Sayısal kümelerin belirlenmesi, kaydedilmesi ve gösterimi. Küme kavramı. Kümeleri belirtme yöntemleri

Matematiksel analiz, sonsuz küçük bir fonksiyon fikrine dayanan fonksiyonların incelenmesiyle ilgilenen matematiğin dalıdır.

Matematiksel analizin temel kavramları şunlardır: miktar, küme, fonksiyon, sonsuz küçük fonksiyon, limit, türev, integral.

Boyut Sayılarla ölçülebilen ve ifade edilebilen her şeye denir.

Birçok bazı unsurların bir araya gelerek oluşturduğu bir koleksiyondur ortak özellik. Bir kümenin elemanları sayılar, şekiller, nesneler, kavramlar vb. olabilir.

Kümeler büyük harflerle, kümenin elemanları ise küçük harflerle gösterilir. Kümelerin elemanları küme parantezleri içine alınmıştır.

Eğer eleman X sete ait X, sonra yaz X∈X (∈ - aittir).
A kümesi B kümesinin bir parçası ise, şunu yazın: bir ⊂ B (⊂ - içerir).

Bir küme iki yoldan biriyle tanımlanabilir: numaralandırmayla ve tanımlayıcı bir özellik kullanılarak.

Örneğin, aşağıdaki kümeler numaralandırmayla belirtilir:

• A=(1,2,3,5,7) - sayılar kümesi
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - bazı elemanların kümesi x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — doğal sayılar kümesi
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — tam sayılar kümesi

(-∞;+∞) kümesine denir sayı doğrusu ve herhangi bir sayı bu doğru üzerinde bir noktadır. A sayı doğrusunda rastgele bir nokta olsun ve δ olsun pozitif sayı. (a-δ; a+δ) aralığına denir δ-a noktasının komşuluğu.

Herhangi bir x ∈ X için x≤с (x≥c) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir c sayısı varsa, bir X kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlıdır. Bu durumda c sayısına denir üst (alt) kenar X kümesi. Hem üstten hem de alttan sınırlı bir kümeye denir sınırlı. Bir kümenin üst (alt) yüzlerinin en küçüğüne (en büyüğüne) denir tam üst (alt) kenar bu çokluğun.

Temel sayı kümeleri

N	(1,2,3,...,n) Hepsinin kümesi
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Ayarla tamsayılar. Tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesini de içerir.
Q	Bir demet rasyonel sayılar. Tam sayıların yanı sıra kesirler de vardır. Kesir, formun bir ifadesidir; P- tamsayı, Q- doğal. Ondalık kesirler olarak da yazılabilir. Örneğin: 0,25 = 25/100 = 1/4. Tamsayılar şeklinde de yazılabilir. Örneğin paydası "bir" olan kesir formunda: 2 = 2/1. Böylece herhangi bir rasyonel sayı yazılabilir. ondalık- sonlu veya sonsuz periyodik.
R	Herkesten bol miktarda gerçek sayılar. İrrasyonel sayılar sonsuz periyodik olmayan kesirlerdir. Bunlar şunları içerir: Birlikte iki küme (rasyonel ve irrasyonel sayılar) - bir dizi gerçek (veya gerçek) sayı oluşturur.

Bir küme tek bir eleman içermiyorsa kümeye denir. boş küme ve kaydedildi Ø .

Mantıksal sembolizmin unsurları

Gösterim ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Niceleyici

Niceleyiciler genellikle matematiksel ifadeler yazarken kullanılır.

Niceleyici kendisini takip eden unsurları niceliksel olarak karakterize eden mantıksal bir sembol olarak adlandırılır.

• ∀- genel niceleyici, “herkes için”, “herkes için” kelimelerinin yerine kullanılıyor.
• ∃- varoluş niceleyicisi“Var”, “mevcut” kelimeleri yerine kullanılmaktadır. Sanki sadece bir tane varmış gibi okunan ∃! sembol kombinasyonu da kullanılır.

İşlemleri Ayarla

İki A ve B kümeleri eşittir(A=B) aynı elementlerden oluşuyorsa.
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) ise A=B.

Birleşime göre (toplam) A ve B kümeleri, elemanları bu kümelerden en az birine ait olan bir A ∪ B kümesidir.
Örneğin, eğer A=(1,2,4), B=(3,4,5,6) ise A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kesişime göre (ürün) Elemanları hem A kümesine hem de B kümesine ait olan A ve B kümelerine A ∩ B kümesi denir.
Örneğin, eğer A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), bu durumda A ∩ B = (2,4)

Farkına göre Elemanları A kümesine ait olan ancak B kümesine ait olmayan A ve B kümelerine AB kümesi denir.
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,4,5) ise AB = (1,2)

Simetrik fark A ve B kümelerine AB ve BA kümelerinin farklarının birleşimi olan A Δ B kümesi denir, yani A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Örneğin, eğer A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), bu durumda A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Küme işlemlerinin özellikleri

Değiştirilebilirlik özellikleri

Bir ∪ B = B ∪ Bir
Bir ∩ B = B ∩ Bir

Eşleşen mülk

(Bir ∪ B) ∪ C = Bir ∪ (B ∪ C)
(Bir ∩ B) ∩ C = Bir ∩ (B ∩ C)

Sayılabilen ve sayılamayan kümeler

Herhangi iki A ve B kümesini karşılaştırmak için elemanları arasında bir yazışma kurulur.

Bu yazışma bire bir ise bu kümelere eşdeğer veya eşit derecede güçlü A B veya B A denir.

örnek 1

BC kenarı üzerindeki noktalar kümesi ile ABC üçgeninin AC hipotenüsü eşit kuvvettedir.

Küme teorisinin unsurları. Setler ve üzerlerindeki işlemler

Küme kavramı temel matematik kavramlarından biridir. Tanımlanamayan bir kavramdır ve ancak örneklerle anlatılabilir veya açıklanabilir. Böylece Latin alfabesindeki harf kümesinden, belirli bir kütüphanedeki tüm kitapların kümesinden, belirli bir gruptaki öğrencilerin kümesinden, belirli bir doğru üzerindeki tüm noktaların kümesinden söz edebiliriz. Bir kümeyi tanımlamak için sadece elemanları listeleyin veya belirtin karakteristik elementlerin özellikleri, yani Belirli bir kümenin tüm öğelerinin ve yalnızca onların sahip olduğu bir özellik.

Tanım 1.1. Belirli bir kümeyi oluşturan öğelere (nesnelere) onun adı verilir. elementler.

Bir kümeyi büyük Latin harflerle ve kümenin öğelerini küçük harflerle belirtmek gelenekseldir. Ne X kümenin bir elemanıdır A, şu şekilde yazılır: xA(X ait A). Kayıt türü xA(xA) anlamına gelir X ait değil A, yani kümenin bir elemanı değil A.

Bir kümenin elemanları genellikle süslü parantezlerle yazılır. Örneğin, eğer A - Latin alfabesinin ilk üç harfinden oluşan set ise şu şekilde yazılır: bir={ABC} .

Bir küme sonsuz sayıda öğe (bir doğru üzerindeki noktalar kümesi, doğal sayılar kümesi), sonlu sayıda öğe (bir sınıftaki okul çocukları kümesi) içerebilir veya hiç öğe içermeyebilir (küme) boş bir sınıftaki öğrenciler).

Tanım 1.2. Tek bir elemanı olmayan kümeye denir boş kümeØ ile gösterilir.

Tanım 1.3. Bir demet A isminde alt küme setleri B eğer kümenin her elemanı A birçok kişiye ait B. Bu belirtilmiştir AB(A - alt küme B).

Boş küme herhangi bir kümenin alt kümesi olarak kabul edilir. Eğer set A kümenin bir alt kümesi değildir B sonra yazıyorlar A B.

Tanım 1.4.İki set A Ve B isminde eşit eğer birbirlerinin alt kümeleriyseler. Atamak A = B. Bu şu anlama gelir: xA, O x B ve tam tersi, yani eğer ve , o zaman .

Tanım 1.5.Kavşak setleri A Ve B bir seti çağırmak M elemanları aynı anda her iki kümenin elemanları olan A Ve B. Atamak M=A B. Onlar. xA B, O xA Ve x B.

Yaz A B={x | xA Ve x B). (Birlik yerine Ve - işaretler , &).

Tanım 1.6. Eğer A B=Ø, sonra setlerin olduğunu söylüyorlar A Ve B kesişmiyor.

Benzer şekilde, 3, 4 ve herhangi bir sonlu sayıda kümenin kesişimini tanımlayabilirsiniz.

Tanım 1.7.Dernek setleri A Ve B bir seti çağırmak M Elemanları bu kümelerden en az birine ait olan. M=A B. O. A B={x | xA veya x B). (Birlik yerine veya - işareti konulur).

Küme benzer şekilde tanımlanır 1 bir 2 … Bir . Her biri kümelerden en az birine ait olan öğelerden oluşur. 1,bir 2,…,Bir(ve belki aynı anda birkaç tane) .

Örnek 1.8. 1) eğer bir=(1;2;3;4;5) ve B=(1;3;5;7;9), o zaman A B=(1;3;5) ve A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) eğer bir=(2;4) ve B=(3;7), o zaman A B=Ø ve A B={2;3;4;7}.

3) eğer bir=(yaz ayları) ve B=(30 gün içeren aylar), o zaman A B=(Haziran) ve A B=(Nisan; Haziran; Temmuz; Ağustos; Eylül; Kasım).

Tanım 1.9.Doğal Nesneleri saymak için kullanılan 1,2,3,4,... sayıları çağrılır.

Doğal sayılar kümesi N, N=(1;2;3;4;…;n;…) ile gösterilir. Sonsuzdur, en küçük elemanı 1'dir ve en büyük elemanı yoktur.

Örnek 1.10. A– 40 sayısının doğal bölenleri kümesi. Bu kümenin elemanlarını listeleyin. 5 olduğu doğru mu A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Küme teorisinin temel kavramları

Küme kavramı modern matematiğin temel kavramlarından biridir. Bunu başlangıç ​​olarak ele alacağız ve küme teorisini sezgisel olarak oluşturacağız. Bu başlangıç ​​kavramının bir tanımını verelim.

Bir demet– tek bir bütün olarak düşünülen nesnelerin (konuların veya kavramların) koleksiyonudur. Bu koleksiyonda yer alan nesnelere denir elementlerçokluk.

Matematik birinci sınıf öğrencilerinin çokluğundan, okyanustaki balıkların çokluğundan vb. bahsedebiliriz. Matematikçiler genellikle bir dizi matematiksel nesneyle ilgilenirler: rasyonel sayılar kümesi, dikdörtgenler kümesi vb.

Kümeler Latin alfabesinin büyük harfleriyle, elemanları ise küçük harflerle gösterilecektir.

If kümenin bir elemanıdır M sonra "ait" derler M" ve yaz: . Eğer bir nesne bir kümenin elemanı değilse o kümeye ait değildir denir. M”ve (bazen) yaz.

Kümeleri tanımlamanın iki ana yolu vardır: Aktar unsurları ve göstergesi karakteristik özellik onun unsurları. Bu yöntemlerden ilki esas olarak sonlu kümeler için kullanılır. Söz konusu kümenin elemanları listelenirken elemanları süslü parantezlerle çevrilidir. Örneğin, elemanları 2, 4, 7 ve yalnızca onlardan oluşan bir kümeyi belirtir. Bu yöntem her zaman uygulanabilir değildir çünkü örneğin tüm gerçek sayılar kümesi bu şekilde belirlenemez.

Karakteristik özellik setin elemanları Möyle bir özelliktir ki, bu özelliğe sahip olan her element kendisine aittir. M ve bu özelliğe sahip olmayan herhangi bir öğe ait değildir. M. Özelliğe sahip elemanların kümesi şu şekilde gösterilir:

veya .

En sık görülen setlerin kendi özel tanımları vardır. Bundan sonra aşağıdaki notasyona bağlı kalacağız:

N= – tüm doğal sayılar kümesi;

Z= – tüm tam sayıların kümesi;

– tüm rasyonel sayılar kümesi;

R– tüm gerçek (gerçek) sayılar kümesi, yani rasyonel sayılar (sonsuz ondalık periyodik kesirler) ve irrasyonel sayılar (sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirler);

– tüm karmaşık sayılar kümesi.

Bir karakteristik özelliği belirterek kümeleri belirlemeye daha özel örnekler verelim.

Örnek 1. 48 sayısının tüm doğal bölenlerinin kümesi şu şekilde yazılabilir: (gösterim yalnızca tam sayılar için kullanılır ve bölünebileceği anlamına gelir).

Örnek 2. 7'den küçük tüm pozitif rasyonel sayılar kümesi şu şekilde yazılır: .

Örnek 3. – uçları 1 ve 5 olan gerçek sayıların aralığı; – uçları 2 ve 7 olan gerçek sayıların bir bölümü.

"Çok" kelimesi birçok unsuru içerdiğini göstermektedir. Ancak durum her zaman böyle değildir. Matematikte yalnızca bir öğe içeren kümeler düşünülebilir. Örneğin, denklemin tamsayı kökleri kümesi . Üstelik tek bir elemanın yer almadığı bir kümeden bahsetmek daha uygun olur. Böyle bir kümeye denir boş ve Ø ile gösterilir. Örneğin denklemin gerçel kökleri kümesi boştur.

Tanım 1. Setler denir eşit(belirtilen A=B), eğer bu kümeler aynı elemanlardan oluşuyorsa.

Tanım 2. Bir kümenin her elemanı o kümeye aitse kümeye denir. alt küme Setler.

Tanımlar: (“dahil”); ("içerir").

Ø ve kümenin kendisinin kümenin alt kümeleri olduğu açıktır. Bir kümenin diğer herhangi bir alt kümesine denir doğru kısım. Eğer ve ise, o zaman şöyle derler: “ A – kendi alt kümesi"ya da ne" A kesinlikle dahildir" ve yaz.

Aşağıdaki ifade açıktır: setleri Ve ancak ve ancak ve varsa eşittir.

Bu açıklamaya dayanarak iki kümenin eşitliğini kanıtlamanın evrensel yöntemi: kümelerin olduğunu kanıtlamak için Ve eşittir, bunu göstermek yeterlidir ,A kümenin bir alt kümesidir .

Bu tek yöntem olmasa da en sık kullanılan yöntemdir. Daha sonra kümeler üzerindeki işlemler ve özellikleri hakkında bilgi sahibi olduktan sonra, iki kümenin eşitliğini kanıtlamanın başka bir yolunu göstereceğiz: dönüşümleri kullanma.

Sonuç olarak, şu veya bu matematik teorisinde sıklıkla aynı kümenin alt kümeleriyle ilgilendiklerini görüyoruz. sen buna denir evrensel bu teoride. Örneğin, okul cebirinde ve matematiksel analizde küme evrenseldir R gerçek sayılar, geometride - uzayda bir dizi nokta.

Kümeler ve özellikleri üzerinde işlemler

Toplama, çarpma ve çıkarmaya benzeyen kümeler üzerinde eylemler (işlemler) gerçekleştirebilirsiniz.

Tanım 1. Dernek kümeler ve her bir öğesi kümelerden en az birine ait olan veya ile gösterilen bir küme çağrılır.

Böyle bir kümeyle sonuçlanan işlemin kendisine birleşim denir.

Tanım 1 özeti:

Tanım 2. Karşıya geçerek kümeler ve ile gösterilen, her biri hem hem de hem de yalnızca bu elemanları içeren bir kümeye denir.

Bir kümeyle sonuçlanan işlemin kendisine kesişim adı verilir.

Tanım 2'nin kısa özeti:

Örneğin, eğer , , O , .

Kümeler geometrik şekiller halinde gösterilebilir, bu da kümeler üzerindeki işlemleri net bir şekilde göstermenize olanak tanır. Bu yöntem mantıksal akıl yürütmenin analizi için Leonhard Euler (1707–1783) tarafından önerildi, yaygın olarak kullanıldı ve İngiliz matematikçi John Venn'in (1834–1923) çalışmalarında daha da geliştirildi. Bu yüzden bu tür çizimlere denir Euler-Venn diyagramları.

Kümelerin birleşme ve kesişme işlemleri Euler-Venn diyagramları ile aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

– gölgeli kısım; – gölgeli kısım.

Belirli bir dizin kümesi olan herhangi bir küme koleksiyonunun birleşimini ve kesişimini tanımlayabilirsiniz.

Tanım . Dernek kümeler koleksiyonu, her biri kümelerden en az birine ait olan tüm bu öğelerden ve yalnızca bu öğelerden oluşan bir kümedir.

Tanım . Karşıya geçerek kümeler koleksiyonu, her biri kümelerden herhangi birine ait olan tüm bu öğelerden oluşan bir kümedir.

Örneğin endeks kümesinin sonlu olması durumunda, , bu durumda bir kümeler koleksiyonunun birleşimini ve kesişimini belirtmek için genellikle aşağıdaki gösterim kullanılır:

Ve .

Örneğin, eğer , , , O , .

Kümelerin birleşimi ve kesişimi kavramlarına okul matematik derslerinde sıklıkla rastlanmaktadır.

Örnek 1. Bir demet M eşitsizlik sisteminin çözümleri

bu sistemdeki eşitsizliklerin her birinin çözüm kümelerinin kesişimidir: .

Örnek 2. Bir demet M sistem çözümleri

bu sistemdeki eşitsizliklerin her birinin çözüm kümelerinin kesişimidir. İlk denklemin çözüm kümesi doğru üzerindeki noktaların kümesidir, yani. . Bir demet . Bir küme tek bir öğeden oluşur; çizgilerin kesişme noktası.

Örnek 3. Denklemin çözüm kümesi

Nerede , her bir denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir, yani.

Tanım 3. Farkına göre Setler ve ile gösterilen ve yalnızca ait olan ancak ait olmayan tüm öğelerden oluşan bir kümedir. .– gölgeli kısım; . birleştirme, kesişme ve toplama işlemleri ile. Ortaya çıkan matematiksel yapıya denir cebiri ayarla veya Boole kümesi cebiri(İrlandalı matematikçi ve mantıkçı George Boole'dan (1816-1864) sonra). Rastgele bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesiyle göstereceğiz ve buna adını vereceğiz Boolean Setler.

Aşağıda listelenen eşitlikler tüm alt kümeler için geçerlidir. A, B, C Evrensel set U. Bu yüzden onlara denir küme cebiri yasaları.

Bir demet bir bütün olarak kabul edilen nesnelerin koleksiyonudur. Küme kavramı temel olarak alınır, yani başka kavramlara indirgenemez. Belirli bir kümeyi oluşturan nesnelere onun elemanları denir. Öğe arasındaki temel ilişki A ve onu içeren set A aşağıdaki gibi gösterilir ( A kümenin bir elemanıdır A; veya A ait A, veya A içerir A). Eğer A kümenin bir elemanı değil A sonra yazarlar ( A dahil değil A, A içermiyor A). Bir küme, tüm elemanları belirtilerek belirtilebilir ve bu durumda küme parantezleri kullanılır. Bu yüzden ( A, B, C) üç elemanlı kümeyi belirtir. Sonsuz kümeler için de benzer bir gösterim kullanılır; yazılı olmayan öğeler üç noktayla değiştirilir. Böylece, doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, ...) ve çift sayılar kümesi (2, 4, 6, ...) gösterilir ve ilk durumda üç nokta tüm doğal sayılar anlamına gelir ve ikincisinde - yalnızca çift

İki set A Ve B arandı eşit, eğer aynı unsurlardan oluşuyorlarsa; A ait B ve bunun tersine, her bir öğe B ait A. Sonra yazıyorlar A = B. Böylece bir küme, elemanları tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ve bu elemanların yazılma sırasına bağlı değildir. Örneğin üç öğeden oluşan bir küme A, B, C altı tür kayda izin verir:

{A, B, C} = {A, C, B} = {B, A, C} = {B, C, A} = {C, A, B} = {C, B, A}.

Biçimsel kolaylık nedeniyle, "boş küme" olarak adlandırılan, yani tek bir eleman içermeyen bir küme de tanıtılmıştır. Bazen 0 sembolüyle gösterilir (sıfır sayısının belirtilmesiyle tesadüf, karışıklığa yol açmaz, çünkü sembolün anlamı her zaman açıktır).

Kümenin her elemanı ise A birçoğuna dahil B, O A alt küme denir B, A B süperset denir A. Onlar yazar ( A dahil B veya A içinde bulunan B, B içerir A). Açıkçası, eğer ve ise, o zaman A = B. Boş küme, tanımı gereği herhangi bir kümenin alt kümesi olarak kabul edilir.

Kümenin her elemanı ise A dahil B, ama çoğu B dahil edilmeyen en az bir öğe içerir A, yani eğer ve ise, o zaman A isminde kendi alt kümesi B, A B - kendi süper seti A. Bu durumda yazıyorlar. Örneğin, ve notasyonu aynı anlama gelir, yani küme A boş değil.

Ayrıca unsuru ayırt etmemiz gerektiğini de not ediyoruz. A ve ayarlayın ( A), kapsamak A tek unsur olarak. Bu farklılık yalnızca öğenin ve kümenin farklı bir rol oynaması (ilişkinin simetrik olmaması) nedeniyle değil, aynı zamanda çelişkiden kaçınma ihtiyacından da kaynaklanmaktadır. Öyleyse bırak A = {A, B) iki öğe içerir. Seti düşünün ( A), tek elemanı olarak kümeyi içeren A. Daha sonra A iki öğe içerirken ( A) yalnızca bir öğedir ve bu nedenle bu iki kümenin tanımlanması imkansızdır. Bu nedenle kaydın kullanılması, kaydın kullanılmaması tavsiye edilir.

Her türden çok çeşitli seçeneklerden setleriÖzellikle ilgi çekici olanlar sözde sayı setleri yani elemanları sayılardan oluşan kümelerdir. Onlarla rahatça çalışabilmek için onları yazabilmeniz gerektiği açıktır. Bu makaleye sayısal kümelerin gösterimi ve yazım ilkeleriyle başlayacağız. Şimdi sayısal kümelerin koordinat doğrusu üzerinde nasıl gösterildiğine bakalım.

Sayfada gezinme.

Sayısal kümelerin yazılması

Kabul edilen gösterimle başlayalım. Bildiğiniz gibi Latin alfabesinin büyük harfleri kümeleri belirtmek için kullanılıyor. Kümelerin özel bir durumu olarak sayısal kümeler de belirtilir. Örneğin A, H, W vb. sayı kümelerinden bahsedebiliriz. Doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar vb. kümeleri özellikle önemlidir; onlar için kendi gösterimleri benimsenmiştir:

• N – tüm doğal sayılar kümesi;
• Z – tam sayılar kümesi;
• Q – rasyonel sayılar kümesi;
• J - irrasyonel sayılar kümesi;
• R – gerçek sayılar kümesi;
• C karmaşık sayılar kümesidir.

Buradan, örneğin 5 ve −7 gibi iki sayıdan oluşan bir kümeyi Q olarak belirtmemeniz gerektiği açıktır; Q harfi genellikle tüm rasyonel sayıların kümesini ifade ettiği için bu atama yanıltıcı olacaktır. Belirtilen sayısal kümeyi belirtmek için başka bir "nötr" harf, örneğin A kullanmak daha iyidir.

Gösterimden bahsettiğimize göre burada boş bir kümenin, yani eleman içermeyen bir kümenin gösterimini de hatırlayalım. ∅ işaretiyle gösterilir.

Bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığının belirtilmesini de hatırlayalım. Bunu yapmak için ∈ - ait ve ∉ - ait değil işaretlerini kullanın. Örneğin, 5∈N gösterimi, 5 sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğu ve 5,7∉Z - 5,7 ondalık kesirinin tamsayılar kümesine ait olmadığı anlamına gelir.

Ayrıca bir kümeyi diğerine dahil etmek için benimsenen gösterimi de hatırlayalım. N kümesinin tüm elemanlarının Z kümesine dahil olduğu açıktır, dolayısıyla N sayı kümesi Z'ye dahildir, bu N⊂Z olarak gösterilir. Ayrıca Z⊃N gösterimini de kullanabilirsiniz; bu, tüm Z tamsayılarının kümesinin N kümesini içerdiği anlamına gelir. Dahil edilmeyen ve dahil edilmeyen ilişkiler sırasıyla ⊄ ve ile gösterilmiştir. ⊆ ve ⊇ biçiminde katı olmayan dahil etme işaretleri de kullanılır; bu, sırasıyla dahil veya çakışır ve içerir veya çakışır anlamına gelir.

Gösterimden bahsettik, sayısal kümelerin tanımına geçelim. Bu durumda sadece pratikte en sık kullanılan ana durumlara değineceğiz.

Sonlu ve az sayıda öğe içeren sayısal kümelerle başlayalım. Sonlu sayıda elemandan oluşan sayısal kümeleri, tüm elemanlarını listeleyerek tanımlamak uygundur. Tüm sayı elemanları, genel kurala uygun olarak virgülle ayrılarak ve içine alınarak yazılır. kümeleri tanımlama kuralları. Örneğin 0, −0,25 ve 4/7 olmak üzere üç sayıdan oluşan bir küme (0, −0,25, 4/7) olarak tanımlanabilir.

Bazen, bir sayısal kümenin öğelerinin sayısı oldukça fazla olduğunda ancak öğeler belirli bir kalıba uyduğunda, açıklama için üç nokta kullanılır. Örneğin, 3'ten 99'a kadar olan tüm tek sayılar kümesi (3, 5, 7, ..., 99) şeklinde yazılabilir.

Böylece, elemanlarının sayısı sonsuz olan sayısal kümelerin tanımına sorunsuz bir şekilde yaklaştık. Bazen aynı elipsler kullanılarak tanımlanabilirler. Örneğin tüm doğal sayılar kümesini tanımlayalım: N=(1, 2. 3, …) .

Ayrıca sayısal kümelerin tanımını, elemanlarının özelliklerini belirterek kullanırlar. Bu durumda (x| özellikleri) gösterimi kullanılır. Örneğin, (n| 8·n+3, n∈N) gösterimi, 8'e bölündüğünde 3 kalanını bırakan doğal sayılar kümesini belirtir. Bu aynı küme (11,19, 27, ...) olarak tanımlanabilir.

Özel durumlarda, sonsuz sayıda eleman içeren sayısal kümeler bilinen N, Z, R vb. kümelerdir. veya sayı aralıkları. Temel olarak sayısal kümeler şu şekilde temsil edilir: Birlik onları oluşturan bireysel sayısal aralıklar ve sonlu sayıda öğe içeren sayısal kümeler (bundan biraz önce bahsetmiştik).

Bir örnek gösterelim. Sayı kümesi −10, −9, −8.56, 0 sayılarından, [−5, −1,3] doğru parçasının tüm sayılarından ve açık sayı doğrusundaki (7, +∞) sayılardan oluşsun. Kümelerin birleşiminin tanımı nedeniyle, belirtilen sayısal küme şu şekilde yazılabilir: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Bu gösterim aslında (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] ve (7, +∞) kümelerinin tüm elemanlarını içeren bir küme anlamına gelir.

Benzer şekilde, farklı sayı aralıkları ve bireysel sayı kümeleri birleştirilerek, herhangi bir sayı kümesi (gerçek sayılardan oluşan) tanımlanabilir. Burada aralık, yarım aralık, segment, açık sayısal ışın ve sayısal ışın gibi sayısal aralık türlerinin neden tanıtıldığı açıklığa kavuşuyor: bunların tümü, bireysel sayı kümeleri için notasyonlarla birleştiğinde, herhangi bir sayısal kümeyi şu şekilde tanımlamayı mümkün kılar: onların birliği.

Bir sayı kümesi yazarken onu oluşturan sayıların ve sayısal aralıkların artan sırada sıralandığını lütfen unutmayın. Bu gerekli değil ancak arzu edilen bir durumdur, çünkü sıralı bir sayısal kümenin bir koordinat çizgisi üzerinde hayal edilmesi ve tasvir edilmesi daha kolaydır. Ayrıca, bu tür kayıtların ortak öğeler içeren sayısal aralıklar kullanmadığını unutmayın; çünkü bu tür kayıtlar, ortak öğeler olmadan sayısal aralıkların birleştirilmesiyle değiştirilebilir. Örneğin, sayısal kümelerin ortak elemanları [−10, 0] ve (−5, 3) ile birleşimi, yarı aralıktır [−10, 3) . Aynısı, aynı sınır sayılarına sahip sayısal aralıkların birleşimi için de geçerlidir, örneğin (3, 5]∪(5, 7] birliği bir (3, 7] kümesidir, bunu öğrendiğimizde bunun üzerinde ayrıca duracağız.) sayısal kümelerin kesişimini ve birleşimini bulun

Sayı kümelerinin koordinat doğrusu üzerinde gösterimi

Uygulamada, sayısal kümelerin geometrik görüntülerini - bunların görüntülerini - kullanmak uygundur. Örneğin, ne zaman eşitsizlikleri çözmek ODZ'nin hesaba katılmasının gerekli olduğu durumlarda, bunların kesişimini ve/veya birleşimini bulmak için sayısal kümelerin gösterilmesi gerekir. Bu nedenle, sayısal kümeleri bir koordinat çizgisi üzerinde göstermenin tüm nüanslarını iyi anlamak yararlı olacaktır.

Koordinat çizgisinin noktaları ile gerçek sayılar arasında bire bir yazışma olduğu bilinmektedir; bu, koordinat çizgisinin kendisinin tüm R gerçek sayıları kümesinin geometrik bir modeli olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, tüm gerçek sayılar kümesini göstermek için, tüm uzunluğu boyunca gölgeli bir koordinat çizgisi çizmeniz gerekir:

Ve çoğu zaman orijini ve birim segmentini bile belirtmiyorlar:

Şimdi belirli sayıda sonlu sayıda bireysel sayıyı temsil eden sayısal kümelerin görüntüsünden bahsedelim. Örneğin sayı kümesini (−2, −0,5, 1,2) gösterelim. −2, −0,5 ve 1,2 olmak üzere üç sayıdan oluşan bu kümenin geometrik görüntüsü, karşılık gelen koordinatlarla koordinat çizgisinin üç noktası olacaktır:

Genellikle pratik amaçlar için çizimin tam olarak yapılmasına gerek olmadığını unutmayın. Çoğunlukla şematik bir çizim yeterlidir; bu, ölçeği korumanın gerekli olmadığı anlamına gelir; bu durumda yalnızca noktaların birbirine göre göreceli konumunu korumak önemlidir: daha küçük koordinata sahip herhangi bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda. Önceki çizim şematik olarak şöyle görünecek:

Her türlü sayısal kümeden ayrı olarak geometrik görüntülerini temsil eden sayısal aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, ışınlar vb.) ayırt edilir; bunları bölümde ayrıntılı olarak inceledik. Burada kendimizi tekrarlamayacağız.

Ve geriye sadece birkaç sayısal aralığın ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi olan sayısal kümelerin görüntüsü üzerinde durmak kalıyor. Burada zor bir şey yok: bu durumlarda birliğin anlamına göre, belirli bir sayısal kümenin kümesinin tüm bileşenlerini koordinat çizgisi üzerinde tasvir etmek gerekir. Örnek olarak bir sayı kümesinin resmini gösterelim (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Ve gösterilen sayısal kümenin, bir veya birkaç nokta dışında tüm gerçek sayılar kümesini temsil ettiği oldukça yaygın durumlar üzerinde duralım. Bu tür kümeler genellikle x≠5 veya x≠−1, x≠2, x≠3,7 vb. koşullarla belirtilir. Bu durumlarda, karşılık gelen noktalar dışında geometrik olarak koordinat çizgisinin tamamını temsil ederler. Başka bir deyişle bu noktaların koordinat doğrusundan “çıkarılması” gerekiyor. Merkezi boş olan daireler olarak tasvir edilmiştir. Açıklık sağlamak için, koşullara karşılık gelen sayısal bir kümeyi gösterelim. (bu set esasen mevcuttur):

Özetle. İdeal olarak, önceki paragraflarda yer alan bilgiler, sayısal kümelerin kaydedilmesi ve tasviri ile bireysel sayısal aralıkların görünümüyle aynı görünümü oluşturmalıdır: bir sayısal kümenin kaydı, koordinat çizgisi üzerinde ve görüntüden itibaren hemen görüntüsünü vermelidir. Koordinat çizgisine karşılık gelen sayısal kümeyi, bireysel aralıkların ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi yoluyla kolayca tanımlamaya hazır olmalıyız.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.