Решение уравнения в частных производных смешанного типа. Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n - заданные функции переменных x 1 , x 2 , ..., x n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1 ,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 2 ,
..................
φ n-1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C n-1 ,
где C k - постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F - произвольная функция от n - 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n+1 - заданные функции от переменных x 1 , x 2 , ..., x n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1 ,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2 ,
..................
φ n (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F - произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ 1 = F(φ 2 , φ 3 , ..., φ n ) ,
φ 2 = F(φ 1 , φ 3 , ..., φ n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Условие задачи

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Решение

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Или:

интегрирующего множителя . Умножим на x -1 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C 1 = x y 2 :

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ 1 , φ 2) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = -1 :

Отсюда

На границе
.

F(φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2 .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Ответ

Общее решение:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ 1 , φ 2 ) .

Частное решение:

Неоднородное уравнение

Условие задачи

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C 1 y

Подставим во второе уравнение:

Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя . Разделим на y 2 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F(φ 1 , φ 2) = 0
Но, поскольку F - произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ 1 = F(φ 2) ,
где F - произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = -(x + y) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + (x + y) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ 1 = F(φ 2)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ 1 и φ 2 :

.
Умножим на a 2 y 2 .

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики , УМФ ) - дифференциальное уравнение , содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.

✪ Уравнения математической физики. Шаньков В.В. Весенний семестр. Лекция №1

✪ Методы математической физики. Тихонов Николай Андреевич (Лекция 10)

✪ 8 Дифференциальные уравнения в частных производных Mathcad

✪ Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможение

Субтитры

Введение

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

∂ ∂ y u (x , y) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.}

Задачи доказательств существования и нахождения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация линейных уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Две независимые переменные

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

A ∂ 2 u ∂ x 2 + 2 B ∂ 2 u ∂ x ∂ y + C ∂ 2 u ∂ y 2 + . . . = 0 , {\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: ∂ u / ∂ x {\displaystyle {\partial u}/{\partial x}} и ∂ u / ∂ y {\displaystyle {\partial u}/{\partial y}} . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта D = B 2 − A C {\displaystyle D=B^{2}-AC} , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

Более двух независимых переменных

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 , ⋯ , x n) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + F (x 1 , ⋯ , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , ⋯ , ∂ u ∂ x n) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\cdots ,x_{n}){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0,}

оно может быть классифицировано в заданной точке M 0 (x 1 0 , ⋯ , x n 0) {\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 0 , ⋯ , x n 0) t i t j . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.}

Невырожденным линейным преобразованием

s i = ∑ j = 1 n A i j t j , i = 1 , 2 ⋯ n , det ‖ A i j ‖ ≠ 0 {\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{ij}\right\|\neq 0}

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

∑ i = 1 n λ i s i 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{i}^{2}.}

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов λ i {\displaystyle \lambda _{i}} в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке M 0 {\displaystyle M_{0}} ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

Гиперболический тип
1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
  1. Нормальный гиперболически-параболический тип
  2. Ультрагиперболически-параболический тип
3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши - Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви , ). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,} u (x , 0) = 0 , {\displaystyle u(x,0)=0,} ∂ u ∂ y (x , 0) = sin ⁡ n x n , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},}

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

u (x , y) = (s h n y) (sin ⁡ n x) n 2 . {\displaystyle u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.}

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π {\displaystyle \pi } для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной , так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных доказательства существования решений и поиск многообразий всех решений проводятся с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне относится к параболическому типу и имеет вид

∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

U (0 , x) = f (x) {\displaystyle u(0,x)\,=f(x)} ,

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Уравнение относится к гиперболическому типу. Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

u (0 , x) = f (x) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),} ∂ u ∂ t (0 , x) = g (x) , {\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=g(x),}

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f {\displaystyle f} комплексной переменной z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},}

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области ∂ S {\displaystyle \partial S} - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

Используя функцию Грина ;
Используя метод разделения переменных Фурье;
С помощью теории потенциала ;
Используя формулу Кирхгофа .

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для

Теоретический минимум
В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются
на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго
порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям.
Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида:
,
где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.
(это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших
коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.
В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет
собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю
нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных
коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих
трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.
При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно,
положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат
к одному типу классификации.
Перечислим основные классы уравнений:
- гиперболическое
- параболическое
- эллиптическое
- ультрагиперболическое
- эллиптико-параболическое
Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются.
Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы
равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.
Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.
Примеры уравнений различных типов
Пример 1. Уравнение теплопроводности .

Уравнение параболического типа.
Пример 2. Волновое уравнение .

Уравнение гиперболического типа.
Пример 3. Уравнение Пуассона .

В частности, если справа стоит нуль, то получается уравнение Лапласа.
Пример 4. Уравнение Гельмгольца .

Уравнение эллиптического типа.
Пример 5. Уравнение Трикоми .

Если , то уравнение эллиптическое; если , то уравнение параболическое; если , то уравнение гиперболическое.
Подробнее рассмотрим случай, когда неизвестная функция имеет всего два аргумента:
.
Коэффициенты являются функциями переменных и (в принципе, возможна зависимость и от неизвестной функции (в этом случае уравнение
будет квазилинейным; мы ограничиваемся линейными уравнениями). Уравнение общего вида может быть упрощено путём замены независимых переменных -
приведено к каноническому виду. Этот канонический вид, как и вид замены определяется характеристическим уравнением
.
Характеристическое уравнение, будучи квадратным уравнением относительно производной сразу распадается на два.

Знак подкоренного выражения и определяет тип уравнения.
Гиперболические уравнения
Это случай, когда . Общие интегралы характеристического уравнения .
Выполняется замена .
Параболические уравнения
.
Выполняется замена , где - произвольная дважды дифференцируемая функция, для которой выполняется
условие .
Эллиптические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения . Выполняется замена
.
Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых требуется привести уравнение к каноническому виду. Центральную роль в этих примерах играет техника
замены переменных, потому что саму замену указать обычно довольно просто. Совсем просто выполняется линейная замена переменных (случай уравнения с
постоянными коэффициентами).
Замечание . Разумеется при замене переменных есть некоторая свобода. Например, в любом случае замена определяется с точностью до знака, не играющего существенной роли в
преобразовании производных. Также неоднозначность вносит в случае параболического уравнения свобода выбора второй функции для замены переменных, ограниченная весьма
слабыми условиями.
Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду
Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа .

.
Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция зависит от переменных ,
которые в свою очередь зависят от старых переменных :

.

.
Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа .
Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1.

После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.
Пример 3. Случай линейной замены переменных в уравнении параболического типа .
Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к параболическому типу. Находим общий интеграл найденного уравнения:
.
Отсюда понятно, какой может быть выбрана одна переменная: . Вторую переменную следует выбрать самостоятельно.
Обычно её выбирают наиболее простой, чтобы не усложнять вычисления. Рассмотрим два варианта, чтобы посмотреть, как влияет выбор второй
переменной на окончательный вид уравнения. Сначала положим . Снова преобразуем производные аналогично примеру 1.

После подстановки этих производных в исходное уравнение получим

Ранее рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят лишь от одной переменной: ,
и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называютсяуравнениями с частными производными .

К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др., аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t , то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются.

Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

Таким образом, математические модели физических и иных процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Аргументами функций этих уравнений являются пространственные координаты
и время.

Уравнения первого порядка. Уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т. п.

Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция зависит от времении одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

Здесь ‑ скорость переноса.

Уравнения второго порядка. Линейным уравнением в частных производных второго порядка называется соотношение между функцией
или
и ее частными производными вида.

(1)

Если переменная функция зависит оти, то уравнение может быть записано следующим образом:

(2)

В случае если
, то уравнения 1-2 называются однородными, иначе ‑ неоднородными.

Если
, то уравнение (2) относится к классу эллиптических уравнений;

если
, то ‑ это гиперболическое уравнение;

если
‑ параболическое уравнение.

Когда
не имеет постоянного знака, получается уравнение смешанного типа.

К классическим эллиптическим уравнениям относятся:

Уравнение Лапласа
, которое используется для описания магнитных и стационарных тепловых полей;

Уравнение Пуассона
, которое применяется в электростатике, теории упругости и других науках;

Уравнение Гельмголъца
, описывающее установившиеся колебательные процессы.

Оператор Лапласа:

в одномерном случае
;

в двумерном случае
;

в трехмерном случае
.

Среди гиперболических уравнений можно выделить:

Волновые уравнения:

одномерное
, которое описывает вынужденные колебания струны;

двумерное
, которое описывает колебания мембраны.

Телеграфное уравнение , которое описывает изменение потенциалав линиях электропередачи. Здесь
- коэффициент самоиндукции, емкость, сопротивление, характеристика потерь на единицу длины линии.

К классическим параболическим уравнениям относится уравнение теплопроводности
.

Для нахождения единственного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо задать начальные и граничные условия. Начальными условиями принято называть условия, заданные в начальный момент времени . Граничные условия задаются при различных значениях пространственных переменных. Для эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые можно разделить на три класса:

Условие Дирихле
- в этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция. В одномерном случае это условие принимает вид:
и
где
- интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;

Условие Неймана
- в этом случае на границе области Г задана производная по направлениювнешней нормали;

Смешанное условие
.

Для параболических уравнений, кроме граничных условий, необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.

В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть следующими
и
.

Решение ряда дифференциальных уравнений в частных производных может быть получено аналитически. Одним из наиболее часто используемых методов является метод разделения переменных (метод Фурье). Рассмотрим этот метод подробнее.

О методах решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами , рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.

Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считаются равными значениям искомых функций.

Приведенные уравнения называются уравнениями математической физики . К их решению сводятся многие прикладные задачи. Прежде чем переходить к обсуждению численных методов решения указанных уравнений, рассмотрим основные вопросы построения разностных схем.

2. Введение в сеточные методы, понятия сетка, шаблон, слой.

О построении разностных схем. Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(x, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис 1,а . Стороны прямоугольника
,
делятся на элементарные отрезки точками
,
и
,
. Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых
,
образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (
), определяется координатами (
).

а б

Рис. 1. Прямоугольная сетка (а ), элемент трехмерной сетки (б )

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G , называются граничными узлами. Все остальные узлы ‑ внутренними.

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей. На рис. 1,б показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Шаблон – комбинация используемых узлов

Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G , изображенную на рис. 2, можно привести к единичному квадратуG" путем введения новых переменных £, ц вместо #, у с помощью соотношений

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия. В области G" можно ввести прямоугольную сетку, при этом в областиG ей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками,

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (
). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической н др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (
), то в ней сетка вводится с шагами
и
соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций).

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону (см. гл. 3, § 1). При этом точные значения искомой функции U заменяются значениями сеточной функции и в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

,(6)

где
‑ начальное распределение температурыU (приt = 0);
‑ распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времениt . Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.,.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
,
и
,
,и‑ соответственно шаги сетки по направлениямх иt . Значения функции в узлах сетки обозначим
. Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функциикоторые удовлетворяют разностной схеме.

Заменяя в исходном уравнении (6) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

(7)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2, а .

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2, б , то вместо (7) получим разностную схему

(8)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении, называетсяслоем . Схема (7) позволяет последовательно находить значения
,
на
-м слое через соответствующие значенияна-м слое. Такие схемы называютсяявными .

Для начала счета при j = 1 необходимо решение на начальном слое. Оно определяется начальным условием

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (8) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными . При этом разностная схема (8) состоит из линейных трехточечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонкb, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы , когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев ‑ нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

С помощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Уравнение Лапласа. Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравненияПуассона вида

Если
, то это уравнение называется уравнениемЛапласа . Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области G изменения независимых переменныхх, у . Границей областиG является замкнутая линияL . Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границеL . Примем его в виде

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле .

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи, является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях t близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называетсяметодом установления .

Поскольку решение U (х, у) нашего уравнения (2) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член. Тогда уравнение (2) примет вид

Это ‑ известное нам уравнение теплопроводности, для которого уже строились разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим

Граничное условие (3) при этом остается стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Процесс численного решения уравнения (4) с условиями (3), (5) состоит в переходе при
от произвольного значения (5) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом, если искомые значения на двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи, причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи.

Для решения задачи Дирихле можно также построить разностную схему путем аппроксимации уравнения (2). Введем в прямоугольной области G сетку с помощью координатных прямых х = const и у = const. Примем для простоты значения шагов по переменнымх иу равнымиh (предполагается, что стороны области G соизмеримы). Значения функцииU в узлах
заменим значениями сеточной функции. Тогда, аппроксимируя в уравнении (2) вторые производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен на рис.):

(6)

Данное уравнение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. Эту систему можно записать в виде

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (3):

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Каждое уравнение системы (7) (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения в центральном узле (см. рис.):

Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций. Если его величина достигнет некоторого заданного малого числа , итерации прекращаются.

Решение уравнения Лапласа в Mathcad. Для решения уравнений Лапласа и Пуассона вMathcadпредусмотрены встроенные функцииrelax иmultigrid .

3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей.

4. Решение эллиптических, параболических и гиперболических уравнений.

5. Нестационарные задачи.

6. Построение явной и неявной разностных схем для одномерного уравнения теплопроводности.

7. Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.

8. Метод прогонки.

9. Аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод прямых).

10. Стационарные задачи, разностные схемы, счет на установление.

11. Вариационно-разностные методы.

12. Метод конечных элементов.