Tangens bilan eng oddiy tenglamalar. Trigonometrik tenglamalarni yechish. Trigonometrik tenglamani qanday yechish mumkin

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday muammolarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadratik tengsizliklar, kasr tenglamalari va kvadratiklarga keltiruvchi tenglamalar. Yuqorida aytilgan har bir muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: siz qanday turdagi muammoni hal qilayotganingizni aniqlashingiz kerak, esda tuting. zarur ketma-ketlik istalgan natijaga olib keladigan harakatlar, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

tomonidan ko'rinish tenglama, uning turini aniqlash ba'zan qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.

Keling, ko'rib chiqaylik asosiy yechim usullari trigonometrik tenglamalar.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ekspress trigonometrik funktsiya ma'lum komponentlar orqali.

2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x – p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.

4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tan x uchun tenglamani oling:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, bu degani

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Har xil turdagi foydalanish trigonometrik formulalar, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.

Stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari trigonometrik tenglamalarni yechish bilan bog'liq.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Misollar:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari:

Har qanday trigonometrik tenglama quyidagi turlardan biriga qisqartirilishi kerak:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

Bu erda \(t\) - x bilan ifodalangan, \(a\) - son. Bunday trigonometrik tenglamalar deyiladi eng oddiy. Ularni () yoki maxsus formulalar yordamida osongina echish mumkin:

Misol . \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Javob: \(\left[ \begin(to'plangan)x=-\frac(p)(6)+2pk, \\ x=-\frac(5p)(6)+2pn, \end(to'plangan)\o'ng.\) \(k,n∈Z\)

Trigonometrik tenglamalarning ildizlari formulasida har bir belgi nimani anglatadi, qarang.

Diqqat!\(\sin⁡x=a\) va \(\cos⁡x=a\) tenglamalarining yechimlari yo'q, agar \(a s (-∞;-1)∪(1;∞)\). Chunki har qanday x uchun sinus va kosinus \(-1\) dan katta yoki teng va \(1\) dan kichik yoki teng:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Misol . \(\cos⁡x=-1,1\) tenglamasini yeching.
Yechim: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Javob : yechim yo'q.

Misol . tg\(⁡x=1\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Raqamli aylana yordamida tenglamani yechamiz. Buning uchun: 1) Doira qurish) 2) \(x\) va \(y\) o'qlarini va teginish o'qini (u \(y\) o'qiga parallel \((0;1)\) nuqtadan o'tadi) tuzing. 3) Tangens o'qida \(1\) nuqtani belgilang. 4) Ushbu nuqtani va koordinatalarning boshini - to'g'ri chiziq bilan bog'lang. 5) Bu chiziq va sonli doiraning kesishish nuqtalarini belgilang. 6) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(\frac(p)(4)\) ,\(\frac(5p)(4)\) 7) Ushbu nuqtalarning barcha qiymatlarini yozing. Ular bir-biridan aniq \(p\) masofada joylashganligi sababli, barcha qiymatlarni bitta formulada yozish mumkin:

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pk\), \(k∈Z\).

Misol . \(\cos⁡(3x+\frac(p)(4))=0\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Keling, yana raqam doirasini ishlatamiz. 1) Doira, o'qlarni \(x\) va \(y\) qurish. 2) Kosinus o'qida (\(x\) o'qi) \(0\) belgisini qo'ying. 3) Shu nuqta orqali kosinus o‘qiga perpendikulyar chizamiz. 4) Perpendikulyar va aylananing kesishish nuqtalarini belgilang. 5) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(-\) \(\frac(p)(2)\),\(\frac(p)(2)\). 6) Biz bu nuqtalarning butun qiymatini yozamiz va ularni kosinusga (kosinus ichidagi narsaga) tenglashtiramiz. \(3x+\)\(\frac(p)(4)\) \(=±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(p)(4)\) \(=\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x+\)\(\frac( p)(4)\) \(=-\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) 8) Odatdagidek \(x\) ni tenglamalarda ifodalaymiz. Raqamlarga \(p\), shuningdek \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) va boshqalar bilan ishlov berishni unutmang. Bu boshqa barcha raqamlar bilan bir xil raqamlar. Raqamli kamsitish yo'q! \(3x=-\)\(\frac(p)(4)\) \(+\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x=-\)\ (\frac(p)(4)\) \(+\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+2pk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3p)(4)\) \(+2pk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(p)(12)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(p)( 4)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\)

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(12)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(p)( 4)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrik tenglamalarni eng oddiy holga keltirish ijodiy vazifadir, bu erda siz tenglamalarni echish uchun ikkala va maxsus usullardan foydalanishingiz kerak:
- Usul (Yagona davlat imtihonida eng mashhur).
- Usul.
- Yordamchi argumentlar usuli.

Kvadrat trigonometrik tenglamani yechish misolini ko‘rib chiqamiz

Misol . \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Keling, \(t=\cos⁡x\) almashtirishni amalga oshiramiz.
	Bizning tenglamamiz odatiy holga aylandi. yordamida hal qilishingiz mumkin.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Birinchi tenglamani sonli aylana yordamida yechamiz. Ikkinchi tenglamaning yechimlari yo'q, chunki \(\cos⁡x∈[-1;1]\) va har qanday x uchun ikkitaga teng bo'lishi mumkin emas.
	Keling, ushbu nuqtalarda yotgan barcha raqamlarni yozamiz.

Javob: \(x=±\)\(\frac(p)(3)\) \(+2pk\), \(k∈Z\).

ODZni o'rganish bilan trigonometrik tenglamani yechish misoli:

Misol (FOYDALANISH) . \(=0\) trigonometrik tenglamani yeching.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Kasr bor va kotangent bor - bu biz uni yozishimiz kerakligini anglatadi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, kotangent aslida kasrdir: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Shuning uchun ctg\(x\) uchun ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\); \(x≠pn\); \(k,n∈Z\)	Raqamli aylanada "yechim bo'lmagan" ni belgilaymiz.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Keling, tenglamadagi maxrajni ctg\(x\) ga ko'paytirish yo'li bilan qutulamiz. Biz buni qila olamiz, chunki biz yuqorida ctg\(x ≠0\) deb yozgan edik.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinus uchun ikki tomonlama burchak formulasini qo'llaymiz: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Agar qo'llaringiz kosinusga bo'linish uchun cho'zilsa, ularni orqaga torting! Oʻzgaruvchiga ega ifodaga boʻlish mumkin, agar u aniq nolga teng boʻlmasa (masalan, bular: \(x^2+1.5^x\)). Buning o'rniga, qavs ichidan \(\cos⁡x\) ni chiqaramiz.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Keling, tenglamani ikkiga "bo'laylik".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Birinchi tenglamani sonli aylana yordamida yechamiz. Ikkinchi tenglamani \(2\) ga bo'lib, \(\sin⁡x\) ni o'ng tomonga o'tkazamiz.
\(x=±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Olingan ildizlar ODZga kiritilmaydi. Shuning uchun biz ularni javob sifatida yozmaymiz. Ikkinchi tenglama odatiy hisoblanadi. Keling, uni \(\sin⁡x\) ga bo'laylik (\(\sin⁡x=0\) tenglamaning yechimi bo'la olmaydi, chunki bu holda \(\cos⁡x=1\) yoki \(\cos⁡) x=-1\)).
	Biz yana aylanadan foydalanamiz.
\(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pn\), \(n∈Z\)	Bu ildizlar ODZ tomonidan chiqarib tashlanmaydi, shuning uchun ularni javobda yozishingiz mumkin.

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pn\), \(n∈Z\).

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalar va kvadratik tenglamalar kiradi. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: siz qanday turdagi muammoni hal qilayotganingizni belgilashingiz kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Ba'zan tenglamaning ko'rinishiga qarab uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.

Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.

2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x – p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.

4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli bilan almashtiring:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tan x uchun tenglamani oling:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, bu degani

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.

Stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari trigonometrik tenglamalarni yechish bilan bog'liq.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola kerak.

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan, sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.