Урок «теорема, обратная теореме пифагора». Проект урока математики «теорема, обратная теореме пифагора» Теорема пифагора прямая Формула Герона

Тема: Теорема, обратная теореме Пифагора.

Цели урока: 1) рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора; ее применение в процессе решения задач; закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на ее применение;

2) развивать логическое мышление, творческий поиск, познавательный интерес;

3) воспитывать у учащихся ответственного отношения к учению, культуры математической речи.

Тип урока. Урок усвоения новых знаний.

Ход урока

І. Организационный момент

ІІ.Актуализация знаний

Урок мнебыхотелосьначать с четверостишья.

Да, путь познания не гладок

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!

Итак, на прошлом уроке вы выучили теорему Пифагора. Вопросы:

Теорема Пифагора справедлива для какой фигуры?

Какой треугольник называют прямоугольным?

Сформулируйте теорему Пифагора.

Как запишется теорема Пифагора для каждого треугольника?

Какие треугольники называются равными?

Сформулируйте признаки равенства треугольников?

А теперь проведем небольшую самостоятельную работу:

Решение задач по чертежам.

№1

(1 б.) Найти: АВ.

№2

(1 б.) Найти: ВС.

№3

(2 б.)Найти: АС

№4

(1 б.)Найти: АС

№5Дано: АВСD ромб

(2 б.) АВ = 13 см

АС = 10 см

Найти: ВD

Самопроверка №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ.Изучение новогоматериала.

Древние египтяне строили прямые углы на местности таким образом: делили узлами веревку на 12 равных частей, связывали ее концы, после чего веревку растягивали так на земле, чтобы образовался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, который лежал против стороны с 5 делениями, был прямой.

Можете ли вы объяснить правильность этого суждения?

В результате поиска ответа на вопрос учащиеся должны понять, что с математической точки зрения вопрос ставится: будет ли треугольник прямоугольным.

Ставим проблему: как, не делая измерений, определить, будет ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным. Решение этой проблемы и есть цель урока.

Запишите тему урока.

Теорема. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.

Самостоятельно доказывают теорему (составляют план доказательства по учебнику).

Из этой теоремы следует, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный (египетский).

Вообще, числа, для которых выполняется равенство , называют пифагоровыми тройками. А треугольники, длины сторон которых выражаются пифагоровыми тройками (6, 8, 10), — пифагоровы треугольники.

Закрепление.

Т.к. , то треугольник со сторонами 12, 13, 5 не является прямоугольным.

Т.к. , то треугольник со сторонами 1, 5, 6 является прямоугольным.

№ 430 (а, б, в)

( — не является)

Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора.

Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона александрийского — древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a , b , c , вычисляется по формуле S=, где p — полупериметр треугольника.

Доказательство.

Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Углы А и В, острые. СН — высота.

Доказать:

Доказательсво:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a 2 — x 2 = h 2 =b 2 -y 2 , откуда

Y 2 — x 2 = b 2 — a 2 , или (y — x) (y + x) = b 2 — a 2 , а так как y + x = c, то y- x = (b2 — a2).

Складывая два последних равенства, п олучаем:

2y = +c, откуда

y=,и, значит, h 2 = b 2 -y 2 =(b — y)(b+y)=

Следовательно, h = .

Рассмотрение тем школьной программы с помощью видеоуроков является удобным способом изучения и усвоения материала. Видео помогает сконцентрировать внимание учащихся на основных теоретических положениях и не упускать важных деталей. При необходимости школьники всегда могут прослушать видеоурок повторно или вернуться на несколько тем назад.

Данный видеоурок для 8-го класса поможет учащимся изучить новую тему по геометрии.

В предыдущей теме мы изучили теорему Пифагора и разобрали ее доказательство.

Существует также теорема, которая известна как обратная теорема Пифагора. Рассмотрим ее подробнее.

Теорема. Треугольник является прямоугольным, если в нем выполняется равенство: значение одной стороны треугольника, возведенной в квадрат, такое же, как сумма возведенных в квадрат двух других сторон.

Доказательство. Допустим, нам дан треугольник ABC, в котором выполняется равенство AB 2 = CA 2 + CB 2 . Необходимо доказать, что угол С равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник A 1 B 1 C 1 , в котором угол С 1 равен 90 градусов, сторона C 1 A 1 равна CA и сторона B 1 C 1 равна BС.

Применяя теорему Пифагора, запишем отношение сторон в треугольнике A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Произведя замену в выражении на равные стороны, получим A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Из условий теоремы мы знаем, что AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогда можем записать A 1 B 1 2 = AB 2 , из чего следует, что A 1 B 1 = AB.

Мы нашли, что в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны три стороны: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Значит, эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что угол С равен углу С 1 и соответственно равен 90 градусов. Мы определили, что треугольник ABC прямоугольный и его угол С равен 90 градусов. Мы доказали данную теорему.

Далее автор приводит пример. Допустим, дан произвольный треугольник. Известны размеры его сторон: 5, 4 и 3 единиц. Проверим утверждение из теоремы, обратной теореме Пифагора: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Утверждение верно, значит данный треугольник прямоугольный.

В следующих примерах треугольники также будут прямоугольными, если их стороны равны:

5, 12, 13 единиц; равенство 13 2 = 5 2 + 12 2 является верным;

8, 15, 17 единиц; равенство 17 2 = 8 2 + 15 2 является верным;

7, 24, 25 единиц; равенство 25 2 = 7 2 + 24 2 является верным.

Известно понятие пифагорового треугольника. Это прямоугольный треугольник, у которого значения сторон равны целым числам. Если катеты пифагорового треугольника обозначить через a и c, а гипотенузу b, то значения сторон этого треугольника можно записать с помощью следующих формул:

b = k x (m 2 — n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

где m, n, k- любые натуральные числа, причем значение m больше значения n.

Интересный факт: треугольник со сторонами 5, 4 и 3 называют также египетским треугольником, такой треугольник был известен еще в Древнем Египте.

В данном видеоуроке мы ознакомились с теоремой, обратной теореме Пифагора. Подробно рассмотрели доказательство. Также учащиеся узнали, какие треугольники называют пифагоровыми.

Учащиеся с легкостью могут ознакомиться с темой «Теорема, обратная теореме Пифагора» самостоятельно с помощью данного видеоурока.

Цели урока:

общеобразовательные:

• проверить теоретические знания учащихся (свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), умение использовать их при решении задач;
• создав проблемную ситуацию, подвести учащихся к “открытию” обратной теоремы Пифагора.

развивающие:

• развитие умений применять теоретические знания на практике;
• развитие умения формулировать выводы при наблюдениях;
• развитие памяти, внимания, наблюдательности:
• развитие мотивации учения через эмоциональное удовлетворение от открытий, через введение элементов истории развития математических понятий.

воспитательные:

• воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора;
• воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний одноклассников через взаимопроверку.

Форма урока: классно-урочная.

План урока:

• Организационный момент.
• Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.
• Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.
• Новая тема.
• Первичное закрепление знаний.
• Домашнее задание.
• Итоги урока.
• Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам с отгадыванием афоризмов Пифагора).

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания. Актуализациязнаний.

Учитель: Какое задание вывыполняли дома?

Ученики: По двум даннымсторонам прямоугольного треугольника найтитретью сторону, ответы оформить в виде таблицы.Повторить свойства ромба и прямоугольника.Повторить, что называется условием, а чтозаключением теоремы. Подготовить сообщения ожизни и деятельности Пифагора. Принести веревкус 12-ю завязанными на ней узлами.

Учитель: Ответы к домашнемузаданию проверьте по таблице

(черным цветом выделены данные,красным – ответы).

Учитель:На доскезаписаны утверждения. Если вы согласны с ними налисточках напротив соответствующего номеравопроса поставьте “+”, если не согласны, топоставьте “–”.

На доске заранее написаныутверждения.

1. Гипотенуза больше катета.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180 0 .
3. Площадь прямоугольного треугольника с катетами аи в вычисляется по формуле S=ab/2.
4. Теорема Пифагора верна для всех равнобедренных треугольников.
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.
6. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
7. Квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета.
8. Сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

Проверяются работы с помощьювзаимопроверки. Утверждения, вызвавшие споры, –обсуждаются.

Ключ к теоретическим вопросам.

Учащиеся ставят друг другу оценки по следующейсистеме:

8 правильных ответов “5”;6-7 правильных ответов “4”;4-5 правильных ответов “3”;меньше 4 правильных ответов “2”.

Учитель: О чем мы говорили напрошлом уроке?

Ученик: О Пифагоре и его теореме.

Учитель: Сформулируйтетеорему Пифагора. (Несколько учеников читаютформулировку, в это время 2-3 ученика доказываютее у доски, 6 учеников – за первыми партами налисточках).

На магнитной доске на карточкахнаписаны математические формулы. Выберите те изних, которые отражают смысл теоремы Пифагора, гдеа и в – катеты, с –гипотенуза.

1) с 2 = а 2 + в 2 2) с = а + в 3) а 2 = с 2 – в 24) с 2 = а 2 – в 2 5) в 2 = с 2 – а 2 6) а 2 = с 2 + в 2

Пока учащиеся, доказывающие теорему удоски и на местах, не готовы, словопредоставляется тем, кто подготовил сообщения ожизни и деятельности Пифагора.

Школьники, работающие на местах, сдаютлисточки и слушают доказательства тех, ктоработал у доски.

Учитель: предлагаю вампрактические задачи с применением изучаемойтеоремы. Побываем сначала в лесу, после бури,потом на загородном участке.

Задача 1. После бури сломалась ель.Высота оставшейся части 4,2 м. Расстояние отоснования до упавшей макушки 5,6 м. Найти высотуели до бури.

Задача 2. Высота дома 4,4 м Ширинагазона вокруг дома 1,4 м. Какой длины надоизготовить лестницу, чтобы она не заступала нагазон и доставала до крыши дома?

Учитель: (звучит музыка)Закройте глаза, на несколько минут мы окунемся висторию. Мы с вами в Древнем Египте. Вот на верфяхегиптяне строят свои знаменитые корабли. А вотземлемеры, они измеряют участки земли, границыкоторых смылись после разлива Нила. Строителистроят грандиозные пирамиды, которые до сих порпоражают нас своим великолепием. Во всех этихвидах деятельности египтянам необходимо былоиспользовать прямые углы. Они умели строить их спомощью веревки с 12 ю завязанными наодинаковом расстоянии друг от друга узелками.Попробуйте и вы, рассуждая как древние египтяне,построить с помощью своих веревок прямоугольныетреугольники. (Решая эту проблему, ребятаработают в группах по 4 человека. Через некотороевремя на планшете у доски кто-то показываетпостроение треугольника).

Стороны полученного треугольника 3, 4 и5. Если между этими узлами завязать еще по одномуузлу, то его стороны станут 6, 8 и 10. Если по два – 9,12 и 15. Все эти треугольники являютсяпрямоугольными т. к.

5 2 = 3 2 + 4 2 , 10 2= 6 2 + 8 2 , 15 2 = 9 2 + 12 2и т.д.

Каким свойством должен обладатьтреугольник, чтобы быть прямоугольным? (Учащиесяпытаются сами сформулировать обратную теоремуПифагора, наконец, у кого-то это получается).

Чем эта теорема отличается от теоремыПифагора?

Ученик: Условие изаключение поменялись местами.

Учитель: Дома вы повторяли,как называются такие теоремы. Так с чем мы сейчаспознакомились?

Ученик:С обратнойтеоремой Пифагора.

Учитель:Запишем втетради тему урока. Откройте учебники на стр. 127прочитайте еще раз это утверждение, запишите егосебе в тетрадь и разберите доказательство.

(После нескольких минутсамостоятельной работы с учебником по желаниюодин человек у доски приводит доказательствотеоремы).

1. Как называется треугольник со сторонами 3, 4 и 5? Почему?
2. Какие треугольники называются пифагоровыми?
3. С какими треугольниками вы работали в домашнем задании? А в задачах с сосной и лестницей?

.

Эта теорема помогает решать задачи, вкоторых надо выяснить, будут ли треугольникипрямоугольными.

Задания:

1) Выясните, является ли треугольникпрямоугольным, если его стороны равны:

а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Вычислите высоты треугольника со сторонами 6,8 и 10 см.

.

Стр.127:обратная теорема Пифагора. № 498(а,б,в) № 497.

Что нового узнали на уроке?

Самостоятельная работа (проводится поиндивидуальным карточкам).

Учитель:Дома вы повторялисвойства ромба и прямоугольника. Перечислите их(идет беседа с классом). На прошлом уроке мыговорили о том, что Пифагор был разностороннейличностью. Он занимался и медициной, и музыкой, иастрономией, а так же был спортсменом иучаствовал в олимпийских играх. А еще Пифагор былфилософом. Многие его афоризмы и сегодняактуальны для нас. Сейчас вы будете выполнятьсамостоятельную работу. К каждому заданию данонесколько вариантов ответов, рядом с которымизаписаны фрагменты афоризмов Пифагора. Вашазадача – решив все задания, составить изполученных фрагментов высказывание и записатьего.

Цели урока:

Образовательная: сформулировать идоказать теорему Пифагора и теорему, обратнуютеореме Пифагора. Показать их историческое ипрактическое значение.

Развивающая: развивать внимание,память, логическое мышление учащихся, умениерассуждать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывающая: воспитывать интереси любовь к предмету, аккуратность, умение слушатьтоварищей и учителя.

Оборудование: Портрет Пифагора,плакаты с задачами для закрепления, учебник“Геометрия” 7-9 классы (И.Ф. Шарыгин).

План урока:

I. Организационный момент – 1 мин.

II. Проверка домашнего задания – 7 мин.

III. Вступительное слово учителя, историческаясправка – 4-5 мин.

IV. Формулировка и доказательство теоремыПифагора – 7 мин.

V. Формулировка и доказательство теоремы,обратной теореме Пифагора – 5 мин.

Закрепление нового материала:

а) устное – 5-6 мин.б) письменное – 7-10 мин.

VII. Домашнее задание – 1 мин.

VIII. Подведение итогов урока – 3 мин.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

п.7.1, № 3 (у доски по готовому чертежу).

Условие: Высотапрямоугольного треугольника делит гипотенузу наотрезки длиной 1 и 2. Найдите катеты этоготреугольника.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = h C

Дополнительный вопрос: записать соотношения впрямоугольном треугольнике.

п.7.1,№ 5. Разрежьте прямоугольный треугольник на триподобных между собой треугольника.

Объясните.

АСН ~ АВС ~ СВН

(обратить внимание учащихся на правильностьзаписи соответственных вершин подобныхтреугольников)

Пребудет вечной истина, как скоро её познаетслабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна, как и в егодалекий век.

Не случайно я начала свой урок со словнемецкого писателя-романиста Шамиссо. Наш уроксегодня посвящен теореме Пифагора. Запишем темуурока.

Перед вами портрет великого Пифагора.Родился в 576 году до нашей эры. Прожив 80 лет, умер в496 году до нашей эры. Известен какдревнегреческий философ и педагог. Был сыномторговца Мнесарха, который брал его часто в своипоездки, благодаря которым у мальчика развилисьлюбознательность и желание познать новое.Пифагор – это прозвище, данное ему закрасноречие (“Пифагор” — значит “убеждающийречью”). Сам он ничего не писал. Все его мыслизаписывали его ученики. В результате первой жепрочитанной лекции, Пифагор приобрел 2000учеников, которые вместе со своими женами идетьми образовали громадную школу и создалигосударство, названное “Великая Греция”, воснову которого положены законы и правилаПифагора, почитаемые как божественные заповеди.Он был первым, кто назвал свои рассуждения осмысле жизни философией (любомудрием). Былсклонен к мистификации и демонстративности вповедении. Однажды Пифагор спрятался под землей,а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом,иссохший как скелет, он заявил в народномсобрании, что был в Аиде, и показал удивительнуюосведомленность о земных событиях. За эторастроганные жители признали его Богом. Пифагорникогда не плакал и вообще был недоступенстрастям и волнению. Считал, что он происходит изсемени, лучшего сравнительно с человеческим. Всяжизнь Пифагора – легенда, дошедшая до нашеговремени и рассказавшая нам о талантливейшемчеловеке древнего мира.

Формулировка теоремы Пифагораизвестна вам с курса алгебры. Давайте вспомнимеё.

В прямоугольном треугольнике квадратгипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Однако эту теорему знали за много летдо Пифагора. За 1500 лет до Пифагора древниеегиптяне знали о том, что треугольник состоронами 3, 4 и 5 является прямоугольным ипользовались этим свойством для построенияпрямых углов при планировке земельных участков исооружении зданий. В самом древнем дошедшем донас китайском математико-астрономическомсочинении “Чжиу-би”, написанным за 600 лет доПифагора, среди других предложений, относящихсяк прямоугольному треугольнику, содержится итеорема Пифагора. Ещё раньше эта теорема былаизвестна индусам. Таким образом, Пифагор неоткрыл это свойство прямоугольноготреугольника, он, вероятно, первым сумел егообобщить и доказать, перевести его из областипрактики в область науки.

С глубокой древности математикинаходят все новые и новые доказательства теоремыПифагора. Их известно более полутора сотен.Давайте вспомним алгебраическое доказательствотеоремы Пифагора, известное нам из курса алгебры.(“Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных”Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г).

Предложить учащимся вспомнитьдоказательство к чертежу и записать его на доске.

(а + b) 2 = 4· 1/2 а * b + с 2 b а

а 2 + 2а * b + b 2 = 2а * b +с 2

а 2 + b 2 = с 2 а а b

Древние индусы, которым принадлежитэто рассуждение, обычно не записывали его, асопровождали чертеж лишь одним словом:“Смотри”.

Рассмотрим в современном изложенииодно из доказательств, принадлежащих Пифагору.Вначале урока мы вспомнили теорему осоотношениях в прямоугольном треугольнике:

h 2 = а 1* b 1 а 2 = а 1* с b 2= b 1* с

Сложим почленно последних два равенства:

b 2 + а 2 = b 1* с + а 1* с = (b 1+ а 1) * с 1 = с * с = с 2 ; а 2+ b 2 = с 2

Несмотря на кажущуюся простоту этогодоказательства, оно далеко не самое простое. Ведьдля этого нужно было провести высоту впрямоугольном треугольнике и рассмотретьподобные треугольники. Запишите, пожалуйста, этодоказательство в тетради.

А какая теорема называется обратной кданной? (…если условие и заключение меняютсяместами.)

Давайте теперь попробуемсформулировать теорему, обратную теоремеПифагора.

Если в треугольнике со сторонами а, b ис выполняется равенство с 2 = а 2 + b 2 ,то этот треугольник прямоугольный, причем прямойугол противолежит стороне с.

(Доказательство обратной теоремы наплакате)

АВС, ВС = а,

АС = b, ВА = с.

а 2 + b 2 = с 2

Доказать:

АВС –прямоугольный,

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 В 1 С 1,

где С 1 =90° , А 1 С 1 = а, А 1 С 1 = b.

Тогда по теореме Пифагора В 1 А 1 2= а 2 + b 2 = с 2 .

То есть В 1 А 1 = с А 1 В 1 С 1 = АВС по трем сторонам АВС — прямоугольный

С = 90°, что и требовалось доказать.

1. По плакату с готовыми чертежами.

Рис.1: найдите АD, если ВD = 8, ВDА = 30°.

Рис.2: найдите CD, если ВЕ = 5, ВАЕ = 45°.

Рис.3: найдите ВD, если ВС = 17, АD = 16.

2. Является ли треугольник прямоугольным, еслиего стороны выражаются числами:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (нет)

9 2 + 12 2 = 15 2 (да)

15 2 + 20 2 = 25 2 (да)

Как называются тройки чисел в двухпоследних случаях? (Пифагоровы).

№ 9. Сторона равностороннеготреугольника равна а. Найдите высоту этоготреугольника, радиус описанной окружности,радиус вписанной окружности.

№ 14. Докажите, что в прямоугольномтреугольнике радиус описанной окружности равенмедиане, проведенной к гипотенузе, и равенполовине гипотенузы.

Пункт 7.1, стр. 175-177, разобрать теорему 7.4(обобщенная теорема Пифагора), № 1(устно), № 2, № 4.

Что нового вы узнали сегодня на уроке?…………

Пифагор прежде всего был философом.Вот сейчас хочу вам прочитать несколько егоизречений, актуальных и в наше время для нас свами.

• Не поднимай пыли на жизненном пути.
• Делай лишь то, что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
• Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
• Приучайся жить просто и без роскоши.