Все возможные комбинации чисел. Комбинаторика: основные правила и формулы

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m изn различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Рассмотрим задачуподсчета числа выборок из данногомножества в общем виде. Пусть имеетсянекоторое множество N,состоящее из nэлементов. Любое подмножество, состоящееиз mэлементов можно рассматривать без учетаих порядка, так и с его учетом, т.е. приизменении порядка переходим к другойm– выборке.

Сформулируемследующие определения:

Размещения без повторения

Размещением безповторения изnэлементов поmN,содержащееmразличных элементов.

Из определенияследует, что два размещения отличаютсядруг от друга, как элементами, так и ихпорядком, даже если элементы одинаковы.

Теорема 3.Число размещений без повторения равнопроизведению mсомножителей, наибольшим из которыхявляется число n.Записывают:

Перестановки без повторений

Перестановкамиизnэлементов называются различныеупорядочения множестваN.

Из этого определенияследует, что две перестановки отличаютсятолько порядком элементов и их можнорассматривать как частный случайразмещений.

Теорема 4.Число различных перестановок безповторений вычисляется по формуле

Сочетания без повторений

Сочетанием безповторения изnэлементов поmназывается любое неупорядоченноеподмножество множестваN,содержащееmразличных элементов.

Из определенияследует, что два сочетания различаютсятолько элементами, порядок не важен.

Теорема 5.Число сочетаний без повторений вычисляютпо одной из следующих формул:

Пример 1.В комнате 5 стульев. Сколькими способамиможно разместить на них

а) 7 человек; б) 5человек; в) 3 человека?

Решение:а) Прежде всего надо выбрать 5 человекиз 7 для посадки на стулья. Это можносделатьспособом. С каждым выбором конкретнойпятерки можно произвестиперестановок местами. Согласно теоремеумножения искомое число способов посадкиравно.

Замечание:Задачу можно решать, используя толькотеорему произведения, рассуждая следующимобразом: для посадки на 1-й стул имеется7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способовпосадки 7 человек на 5 стульев равно.Решения обоими способами согласуются,так как

б) Решение очевидно-

в)— число выборов занимаемых стульев.

— число размещенийтрех человек на трех выбранных стульях.

Общее число выборовравно.

Не трудно проверитьформулы;

;

Число всех подмножеств множества,состоящего из nэлементов.

Размещения с повторением

Размещением сповторением изnэлементов поmназывается всякое упорядоченноеподмножество множестваN,состоящее изmэлементов так, что любой элемент ожжетвходить в это подмножество от 1 доmраз, либо вообще в нем отсутствовать.

Числоразмещений с повторением обозначаюти вычисляют по формуле, представляющейсобой следствие из теоремы умножения:

Пример 2.Пусть дано множество из трех букв N= {a,b,c}.Назовем словом любой набор из букв,входящих в это множество. Найдемколичество слов длиной 2, которые можносоставить из этих букв:.

Замечание:Очевидно, размещения с повторениемможно рассматривать и при.

Пример 3.Требуется из букв {a,b},составить всевозможные слова длиной3. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ:

На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется N и N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы размещениями.Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Источники:

• количество сочетаний

Факториал натурального числа – это произведение всех предыдущих натуральных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа очень просто – достаточно перемножить все натуральные числа, не превышающие заданное. Однако, значение факториала настолько быстро возрастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.

Вам понадобится

• калькулятор, компьютер

Инструкция

Чтобы посчитать факториал натурального числа перемножьте все , не превосходящие данное. Каждое число учитывается только один раз. В виде формулы это можно записать следующим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – натуральное число, факториал которого требуется посчитать.0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании аргумента значение факториала очень быстро увеличивается, поэтому обычный (бухгалтерский) уже для факториала 15-ти вместо результата может выдать об ошибке.

Чтобы посчитать факториал большого натурального числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, √). Наберите на калькуляторе исходное число, а затем нажмите кнопку вычисления факториала. Обычно такая кнопка как «n!» или аналогично (вместо «n» может стоять «N» или «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).При больших значениях аргумента результаты вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, например, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (или похожем). Чтобы получить результат вычислений в обычном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано после «е+» (если, конечно, хватит места).

Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка. Такой выбор называется комбинацией. Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.

Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}.

РешениеЭти комбинации следующие:{A, B, C}, {A, B, D},{A, B, E}, {A, C, D},{A, C, E}, {A, D, E},{B, C, D}, {B, C, E},{B, D, E}, {C, D, E}. Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.

Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.

ПодмножествоМножество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.

Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок!

КомбинацияКомбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов.

Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно.

Обозначения комбинацииЧисло сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается n C k .

Мы называем n C k число сочетаний. Мы хотим записать общую формулу для n C k для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что n C n = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, n C 1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, n C 0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок.

Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок.3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 . 4 . 3,so.В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов, n C k раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов:k!. n C k = n P k n C k = n P k /k! n C k = (1/k!). n P k n C k =

Комбинации k объектов из n объектовОбщее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается n C k , определяется (1) n C k = ,или(2) n C k =

Другой тип обозначения для n C k это биноминальный коэффициент. Причина для такой терминологии будет понятна ниже.

Биноминальный коэффициент

Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2).

Решениеa) Согласно (1),.b) Согласно (2),

Имейте в виду, что не означает n/k.

Пример 3 Вычислите и .

Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда , используя (1), и, испоьлзуя формулу (2).

Обратите внимание, что , и используя результат примера 2 дает нам . Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}: В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации.

Подмножества размера k и размера и n C k = n C n-k Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n — к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно.

Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.

Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (