Определение четности онлайн. Четность функции -

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование:мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы:фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник. 2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник. 3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D(f) = [– 2; + ∞)2. Е(f) = [– 3; + ∞)3. f(х) = 0 при х ~ 0,44. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) х 0,4.5. Функция возрастает при х € [– 2; + ∞)6. Функция ограничена снизу.7. у наим = – 3, у наиб несуществует8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследованияфункции?) Слайд.

2. Таблицу, которую вам задавалась, проверимпо слайду.

Заполните таблицу

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Координаты точек пересечения графика с Оу

х = –5, х = 2

х € (–5;3) U U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U U (–3;2)

х ∞ –5, х ≠ 2

х € (–5;3) U U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U U (–3;2)

х ≠ –5, х ≠ 2

х € (–∞; –5) U U (2; ∞)

х € (–5; 2)

3. Актуализация знаний

– Даны функции. – Указать область определения для каждойфункции. – Сравнить значение каждой функции для каждойпары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2. – Для каких из данных функций в областиопределения выполняются равенства f(– х)= f(х), f(– х) = – f(х)? (полученныеданные занести в таблицу) Слайд

f(1) и f(– 1) f(2) и f(– 2) графики f(– х) = –f(х) f(– х) = f(х)1. f(х) = 2. f(х) = х 3 3. f(х) = | х | 4. f(х) = 2х – 3 5. f(х) =

х ≠ 0

6. f(х)= х > –1

и не опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещёодно свойство функции, незнакомое вам, но неменее важное, чем остальные – это чётность инечетность функции. Запишите тему урока: «Чётныеи нечётные функции», наша задача – научитьсяопределять чётность и нечётность функции,выяснить значимость этого свойства висследовании функций и построении графиков. Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем(стр. 110). Слайд

Опр. 1Функция у = f (х),заданная на множестве Х называется чётной,если для любого значения х Є Х выполняется равенствоf(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2Функция у = f (х), заданная намножестве Х называется нечётной, если длялюбого значения х Є Х выполняетсяравенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и«нечётные»?Какие из данных функций будут чётными, как выдумаете? Почему? Какие нечётными? Почему?Для любой функции вида у= х n, где n– целое число можно утверждать, что функциянечётна при n – нечётном и функция чётна при n– чётном. – Функции вида у = и у = 2х – 3 не являются ничётным, ни нечётными, т.к. не выполняютсяравенства f(– х) = – f(х), f(–х) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функциячётной или нечётной называют исследованиемфункции на чётность.Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значенияхфункции при х и – х, тем самым предполагается, чтофункция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе скаждым своим элементом х содержит ипротивоположный элемент –х, то множество Хназываютсимметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения –симметричное множество? У нечётных?– Если же D(f) – несимметричное множество, тофункция какая?– Таким образом, если функция у = f(х)– чётная или нечётная, то её область определенияD(f) – симметричное множество. А верно лиобратное утверждение, если область определенияфункции симметричное множество, то она чётна,либо нечётна?– Значит наличие симметричного множестваобласти определения – это необходимое условие,но недостаточное.– Так как же исследовать функцию на четность?Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции начётность

1. Установить, симметрична ли областьопределения функции. Если нет, то функция неявляется ни чётной, ни нечётной. Если да, топерейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

3. Сравнить f(– х).и f(х):

если f(– х).= f(х), то функция чётная;
если f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
если f(– х) ≠ f(х) и f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5+; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + –х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)?(–9; +∞), несимметричное множество, значитфункция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) у = х· (5 – х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х 2 · (2х – х 3), б) у =

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0. Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0. Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысласвойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всейчисловой прямой. Для всякого неотрицательногозначения переменной х значение этой функциисовпадает со значением функции g(х)= х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдитезначение функции h(х) = при х = 3.

7. Подведение итогов

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О — начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax — специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ — более более сложный и долгий — позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Функцияназывается четной (нечетной), если длялюбогои выполняется равенство

График четнойфункции симметричен относительно оси.

График нечетнойфункции симметричен относительно началакоординат.

Пример 6.2.Исследовать на четность или нечетностьфункции

1); 2); 3).

Решение.

1) Функция определенапри.Найдем.

Т.е..Значит, данная функция является четной.

2) Функция определенапри

Т.е..Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определенадля,т.е. для

,.Поэтому функция не является ни четной,ни нечетной. Назовем ее функцией общеговида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функцияназывается возрастающей (убывающей) нанекотором интервале, если в этом интервалекаждому большему значению аргументасоответствует большее (меньшее) значениефункции.

Функции возрастающие(убывающие) на некотором интерваленазываются монотонными.

Если функциядифференцируема на интервалеи имеет положительную (отрицательную)производную,то функциявозрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3.Найти интервалы монотонности функций

1); 3).

Решение.

1) Данная функцияопределена на всей числовой оси. Найдемпроизводную.

Производная равнанулю, еслии.Область определения – числовая ось,разбивается точками,на интервалы. Определим знак производнойв каждом интервале.

В интервалепроизводная отрицательна, функция наэтом интервале убывает.

В интервалепроизводная положительна, следовательно,функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функцияопределена, еслиили

Определяем знакквадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом,область определения функции

Найдем производную,,если,т.е.,но.Определим знак производной в интервалах.

В интервалепроизводная отрицательна, следовательно,функция убывает на интервале.В интервалепроизводная положительна, функциявозрастает на интервале.

4. Исследование функции на экстремум.

Точканазывается точкой максимума (минимума)функции,если существует такая окрестность точки,что для всехиз этой окрестности выполняетсянеравенство.

Точки максимумаи минимума функции называются точкамиэкстремума.

Если функцияв точкеимеет экстремум, то производная функциив этой точке равна нулю или не существует(необходимое условие существованияэкстремума).

Точки, в которыхпроизводная равна нулю или не существуетназываются критическими.

5. Достаточные условия существования экстремума.

Правило 1.Если при переходе (слева направо) черезкритическую точкупроизводнаяменяет знак с «+» на «–», то в точкефункцияимеет максимум; если с «–» на «+», томинимум; еслине меняет знак, то экстремума нет.

Правило 2.Пусть в точкепервая производная функцииравна нулю,а вторая производная существует иотлична от нуля. Если,то– точка максимума, если,то– точка минимума функции.

Пример6.4.Исследовать на максимум и минимумфункции:

1); 2); 3);

4).

Решение.

1) Функция определенаи непрерывна на интервале.

Найдем производнуюи решим уравнение,т.е..Отсюда– критические точки.

Определим знакпроизводной в интервалах,.

При переходе черезточкиипроизводная меняет знак с «–» на «+»,поэтому по правилу 1– точки минимума.

При переходе черезточкупроизводная меняет знак с «+» на «–»,поэтому– точка максимума.

2) Функция определенаи непрерывна в интервале.Найдем производную.

Решив уравнение,найдеми– критические точки. Если знаменатель,т.е.,то производная не существует. Итак,– третья критическая точка. Определимзнак производной в интервалах.