வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பல பின்னங்களைச் சேர்த்தல். பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்

§ 87. பின்னங்கள் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது முழு எண்களைச் சேர்ப்பதில் பல ஒற்றுமைகள் உள்ளன. பின்னங்களைச் சேர்ப்பது என்பது பல கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் (விதிமுறைகள்) ஒரு எண்ணாக (தொகை) இணைக்கப்பட்டு, விதிமுறைகளின் அலகுகளின் அனைத்து அலகுகள் மற்றும் பின்னங்களைக் கொண்ட ஒரு செயலாகும்.

நாங்கள் மூன்று வழக்குகளை தொடர்ச்சியாக பரிசீலிப்போம்:

1. உடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல் அதே பிரிவுகள்.
2. உடன் பின்னங்கள் சேர்த்தல் வெவ்வேறு பிரிவுகள்.
3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 1/5 + 2/5.

AB பிரிவை எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 17), அதை ஒன்றாக எடுத்து 5 சம பாகங்களாகப் பிரித்தால், இந்தப் பிரிவின் AC பகுதி AB இன் 1/5க்கு சமமாக இருக்கும், அதே பகுதி CD யின் பகுதி சமமாக இருக்கும். 2/5 ஏபி.

AD பிரிவை எடுத்துக் கொண்டால், அது 3/5 AB க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது; ஆனால் பிரிவு AD என்பது துல்லியமாக AC மற்றும் CD ஆகிய பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

இந்த விதிமுறைகளையும் அதன் விளைவாக வரும் தொகையையும் கருத்தில் கொண்டு, சொற்களின் எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கூட்டுத்தொகையின் எண் கிடைத்ததையும், வகுத்தல் மாறாமல் இருப்பதையும் காண்கிறோம்.

இதிலிருந்து நாம் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, அதே வகுப்பை விட்டுவிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்போம்: 3 / 4 + 3 / 8 முதலில் அவை குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

இடைநிலை இணைப்பு 6/8 + 3/8 எழுத முடியவில்லை; தெளிவுக்காக இங்கே எழுதியுள்ளோம்.

எனவே, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றைக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைத்து, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, பொதுவான வகுப்பினை லேபிளிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம் (தொடர்புடைய பின்னங்களுக்கு மேலே கூடுதல் காரணிகளை எழுதுவோம்):

3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

எண்களைச் சேர்ப்போம்: 2 3/8 + 3 5/6.

முதலில் நமது எண்களின் பகுதிகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது நாம் முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளை வரிசையாக சேர்க்கிறோம்:

§ 88. பின்னங்களின் கழித்தல்.

பின்னங்களைக் கழிப்பது முழு எண்களைக் கழிப்பதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு செயலாகும், இதன் உதவியுடன், இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றில் ஒன்று, மற்றொரு சொல் காணப்படுகிறது. அடுத்தடுத்து மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

13 / 15 - 4 / 15

AB பிரிவை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 18), அதை ஒரு அலகாக எடுத்து 15 சம பாகங்களாக பிரிக்கவும்; இந்த பிரிவின் பகுதி AC AB இன் 1/15 ஐக் குறிக்கும், அதே பிரிவின் AD பகுதி 13/15 AB க்கு ஒத்திருக்கும். 4/15 AB க்கு சமமான மற்றொரு பிரிவான ED ஐ ஒதுக்குவோம்.

4/15 என்ற பின்னத்தை 13/15 இலிருந்து கழிக்க வேண்டும். வரைபடத்தில், பிரிவு ED பிரிவிலிருந்து AD கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதாகும். இதன் விளைவாக, பிரிவு AE இருக்கும், இது AB பிரிவின் 9/15 ஆகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

நாங்கள் செய்த உதாரணம், எண்களைக் கழிப்பதன் மூலம் வேறுபாட்டின் எண் பெறப்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறது, ஆனால் வகுத்தல் அப்படியே இருந்தது.

எனவே, ஒத்த வகுப்பிகளுடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, நீங்கள் சப்ட்ராஹெண்டின் எண்ணை மினுஎண்டின் எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டும் மற்றும் அதே வகுப்பை விட்டுவிட வேண்டும்.

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 3/4 - 5/8

முதலில், இந்த பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம்:

இடைநிலை 6 / 8 - 5 / 8 தெளிவுக்காக இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் பின்னர் தவிர்க்கலாம்.

எனவே, ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை மிகக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும், பின்னர் மினுவெண்டின் எண்ணிலிருந்து மினுவெண்டின் எண்களைக் கழித்து அவற்றின் வேறுபாட்டின் கீழ் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 10 3/4 - 7 2/3.

மினுஎண்டின் பின்னப் பகுதிகளைக் குறைப்போம் மற்றும் மிகக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்கு துணை செய்வோம்:

ஒரு முழுமையிலிருந்து ஒரு முழுமையையும், ஒரு பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியையும் கழித்தோம். ஆனால் குறைக்கப்பட்டவற்றின் பகுதியளவு பகுதியை விடக் கழிக்கப்படும் பகுதி அதிகமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் மினுவெண்டின் முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு யூனிட்டை எடுத்து, பகுதியளவு வெளிப்படுத்தப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரித்து, மினுவெண்டின் பகுதியளவு பகுதியுடன் சேர்க்க வேண்டும். பின்னர் கழித்தல் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே செய்யப்படும்:

§ 89. பின்னங்களின் பெருக்கல்.

பின்னம் பெருக்கத்தைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.
2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
6. வட்டி கருத்து.
7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல். அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.

ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவதைப் போன்றே அர்த்தம். ஒரு பகுதியை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும்.

இதன் பொருள் நீங்கள் 1/9 ஐ 7 ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்றால், அதை இப்படி செய்யலாம்:

ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கு நடவடிக்கை குறைக்கப்பட்டதால், முடிவை எளிதாகப் பெற்றோம். எனவே,

இந்தச் செயலைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குவது, முழு எண்ணில் எத்தனை அலகுகள் இருக்கிறதோ, அவ்வளவு முறை இந்தப் பின்னத்தை அதிகரிப்பதற்குச் சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் ஒரு பகுதியை அதிகரிப்பதால் அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அடையலாம்

அல்லது அதன் பிரிவைக் குறைப்பதன் மூலம் , அப்படிப் பிரித்தல் சாத்தியம் என்றால், நாம் எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுப்பை அதன் மூலம் வகுக்கலாம்.

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் அந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுங்கள் அல்லது முடிந்தால், அந்த எண்ணால் வகுப்பினைப் பிரித்து, அந்த எண்ணை மாற்றாமல் விடவும்.

பெருக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க அல்லது கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்கள் உள்ளன. இந்த சிக்கல்களுக்கும் மற்றவற்றுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் என்னவென்றால், அவை சில பொருள்களின் எண்ணிக்கை அல்லது அளவீட்டு அலகுகளைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் இந்த எண்ணின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியாலும் குறிக்கப்படுகிறது. புரிந்துகொள்வதற்கு வசதியாக, முதலில் இதுபோன்ற சிக்கல்களின் உதாரணங்களைத் தருவோம், பின்னர் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

பணி 1.என்னிடம் 60 ரூபிள் இருந்தது; இந்தப் பணத்தில் 1/3 பங்கு புத்தகங்கள் வாங்கச் செலவு செய்தேன். புத்தகங்களின் விலை எவ்வளவு?

பணி 2.ரயில் ஏ மற்றும் பி நகரங்களுக்கு இடையே 300 கிமீ தூரம் பயணிக்க வேண்டும். அவர் ஏற்கனவே இந்த தூரத்தில் 2/3 ஐ கடந்துள்ளார். இது எத்தனை கிலோமீட்டர்?

பணி 3.கிராமத்தில் 400 வீடுகள் உள்ளன, அவற்றில் 3/4 செங்கல், மற்றவை மரத்தாலானவை. மொத்தம் எவ்வளவு செங்கல் வீடுகள்?

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் நாம் சந்திக்கும் பல சிக்கல்களில் சில இவை. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிய அவை பொதுவாக சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பிரச்சனைக்கு தீர்வு 1. 60 ரூபிள் இருந்து. நான் 1/3 புத்தகங்களுக்கு செலவு செய்தேன்; இதன் பொருள் புத்தகங்களின் விலையைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் 60 என்ற எண்ணை 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 2.பிரச்சனையின் புள்ளி நீங்கள் 300 கிமீ 2/3 கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 300ல் 1/3ஐக் கணக்கிடுவோம்; 300 கிமீ 3 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது:

300: 3 = 100 (அது 300 இல் 1/3).

300-ல் மூன்றில் இரண்டு பங்கைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பெறப்பட்ட பகுதியை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும், அதாவது 2 ஆல் பெருக்கவும்:

100 x 2 = 200 (அது 300 இல் 2/3).

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 3. 400 இல் 3/4 ஆகும் செங்கல் வீடுகளின் எண்ணிக்கையை இங்கே நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதலில் 400 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்,

400: 4 = 100 (அது 400 இல் 1/4).

400 இன் முக்கால்வாசியைக் கணக்கிட, விளைந்த பங்கு மூன்று மடங்காக இருக்க வேண்டும், அதாவது 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

100 x 3 = 300 (அது 400 இல் 3/4).

இந்த சிக்கல்களுக்கான தீர்வின் அடிப்படையில், பின்வரும் விதியை நாம் பெறலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து ஒரு பின்னத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் இந்த எண்ணை பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, அதன் எண்ணால் விளைந்த பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.

முன்னதாக (§ 26) முழு எண்களின் பெருக்கல் ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டலாக புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் என்று நிறுவப்பட்டது (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). இந்த பத்தியில் (புள்ளி 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது என்பது இந்த பின்னத்திற்கு சமமான ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், பெருக்கல் என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதாகும்.

இப்போது நாம் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவோம். இங்கே நாம் சந்திப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, பெருக்கல்: 9 2/3. பெருக்கல் பற்றிய முந்தைய வரையறை இந்த வழக்கில் பொருந்தாது என்பது தெளிவாகிறது. சம எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அத்தகைய பெருக்கத்தை மாற்ற முடியாது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகிறது.

இதன் காரணமாக, நாம் பெருக்கத்திற்கு ஒரு புதிய வரையறையை கொடுக்க வேண்டும், அதாவது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பகுதியால் பெருக்குவதன் மூலம் எதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இந்த செயலை எவ்வாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கவும்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் பொருள் பின்வரும் வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது: ஒரு முழு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னத்தால் (பெருக்கி) பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

அதாவது, 9ஐ 2/3 ஆல் பெருக்கினால், ஒன்பது அலகுகளில் 2/3ஐக் கண்டறிவது. முந்தைய பத்தியில், அத்தகைய சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன; எனவே நாம் 6 உடன் முடிப்போம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது.

ஆனால் இப்போது ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான கேள்வி எழுகிறது: ஏன் அப்படி பல்வேறு நடவடிக்கைகள்சம எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதும், எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிவதும் எண்கணிதத்தில் "பெருக்கல்" என்ற அதே வார்த்தையால் எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?

முந்தைய செயல் (ஒரு எண்ணை விதிமுறைகளுடன் பல முறை திரும்பத் திரும்பச் சொல்வது) மற்றும் புதிய செயல் (ஒரு எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்) ஒரே மாதிரியான கேள்விகளுக்கு பதில்களை வழங்குவதால் இது நிகழ்கிறது. ஒரே மாதிரியான கேள்விகள் அல்லது பணிகள் ஒரே செயலால் தீர்க்கப்படுகின்றன என்ற கருத்தில் இருந்து இங்கு தொடர்கிறோம் என்பதே இதன் பொருள்.

இதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய 4 மீ துணியின் விலை எவ்வளவு?

இந்த சிக்கல் ரூபிள் (50) எண்ணிக்கையை மீட்டர் (4) மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, அதாவது 50 x 4 = 200 (ரூபிள்கள்).

அதே சிக்கலை எடுத்துக்கொள்வோம், ஆனால் அதில் துணியின் அளவு ஒரு பகுதியாக வெளிப்படுத்தப்படும்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய துணியின் 3/4 மீ விலை எவ்வளவு?"

ரூபிள் எண்ணிக்கையை (50) மீட்டர் எண்ணிக்கையால் (3/4) பெருக்குவதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்.

சிக்கலின் அர்த்தத்தை மாற்றாமல், அதில் உள்ள எண்களை இன்னும் பல முறை மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 9/10 மீ அல்லது 2 3/10 மீ போன்றவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்தச் சிக்கல்கள் ஒரே உள்ளடக்கத்தைக் கொண்டிருப்பதால், எண்களில் மட்டுமே வேறுபடுவதால், அவற்றைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் செயல்களை ஒரே வார்த்தை - பெருக்கல் என்று அழைக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

கடைசி சிக்கலில் சந்தித்த எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வரையறையின்படி, நாம் 50 இல் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 50 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

50 இல் 1/4 என்பது 50/4;

எண் 50 இல் 3/4 ஆகும்.

எனவே.

மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 12 5/8 =?

12 என்ற எண்ணின் 1/8 என்பது 12/8,

எண் 12 இல் 5/8 ஆகும்.

எனவே,

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் பெருக்குவதற்கான விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது.

பெருக்கல் செய்வதற்கு முன், நீங்கள் (முடிந்தால்) செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். குறைப்புகள், உதாரணத்திற்கு:

4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, ​​முதல் பின்னத்திலிருந்து (பெருக்கி) காரணியில் உள்ள பின்னத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அதாவது, 3/4 ஐ 1/2 ஆல் பெருக்கினால் (பாதி) 3/4 இல் பாதியைக் கண்டறிவது.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்: 3/4 ஐ 5/7 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் நீங்கள் 3/4 இல் 5/7 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 3/4 இல் 1/7ஐயும், பிறகு 5/7ஐயும் கண்டுபிடிப்போம்

3/4 என்ற எண்ணின் 1/7 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

5/7 எண்கள் 3/4 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

இதனால்,

மற்றொரு உதாரணம்: 5/8 பெருக்கல் 4/9.

5/8 இல் 1/9 என்பது,

5/8 என்ற எண்ணின் 4/9 என்பது .

இதனால்,

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பின்வரும் விதியைக் கண்டறியலாம்:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்களால் பெருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பை உற்பத்தியின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

உள்ள விதி இதுதான் பொதுவான பார்வைஇப்படி எழுதலாம்:

பெருக்கும்போது, ​​(முடிந்தால்) குறைப்புகளைச் செய்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.கலப்பு எண்களை தவறான பின்னங்களால் எளிதாக மாற்ற முடியும் என்பதால், கலப்பு எண்களை பெருக்கும் போது இந்த சூழ்நிலை பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள், பெருக்கல், அல்லது பெருக்கி, அல்லது இரண்டு காரணிகளும் கலப்பு எண்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களில், அவை முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கலப்பு எண்களை பெருக்கலாம்: 2 1/2 மற்றும் 3 1/5. அவை ஒவ்வொன்றையும் முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம், பின்னர் ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை பெருக்கலாம்:

விதி.கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.

குறிப்பு.காரணிகளில் ஒன்று முழு எண்ணாக இருந்தால், பகிர்வு விதியின் அடிப்படையில் பெருக்கல் பின்வருமாறு செய்யப்படலாம்:

6. வட்டி கருத்து.சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் மற்றும் பல்வேறு நடைமுறைக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​எல்லா வகையான பின்னங்களையும் பயன்படுத்துகிறோம். ஆனால் பல அளவுகள் அவற்றுக்கான இயற்கையான பிளவுகளை மட்டும் அனுமதிக்காது என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு ரூபிளின் நூறில் (1/100) எடுக்கலாம், அது ஒரு கோபெக், இருநூறில் ஒரு பங்கு 2 கோபெக்குகள், முந்நூறில் ஒரு பங்கு 3 கோபெக்குகள். நீங்கள் ஒரு ரூபிளில் 1/10 ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம், அது "10 கோபெக்குகள், அல்லது பத்து-கோபெக் துண்டுகள். நீங்கள் ஒரு ரூபிள் கால் பகுதி, அதாவது 25 கோபெக்குகள், அரை ரூபிள், அதாவது 50 கோபெக்குகள் (ஐம்பது கோபெக்குகள்) எடுத்துக் கொள்ளலாம். அவர்கள் நடைமுறையில் அதை எடுத்துக்கொள்வதில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிளின் 2/7, ஏனெனில் ரூபிள் ஏழில் பிரிக்கப்படவில்லை.

எடையின் அலகு, அதாவது கிலோகிராம், முதன்மையாக தசம பிரிவுகளை அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக 1/10 கிலோ அல்லது 100 கிராம் மற்றும் ஒரு கிலோகிராமின் 1/6, 1/11, 1/13 போன்ற பின்னங்கள் பொதுவானவை அல்ல.

பொதுவாக, எங்கள் (மெட்ரிக்) நடவடிக்கைகள் தசம மற்றும் தசமப் பிரிவுகளை அனுமதிக்கின்றன.

எவ்வாறாயினும், அளவுகளை உட்பிரிப்பதற்கான ஒரே (சீரான) முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளது மற்றும் பலவகையான நிகழ்வுகளில் வசதியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இத்தகைய நன்கு நியாயப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு "நூறாவது" பிரிவு என்பதை பல வருட அனுபவம் காட்டுகிறது. மனித நடைமுறையின் மிகவும் மாறுபட்ட பகுதிகள் தொடர்பான பல உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையில் 12/100 குறைந்துள்ளது.

உதாரணமாக. புத்தகத்தின் முந்தைய விலை 10 ரூபிள். இது 1 ரூபிள் குறைந்துள்ளது. 20 கோபெக்குகள்

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்தில் சேமிப்பிற்காக டெபாசிட் செய்யப்பட்ட தொகையில் 2/100 செலுத்துகின்றன.

உதாரணமாக. 500 ரூபிள் பணப் பதிவேட்டில் டெபாசிட் செய்யப்பட்டுள்ளது, இந்த ஆண்டுக்கான வருமானம் 10 ரூபிள் ஆகும்.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் 5/100 ஆக இருந்தது.

உதாரணமாக பள்ளியில் 1,200 மாணவர்கள் மட்டுமே இருந்தனர், அதில் 60 பேர் தேர்ச்சி பெற்றனர்.

எண்ணின் நூறாவது பகுதி சதவீதம் எனப்படும்.

"சதவீதம்" என்ற வார்த்தை கடன் வாங்கப்பட்டது லத்தீன் மொழிமற்றும் அதன் வேர் "சென்ட்" என்பது நூறு. முன்மொழிவுடன் (ப்ரோ சென்டம்), இந்த வார்த்தைக்கு "நூறுக்கு" என்று பொருள். அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் பொருள் ஆரம்பத்தில் உள்ள உண்மையிலிருந்து பின்வருமாறு பண்டைய ரோம்வட்டி என்பது கடனாளி "ஒவ்வொரு நூற்றுக்கும்" கடனாளிக்கு செலுத்தும் பணம். "சென்ட்" என்ற வார்த்தை மிகவும் பழக்கமான வார்த்தைகளில் கேட்கப்படுகிறது: சென்டர் (நூறு கிலோகிராம்), சென்டிமீட்டர் (சென்டிமீட்டர் என்று சொல்லுங்கள்).

எடுத்துக்காட்டாக, கடந்த மாதத்தில் ஆலை உற்பத்தி செய்த அனைத்து பொருட்களில் 1/100 குறைபாடுள்ளது என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக, நாங்கள் இதைச் சொல்வோம்: கடந்த மாதத்தில் ஆலை ஒரு சதவீத குறைபாடுகளை உருவாக்கியது. கூறுவதற்குப் பதிலாக: ஆலை நிறுவப்பட்ட திட்டத்தை விட 4/100 கூடுதல் தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்தது, நாங்கள் கூறுவோம்: ஆலை திட்டத்தை 4 சதவிகிதம் தாண்டியது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையை விட 12 சதவீதம் குறைந்துள்ளது.

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்பாளர்களுக்கு சேமிப்பில் டெபாசிட் செய்யப்பட்ட தொகையில் ஆண்டுக்கு 2 சதவீதம் செலுத்துகின்றன.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டதாரிகளின் எண்ணிக்கை அனைத்து பள்ளி மாணவர்களில் 5 சதவீதமாக இருந்தது.

கடிதத்தை சுருக்க, "சதவீதம்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக % குறியீட்டை எழுதுவது வழக்கம்.

இருப்பினும், கணக்கீடுகளில் % அடையாளம் பொதுவாக எழுதப்படவில்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அது சிக்கல் அறிக்கையிலும் இறுதி முடிவிலும் எழுதப்படலாம். கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​இந்தக் குறியீட்டைக் கொண்டு முழு எண்ணுக்குப் பதிலாக 100 என்ற வகுப்பில் ஒரு பகுதியை எழுத வேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணை சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஐகானுடன் 100 பிரிவின் ஒரு பகுதியுடன் மாற்ற வேண்டும்:

மாறாக, 100 என்ற பிரிவைக் கொண்ட பின்னத்திற்குப் பதிலாக சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குறியீட்டைக் கொண்டு ஒரு முழு எண்ணை எழுதப் பழக வேண்டும்:

7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல்.

பணி 1.பள்ளிக்கு 200 கன மீட்டர் தண்ணீர் வந்தது. மீ விறகு, பிர்ச் விறகு 30% கணக்கில் உள்ளது. எவ்வளவு பிர்ச் விறகு இருந்தது?

இந்த சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், பள்ளிக்கு வழங்கப்பட்ட விறகின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே பிர்ச் விறகு உருவாக்கியது, மேலும் இந்த பகுதி 30/100 என்ற பின்னத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்கும் பணி நமக்கு உள்ளது என்பதே இதன் பொருள். அதைத் தீர்க்க, நாம் 200 ஐ 30/100 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (எண்ணின் பின்னத்தை கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள் எண்ணை பின்னத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படும்.).

இதன் பொருள் 200 இல் 30% 60 க்கு சமம்.

இந்த சிக்கலில் எதிர்கொள்ளும் 30/100 என்ற பின்னத்தை 10 ஆல் குறைக்கலாம். ஆரம்பத்தில் இருந்தே இந்தக் குறைப்பைச் செய்ய முடியும்; பிரச்சனைக்கான தீர்வு மாறியிருக்காது.

பணி 2.முகாமில் பல்வேறு வயதுடைய 300 குழந்தைகள் கலந்து கொண்டனர். 11 வயது குழந்தைகள் 21% ஆகவும், 12 வயது குழந்தைகள் 61% ஆகவும், இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகள் 18% ஆகவும் உள்ளனர். முகாமில் ஒவ்வொரு வயதினரும் எத்தனை குழந்தைகள் இருந்தனர்?

இந்த சிக்கலில் நீங்கள் மூன்று கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது 11 வயது, பின்னர் 12 வயது மற்றும் இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை தொடர்ச்சியாகக் கண்டறியவும்.

இதன் பொருள் இங்கே நீங்கள் எண்ணின் பகுதியை மூன்று முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதை செய்வோம்:

1) 11 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

2) 12 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

3) 13 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

சிக்கலைத் தீர்த்த பிறகு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களைச் சேர்ப்பது பயனுள்ளது; அவற்றின் தொகை 300 ஆக இருக்க வேண்டும்:

63 + 183 + 54 = 300

சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீதங்களின் கூட்டுத்தொகை 100 என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

21% + 61% + 18% = 100%

என்று இது அறிவுறுத்துகிறது மொத்த எண்ணிக்கைமுகாமில் உள்ள குழந்தைகள் 100% எடுக்கப்பட்டனர்.

3 a d a h a 3.தொழிலாளி மாதத்திற்கு 1,200 ரூபிள் பெற்றார். இதில், அவர் 65% உணவுக்காகவும், 6% அடுக்குமாடி குடியிருப்புகள் மற்றும் வெப்பமாக்கலுக்காகவும், 4% எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்காகவும், 10% கலாச்சார தேவைகளுக்காகவும், 15% சேமிப்பிற்காகவும் செலவிட்டார். பிரச்சனையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

இந்த சிக்கலை தீர்க்க நீங்கள் 1,200 இன் பகுதியை 5 முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1) உணவுக்காக எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது? இந்தச் செலவு மொத்த வருவாயில் 65% ஆகும், அதாவது 1,200 எண்ணில் 65/100 என்று கணக்கீடு செய்வோம்:

2) வெப்பமூட்டும் அடுக்குமாடி குடியிருப்புக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்? முந்தைய கணக்கீட்டைப் போலவே, நாங்கள் பின்வரும் கணக்கீட்டிற்கு வருகிறோம்:

3) எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்?

4) கலாச்சார தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

5) தொழிலாளி எவ்வளவு பணம் சேமித்தார்?

சரிபார்க்க, இந்த 5 கேள்விகளில் காணப்படும் எண்களைக் கூட்டுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். தொகை 1,200 ரூபிள் இருக்க வேண்டும். அனைத்து வருவாய்களும் 100% ஆகக் கணக்கிடப்படுகின்றன, இது சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீத எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சரிபார்க்க எளிதானது.

நாங்கள் மூன்று பிரச்சினைகளை தீர்த்தோம். இந்த பணிகள் கையாளப்பட்ட போதிலும் பல்வேறு விஷயங்கள்(பள்ளிக்கு விறகு விநியோகம், வெவ்வேறு வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, தொழிலாளியின் செலவுகள்), அவை அதே வழியில் தீர்க்கப்பட்டன. எல்லா சிக்கல்களிலும் கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் பல சதவீதத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்பதால் இது நடந்தது.

§ 90. பின்னங்களின் பிரிவு.

பின்னங்களின் பிரிவைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு முழு எண்ணை முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.
2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.
6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.
7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு முழு எண்ணை முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, பிரிவு என்பது இரண்டு காரணிகளின் (ஈவுத்தொகை) மற்றும் இந்த காரணிகளில் ஒன்றின் (வகுப்பான்) விளைபொருளைக் கொடுத்தால், மற்றொரு காரணி கண்டறியப்படும் என்ற உண்மையை உள்ளடக்கிய செயலாகும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதைப் பார்த்தோம். பிரிவின் இரண்டு நிகழ்வுகளை நாங்கள் அங்கு சந்தித்தோம்: மீதி இல்லாத பிரிவு, அல்லது "முழுமையாக" (150: 10 = 15), மற்றும் மீதியுடன் பிரிவு (100: 9 = 11 மற்றும் 1 மீதி). எனவே முழு எண்களின் துறையில், துல்லியமான வகுத்தல் எப்போதும் சாத்தியமில்லை என்று நாம் கூறலாம், ஏனெனில் ஈவுத்தொகை எப்போதும் முழு எண்ணால் வகுக்கும் பொருளாக இருக்காது. ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கலை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, முழு எண்களைப் வகுக்கும் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்தையும் நாம் பரிசீலிக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மட்டுமே விலக்கப்பட்டுள்ளது).

எடுத்துக்காட்டாக, 7 ஐ 12 ஆல் வகுத்தல் என்பது 12 ஆல் 7 க்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். அத்தகைய எண் 7 / 12 பின்னம், ஏனெனில் 7 / 12 12 = 7 ஆகும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: 14: 25 = 14 / 25, ஏனெனில் 14 / 25 25 = 14.

எனவே, ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் ஒரு பகுதியை உருவாக்க வேண்டும், அதன் எண் ஈவுத்தொகைக்கு சமமாகவும், வகுத்தல் வகுப்பிற்கு சமமாகவும் இருக்கும்.

2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்.

பின்னம் 6 / 7 ஐ 3 ஆல் வகுக்கவும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பின் வரையறையின்படி, நாம் இங்கே தயாரிப்பு (6 / 7) மற்றும் காரணிகளில் ஒன்று (3); 3 ஆல் பெருக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு 6/7 ஐக் கொடுக்கும் இரண்டாவது காரணியைக் கண்டறிய வேண்டும். வெளிப்படையாக, இது இந்த தயாரிப்பை விட மூன்று மடங்கு சிறியதாக இருக்க வேண்டும். அதாவது 6/7 என்ற பகுதியை 3 மடங்கு குறைப்பதே நமக்கு முன் வைக்கப்பட்ட பணி.

ஒரு பகுதியைக் குறைப்பது அதன் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதன் மூலமோ அல்லது அதன் வகுப்பை அதிகரிப்பதன் மூலமோ செய்யப்படலாம் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே நீங்கள் எழுதலாம்:

IN இந்த வழக்கில் 6 இன் எண் 3 ஆல் வகுபடும், எனவே எண்ணை பாதியாகக் குறைக்க வேண்டும்.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 5/8 ஐ 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே எண் 5 ஐ 2 ஆல் வகுக்க முடியாது, அதாவது வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்:

இதன் அடிப்படையில், ஒரு விதியை உருவாக்கலாம்: ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுக்க, பின்னத்தின் எண்ணை அந்த முழு எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.(முடிந்தால்), அதே வகுப்பை விட்டு, அல்லது பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்கி, அதே எண்ணை விட்டு.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

5 ஐ 1/2 ஆல் வகுக்க வேண்டியது அவசியமாக இருக்கட்டும், அதாவது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், தயாரிப்பு 5 ஐக் கொடுக்கும் எண்ணைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக, இந்த எண் 5 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் 1/2 சரியான பின்னம். , மற்றும் ஒரு எண்ணைப் பெருக்கும் போது சரியான பின்னத்தின் பலன் பெருக்கப்படும் விளைபொருளை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும். இதை தெளிவுபடுத்த, எங்கள் செயல்களை பின்வருமாறு எழுதுவோம்: 5: 1 / 2 = எக்ஸ் , அதாவது x 1/2 = 5.

அத்தகைய எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ் , இது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், 5 கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால், இந்த எண்ணின் 1/2 ஐக் கண்டுபிடிப்பது, எனவே, தெரியாத எண்ணின் 1/2 எக்ஸ் 5 க்கு சமம், மற்றும் முழு எண் எக்ஸ் இரண்டு மடங்கு, அதாவது 5 2 = 10.

எனவே 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

சரிபார்ப்போம்:

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 6ஐ 2/3ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதலில் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய முடிவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் (படம் 19).

படம்.19

6 அலகுகளுக்கு சமமான AB பிரிவை வரைவோம், மேலும் ஒவ்வொரு யூனிட்டையும் 3 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு யூனிட்டிலும், AB முழு பிரிவின் மூன்றில் மூன்று பங்கு (3/3) 6 மடங்கு பெரியது, அதாவது. இ. 18/3. சிறிய அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி, 2 இன் 18 விளைவான பிரிவுகளை இணைக்கிறோம்; 9 பிரிவுகள் மட்டுமே இருக்கும். இதன் பொருள் 2/3 என்ற பின்னம் 6 அலகுகளில் 9 முறை உள்ளது அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், 2/3 என்ற பின்னம் 6 முழு அலகுகளை விட 9 மடங்கு குறைவாக உள்ளது. எனவே,

கணக்கீடுகளை மட்டும் பயன்படுத்தி வரைதல் இல்லாமல் இந்த முடிவை எவ்வாறு பெறுவது? இப்படிக் காரணம் கூறுவோம்: 6ஐ 2/3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது 6ல் 2/3 எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்க வேண்டும். முதலில் கண்டுபிடிப்போம்: 6ல் 1/3 எத்தனை முறை உள்ளது? ஒரு முழு அலகில் மூன்றில் 3 பங்கு உள்ளது, மேலும் 6 அலகுகளில் 6 மடங்கு அதிகம், அதாவது 18 மூன்றில்; இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க நாம் 6 ஐ 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 1/3 ஆனது b அலகுகளில் 18 முறை உள்ளது, மேலும் 2/3 என்பது b அலகுகளில் 18 முறை அல்ல, ஆனால் பாதி மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, அதாவது 18: 2 = 9 எனவே, 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்கும் போது பின்வருவனவற்றைச் செய்தோம்:

இங்கிருந்து ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்கும் விதியைப் பெறுகிறோம். ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணையும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் வகுப்பதற்கான விதியுடன் காணப்படும் விதியை ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது. அதே சூத்திரம் அங்கேயும் பெறப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பிரிக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

3/4 ஐ 3/8 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். பிரிவதால் வரும் எண் என்ன அர்த்தம்? 3/4 என்ற பின்னத்தில் 3/8 என்ற பின்னம் எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு இது பதிலளிக்கும். இந்த சிக்கலைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 20).

AB பிரிவை எடுத்து, அதை ஒன்றாக எடுத்து, அதை 4 சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அத்தகைய 3 பகுதிகளைக் குறிக்கவும். ஏசி பிரிவு AB பிரிவின் 3/4க்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது நான்கு அசல் பிரிவுகளில் ஒவ்வொன்றையும் பாதியாகப் பிரிப்போம், பின்னர் பிரிவு AB 8 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் மற்றும் அத்தகைய ஒவ்வொரு பகுதியும் AB பிரிவின் 1/8 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய 3 பிரிவுகளை வளைவுகளுடன் இணைப்போம், பின்னர் AD மற்றும் DC பிரிவுகள் ஒவ்வொன்றும் AB பிரிவின் 3/8 க்கு சமமாக இருக்கும். 3/8 க்கு சமமான ஒரு பிரிவு 3/4 க்கு சமமான ஒரு பிரிவில் சரியாக 2 மடங்கு இருப்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது; இதன் பொருள் பிரிவின் முடிவை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

3 / 4: 3 / 8 = 2

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 15/16 ஐ 3/32 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

நாம் இப்படி நியாயப்படுத்தலாம்: 3/32 ஆல் பெருக்கினால், 15/16க்கு சமமான ஒரு பொருளைக் கொடுக்கும் எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கணக்கீடுகளை இப்படி எழுதுவோம்:

15 / 16: 3 / 32 = எக்ஸ்

3 / 32 எக்ஸ் = 15 / 16

3/32 தெரியாத எண் எக்ஸ் 15/16 ஆகும்

தெரியாத எண்ணில் 1/32 எக்ஸ் இருக்கிறது ,

32/32 எண்கள் எக்ஸ் ஒப்பனை .

எனவே,

எனவே, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டின் எண்ணால் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும். மற்றும் இரண்டாவது வகுத்தல்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

பிரிக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.

கலப்பு எண்களை வகுக்கும் போது, ​​முதலில் அவை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்கள் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளின்படி பிரிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றுவோம்:

இப்போது பிரிப்போம்:

எனவே, கலப்பு எண்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி பிரிக்க வேண்டும்.

6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.

பல்வேறு பின்னம் சிக்கல்களில், சில சமயங்களில் அறியப்படாத எண்ணின் சில பகுதியின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டிருக்கும், இந்த எண்ணை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலின் நேர்மாறாக இந்த வகையான சிக்கல் இருக்கும்; அங்கு ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது, இந்த எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது, இங்கே ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதி கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது. இந்த வகையான சிக்கலை தீர்க்க நாம் திரும்பினால் இந்த யோசனை இன்னும் தெளிவாகிவிடும்.

பணி 1.முதல் நாளில், கிளாசியர்ஸ் 50 ஜன்னல்களை மெருகூட்டியது, இது கட்டப்பட்ட வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும். இந்த வீட்டில் எத்தனை ஜன்னல்கள் உள்ளன?

தீர்வு. 50 மெருகூட்டப்பட்ட ஜன்னல்கள் வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும் என்று பிரச்சனை கூறுகிறது, அதாவது மொத்தம் 3 மடங்கு அதிகமான ஜன்னல்கள் உள்ளன, அதாவது.

வீட்டில் 150 ஜன்னல்கள் இருந்தன.

பணி 2.கடையில் 1,500 கிலோ மாவு விற்கப்பட்டது, இது கடையில் இருந்த மொத்த மாவில் 3/8 ஆகும். கடையின் ஆரம்ப சப்ளை மாவு என்ன?

தீர்வு.பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து 1,500 கிலோ மாவு மொத்த கையிருப்பில் 3/8 ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது; இதன் பொருள் இந்த இருப்பில் 1/8 3 மடங்கு குறைவாக இருக்கும், அதாவது அதைக் கணக்கிட நீங்கள் 1500 ஐ 3 மடங்கு குறைக்க வேண்டும்:

1,500: 3 = 500 (இது கையிருப்பில் 1/8 ஆகும்).

வெளிப்படையாக, முழு விநியோகமும் 8 மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். எனவே,

500 8 = 4,000 (கிலோ).

கடையில் ஆரம்பகட்ட மாவு இருப்பு 4,000 கிலோவாக இருந்தது.

இந்த சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு, பின்வரும் விதியைப் பெறலாம்.

அதன் பின்னத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த மதிப்பை பின்னத்தின் எண்ணிக்கையால் வகுத்து, பின்னத்தின் வகுப்பால் முடிவைப் பெருக்க போதுமானது.

ஒரு எண்ணை அதன் பின்னம் மூலம் கண்டுபிடிப்பதில் இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்த்தோம். இத்தகைய சிக்கல்கள், குறிப்பாக கடைசியில் இருந்து தெளிவாகக் காணப்படுகின்றன, இரண்டு செயல்களால் தீர்க்கப்படுகின்றன: பிரிவு (ஒரு பகுதி கண்டுபிடிக்கப்படும்போது) மற்றும் பெருக்கல் (முழு எண் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது).

இருப்பினும், பின்னங்களைப் பிரிப்பதைக் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, மேலே உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலால் தீர்க்க முடியும், அதாவது: ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி பணியை இது போன்ற ஒரு செயலில் தீர்க்க முடியும்:

எதிர்காலத்தில், அதன் பின்னத்திலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலின் மூலம் தீர்ப்போம் - பிரிவு.

7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

இந்தச் சிக்கல்களில், அந்த எண்ணின் சில சதவீதத்தை அறிந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பணி 1.இந்த ஆண்டின் தொடக்கத்தில் நான் சேமிப்பு வங்கியில் இருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். ஒரு வருடத்திற்கு முன்பு நான் சேமித்த தொகையிலிருந்து வருமானம். சேமிப்பு வங்கியில் எவ்வளவு பணம் போட்டுள்ளேன்? (பண மேசைகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்திற்கு 2% வருமானத்தை அளிக்கின்றன.)

ஒரு சேமிப்பு வங்கியில் குறிப்பிட்ட தொகையை போட்டுவிட்டு ஓராண்டு காலம் தங்கியிருந்தேன் என்பதே பிரச்சனையின் புள்ளி. ஒரு வருடம் கழித்து, நான் அவளிடமிருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். வருமானம், நான் டெபாசிட் செய்த பணத்தில் 2/100. நான் எவ்வளவு பணம் போட்டேன்?

இதன் விளைவாக, இந்த பணத்தின் ஒரு பகுதியை அறிந்துகொள்வது, இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (ரூபிள் மற்றும் பின்னங்கள்), நாம் முழு, இன்னும் அறியப்படாத, தொகை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தில் கண்டறிவதில் ஏற்படும் ஒரு சாதாரண பிரச்சனை. பின்வரும் சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

இதன் பொருள் சேமிப்பு வங்கியில் 3,000 ரூபிள் டெபாசிட் செய்யப்பட்டது.

பணி 2.மீனவர்கள் மாதாந்திர திட்டத்தை இரண்டு வாரங்களில் 64% பூர்த்தி செய்து 512 டன் மீன்களை அறுவடை செய்தனர். அவர்களின் திட்டம் என்ன?

பிரச்சினையின் நிலைமைகளிலிருந்து மீனவர்கள் திட்டத்தின் ஒரு பகுதியை முடித்தனர் என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த பகுதி 512 டன்களுக்கு சமம், இது திட்டத்தின் 64% ஆகும். திட்டத்தின் படி எத்தனை டன் மீன்கள் தயாரிக்கப்பட வேண்டும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. இந்த எண்ணைக் கண்டறிவது பிரச்சனைக்கு தீர்வாக இருக்கும்.

இத்தகைய சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

அதாவது திட்டத்தின்படி 800 டன் மீன்கள் தயார் செய்ய வேண்டும்.

பணி 3.ரயில் ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்குச் சென்றது. அவர் 276 வது கிலோமீட்டரைக் கடந்தபோது, ​​பயணிகளில் ஒருவர் அந்த வழியாகச் சென்ற கண்டக்டரிடம் தாங்கள் ஏற்கனவே எவ்வளவு பயணத்தை கடந்துவிட்டீர்கள் என்று கேட்டார். இதற்கு நடத்துனர் பதிலளித்தார்: "முழு பயணத்தில் 30% நாங்கள் ஏற்கனவே முடித்துவிட்டோம்." ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு உள்ள தூரம் என்ன?

சிக்கல் நிலைமைகளில் இருந்து ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு 30% பாதை 276 கிமீ ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த நகரங்களுக்கிடையேயான முழு தூரத்தையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது, இந்த பகுதிக்கு, முழுவதையும் கண்டறியவும்:

§ 91. பரஸ்பர எண்கள். பெருக்கல் மூலம் வகுத்தல் பதிலாக.

பின்னம் 2/3 ஐ எடுத்து, வகுப்பின் இடத்தில் எண்களை மாற்றுவோம், நமக்கு 3/2 கிடைக்கும். இந்த பின்னத்தின் தலைகீழ் எங்களுக்கு கிடைத்தது.

கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் தலைகீழ் பெறுவதற்கு, நீங்கள் அதன் எண்ணிக்கையை வகுப்பின் இடத்தில் வைக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பின் இடத்தில் வகுப்பை வைக்க வேண்டும். இந்த வழியில் நாம் எந்த பின்னத்தின் மறுபக்கத்தையும் பெறலாம். உதாரணத்திற்கு:

3/4, தலைகீழ் 4/3; 5/6, தலைகீழ் 6/5

முதலின் எண் இரண்டின் வகுத்தல், முதலின் வகுத்தல் இரண்டின் எண் ஆகிய பண்புகளைக் கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பர தலைகீழ்.

இப்போது 1/2 இன் எதிரொலியாக என்ன பின்னம் இருக்கும் என்பதைப் பற்றி சிந்திப்போம். வெளிப்படையாக, அது 2/1 அல்லது 2 ஆக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் தலைகீழ் பகுதியைத் தேடுவதன் மூலம், நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைத்தது. இந்த வழக்கு தனிமைப்படுத்தப்படவில்லை; மாறாக, 1 (ஒன்று) எண் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களுக்கும், பரஸ்பர எண்கள் முழு எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

1/3, தலைகீழ் 3; 1/5, தலைகீழ் 5

பரஸ்பர பின்னங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் முழு எண்களையும் சந்தித்ததால், பின்வருவனவற்றில் நாம் பரஸ்பர பின்னங்களைப் பற்றி அல்ல, மாறாக பரஸ்பர எண்களைப் பற்றி பேசுவோம்.

ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் எவ்வாறு எழுதுவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். பின்னங்களுக்கு, இது எளிமையாக தீர்க்கப்படும்: நீங்கள் எண்களின் இடத்தில் வகுப்பினை வைக்க வேண்டும். அதே வழியில், நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் பெறலாம், ஏனெனில் எந்த முழு எண்ணும் 1 இன் பிரிவைக் கொண்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் 7 இன் தலைகீழ் 1/7 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் 7 = 7/1; 10 = 10/1 என்பதால், 10 என்ற எண்ணுக்கு தலைகீழ் 1/10 ஆக இருக்கும்

இந்த யோசனையை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பரஸ்பரம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த அறிக்கை முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்ல, பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். உண்மையில், நாம் பின்னம் 5/9 இன் தலைகீழ் எழுத வேண்டும் என்றால், நாம் 1 ஐ எடுத்து 5/9 ஆல் வகுக்கலாம், அதாவது.

இப்போது ஒன்றைக் குறிப்பிடுவோம் சொத்துபரஸ்பர எண்கள், இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்: பரஸ்பர எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமம்.உண்மையில்:

இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வரும் வழியில் பரஸ்பர எண்களைக் கண்டறியலாம். நாம் 8 இன் தலைகீழ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

அதை எழுத்தால் குறிப்போம் எக்ஸ் , பின்னர் 8 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1/8. 7/12 இன் தலைகீழ் உள்ள மற்றொரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்து அதை எழுத்தால் குறிக்கலாம் எக்ஸ் , பின்னர் 7/12 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1: 7 / 12 அல்லது எக்ஸ் = 12 / 7 .

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பற்றிய தகவல்களைச் சற்று கூடுதலாக்கும் வகையில், பரஸ்பர எண்களின் கருத்தை இங்கு அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்.

எண் 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தால், பின்வருவனவற்றைச் செய்கிறோம்:

வெளிப்பாட்டிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தி, கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடவும்: .

முந்தையதைத் தொடர்புபடுத்தாமல் தனித்தனியாக வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எங்கிருந்து வந்தது என்ற கேள்வியைத் தீர்க்க முடியாது: 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தல் அல்லது 6 ஐ 5/3 ஆல் பெருக்குவது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரே விஷயம் நடக்கும். எனவே நாம் கூறலாம் ஒரு எண்ணை மற்றொரு எண்ணால் வகுத்தால், ஈவுத்தொகையை வகுக்கும் தலைகீழ் மூலம் பெருக்க முடியும்.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த முடிவை முழுமையாக உறுதிப்படுத்துகின்றன.

வேதியியல், இயற்பியல் மற்றும் உயிரியல் போன்ற துறைகளில் காணப்படும் மிக முக்கியமான அறிவியல்களில் ஒன்று, கணிதம் ஆகும். இந்த அறிவியலைப் படிப்பதன் மூலம் சில மன குணங்களை வளர்த்துக்கொள்ளவும், கவனம் செலுத்தும் திறனை மேம்படுத்தவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணித பாடத்தில் சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டிய தலைப்புகளில் ஒன்று பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் ஆகும். பல மாணவர்கள் படிக்க முடியாமல் சிரமப்படுகின்றனர். இந்த தலைப்பை நன்கு புரிந்துகொள்ள எங்கள் கட்டுரை உங்களுக்கு உதவும்.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது

பின்னங்கள் நீங்கள் பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடிய அதே எண்கள். முழு எண்களிலிருந்து அவற்றின் வேறுபாடு ஒரு வகுப்பின் முன்னிலையில் உள்ளது. அதனால்தான், பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​அவற்றின் சில அம்சங்களையும் விதிகளையும் நீங்கள் படிக்க வேண்டும். எளிமையான வழக்கு என்பது சாதாரண பின்னங்களின் கழித்தல் ஆகும், அதன் பிரிவுகள் ஒரே எண்ணாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்தச் செயலைச் செய்ய இயலாது சிறப்பு உழைப்புஉங்களுக்கு ஒரு எளிய விதி தெரிந்தால்:

• ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு வினாடியைக் கழிக்க, குறைக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழிக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிப்பது அவசியம். இந்த எண்ணை வேறுபாட்டின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்: k/m - b/m = (k-b)/m.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" என்ற பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டிய "3" என்ற பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்தால், நமக்கு "4" கிடைக்கும். இந்த எண்ணை பதிலின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், முதல் மற்றும் இரண்டாவது பின்னங்களின் வகுப்பில் இருந்த அதே எண்ணை வகுப்பில் வைக்கிறோம் - “19”.

கீழே உள்ள படம் இன்னும் பல ஒத்த உதாரணங்களைக் காட்டுகிறது.

மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"29" என்ற பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து, அனைத்து அடுத்தடுத்த பின்னங்களின் எண்களையும் கழிப்பதன் மூலம் குறைக்கப்படுகிறது - "3", "8", "2", "7". இதன் விளைவாக, “9” என்ற முடிவைப் பெறுகிறோம், அதை நாம் பதிலின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் இந்த அனைத்து பின்னங்களின் வகுப்பிலும் உள்ள எண்ணை வகுப்பில் எழுதுகிறோம் - “47”.

ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

சாதாரண பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் இதே கொள்கையைப் பின்பற்றுகிறது.

• பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியான பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் எண்களைச் சேர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணானது கூட்டுத்தொகையின் எண்ணாகும், மேலும் வகுத்தல் அப்படியே இருக்கும்: k/m + b/m = (k + b)/m.

ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இது எப்படி இருக்கும் என்று பார்ப்போம்:

1/4 + 2/4 = 3/4.

பின்னத்தின் முதல் காலத்தின் எண்ணுக்கு - “1” - பின்னத்தின் இரண்டாவது காலத்தின் எண்ணைச் சேர்க்கவும் - “2”. முடிவு - “3” - கூட்டுத்தொகையின் எண்ணில் எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும் பிரிவு பின்னங்களில் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது - “4”.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் கழித்தல்

ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாட்டை நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்துள்ளோம். நாம் பார்ப்பது போல், அறிதல் எளிய விதிகள், அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. ஆனால் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைச் செய்ய வேண்டுமானால் என்ன செய்வது? பல இடைநிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் இத்தகைய உதாரணங்களால் குழப்பமடைந்துள்ளனர். ஆனால் இங்கே கூட, தீர்வின் கொள்கை உங்களுக்குத் தெரிந்தால், எடுத்துக்காட்டுகள் இனி உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது. இங்கே ஒரு விதி உள்ளது, இது இல்லாமல் அத்தகைய பின்னங்களைத் தீர்ப்பது வெறுமனே சாத்தியமற்றது.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிக்க, அவை அதே சிறிய வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.



இதை எப்படி செய்வது என்பது பற்றி இன்னும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

ஒரு பகுதியின் சொத்து

ஒரே வகுப்பிற்கு பல பின்னங்களைக் கொண்டு வர, நீங்கள் ஒரு பின்னத்தின் முக்கிய சொத்தை கரைசலில் பயன்படுத்த வேண்டும்: எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணால் வகுத்த பிறகு அல்லது பெருக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான ஒரு பகுதியைப் பெறுவீர்கள்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னம் 2/3 ஆனது “6”, “9”, “12” போன்ற பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம், அதாவது, “3” இன் பெருக்கமான எந்த எண்ணின் வடிவத்தையும் இது கொண்டிருக்கலாம். எண் மற்றும் வகுப்பினை "2" ஆல் பெருக்கினால், 4/6 என்ற பின்னம் கிடைக்கும். அசல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை “3” ஆல் பெருக்கிய பிறகு, நமக்கு 6/9 கிடைக்கும், மேலும் “4” எண்ணுடன் இதேபோன்ற செயல்பாட்டைச் செய்தால், நமக்கு 8/12 கிடைக்கும். ஒரு சமத்துவத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்கு மாற்றுவது எப்படி

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்று பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பின்னங்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அவை அனைத்திற்கும் எந்த எண் வகுப்பாக மாறும் என்பதை முதலில் நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். விஷயங்களை எளிதாக்க, ஏற்கனவே உள்ள வகைகளை காரணியாக்குவோம்.

பின்னம் 1/2 மற்றும் பின்னம் 2/3 ஆகியவற்றின் வகுப்பினை காரணியாக்க முடியாது. வகுத்தல் 7/9 இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது 7/9 = 7/(3 x 3), பின்னம் 5/6 = 5/(2 x 3). இந்த நான்கு பின்னங்களுக்கும் எந்த காரணிகள் சிறியதாக இருக்கும் என்பதை இப்போது நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதல் பின்னம் வகுப்பில் "2" என்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், 7/9 என்ற பின்னத்தில் இரண்டு மும்மடங்குகள் உள்ளன, அதாவது அவை இரண்டும் வகுப்பில் இருக்க வேண்டும். மேற்கூறியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, வகுத்தல் மூன்று காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: 3, 2, 3 மற்றும் 3 x 2 x 3 = 18 க்கு சமம்.



முதல் பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - 1/2. அதன் வகுப்பில் ஒரு "2" உள்ளது, ஆனால் ஒரு "3" இலக்கம் இல்லை, ஆனால் இரண்டு இருக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாம் வகுப்பினை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்குகிறோம், ஆனால், ஒரு பகுதியின் சொத்தின்படி, நாம் எண்ணை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்க வேண்டும்:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

மீதமுள்ள பின்னங்களுடன் அதே செயல்பாடுகளைச் செய்கிறோம்.

• 2/3 - ஒன்று மூன்று மற்றும் ஒன்று இரண்டு வகுப்பில் இல்லை:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 அல்லது 7/(3 x 3) - வகுப்பில் இரண்டைக் காணவில்லை:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 அல்லது 5/(2 x 3) - வகுப்பில் மூன்று இல்லை:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

எல்லாம் சேர்ந்து இது போல் தெரிகிறது:



வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் சேர்ப்பது

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்க அல்லது கழிக்க, அவை ஒரே வகுப்பாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட அதே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

இதை ஒரு உதாரணமாகப் பார்ப்போம்: 4/18 - 3/15.

18 மற்றும் 15 எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிதல்:

• எண் 18 ஆனது 3 x 2 x 3 ஆல் ஆனது.
• எண் 15 ஆனது 5 x 3 ஆல் ஆனது.
• பொதுவான மடங்கு பின்வரும் காரணிகளாக இருக்கும்: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

வகுத்தல் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் வித்தியாசமாக இருக்கும் காரணியைக் கணக்கிடுவது அவசியம், அதாவது, வகுப்பினை மட்டுமல்ல, எண்ணையும் பெருக்க வேண்டிய எண். இதைச் செய்ய, கூடுதல் காரணிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய பின்னத்தின் வகுப்பினால் நாம் கண்டறிந்த எண்ணை (பொது மடங்கு) வகுக்கவும்.

• 90 ஐ 15 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "6" 3/15க்கு ஒரு பெருக்கியாக இருக்கும்.
• 90 ஐ 18 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "5" 4/18க்கு ஒரு பெருக்கியாக இருக்கும்.

எங்கள் தீர்வின் அடுத்த கட்டம், ஒவ்வொரு பகுதியையும் "90" என்ற வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பது பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது எவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்போம்:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

பின்னங்கள் சிறிய எண்களைக் கொண்டிருந்தால், கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, பொதுவான வகுப்பினை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.



வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டவர்களுக்கும் இதுவே பொருந்தும்.

கழித்தல் மற்றும் முழு எண் பாகங்கள் கொண்டவை

பின்னங்களின் கழித்தல் மற்றும் அவற்றின் கூட்டல் பற்றி ஏற்கனவே விரிவாக விவாதித்தோம். ஆனால் ஒரு பின்னத்தில் முழு எண் பகுதி இருந்தால் எப்படி கழிப்பது? மீண்டும், சில விதிகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

• முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவற்றிற்கு மாற்றவும். பேசும் எளிய வார்த்தைகளில், முழு பகுதியையும் அகற்றவும். இதைச் செய்ய, முழு எண் பகுதியின் எண்ணிக்கையை பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை எண்ணில் சேர்க்கவும். இந்த செயல்களுக்குப் பிறகு வெளிவரும் எண் முறையற்ற பின்னத்தின் எண் ஆகும். வகுத்தல் மாறாமல் உள்ளது.
• பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.
• ஒரே வகுப்பினருடன் கூட்டல் அல்லது கழித்தல் செய்யவும்.
• தவறான பகுதியைப் பெறும்போது, ​​முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்.



முழு பகுதிகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க மற்றும் கழிக்க மற்றொரு வழி உள்ளது. இதைச் செய்ய, செயல்கள் முழு பகுதிகளுடன் தனித்தனியாகவும், பின்னங்களுடன் செயல்கள் தனித்தனியாகவும் செய்யப்படுகின்றன, மேலும் முடிவுகள் ஒன்றாக பதிவு செய்யப்படுகின்றன.



கொடுக்கப்பட்ட உதாரணம் ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிரிவுகள் வேறுபட்டால், அவை ஒரே மதிப்பிற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டும், பின்னர் எடுத்துக்காட்டில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

முழு எண்களிலிருந்து பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களுடனான மற்றொரு வகை செயல்பாடு, முதல் பார்வையில் ஒரு பகுதியைக் கழிக்க வேண்டும், அத்தகைய உதாரணத்தை தீர்ப்பது கடினம். இருப்பினும், இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிது. அதைத் தீர்க்க, நீங்கள் முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் கழித்த பின்னத்தில் உள்ள அதே வகுப்போடு. அடுத்து, ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் கழிப்பதைப் போன்ற ஒரு கழிப்பைச் செய்கிறோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது போல் தெரிகிறது:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்பட்ட பின்னங்களின் கழித்தல் (தரம் 6) மேலும் தீர்வுக்கான அடிப்படையாகும் சிக்கலான உதாரணங்கள், இது அடுத்தடுத்த வகுப்புகளில் விவாதிக்கப்படுகிறது. இந்தத் தலைப்பைப் பற்றிய அறிவு, செயல்பாடுகள், வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பலவற்றைத் தீர்க்க பின்னர் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வதும் புரிந்துகொள்வதும் மிகவும் முக்கியம்.

பின்னங்கள் கொண்ட செயல்கள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

எனவே, பின்னங்கள் என்ன, பின்னங்களின் வகைகள், மாற்றங்கள் - நாங்கள் நினைவில் வைத்தோம். முக்கிய பிரச்சினைக்கு வருவோம்.

பின்னங்களை வைத்து என்ன செய்யலாம்?ஆம், எல்லாம் சாதாரண எண்களைப் போலவே உள்ளது. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்.

இந்த நடவடிக்கைகள் அனைத்தும் தசமபின்னங்களுடன் வேலை செய்வது முழு எண்களுடன் வேலை செய்வதிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. உண்மையில், அதுதான் அவர்களுக்கு நல்லது, தசமம். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் கமாவை சரியாக வைக்க வேண்டும்.

கலப்பு எண்கள், நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், பெரும்பாலான செயல்களுக்கு அதிக பயன் இல்லை. அவை இன்னும் சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

ஆனால் உடன் செயல்கள் சாதாரண பின்னங்கள்அவர்கள் அதிக தந்திரமாக இருப்பார்கள். மேலும் மிக முக்கியமானது! நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: எழுத்துக்கள், சைன்கள், தெரியாதவை மற்றும் பலவற்றுடன் பின்ன வெளிப்பாடுகளுடன் கூடிய அனைத்து செயல்களும் சாதாரண பின்னங்கள் கொண்ட செயல்களிலிருந்து வேறுபட்டவை அல்ல.! சாதாரண பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள் அனைத்து இயற்கணிதத்திற்கும் அடிப்படையாகும். இந்த காரணத்திற்காகவே இந்த எண்கணிதத்தை மிக விரிவாக இங்கே பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பின்னங்களை கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்.

ஒவ்வொருவரும் ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம் (கழிக்கலாம்) (நான் நம்புகிறேன்!). சரி, முற்றிலும் மறந்தவர்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: சேர்க்கும்போது (கழிக்கும்போது), வகுப்பு மாறாது. முடிவின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்க எண்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன (கழிக்கப்படுகின்றன). வகை:

சுருக்கமாக, பொதுவாக:

பிரிவுகள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? பின்னர், ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படைச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி (இங்கே அது மீண்டும் கைக்கு வருகிறது!), நாங்கள் வகுப்பினரை ஒரே மாதிரியாக ஆக்குகிறோம்! உதாரணத்திற்கு:

இங்கே நாம் 2/5 என்ற பின்னத்திலிருந்து 4/10 என்ற பகுதியை உருவாக்க வேண்டும். பகுத்தறிவுகளை ஒரே மாதிரியாக மாற்றும் நோக்கத்திற்காக. 2/5 மற்றும் 4/10 என்பதை நான் கவனிக்கிறேன் அதே பின்னம்! 2/5 மட்டுமே எங்களுக்கு சங்கடமாக இருக்கிறது, மேலும் 4/10 உண்மையில் பரவாயில்லை.

மூலம், இது எந்த கணித சிக்கல்களையும் தீர்ப்பதன் சாராம்சம். நாம் எப்போது சங்கடமானநாங்கள் வெளிப்பாடுகளை செய்கிறோம் அதே விஷயம், ஆனால் தீர்க்க மிகவும் வசதியானது.

மற்றொரு உதாரணம்:

நிலைமையும் அப்படித்தான். இங்கே நாம் 16 இல் 48 ஐ உருவாக்குகிறோம். எளிய பெருக்கல் மூலம்மூலம் 3. இது அனைத்தும் தெளிவாக உள்ளது. ஆனால் இதுபோன்ற ஒன்றை நாங்கள் கண்டோம்:

எப்படி இருக்க வேண்டும்?! ஏழில் ஒன்பதை உருவாக்குவது கடினம்! ஆனால் நாங்கள் புத்திசாலிகள், எங்களுக்கு விதிகள் தெரியும்! மாற்றுவோம் ஒவ்வொருபின்னம் அதனால் வகுப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இது "பொது வகுப்பிற்குக் குறைத்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது:

ஆஹா! 63 பற்றி எனக்கு எப்படித் தெரியும்? மிக எளிய! 63 என்பது ஒரே நேரத்தில் 7 மற்றும் 9 ஆல் வகுபடும் எண். அத்தகைய எண்ணை எப்பொழுதும் வகுத்தல்களைப் பெருக்குவதன் மூலம் பெறலாம். உதாரணமாக, ஒரு எண்ணை 7 ஆல் பெருக்கினால், முடிவு நிச்சயமாக 7 ஆல் வகுபடும்!

நீங்கள் பல பின்னங்களைச் சேர்க்க (கழிக்க) விரும்பினால், அதை ஜோடிகளாக, படிப்படியாக செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. அனைத்து பின்னங்களுக்கும் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிந்து, ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் இதே வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:

மேலும் பொதுவான அம்சம் என்னவாக இருக்கும்? நீங்கள் நிச்சயமாக, 2, 4, 8 மற்றும் 16 ஐப் பெருக்கலாம். நாங்கள் 1024 ஐப் பெறுகிறோம். கெட்ட கனவு. எண் 16 ஆனது 2, 4 மற்றும் 8 ஆல் முழுமையாக வகுபடும் என்று மதிப்பிடுவது எளிது. எனவே, இந்த எண்களிலிருந்து 16 ஐப் பெறுவது எளிது. இந்த எண் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும். 1/2 ஐ 8/16 ஆகவும், 3/4 ஐ 12/16 ஆகவும், மற்றும் பலவற்றை மாற்றுவோம்.

மூலம், நீங்கள் 1024 ஐ பொதுவான வகுப்பாக எடுத்துக் கொண்டால், எல்லாம் வேலை செய்யும், இறுதியில் எல்லாம் குறைக்கப்படும். ஆனால் எல்லோரும் இந்த முடிவுக்கு வர மாட்டார்கள், ஏனெனில் கணக்கீடுகள் ...

உதாரணத்தை நீங்களே முடிக்கவும். ஒருவித மடக்கை அல்ல... அது 29/16 ஆக மாற வேண்டும்.

எனவே, பின்னங்களின் கூட்டல் (கழித்தல்) தெளிவாக உள்ளது, நான் நம்புகிறேன்? நிச்சயமாக, கூடுதல் பெருக்கிகளுடன் சுருக்கப்பட்ட பதிப்பில் வேலை செய்வது எளிது. ஆனால் இந்த இன்பம் குறைந்த வகுப்பில் நேர்மையாக உழைத்தவர்களுக்கே கிடைக்கும்... எதையும் மறக்கவில்லை.

இப்போது நாம் அதே செயல்களைச் செய்வோம், ஆனால் பின்னங்களுடன் அல்ல, ஆனால் உடன் பகுதி வெளிப்பாடுகள். புதிய ரேக் இங்கே வெளிப்படுத்தப்படும், ஆம்...

எனவே, நாம் இரண்டு பகுதி வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

பகுத்தறிவுகளை நாம் ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும். மற்றும் உதவியுடன் மட்டுமே பெருக்கல்! ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து கட்டளையிடுவது இதுதான். எனவே, வகுப்பில் முதல் பின்னத்தில் X உடன் ஒன்றைச் சேர்க்க முடியாது. (அது நன்றாக இருக்கும்!). ஆனால் நீங்கள் பிரிவினைகளைப் பெருக்கினால், எல்லாம் ஒன்றாக வளர்கிறது! எனவே நாம் பின்னத்தின் கோட்டை எழுதி, மேலே ஒரு வெற்று இடத்தை விட்டு, பின்னர் அதைச் சேர்த்து, மறந்துவிடாதபடி கீழே உள்ள வகுப்பினரின் தயாரிப்பை எழுதுகிறோம்:

மற்றும், நிச்சயமாக, நாம் வலது பக்கத்தில் எதையும் பெருக்க மாட்டோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க மாட்டோம்! இப்போது, ​​​​வலது பக்கத்தில் உள்ள பொதுவான வகுப்பைப் பார்க்கும்போது, ​​​​நாம் புரிந்துகொள்கிறோம்: முதல் பின்னத்தில் x(x+1) வகுப்பைப் பெற, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பை (x+1) ஆல் பெருக்க வேண்டும். . மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தில் - x வரை. நீங்கள் பெறுவது இதுதான்:

குறிப்பு! இதோ அடைப்புக்குறிகள்! பலர் மிதிக்கும் ரேக் இது. நிச்சயமாக அடைப்புக்குறிகள் அல்ல, ஆனால் அவை இல்லாதது. நாம் பெருக்குவதால் அடைப்புக்குறிகள் தோன்றும் அனைத்துஎண் மற்றும் அனைத்துவகுக்கும்! அவர்களின் தனிப்பட்ட துண்டுகள் அல்ல...

வலது பக்க எண்களில் நாம் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எழுதுகிறோம், எல்லாமே எண் பின்னங்களில் உள்ளது, பின்னர் வலது பக்க எண்களில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், அதாவது. நாம் எல்லாவற்றையும் பெருக்கி ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கிறோம். வகுப்பில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவோ அல்லது எதையும் பெருக்கவோ தேவையில்லை! பொதுவாக, பிரிவுகளில் (ஏதேனும்) தயாரிப்பு எப்போதும் மிகவும் இனிமையானது! நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே விடை கிடைத்தது. செயல்முறை நீண்ட மற்றும் கடினமாக தெரிகிறது, ஆனால் அது நடைமுறையில் சார்ந்துள்ளது. நீங்கள் உதாரணங்களைத் தீர்த்தவுடன், அதைப் பழக்கப்படுத்துங்கள், எல்லாம் எளிமையாகிவிடும். சரியான நேரத்தில் பின்னங்களில் தேர்ச்சி பெற்றவர்கள் இந்த செயல்பாடுகளை ஒரு இடது கையால் தானாகவே செய்கிறார்கள்!

மேலும் ஒரு குறிப்பு. பலர் பின்னங்களை புத்திசாலித்தனமாக கையாளுகிறார்கள், ஆனால் உதாரணங்களில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள் முழுவதும்எண்கள். இப்படி: 2 + 1/2 + 3/4= ? இரண்டு துண்டுகளை எங்கே கட்டுவது? நீங்கள் அதை எங்கும் கட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை, இரண்டில் ஒரு பகுதியை நீங்கள் உருவாக்க வேண்டும். இது எளிதானது அல்ல, ஆனால் மிகவும் எளிமையானது! 2=2/1. இது போன்ற. எந்த முழு எண்ணையும் பின்னமாக எழுதலாம். எண் என்பது எண் தானே, வகுத்தல் ஒன்று. 7 என்பது 7/1, 3 என்பது 3/1 மற்றும் பல. எழுத்துக்களிலும் அப்படித்தான். (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, போன்றவை. பின்னர் அனைத்து விதிகளின்படி இந்த பின்னங்களுடன் நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்.

சரி, பின்னங்களின் கூட்டல் கழித்தல் பற்றிய அறிவு புத்துணர்ச்சி பெற்றது. பின்னங்களை ஒரு வகையிலிருந்து மற்றொரு வகைக்கு மாற்றுவது மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டது. நீங்கள் சரிபார்க்கவும் முடியும். கொஞ்சம் தீர்த்து வைப்போமா?)

கணக்கிடு:

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

பின்னங்களின் பெருக்கல்/வகுத்தல் - அடுத்த பாடத்தில். பின்னங்கள் கொண்ட அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் பணிகளும் உள்ளன.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள் ஒரு குழந்தைக்கு புரிந்துகொள்வது கடினம். பெரும்பாலான மக்களுக்கு சிரமங்கள் உள்ளன. "முழு எண்களுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பது" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் போது, ​​குழந்தை ஒரு மயக்கத்தில் விழுகிறது, சிக்கலைத் தீர்ப்பது கடினம். பல எடுத்துக்காட்டுகளில், ஒரு செயலைச் செய்வதற்கு முன், தொடர்ச்சியான கணக்கீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை மாற்றவும் அல்லது முறையற்ற பின்னத்தை சரியான பின்னமாக மாற்றவும்.

குழந்தைக்கு தெளிவாக விளக்குவோம். மூன்று ஆப்பிள்களை எடுத்துக்கொள்வோம், அவற்றில் இரண்டு முழுதாக இருக்கும், மூன்றாவது 4 பகுதிகளாக வெட்டவும். வெட்டப்பட்ட ஆப்பிளில் இருந்து ஒரு துண்டுகளை பிரித்து, மீதமுள்ள மூன்றை இரண்டு முழு பழங்களுக்கு அடுத்ததாக வைக்கவும். ஒரு பக்கத்தில் ¼ ஆப்பிள் மற்றும் மறுபுறம் 2 ¾ கிடைக்கும். அவற்றை இணைத்தால், மூன்று ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும். 2 ¾ ஆப்பிள்களை ¼ ஆல் குறைக்க முயற்சிப்போம், அதாவது மற்றொரு துண்டை அகற்றினால் 2 2/4 ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும்.

முழு எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

முதலில், ஒரு பொதுவான வகுப்பினருடன் பின்ன வெளிப்பாடுகளுக்கான கணக்கீட்டு விதியை நினைவில் கொள்வோம்:

முதல் பார்வையில், எல்லாம் எளிதானது மற்றும் எளிமையானது. ஆனால் இது மாற்றம் தேவையில்லாத வெளிப்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

வகுப்புகள் வித்தியாசமாக இருக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டறிவது

சில பணிகளில், பிரிவுகள் வேறுபட்டிருக்கும் வெளிப்பாட்டின் பொருளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கைப் பார்ப்போம்:
3 2/7+6 1/3

இரண்டு பின்னங்களுக்கு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

7 மற்றும் 3 எண்களுக்கு, இது 21. முழு எண் பகுதிகளை அப்படியே விட்டுவிட்டு, பகுதியளவு பகுதிகளை 21 க்கு கொண்டு வருகிறோம், இதற்காக முதல் பகுதியை 3 ஆல் பெருக்குகிறோம், இரண்டாவது 7 ஆல், நாம் பெறுகிறோம்:
6/21+7/21, முழு பகுதிகளையும் மாற்ற முடியாது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். இதன் விளைவாக, ஒரே வகுப்பில் இரண்டு பின்னங்களைப் பெற்று அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுகிறோம்:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
கூட்டலின் விளைவாக ஏற்கனவே ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட தவறான பின்னமாக இருந்தால் என்ன செய்வது:
2 1/3+3 2/3
இந்த வழக்கில், முழு எண் பகுதிகள் மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளைச் சேர்க்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
5 3/3, உங்களுக்குத் தெரியும், 3/3 என்பது ஒன்று, அதாவது 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

தொகையைக் கண்டறிவது தெளிவாக உள்ளது, கழித்தலைப் பார்ப்போம்:

சொல்லப்பட்ட எல்லாவற்றிலிருந்தும், கலப்பு எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கான விதி பின்வருமாறு:

• நீங்கள் ஒரு பகுதியின் வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் இரண்டாவது எண்ணை ஒரு பின்னமாக குறிப்பிட வேண்டிய அவசியமில்லை, முழு எண் பாகங்களில் மட்டுமே செயல்பாட்டைச் செய்தால் போதும்.

வெளிப்பாடுகளின் அர்த்தத்தை நாமே கணக்கிட முயற்சிப்போம்:

"m" என்ற எழுத்தின் கீழ் உள்ள உதாரணத்தை உற்று நோக்கலாம்:

4 5/11-2 8/11, முதல் பின்னத்தின் எண் இரண்டாவது பகுதியை விட குறைவாக உள்ளது. இதைச் செய்ய, முதல் பகுதியிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கடன் வாங்குகிறோம், பெறுகிறோம்,
3 5/11+11/11=3 முழு 16/11, முதல் பின்னத்தில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்:
3 16/11-2 8/11=1 முழு 8/11

• பணியை முடிக்கும்போது கவனமாக இருங்கள், முறையற்ற பின்னங்களை கலப்பு பின்னங்களாக மாற்ற மறக்காதீர்கள், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் எண் மதிப்பை வகுப்பின் மதிப்பால் வகுக்க வேண்டும், பின்னர் என்ன நடக்கிறது என்பது முழுப் பகுதியின் இடத்தையும் எடுக்கும், மீதமுள்ளவை எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

19/4=4 ¾, சரிபார்ப்போம்: 4*4+3=19, வகுத்தல் 4 மாறாமல் உள்ளது.

சுருக்கமாக:

பின்னங்கள் தொடர்பான பணியைத் தொடங்குவதற்கு முன், அது என்ன வகையான வெளிப்பாடு, தீர்வு சரியாக இருக்க, பின்னத்தில் என்ன மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம். இன்னும் பகுத்தறிவு தீர்வைத் தேடுங்கள். கடினமான வழியில் செல்ல வேண்டாம். அனைத்து செயல்களையும் திட்டமிடுங்கள், அவற்றை முதலில் வரைவு வடிவத்தில் தீர்க்கவும், பின்னர் அவற்றை உங்கள் பள்ளி நோட்புக்கிற்கு மாற்றவும்.

பகுதி வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, நீங்கள் நிலைத்தன்மையின் விதியைப் பின்பற்ற வேண்டும். அவசரப்படாமல் எல்லாவற்றையும் கவனமாக முடிவு செய்யுங்கள்.

$\frac63$ என்ற பகுதியைக் கவனியுங்கள். $\frac63 =6:3 = 2$ என்பதால் அதன் மதிப்பு 2 ஆகும். எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் பெருக்கினால் என்ன நடக்கும்? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. வெளிப்படையாக, பின்னத்தின் மதிப்பு மாறவில்லை, எனவே $\frac(12)(6)$ y என்பதும் 2க்கு சமம். உங்களால் முடியும் எண் மற்றும் வகுப்பை பெருக்கவும் 3 மற்றும் $\frac(18)(9)$, அல்லது 27 மற்றும் $\frac(162)(81)$, அல்லது 101 மற்றும் $\frac(606)(303)$ பெறவும். இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், எண்களை வகுப்பால் நாம் பெறும் பின்னத்தின் மதிப்பு 2. இது மாறவில்லை என்று அர்த்தம்.

இதே முறை மற்ற பின்னங்களின் விஷயத்திலும் காணப்படுகிறது. $\frac(120)(60)$ (2க்கு சமம்) என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் வகுத்தால் (முடிவு $\frac(60)(30)$), அல்லது 3 (முடிவு $\frac(40)(20) $), அல்லது 4 (முடிவு $\frac(30)(15)$) மற்றும் பல, பிறகு ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் பின்னத்தின் மதிப்பு மாறாமல் 2க்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த விதி சமமாக இல்லாத பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும் முழு எண்.

$\frac(1)(3)$ என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு $\frac(2)(6)$ கிடைக்கும், அதாவது பின்னத்தின் மதிப்பு மாறவில்லை. உண்மையில், நீங்கள் பையை 3 பகுதிகளாகப் பிரித்து அவற்றில் ஒன்றை எடுத்தால் அல்லது 6 பகுதிகளாகப் பிரித்து 2 பகுதிகளை எடுத்தால், இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரே அளவு பை கிடைக்கும். எனவே, $\frac(1)(3)$ மற்றும் $\frac(2)(6)$ ஆகிய எண்கள் ஒரே மாதிரியானவை. ஒரு பொது விதியை உருவாக்குவோம்.

எந்தப் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினையும் பின்னத்தின் மதிப்பை மாற்றாமல் அதே எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுக்கலாம்.

இந்த விதி மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இது சில சந்தர்ப்பங்களில் அனுமதிக்கிறது, ஆனால் எப்போதும் அல்ல, அதிக எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளைத் தவிர்க்க.

எடுத்துக்காட்டாக, நாம் $\frac(126)(189)$ என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 63 ஆல் வகுத்து $\frac(2)(3)$ என்ற பின்னத்தைப் பெறலாம், இது கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. இன்னும் ஒரு உதாரணம். $\frac(155)(31)$ என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 31 ஆல் வகுத்து $\frac(5)(1)$ அல்லது 5 என்ற பின்னத்தை 5:1=5 முதல் பெறலாம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், நாங்கள் முதலில் சந்தித்தோம் ஒரு பகுதியின் பிரிவு 1 ஆகும். இத்தகைய பின்னங்கள் கணக்கீடுகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. எந்த எண்ணையும் 1 ஆல் வகுக்க முடியும் மற்றும் அதன் மதிப்பு மாறாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். அதாவது, $\frac(273)(1)$ என்பது 273க்கு சமம்; $\frac(509993)(1)$ சமம் 509993 மற்றும் பல. எனவே, நாம் எண்களை ஆல் வகுக்க வேண்டியதில்லை, ஏனெனில் ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் 1 இன் பிரிவைக் கொண்ட பின்னமாகக் குறிப்பிடலாம்.

அத்தகைய பின்னங்கள் 1 ஆக இருக்கும், நீங்கள் மற்ற அனைத்து பின்னங்களிலும் அதே எண்கணித செயல்பாடுகளை செய்யலாம்: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

ஒரு முழு எண்ணுடன் வேலை செய்வது மிகவும் வசதியானது என்பதால், கோட்டின் கீழ் ஒரு அலகுடன் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தினால் என்ன பயன் என்று நீங்கள் கேட்கலாம். ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது, நாம் முழு எண்கள் மற்றும் இரண்டையும் கையாளும் போது பல்வேறு செயல்களை மிகவும் திறம்படச் செய்வதற்கான வாய்ப்பை வழங்குகிறது. பின்ன எண்கள். உதாரணமாக, கற்றுக்கொள்ள வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும். $\frac(1)(3)$ மற்றும் $\frac(1)(5)$ ஐ சேர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

பிரிவுகள் சமமாக இருக்கும் பின்னங்களை மட்டுமே சேர்க்க முடியும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். இதன் பொருள், பின்னங்களை அவற்றின் பிரிவுகள் சமமாக இருக்கும் வடிவத்தில் எவ்வாறு குறைப்பது என்பதை நாம் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இந்த வழக்கில், ஒரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை அதன் மதிப்பை மாற்றாமல் அதே எண்ணால் பெருக்க முடியும் என்ற உண்மை நமக்கு மீண்டும் தேவைப்படும்.

முதலில், $\frac(1)(3)$ என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 5 ஆல் பெருக்கவும். நமக்கு $\frac(5)(15)$ கிடைக்கும், பின்னத்தின் மதிப்பு மாறவில்லை. பின் $\frac(1)(5)$ என்ற பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 3 ஆல் பெருக்குவோம். $\frac(3)(15)$ கிடைக்கும், மீண்டும் பின்னத்தின் மதிப்பு மாறவில்லை. எனவே, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

இப்போது முழு எண் மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளைக் கொண்ட எண்களைச் சேர்க்க இந்த அமைப்பைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம்.

நாம் $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ சேர்க்க வேண்டும். முதலில், அனைத்து சொற்களையும் பின்னங்களாக மாற்றி, பெறுவோம்: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. இப்போது நாம் அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வர வேண்டும், இதற்காக நாம் முதல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 12 ஆல் பெருக்குகிறோம், இரண்டாவது 4 ஆல், மூன்றாவது 3 ஆல் பெருக்குகிறோம். இதன் விளைவாக, நமக்கு $\frac(36) கிடைக்கிறது. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, இது $\frac(55)(12)$க்கு சமம். நீங்கள் விடுபட விரும்பினால் தகாப்பின்னம், இது ஒரு முழு எண் மற்றும் பின்னம் கொண்ட எண்ணாக மாற்றப்படலாம்: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ அல்லது $4\frac(7 )( 12)$.

அனுமதிக்கும் அனைத்து விதிகளும் பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள், நாங்கள் இப்போது படித்தது, எதிர்மறை எண்களின் விஷயத்திலும் செல்லுபடியாகும். எனவே, -1: 3 ஐ $\frac(-1)(3)$ என்றும், 1: (-3) ஐ $\frac(1)(-3)$ என்றும் எழுதலாம்.

எதிர்மறை எண்ணை நேர்மறை எண்ணால் வகுத்தல் மற்றும் நேர்மறை எண்ணை எதிர்மறை எண்களால் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டும் எதிர்மறை எண்களாக இருப்பதால், இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் பதில் எதிர்மறை எண்ணாக இருக்கும். அது

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ அல்லது $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. இந்த வழியில் எழுதப்பட்ட மைனஸ் அடையாளம் முழு பின்னத்தையும் குறிக்கிறது, தனித்தனியாக எண் அல்லது வகுப்பிற்கு அல்ல.

மறுபுறம், (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ என எழுதலாம், மேலும் எதிர்மறை எண்ணை எதிர்மறை எண்ணால் வகுத்தால் நமக்கு கிடைக்கும் நேர்மறை எண், பிறகு $\frac(-1)(-3)$ ஐ $+\frac(1)(3)$ என எழுதலாம்.

நேர்மறை பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் போன்ற அதே திட்டத்தின் படி எதிர்மறை பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $1- 1\frac13$ என்றால் என்ன? இரண்டு எண்களையும் பின்னங்களாகக் குறிப்பிடுவோம் மற்றும் $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ ஐப் பெறுவோம். பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, அதாவது $\frac(3)(3)-\ பெறுவோம் frac(4) (3)$, அல்லது $-\frac(1)(3)$.