Достаточные признаки возрастания и убывания функции. Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Функцияназываетсявозрастающейна интервале,если для любых точеквыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствуетбольшее значение функции).

Аналогично, функцияназываетсяубывающейна интервале,если для любых точекиз этого интервала при выполненииусловиявыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствуетменьшее значение функции).

Возрастающие наинтервалеи убывающие на интервалефункции называютсямонотоннымина интервале.

Знание производнойдифференцируемой функции позволяетнаходить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточноеусловие возрастания функции).функцииположительна на интервале,то функциямонотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточноеусловие убывания функции).Если производная дифференцируемой наинтервалефункцииотрицательна на интервале,то функциямонотонно убывает на этом интервале.

Геометрическийсмыслэтих теорем состоит в том, что наинтервалах убывания функции касательныек графику функции образуют с осьютупые углы, а на интервалах возрастания– острые (см.рис.1).

Теорема (необходимоеусловие монотонности функции).Еслифункциядифференцируема и()на интервале,то она не убывает (не возрастает) на этоминтервале.

Алгоритм нахожденияинтервалов монотонности функции:

Пример.Найти интервалы монотонности функции.

Точканазываетсяточкоймаксимума функциитакое, что для всех,удовлетворяющих условию,выполнено неравенство.

Максимум функции– это значение функции в точке максимума.

На рис2 показанпример графика функции, имеющей максимумыв точках.

Точканазываетсяточкойминимума функции,если существует некоторое числотакое, что для всех,удовлетворяющих условию,выполнено неравенство.Нарис.2 функцияимеет минимум в точке.

Для максимумов иминимумов есть общее название –экстремумы.Соответственно точки максимума и точкиминимума называются точкамиэкстремума.

Функция, определеннаяна отрезке, может иметь максимум иминимум только в точках, находящихсявнутри этого отрезка. Нельзя такжепутать максимум и минимум функции с еенаибольшим и наименьшим значением наотрезке – это понятия принципиальноразличные.

В точках экстремумау производной есть особые свойства.

Теорема (необходимоеусловие экстремума).Пусть в точкефункцияимеет экстремум. Тогда либоне существует, либо.

Те точки из областиопределения функции, в которыхне существует или в которых,называютсякритическимиточками функции.

Таким образом,точки экстремума лежат среди критическихточек. В общем случае критическая точкане обязана быть точкой экстремума. Еслипроизводная функции в некоторой точкеравна нулю, то это еще не значит, что вэтой точке функция имеет экстремум.

Пример.Рассмотрим.Имеем,но точкане является точкой экстремума (см.рис3).

Теорема (первоедостаточное условие экстремума).Пусть в точкефункциянепрерывна, а производнаяпри переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, еслизнак меняется с «+» на «–», и минимума,если с «–» на «+».

Если при переходечерез точкупроизводная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второедостаточное условие экстремума).Пусть в точкепроизводная дважды дифференцируемойфункцииравнанулю (),а ее вторая производная в этой точкеотлична от нуля ()и непрерывна в некоторой окрестноститочки.Тогда– точка экстремума;приэто точка минимума, а приэто точка максимума.

Алгоритм нахожденияэкстремумов функции с помощью первогодостаточного условия экстремума:

Найти производную.

Найти критические точки функции.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахожденияэкстремумов функции с помощью второгодостаточного условия экстремума:

Пример.Найти экстремумы функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].

— Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 — ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) f(x 0))

Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x 0)

то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 — ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

1. Найти область определения функции

2.Найти производную функции

3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

4. Отметить критические точки на области определения

5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

6. Выяснить поведение функции в каждом интервале.

Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функцииf(x) = и число нулей данной функции на промежутке .

Решение:

1. D(f) = R

2. f«(x) =

D(f«) = D(f) = R

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f«(x) = 0.

x(x – 10) = 0

критические точки функции x = 0 и x = 10.

4. Определим знак производной.

f«(x) + – +

f(x) 0 10 x

в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; .

Определим знак значений функции на концах отрезка.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10)

Так как на отрезке функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.

Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; ;

на промежутке функция имеет один нуль функции.

2. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум.

Определение 1:Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.

Определение 2. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если значение функции в этой точке меньше (больше) ближайших значений функии.

Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.

На рис. 1. изображены локальные максимумы и минимумы.

Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.

Теорема 1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, .

Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f»left(x_0right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $left(a,x_0right) и (x_0,b)$ производная $f»(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)0$, то точка $x_0$ — точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright) >0$ или производная $f»left(xright)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f»(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f»(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f»left(xright)=0$;

4) Найти точки, в которых $f»(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f»left(xright)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения — все действительные числа;

2) $f»left(xright)=6x^2-30x+36$;

3) $f»left(xright)=0$;

4) $f»(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом промежутке:

, если для любой пары точек х и х», а ≤ х выполняется неравенство f(x) ≤ f (x»), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) f(x»). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис., а) строго возрастает на отрезке , а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x), а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f«(x) была неотрицательной на [а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f«(x 0) > 0, то функция f(x) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969-1978.

Смотреть что такое «Возрастание и убывание функции» в других словарях:

Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, аЕстествознание. Энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Аристотель и перипатетики — Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней

— (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия

I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия

Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия