"Neden sıfır bir doğal sayı değil?" Tamsayılar. Doğal sayı serisi
Soruya: 0 bir doğal sayı mıdır? yazar tarafından verilmiştir Botos777 en iyi cevap Doğal sayıları tanımlamaya yönelik, doğal sayılara sıfır eklenmesiyle farklılık gösteren iki yaklaşım vardır. Rusça okul programları Matematikte sıfırı doğal sayı olarak sınıflandırmak alışılmış bir şey değildir.
Kaynak: (sayı)
Yanıtlayan: rostra[guru]
HAYIR.
Yanıtlayan: Serega[uzman]
HAYIR
Yanıtlayan: Nevroz[acemi]
Doğal sayılar, nesneleri sayarken (hem numaralandırma hem de hesap anlamında) doğal olarak ortaya çıkan sayılardır. Doğal sayıları tanımlamaya yönelik, doğal sayılara sıfır eklenmesiyle farklılık gösteren iki yaklaşım vardır. Buna göre doğal sayılar şu şekilde tanımlanır:
* Öğeleri listelerken (numaralandırırken) kullanılan sayılar: 1, 2, 3, ... (birinci, ikinci, üçüncü vb.). Bu tanım Rusya dahil çoğu ülkede genel olarak kabul edilmektedir.
* Öğe sayısını belirtmek için kullanılan sayılar: 0, 1, 2, ... (öğe yok, bir öğe, iki öğe vb.). Bu tanım, doğal sayıların sonlu kümelerin kardinallikleri olarak tanımlandığı Bourbaki'nin çalışmalarında popüler hale getirildi.
Negatif ve tam sayı olmayan sayılar doğal sayı değildir. Doğal sayılar kümesi genellikle matematikle gösterilir.
Sonsuz sayıda doğal sayı vardır. Her doğal sayının kendisinden büyük bir doğal sayısı vardır.
Yanıtlayan: kendini koruma[acemi]
Yanıtlayan: Iuslan Garayev[acemi]
hayır 0 doğal sayı değildir
Yanıtlayan: Artyom Artemenko[acemi]
HAYIR
Yanıtlayan: Oliya Nikulina[acemi]
HAYIR
Yanıtlayan: Matvey Sokolov[aktif]
evet doğal
Yanıtlayan: Lena[acemi]
değil ama
Yanıtlayan: Madina Mikailova[acemi]
0 doğal sayı değildir
Yanıtlayan: Pavel Mişçenko[acemi]
Kökeni N. Bourbaki'nin çalışmalarına dayanan Fransız geleneğinde, diğer matematik okullarından farklı olarak, bir gruptaki nesnelerin sayısını ifade eden sayılar doğal kabul edilir. Bu nedenle, bu gelenekte en küçük doğal sayının bir değil sıfır ("0") olduğu kabul edilir ve buna göre Fransız matematikçiler diğerlerinden farklı olarak sıfırı doğal sayı olarak tanırlar. Bu yaklaşım aynı zamanda sıfırın boş küme (O) ile tanımlandığı ve bir sonrakine geçme işleminin önceki tüm doğal sayılardan (şu şekilde temsil edilir) oluşan bir küme ürettiği doğal serilerin küme-teorik modeli tarafından da motive edilmektedir. setleri):
0 mı? Ö
3? (O, (O), (O, (O)))
4? (O, (O), (O, (O))), (O, (O), (O, (O))))
vb. İÇİNDE Rusya Federasyonu Sıfır doğal sayı olarak kabul edilmez.
Yanıtlayan: Alexandra[acemi]
sıfır doğal bir sayı değildir
Yanıtlayan: Anton Yaşagin[acemi]
hayır değil
Yanıtlayan: Dima Kovelin[acemi]
Doğal sayılara 2 yaklaşım vardır
öğeleri sayma (numaralandırma) (birinci, ikinci, üçüncü, ...);
öğe sayısının belirlenmesi (öğe yok, bir öğe, iki öğe, ...).
İlk durumda sıfır bir doğal sayı olmayacaktır.
ikinci durumda öyle olacaktır.
Yanıtlayan: Olesya Makuşçenko[acemi]
Dolayısıyla doğal sayılar bir ile başlar ve en küçüğü 1'dir. Buradan sıfırın bir doğal sayı olmadığı sonucu çıkar. Tamsayılar hesap için gerekli. Kimse sıfırları saymaz. Rusya'ya gelince, saymada kullanılmadığı için sıfırın doğal bir sayı olmadığı genel olarak kabul ediliyor. En küçük doğal sayı birdir.
TAM SAYILAR
Bu sayılar, sonlu sayıda bireysel nesnenin ölçülerini ifade eder ve aynı zamanda tekdüze tek yönlü sayımın sırasını da ifade eder (her doğal sayının "kendi" yeri vardır - benzersiz bir sayı). Rus matematik literatüründe sıfır genellikle doğal sayılar kümesine dahil edilmez. Doğal sayılar tamamen sıralanmıştır: bunların herhangi bir alt kümesi minimum elemana sahip olacaktır. Zaten tamsayılar için bu tanım, negatif çıkarıldığında "durumların diğer yarısında" tam olarak ihlal ediliyor ve ilkinden daha büyük bir sayı veriliyor.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar.
Hiçbir bilgi içermemesi anlamında sıfır. 0 1 bir bitlik bilgidir.
Matematikte doğal sayı kavramı temel kavramlardan biridir. Hangi sayılara doğal sayılar denir? Birinci doğal sayılar: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 vb.
Sayarken sıfır rakamı kullanılmaz. Doğal seri sonsuzdur; içinde en büyük doğal sayı yoktur.
5. sınıf birimler trilyonlar, 6. sınıf birimler katrilyonlar, 7. sınıf birimler kentilyonlar, 8. sınıf birimler sekstilyonlar, 9. sınıf birimler eptilyonlardır.
Sıfır kilometre yürümek, hareket etmemek anlamına gelir. Saatte sıfır kilometre hızla koşmak hareketsiz durmak anlamına gelir. Evet genel olarak herhangi bir zorluk yaratmıyor. Sıfır eklemek veya çıkarmak, hiçbir şey eklemek veya çıkarmak anlamına gelmez.
Büyük Sözlük Kuznetsova (2009) her iki formdan da bahseder: sıfır, sıfır - eşdeğer olarak.
Bunun nedeni, bir noktadaki iki değişkenli fonksiyonun giderilemez bir süreksizliğe sahip olmasıdır.
Çalışma planı: Sözlükte “sayı”nın ne olduğunu bulun. 2. En düşük, kötü puan (devrim öncesi. Belki sizin için o bir hiçliktir, sıfırdır. Çehov. İki sıfır (gündelik şaka) - bir tuvalet. Dahl'ın Sözlüğü. Sıfır - m. sıfır; anlam işareti hiçbir şey, hiçbir şey (0); ancak başka bir rakamdan sonra (sağda) konulur, onu on artırır, onla çarpar.
Doğal sayılara ait
Birisi sıfırın doğal sayılara ait olduğunu düşünüyorsa sorun değil. Bir sayı gürültü ve toz olmadan birimlere ayrılıyorsa, böyle bir sayı doğaldır. Olabilmek kesirli bir sayı doğal ol? Bu sarışınlara yönelik bir matematiktir ve a) doğru, b) erişilebilir olmalıdır. Rusya'da, aksi belirtilmedikçe sıfır genellikle doğal sayılar kümesine dahil edilmez. Zaten eski zamanlarda 0 bir sayı olarak kabul ediliyordu ancak 0 bir sayı değildi. 0 – bir sayının yokluğu ve yalnızca değil, Hepsi-Herkes. Matematikte matematiğin mantığına göre sayı olarak 0'ı kullanıyorlar. Çünkü bir matematiksel işlemin her sonucu sayı olarak alınabilir, sayı olarak ele alınabilir.
Genel olarak, bu sorunun hiçbir değeri yok: bunlar sadece terminolojinin incelikleri. İlginç. Peki sıfırdan saymak kimin için mantıklı?
Çarpmanın değişmezliği.
Herhangi bir niceliğin yokluğu, boşluk, başlangıç ve sonsuzluk - bu kavramlara yönelik felsefi tutum farklıydı farklı dönemler, farklı dünya görüşü sistemlerinde. Bu tür sistemlere konumsal denir - sayıları yazarken rakamların anlamı konumlarına veya rakamlarına göre belirlenir. Bu nedenle, büyük gökbilimci Ptolemy'nin tablolarında sıfıra benzer bir sembol bulunmasına rağmen, Arşimet, Pisagor veya Öklid için "0 sayısı kaçtır" sorusunun modern anlamı ulaşılamazdı. Bu nedenle, eski Hintli bilim adamlarının denklemlerindeki sıfır, nihayet yalnızca karşılık gelen rakamdaki birimlerin yokluğunun sembolü değil, aynı zamanda hesaplamaların sonucunu etkileyen doğal bir sayı haline geldi. 1'den 0'a kadar sayıların yazılması da son şeklini eski Hint matematik eserleri sayesinde aldı ve Avrupa'da genellikle Arapça olarak adlandırılan sembollere Araplar tarafından Hint adı verildi.
Doğal seri öyle bir şekilde inşa edilmiştir ki, her biri sonraki numaraÖncekinden 1 (birim) fazla. Doğal sayı serileri görsel olarak kolaylıkla temsil edilebilir. Bunu yapmak için 1 (bir) ile 120 (yüz yirmi) arasındaki doğal sayıların sunulduğu “Doğal Sayılar Tablosu” sayfasına gidin. Eğer saymak için komşularınızın ayak parmaklarını, kollarını ve bacaklarını eklerseniz, çok büyük bir sonuç elde edersiniz. çok sayıda sayılar ve bu sayıların tümü doğal sayılar olacaktır. Negatif sayılar neden doğal sayı değildir?
Tüm doğal sayılar kümesi genellikle bir sembolle gösterilir (Latince naturalis'ten - doğal). Bu, teorinin daha sonraki inşasını ve uygulamasını önemli ölçüde karmaşıklaştıracaktır, çünkü çoğu inşada sıfır, boş küme gibi ayrı bir şey değildir. Doğal sıfırın avantajlarından biri özdeşliğe sahip bir yarı grup oluşturmasıdır. Taban ve üs doğal ise sonuç doğal sayı olacaktır.
a(\displaystyle a) ve b(\displaystyle b) doğal sayılarsa, sonuç bir doğal sayı olacaktır.
İÇİNDE Antik Yunan 0 sayısı bilinmiyordu. Claudius Ptolemy'nin astronomi tablolarında boş hücreler ο sembolüyle (eski Yunanca'dan omikron harfi) gösteriliyordu. Sıfır olmasaydı, Hindistan'da icat edilen sayıların ondalık konumsal gösterimi imkansız olurdu. İlk sıfır kodu bulundu 876 tarihli Hindistan kaydında, Avrupa'da bildiğimiz kupa biçimine sahiptir. uzun zamandır 0 geleneksel bir sembol olarak kabul edildi ve bir sayı olarak tanınmadı; 17. yüzyılda bile Wallis şöyle yazmıştı: "Sıfır bir sayı değildir."
En basit sayı doğal sayı. Onlar kullanılır Gündelik Yaşam saymak için nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için.
Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek veya saymak içinöğeler.
Tamsayılarbirden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar.
En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır.
Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür.
Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir.
Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden.
Doğal sayıların sınıfları.
Herhangi bir doğal sayı 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, sonra da milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.vesaire. Sınıf basamaklarının her birine onun adı verilir.deşarj.
Doğal sayıların karşılaştırılması.
2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şu şekilde yazılmıştır:7 < 11 ). Bir sayı ikinciden büyük olduğunda şu şekilde yazılır:386 > 99 .
Rakam tablosu ve sayı sınıfları.
|
1. sınıf ünitesi |
Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce |
|
2. sınıf bin |
Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce |
|
3. sınıf milyonlar |
Milyonlar biriminin 1. rakamı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca |
|
4. sınıf milyarlar |
Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca |
|
5. sınıf ve üzeri sayılar büyük sayılar. 5. sınıfın birimleri trilyonlar, 6. sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar. Doğal sayıların temel özellikleri.
Doğal sayılarla işlemler. 4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir. Eğer b ∙ c = bir, O
Bölme formülleri: bir: 1 = bir a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler. Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade. Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10. 2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır. Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası. Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir. Sayısal bir ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluştuğunda bunlar sırayla gerçekleştirilir. soldan sağa. İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri. Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir. Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Doğal Nesneleri sayma (numaralandırma, listeleme) işlemlerinde kullanılan sayıları adlandırın. Başka bir deyişle bunlar bir bütündür pozitif sayılar. Negatif ve tam sayı olmayan sayılar doğal sayı olarak kabul edilmez.
Doğal bir sayı dizisi, bir olarak adlandırılan ("1" olarak adlandırılan) bir başlangıç doğal sayısı ve bir sonraki sayıya geçme işlemi temel alınarak oluşturulur. Bu işlem herhangi bir doğal sayıya uygulanabilir ve sonucu, ilkinden sonraki bir doğal sayı olarak kabul edilir.
Herhangi bir doğal sayının yalnızca bir ardılı vardır. Bir, minimum doğal sayıdır, çünkü kendisinden sonra gelen benzer bir doğal sayı yoktur. Daha büyük bir doğal sayı yoktur, çünkü herhangi bir doğal sayı için bir sonraki sayıyı oluşturmak mümkündür. Resmi olarak çok sayıda doğal sayının yapısı Peano'nun beş aksiyomu tarafından verilmektedir.
Doğal serilerde hangi sayının minimum kabul edildiği konusunda matematikçiler arasında bir anlaşmazlık var. . Fransız geleneğinde, Geçmişi N. Bourbaki'nin eserlerine kadar uzanan, diğer matematik okullarından farklı olarak, bir gruptaki nesnelerin sayısını ifade eden sayılar doğal kabul edilir. Çünkü bu gelenekte minimal düzeyde sıfır doğal sayı olarak kabul edilir(“0”), bir değil ve buna göre Fransız aritmetikçiler diğerlerinden farklı olarak sıfırı doğal sayı olarak tanırlar. Bu yaklaşım aynı zamanda sıfırın boş bolluk (Ø) ile tanımlandığı ve bir sonrakine geçme işleminin önceki tüm dizilerden oluşan büyük bir miktarın oluşumu ile tanımlandığı doğal serinin küme-teorik modeli tarafından da motive edilmektedir. doğal sayılar (büyük miktarlarla temsil edilir):
2 ≡ (Ø, (Ø))
3 ≡ (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)))
4 ≡ (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))))
Bu yapıyla her doğal sayının, karşılık gelen büyük niceliğin kuvvetiyle örtüştüğünü vurgulamak gerekir.
Emir.Çok sayıda doğal sayı üzerinde, "amblemle gösterilen" küçük "düzeyde bir ilişki tanımlanır" Ek. Bir sonrakine geçiş işlemi esas alınarak “+” amblemi ile gösterilen toplama işlemi belirlenir. M ve N adlı 2 doğal sayının M+N toplamı, bir sonrakine geçiş işleminin N kat uygulanması sonucunda M sayısından elde edilen K sayısıdır. 2 doğal sayının toplamı her zaman bir doğal sayıdır.
Çıkarma. Toplama işlemine göre “-” amblemi ile gösterilen çıkarma işlemi belirlenir. M-N farkı N'ye eklendiğinde M'yi veren bir K sayısına denir. Fark herhangi bir M ve N doğal sayısı için mevcut değildir, yalnızca "küçüktür" ilişkisiyle ilişkili olan benzer sayılar için mevcuttur: N
Çarpma işlemi.Çok sayıda doğal sayı üzerinde toplama işlemine dayanarak, “·” amblemiyle gösterilen çarpma işlemi tanıtılmıştır. M ve N adlı 2 doğal sayının M·N çarpımı, M sayısının (N-1) katının eklenmesi sonucu elde edilen K sayısıdır. Herhangi 2 doğal sayının çarpımı bir doğal sayıdır. sayı.
Bölüm.Çarpma işleminin temelinde “/” simgesiyle gösterilen bir bölme işlemi tanımlanır. M ve N adlı iki doğal sayının kişisel M/N'si, N ile çarpıldığında M'yi veren K sayısıdır. Herhangi bir doğal sayı çifti için kişisel bir doğal sayı mevcut değildir. Var olduğu durumlarda iki doğal sayının birbirine bölünebildiği söylenir.
Kaynaklar:
Ayrıca site veritabanında:
Hikaye
Doğal sayılar ve çeşitli sistemler eski uygarlıklarda onları belirtmek için kullanılıyorlardı: Eski Mezopotamya, Antik Mısır, Antik Çin, Maya kabilelerinde. Görünüşe göre "sıfır" sayısı kavramı, Babil'in sonlarında ve Maya'da doğal sayılar kavramından daha sonra ortaya çıktı.
Not 1
En eski çağlarda sayı saymak için çubuklar kullanılıyordu. Bu kayıt yöntemi Roma hesabında korunmuştur. Bu kayıttaki sayı, herhangi bir işaret olmadan yazılan çubukların toplamı veya farkıydı.
Sayı sistemlerinin gelişmesiyle birlikte belirli sayılar alfabenin harfleriyle gösterilmeye başlandı. İÇİNDE modern sistemler Notasyonda bir sayının her basamağının değeri, sayının notasyonundaki yerini belirler. Bu tür ilk sayı sistemleri Babil (altmışlık) ve Hint (ondalık) idi.
Hint versiyonu ondalık sistem Sayı sistemi modern Arap sistemidir ancak Hint sisteminde sıfır yoktur. $0$ rakamı Araplar tarafından icat edildi ve ardından sayı sistemi modern şeklini aldı.
Zamanı hesaplamak için altmışlık sistem kullanılır ($60$ sayısına göre): $1$ saat, $60$ dakikayı içerir, $1$ dakika, $60$ saniyeyi içerir.
Matematikçi Pierre de Fermat'ın çalışmaları, doğal sayıların saf, biçimsel özelliklerini inceleyen ayrı bir bilim olarak sayı teorisinin veya yüksek aritmetiğin temellerini attı.
Tamsayılar. Doğal sayılar kümesi
$1, 2, 3, \dots$ doğal sayıları sayma (bir armut, iki armut, üç armut vb.) veya benzerleri arasında bir nesnenin seri numarasını belirtmek için kullanılır.
Doğal sayılar genellikle Arap rakamları kullanılarak yazılır: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Resim 1.
Tanım 1
Tamsayılar(veya doğal sayılar), bir şeyi sayarken doğal olarak ortaya çıkan sayılardır.
örnek 1
Doğal sayılar şöyle olacaktır: 3$, 48, 157, 1089, 25556$.
Tüm doğal sayıları artan sırada düzenlersek, şunu elde ederiz: doğal serisi.
Doğal sayıların belirlenmesinde iki yaklaşım vardır:
Nesneleri sayarken (numaralandırırken) ortaya çıkan sayılar (örneğin, birinci, ikinci vb.).
Öğelerin sayısını belirtmek için kullanılan sayılar (sandalye yok, bir sandalye, iki sandalye vb.).
Birinci yaklaşımda doğal seri birden, ikinci yaklaşımda ise sıfırdan başlar.
Matematikçiler sıfırın doğal sayı olarak kabul edilip edilmeyeceği konusunda oybirliğiyle bir sonuca varamadılar. Çoğu Rus kaynağında ilk yaklaşım gelenekseldir. İkinci yaklaşım programlamada yaygın olarak kullanılır (örneğin, dizileri indekslerken, makine kodu bitlerini numaralandırırken vb.).
Not 2
Doğal sayılara negatif veya tam sayı olmayan sayılar dahil değildir.
Tanım 2
Tüm doğal sayılar kümesi$N=\left\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\)$ ile gösterilir ve sonsuzluğuyla karakterize edilir, çünkü Herhangi bir $n$ doğal sayısı için $n$'dan büyük olacak bir doğal sayı vardır.
Örnek 2
Hangi sayılar doğal sayılardır?
\[-6;\ \ 5;\ \ 0.6;\ \ \ \frac(1)(2);\ \ \ \sqrt(5);\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12, 5; \\\4.\]
Cevap: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$
Doğal sayıların aritmetiğinde birçok teoremi formüle ederken ve ispatlarken sıfır kullanmak uygundur, dolayısıyla ilk yaklaşım bu kavramı kullanır. genişletilmiş doğal sayılar kümesi, sıfır içerir ve $N_0$ veya $Z_0$ olarak gösterilir.
Doğal sayı olarak sıfır
Rus literatüründe, doğal sayıların sayısından sıfırın hariç tutulması gelenekseldir ($0\N$ değil) ve sıfır içeren doğal sayılar kümesi $N_0$ ile gösterilir.
Uluslararası matematik literatüründe $\left\(1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\)$ kümesine genellikle denir pozitif tamsayılar kümesi ve $Z+$'yi belirtin. $\left\(0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots \right\)$ kümesine genellikle denir Negatif olmayan tamsayılar kümesi ve $Z(\ge 0)$'ı belirtin.
Sayıyı sağdan sola $3$ basamaklı gruplara bölün.
Sayı grubunun tamamı sıfır ise sınıf adı atlanır.
Şekil 2.
Her sınıf rakamı çağrılır sınıf sıralaması.
Hesaplamada ilk olarak daha küçük olan doğal sayı kullanılır. Örneğin, $9$ sayısı $20$'dan küçüktür ($9 55$ olarak yazılır).
Doğal sayılar için Peano aksiyomları
Kümeye $N$ adını vereceğiz doğal sayılar kümesi, eğer bazı eleman birimleri $1\in N$ ve aşağıdaki fonksiyon $S:N\to N$ aşağıdaki koşullar karşılanacak şekilde sabitlenirse:
$1\in N$: bir bir doğal sayıdır.
Eğer $x\in N$ ise, o zaman $S\left(x\right)\in N$: Bir sayı bir doğal sayı ise, ondan sonraki sayı da bir doğal sayıdır).
$\nexists x\in N\ \left(S\left(x\right)=1\right)$: Birden önce gelen hiçbir doğal sayı yoktur).
Eğer $S\left(b\right)=a$ ve $S\left(c\right)=a$ ise, o zaman $b=c$: Bir $b$ sayısını ve bir sayıyı $a$ doğal sayısı takip ediyorsa $ c$, sonra $b=c$.
Tümevarım aksiyomu.$P\left(n\right)$, $n$ doğal sayısına bağlı bir tekli yüklem olsun. Daha sonra:
Eğer $P\left(1\right)$ ve $\forall n\left(P\left(n\right)\Longrightarrow P\left(S\left(n\right)\right)\right)$ ise, o zaman $\forall n\ P\left(n\right)$:
Eğer bazı ifadeler$P$, $n=1$ için doğrudur ve herhangi bir $n$ için $P\left(n\right)$ gerçeği, $P\left(n+1\right)$ gerçeğini ima eder, o zaman $P \left(n \right)$ herhangi bir pozitif tamsayı $n$ için doğrudur.
Tüm aksiyomlar doğal seriler ve sayı doğrusu fikrini yansıtır.
Doğal sayıların küme teorik tanımı (Frege--Russell tanımı)
Küme teorisine göre herhangi bir matematiksel sistemi oluşturmak için tek nesne bir kümedir.
Böylece, küme kavramına dayanarak doğal sayılar iki kurala göre tanıtılır:
- $0=\emptyset $
$S\left(n\right)=n\cup \left\(n\right\)$
Bu şekilde verilen sayılara denir sıralı veya sıralı.
Birinci sıra sayıları ve bunlara karşılık gelen doğal sayılar şu şekilde açıklanmaktadır:
$1=\left\(0\right\)=\left\(\emptyset \right\)$
$2=\left\(0,\ \ 1\right\)=\left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\)\right\)$
$3=\left\(0,\ \ 1,\ \ 2\right\)=\left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\),\ \ \left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\)\right\)\right\)$