறையாகும். பின்னர், செட் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளின் செயல்பாடுகளை அறிந்த பிறகு, இரண்டு செட்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிக்க மற்றொரு வழியைக் குறிப்பிடுவோம் - மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி.

முடிவில், பெரும்பாலும் ஒன்று அல்லது மற்றொரு கணிதக் கோட்பாட்டில் அவை ஒரே தொகுப்பின் துணைக்குழுக்களைக் கையாளுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் யுஎன்று அழைக்கப்படும் உலகளாவியஇந்த கோட்பாட்டில். எடுத்துக்காட்டாக, பள்ளி இயற்கணிதம் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வில் தொகுப்பு உலகளாவியது ஆர்உண்மையான எண்கள், வடிவவியலில் - விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு.

தொகுப்புகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் மீதான செயல்பாடுகள்

கூட்டல், பெருக்கல் மற்றும் கழித்தல் போன்ற செயல்களை (செயல்பாடுகள்) செட்களில் செய்யலாம்.

வரையறை 1. சங்கம்தொகுப்புகள் மற்றும் ஒரு தொகுப்பு என அழைக்கப்படுகிறது, குறிக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு உறுப்பும் குறைந்தபட்சம் ஒரு செட் அல்லது .

அத்தகைய தொகுப்பில் விளையும் செயல்பாடே தொழிற்சங்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 1 சுருக்கம்:

வரையறை 2. கடப்பதன் மூலம்அமைக்கிறது மற்றும் ஒரு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, குறிக்கப்படுகிறது, இவை அனைத்தும் மற்றும் அந்த உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் இரண்டிற்கும் சொந்தமானது , மற்றும் .

ஒரு தொகுப்பில் விளையும் செயல்பாடு, குறுக்குவெட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2 இன் சுருக்கமான சுருக்கம்:

உதாரணமாக, என்றால் , , அந்த , .

செட்களை வடிவியல் வடிவங்களாக சித்தரிக்கலாம், இது செட்களில் செயல்பாடுகளை தெளிவாக விளக்க அனுமதிக்கிறது. இந்த முறை தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவின் பகுப்பாய்விற்காக லியோன்ஹார்ட் யூலர் (1707-1783) அவர்களால் முன்மொழியப்பட்டது, இது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது மற்றும் ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஜான் வென் (1834-1923) படைப்புகளில் மேலும் உருவாக்கப்பட்டது. அதனால்தான் இத்தகைய வரைபடங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஆய்லர்-வென் வரைபடங்கள்.

யூலர்-வென் வரைபடங்கள் மூலம் யூனியன் மற்றும் குறுக்குவெட்டுகளின் செயல்பாடுகளை பின்வருமாறு விளக்கலாம்:

- நிழல் பகுதி; - நிழல் பகுதி.

ஒரு குறிப்பிட்ட குறியீடுகளின் தொகுப்பு இருக்கும் எந்த தொகுப்புகளின் யூனியன் மற்றும் குறுக்குவெட்டை நீங்கள் வரையறுக்கலாம்.

வரையறை . சங்கம்தொகுப்புகளின் தொகுப்பு என்பது அந்த அனைத்து கூறுகளையும் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் குறைந்தது ஒரு தொகுப்புக்கு சொந்தமானது.

வரையறை . கடப்பதன் மூலம்தொகுப்புகளின் தொகுப்பு என்பது அந்த அனைத்து கூறுகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு தொகுப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஏதேனும் ஒரு தொகுப்புக்கு சொந்தமானது.

குறியீடுகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, , பின்னர் இந்த வழக்கில் தொகுப்புகளின் தொகுப்பின் ஒன்றியம் மற்றும் குறுக்குவெட்டைக் குறிக்க, பின்வரும் குறியீடு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

மற்றும் .

உதாரணமாக, என்றால் , , , அந்த , .

பள்ளிக் கணிதப் பாடங்களில் யூனியன் மற்றும் செட்களின் குறுக்குவெட்டு கருத்துக்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு கொத்து எம்சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுகள்

இந்த அமைப்பின் ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு கொத்து எம்அமைப்பு தீர்வுகள்

இந்த அமைப்பின் ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். முதல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு வரியின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது. . ஒரு கொத்து . ஒரு தொகுப்பில் ஒரு உறுப்பு உள்ளது - கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு

எங்கே , ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளுக்கும் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் , அதாவது.

வரையறை 3. வித்தியாசத்தால்செட் மற்றும் ஆல் குறிக்கப்படும் ஒரு தொகுப்பாகும், மேலும் அவை அனைத்தையும் உள்ளடக்கியது மற்றும் சொந்தமானது ஆனால் சொந்தமில்லாதது. .- நிழல் பகுதி; . தொழிற்சங்கம், குறுக்குவெட்டு மற்றும் கூட்டல் ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளுடன். இதன் விளைவாக வரும் கணித அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது இயற்கணிதம் அமைஅல்லது பூலியன் தொகுப்பு இயற்கணிதம்(ஐரிஷ் கணிதவியலாளரும் தர்க்கவியலாளருமான ஜார்ஜ் பூலுக்குப் பிறகு (1816-1864)). ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பால் குறிப்போம் மற்றும் அதை அழைப்போம் பூலியன்அமைக்கிறது.

கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள சமத்துவங்கள் எந்த துணைக்குழுக்களுக்கும் செல்லுபடியாகும் ஏ, பி, சிஉலகளாவிய தொகுப்பு யு.அதனால்தான் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் இயற்கணிதத்தின் விதிகள்.

ஒரு கொத்துஒரு முழுதாகக் கருதப்படும் பொருட்களின் தொகுப்பாகும். தொகுப்பின் கருத்து அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது, மற்ற கருத்துக்களுக்கு குறைக்க முடியாது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருள்கள் அதன் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உறுப்பு இடையே அடிப்படை உறவு அமற்றும் அதைக் கொண்ட தொகுப்பு ஏபின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது ( அதொகுப்பின் ஒரு அங்கமாகும் ஏ; அல்லது அசொந்தமானது ஏ, அல்லது ஏகொண்டுள்ளது அ) என்றால் அதொகுப்பின் உறுப்பு அல்ல ஏ, பின்னர் அவர்கள் எழுதுகிறார்கள் ( அசேர்க்கப்படவில்லை ஏ, ஏகொண்டிருக்கும் இல்லை அ) ஒரு தொகுப்பை அதன் அனைத்து கூறுகளையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடலாம், இந்த விஷயத்தில் சுருள் பிரேஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதனால் ( அ, பி, c) மூன்று கூறுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. இதேபோன்ற குறியீடானது எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் விஷயத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எழுதப்படாத கூறுகள் நீள்வட்டங்களால் மாற்றப்படுகின்றன. எனவே, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு (1, 2, 3, ...), மற்றும் இரட்டை எண்களின் தொகுப்பு (2, 4, 6, ...) குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் வழக்கில் நீள்வட்டம் என்பது அனைத்து இயற்கை எண்களையும் குறிக்கிறது. , மற்றும் இரண்டாவது - மட்டும் கூட.

இரண்டு செட் ஏமற்றும் பிஅழைக்கப்படுகின்றன சமமான, அவை ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால், அதாவது. ஏசொந்தமானது பிமற்றும், மாறாக, ஒவ்வொரு உறுப்பு பிசொந்தமானது ஏ. பிறகு எழுதுகிறார்கள் ஏ = பி. எனவே, ஒரு தொகுப்பு அதன் உறுப்புகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் இந்த உறுப்புகள் எழுதப்பட்ட வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல. உதாரணமாக, மூன்று கூறுகளின் தொகுப்பு அ, பி, cஆறு வகையான பதிவுகளை அனுமதிக்கிறது:

{அ, பி, c} = {அ, c, பி} = {பி, அ, c} = {பி, c, அ} = {c, அ, பி} = {c, பி, அ}.

முறையான வசதிக்கான காரணங்களுக்காக, "வெற்று தொகுப்பு" என்று அழைக்கப்படுவதும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதாவது, ஒரு தனிமத்தைக் கொண்டிருக்காத ஒரு தொகுப்பு. இது சில நேரங்களில் 0 என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது (பூஜ்ஜிய எண்ணின் தற்செயல் குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்காது, ஏனெனில் சின்னத்தின் பொருள் ஒவ்வொரு முறையும் தெளிவாக இருக்கும்).

தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் ஏபலவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது பி, அந்த ஏதுணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது பி, ஏ பிசூப்பர்செட் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ. அவர்கள் எழுதினர் ( ஏசேர்க்கப்பட்டுள்ளது பிஅல்லது ஏஇதில் இருக்கிறது பி, பிகொண்டுள்ளது ஏ) வெளிப்படையாக, என்றால் மற்றும் , பின்னர் ஏ = பி. வெற்று தொகுப்பு வரையறையின்படி எந்த தொகுப்பின் துணைக்குழுவாக கருதப்படுகிறது.

தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் ஏசேர்க்கப்பட்டுள்ளது பி, ஆனால் பல பிசேர்க்கப்படாத குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு உள்ளது ஏ, அதாவது என்றால் மற்றும் , பின்னர் ஏஅழைக்கப்பட்டது சொந்த துணைக்குழு பி, ஏ பி - சொந்த சூப்பர்செட் ஏ. இந்த வழக்கில் அவர்கள் எழுதுகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, குறியீடு மற்றும் பொருள் ஒரே விஷயம், அதாவது, அந்த தொகுப்பு ஏகாலியாக இல்லை.

உறுப்பை நாம் வேறுபடுத்த வேண்டும் என்பதையும் நாங்கள் கவனிக்கிறோம் அமற்றும் அமைக்கவும் ( அ), கொண்டிருக்கும் அஒரே உறுப்பு. இந்த வேறுபாடு உறுப்பு மற்றும் தொகுப்பு வேறுபட்ட பாத்திரத்தை வகிக்கிறது (உறவு சமச்சீர் அல்ல), ஆனால் முரண்பாட்டைத் தவிர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தாலும் கட்டளையிடப்படுகிறது. எனவே, விடுங்கள் ஏ = {அ, பி) இரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. தொகுப்பைக் கவனியுங்கள் ( ஏ), தொகுப்பை அதன் ஒரே தனிமமாகக் கொண்டுள்ளது ஏ. பிறகு ஏஇரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் ( ஏ) ஒரு உறுப்பு மட்டுமே, எனவே இந்த இரண்டு தொகுப்புகளையும் அடையாளம் காண இயலாது. எனவே, ரெக்கார்டிங்கைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, மேலும் பதிவைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.

அனைத்து வகையான ஒரு பெரிய பல்வேறு இருந்து அமைக்கிறதுகுறிப்பிட்ட வட்டி என்று அழைக்கப்படுகின்றன எண் தொகுப்புகள், அதாவது, எண்களின் கூறுகளை அமைக்கிறது. அவர்களுடன் வசதியாக வேலை செய்ய நீங்கள் அவற்றை எழுத முடியும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த கட்டுரையை எண்ணியல் தொகுப்புகளை எழுதுவதற்கான குறியீடு மற்றும் கொள்கைகளுடன் தொடங்குவோம். அடுத்து, ஒரு ஆயக் கோட்டில் எண்ணியல் தொகுப்புகள் எவ்வாறு சித்தரிக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

எண்ணியல் தொகுப்புகளை எழுதுதல்

ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்புடன் ஆரம்பிக்கலாம். உங்களுக்குத் தெரியும், லத்தீன் எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்கள் தொகுப்புகளைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எண் தொகுப்புகள், தொகுப்புகளின் சிறப்பு நிகழ்வாக, நியமிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, A, H, W போன்ற எண் தொகுப்புகளைப் பற்றி பேசலாம். இயற்கை, முழு எண், பகுத்தறிவு, உண்மையான, சிக்கலான எண்கள் போன்றவற்றின் தொகுப்புகள் அவற்றின் சொந்த குறிப்புகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன:

• N - அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு;
• Z - முழு எண்களின் தொகுப்பு;
• கே - பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு;
• ஜே - பகுத்தறிவற்ற எண்களின் தொகுப்பு;
• ஆர் - உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு;
• C என்பது கலப்பு எண்களின் தொகுப்பு.

எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் −7 ஆகிய இரண்டு எண்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பை நீங்கள் குறிப்பிடக்கூடாது என்பது இங்கிருந்து தெளிவாகத் தெரிகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, Q என்ற எழுத்து பொதுவாக அனைத்து பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பையும் குறிக்கிறது என்பதால், இந்த பதவி தவறாக வழிநடத்தும். குறிப்பிட்ட எண் தொகுப்பைக் குறிக்க, வேறு சில "நடுநிலை" எழுத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, ஏ.

நாம் குறியீடைப் பற்றி பேசுவதால், ஒரு வெற்று தொகுப்பின் குறியீடலைப் பற்றியும், அதாவது கூறுகள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பைப் பற்றியும் இங்கே நினைவு கூர்வோம். இது ∅ என்ற அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு உறுப்பு ஒரு தொகுப்பிற்கு சொந்தமானதா அல்லது இல்லை என்பதன் பெயரையும் நினைவுபடுத்துவோம். இதைச் செய்ய, ∈ - சொந்தமானது மற்றும் ∉ - சொந்தமானது அல்ல என்ற அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, 5∈N என்ற குறியீடானது, எண் 5 என்பது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பிற்குரியது, மேலும் 5.7∉Z - தசம பின்னம் 5.7 முழு எண்களின் தொகுப்பிற்குச் சொந்தமானது அல்ல.

ஒரு தொகுப்பில் மற்றொன்றைச் சேர்ப்பதற்காக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டையும் நினைவு கூர்வோம். N தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளும் Z தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன என்பது தெளிவாகிறது, இதனால் N ஆனது Z இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, இது N⊂Z எனக் குறிக்கப்படுகிறது. நீங்கள் Z⊃N என்ற குறியீட்டையும் பயன்படுத்தலாம், அதாவது Z அனைத்து முழு எண்களின் தொகுப்பு N ஐ உள்ளடக்கியது. சேர்க்கப்படாத மற்றும் சேர்க்கப்படாத உறவுகள் முறையே ⊄ மற்றும் , ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன. ⊆ மற்றும் ⊇ படிவத்தின் கண்டிப்பான சேர்க்கை அறிகுறிகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதாவது முறையே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அல்லது ஒத்துப்போகிறது மற்றும் உள்ளடக்கியது அல்லது ஒத்துப்போகிறது.

நாம் குறியீட்டைப் பற்றி பேசினோம், எண்ணியல் தொகுப்புகளின் விளக்கத்திற்கு செல்லலாம். இந்த வழக்கில், நடைமுறையில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் முக்கிய நிகழ்வுகளை மட்டுமே நாங்கள் தொடுவோம்.

வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் சிறிய எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்ட எண் தொகுப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம். அனைத்து உறுப்புகளையும் பட்டியலிடுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்ட எண் தொகுப்புகளை விவரிப்பது வசதியானது. அனைத்து எண் கூறுகளும் காற்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டு ல் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது பொதுவானதுடன் ஒத்துப்போகிறது தொகுப்புகளை விவரிப்பதற்கான விதிகள். எடுத்துக்காட்டாக, 0, -0.25 மற்றும் 4/7 ஆகிய மூன்று எண்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பை (0, −0.25, 4/7) என விவரிக்கலாம்.

சில நேரங்களில், ஒரு எண்ணியல் தொகுப்பின் தனிமங்களின் எண்ணிக்கை மிகப் பெரியதாக இருக்கும் போது, ​​ஆனால் தனிமங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், விளக்கத்திற்கு ஒரு நீள்வட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3 முதல் 99 வரையிலான அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் தொகுப்பையும் (3, 5, 7, ..., 99) என எழுதலாம்.

எனவே எண்ணியல் தொகுப்புகளின் விளக்கத்தை நாங்கள் சுமூகமாக அணுகினோம், அதன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது. சில நேரங்களில் அவை ஒரே நீள்வட்டங்களைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பையும் விவரிப்போம்: N=(1, 2. 3, ...) .

அவை அதன் தனிமங்களின் பண்புகளைக் குறிப்பதன் மூலம் எண் தொகுப்புகளின் விளக்கத்தையும் பயன்படுத்துகின்றன. இந்த வழக்கில், குறியீடு (x| பண்புகள்) பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, குறியீடானது (n| 8·n+3, n∈N) இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைக் குறிப்பிடுகிறது, இது 8 ஆல் வகுத்தால், 3 இன் மீதியை விட்டுவிடும். இதே தொகுப்பை (11,19, 27, ...) என விவரிக்கலாம்.

சிறப்பு சந்தர்ப்பங்களில், எண்ணற்ற உறுப்புகளைக் கொண்ட எண் தொகுப்புகள் அறியப்பட்ட தொகுப்புகள் N, Z, R போன்றவை. அல்லது எண் இடைவெளிகள். அடிப்படையில், எண் தொகுப்புகள் என குறிப்பிடப்படுகின்றன ஒன்றியம்அவற்றின் தொகுதியான தனிப்பட்ட எண் இடைவெளிகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனிமங்களைக் கொண்ட எண்ணியல் தொகுப்புகள் (அவற்றைப் பற்றி நாம் மேலே பேசினோம்).

ஒரு உதாரணம் காட்டுவோம். எண்கள் −10, −9, −8.56, 0, பிரிவின் அனைத்து எண்கள் [−5, -1,3] மற்றும் திறந்த எண் கோட்டின் எண்கள் (7, +∞) ஆகியவற்றைக் கொண்டதாக இருக்கட்டும். தொகுப்புகளின் ஒன்றியத்தின் வரையறையின் காரணமாக, குறிப்பிட்ட எண் தொகுப்பை இவ்வாறு எழுதலாம் {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . இந்த குறியீடானது உண்மையில் செட்களின் அனைத்து கூறுகளையும் (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] மற்றும் (7, +∞) கொண்ட ஒரு தொகுப்பைக் குறிக்கிறது.

இதேபோல், வெவ்வேறு எண் இடைவெளிகள் மற்றும் தனிப்பட்ட எண்களின் தொகுப்புகளை இணைப்பதன் மூலம், எந்த எண் தொகுப்பையும் (உண்மையான எண்களைக் கொண்டது) விவரிக்க முடியும். இடைவெளி, அரை இடைவெளி, பிரிவு, திறந்த எண் கதிர் மற்றும் எண் கதிர் போன்ற எண் இடைவெளிகள் ஏன் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன என்பது இங்கே தெளிவாகிறது: அவை அனைத்தும், தனிப்பட்ட எண்களின் தொகுப்புகளுக்கான குறியீடுகளுடன் இணைந்து, எந்த எண் தொகுப்புகளையும் விவரிக்க உதவுகிறது. அவர்களின் தொழிற்சங்கம்.

ஒரு எண் தொகுப்பை எழுதும்போது, ​​அதன் தொகுதி எண்கள் மற்றும் எண் இடைவெளிகள் ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது அவசியமான ஆனால் விரும்பத்தகாத நிபந்தனை அல்ல, ஏனெனில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண் தொகுப்பு ஒரு ஒருங்கிணைப்பு வரியில் கற்பனை செய்து சித்தரிக்க எளிதானது. அத்தகைய பதிவுகள் பொதுவான உறுப்புகளுடன் எண் இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்துவதில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், ஏனெனில் அத்தகைய பதிவுகளை பொதுவான கூறுகள் இல்லாமல் எண் இடைவெளிகளை இணைப்பதன் மூலம் மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான உறுப்புகள் [−10, 0] மற்றும் (−5, 3) உடன் எண் தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் அரை-இடைவெளி [−10, 3) ஆகும். அதே எல்லை எண்களைக் கொண்ட எண் இடைவெளிகளின் இணைப்பிற்கும் இது பொருந்தும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றியம் (3, 5]∪(5, 7] என்பது ஒரு தொகுப்பு (3, 7] , இதைப் பற்றி நாம் கற்றுக் கொள்ளும்போது தனித்தனியாகப் பார்ப்போம். எண் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் ஒன்றியத்தைக் கண்டறியவும்

ஒரு ஆயக் கோட்டில் எண் தொகுப்புகளின் பிரதிநிதித்துவம்

நடைமுறையில், எண் தொகுப்புகளின் வடிவியல் படங்களைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது - அவற்றின் படங்கள். உதாரணமாக, எப்போது சமத்துவமின்மைகளை தீர்க்கும், ODZ ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம், அவற்றின் குறுக்குவெட்டு மற்றும்/அல்லது தொழிற்சங்கத்தைக் கண்டறிய எண்ணியல் தொகுப்புகளை சித்தரிக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே ஒரு ஆயக் கோட்டில் எண் தொகுப்புகளை சித்தரிப்பதற்கான அனைத்து நுணுக்கங்களையும் நன்கு புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

ஆயக் கோட்டின் புள்ளிகளுக்கும் நிஜ எண்களுக்கும் இடையில் ஒன்றுக்கு ஒன்று கடித தொடர்பு இருப்பதாக அறியப்படுகிறது, அதாவது ஆயக் கோடு அனைத்து உண்மையான எண்களின் R இன் தொகுப்பின் வடிவியல் மாதிரியாகும். எனவே, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பையும் சித்தரிக்க, அதன் முழு நீளத்திலும் நிழலுடன் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு கோட்டை வரைய வேண்டும்:

மேலும் பெரும்பாலும் அவை தோற்றம் மற்றும் அலகுப் பிரிவைக் குறிப்பிடுவதில்லை:

இப்போது எண் தொகுப்புகளின் படத்தைப் பற்றி பேசலாம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனிப்பட்ட எண்களைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எண் தொகுப்பை (−2, -0.5, 1.2) சித்தரிக்கலாம். -2, -0.5 மற்றும் 1.2 ஆகிய மூன்று எண்களைக் கொண்ட இந்தத் தொகுப்பின் வடிவியல் படம், தொடர்புடைய ஆயக் கோட்டின் மூன்று புள்ளிகளாக இருக்கும்:

வழக்கமாக நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக வரைபடத்தை சரியாகச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. பெரும்பாலும் ஒரு திட்டவட்டமான வரைதல் போதுமானது, இந்த விஷயத்தில் அளவைப் பராமரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது, ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை பராமரிப்பது மட்டுமே முக்கியம்: சிறிய ஒருங்கிணைப்புடன் எந்த புள்ளியும் இருக்க வேண்டும்; ஒரு பெரிய ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியின் இடது. முந்தைய வரைதல் திட்டவட்டமாக இப்படி இருக்கும்:

தனித்தனியாக, அனைத்து வகையான எண் தொகுப்புகளிலிருந்தும், எண் இடைவெளிகள் (இடைவெளிகள், அரை இடைவெளிகள், கதிர்கள் போன்றவை) வேறுபடுகின்றன, அவை அவற்றின் வடிவியல் படங்களைக் குறிக்கின்றன. நாங்கள் இங்கே மீண்டும் சொல்ல மாட்டோம்.

பல எண் இடைவெளிகள் மற்றும் தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட தொகுப்புகளின் ஒன்றியமான எண் தொகுப்புகளின் உருவத்தில் மட்டுமே அது வாழ்கிறது. இங்கே தந்திரமான எதுவும் இல்லை: இந்த சந்தர்ப்பங்களில் தொழிற்சங்கத்தின் பொருளின் படி, கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளையும் ஒருங்கிணைப்பு வரியில் சித்தரிக்க வேண்டியது அவசியம். உதாரணமாக, எண் தொகுப்பின் படத்தைக் காட்டலாம் (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (பதிவு 2 5, 5)∪(17, +∞) :

ஒன்று அல்லது பல புள்ளிகளைத் தவிர, சித்தரிக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பு உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பையும் குறிக்கும் போது மிகவும் பொதுவான நிகழ்வுகளில் நாம் வாழ்வோம். இத்தகைய தொகுப்புகள் பெரும்பாலும் x≠5 அல்லது x≠−1, x≠2, x≠3.7, போன்ற நிபந்தனைகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், வடிவியல் ரீதியாக அவை தொடர்புடைய புள்ளிகளைத் தவிர்த்து முழு ஒருங்கிணைப்பு கோட்டையும் குறிக்கின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்பு வரியிலிருந்து "பறிக்கப்பட வேண்டும்". அவை வெற்று மையத்துடன் வட்டங்களாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, நிபந்தனைகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு எண் தொகுப்பை சித்தரிப்போம் (இந்த தொகுப்பு அடிப்படையில் உள்ளது):

சுருக்கவும். வெறுமனே, முந்தைய பத்திகளின் தகவல்கள் தனிப்பட்ட எண் இடைவெளிகளின் பார்வையைப் போலவே எண் தொகுப்புகளின் பதிவு மற்றும் சித்தரிப்பின் அதே பார்வையை உருவாக்க வேண்டும்: ஒரு எண் தொகுப்பின் பதிவு உடனடியாக அதன் படத்தை ஒருங்கிணைப்பு வரியிலும், படத்திலிருந்தும் கொடுக்க வேண்டும். தனிப்பட்ட இடைவெளிகள் மற்றும் தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட தொகுப்புகளின் ஒன்றியத்தின் மூலம் தொடர்புடைய எண் தொகுப்பை எளிதாக விவரிக்க நாம் தயாராக இருக்க வேண்டும்.

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; எட். எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 9 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச், பி.வி. செமனோவ். - 13வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: உடம்பு. ISBN 978-5-346-01752-3.