Как находить промежутки возрастания и убывания. Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы Возрастание, убывание и экстремумы функции

Функцияназываетсявозрастающейна интервале,если для любых точеквыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствуетбольшее значение функции).

Аналогично, функцияназываетсяубывающейна интервале,если для любых точекиз этого интервала при выполненииусловиявыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствуетменьшее значение функции).

Возрастающие наинтервалеи убывающие на интервалефункции называютсямонотоннымина интервале.

Знание производнойдифференцируемой функции позволяетнаходить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточноеусловие возрастания функции).функцииположительна на интервале,то функциямонотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточноеусловие убывания функции).Если производная дифференцируемой наинтервалефункцииотрицательна на интервале,то функциямонотонно убывает на этом интервале.

Геометрическийсмыслэтих теорем состоит в том, что наинтервалах убывания функции касательныек графику функции образуют с осьютупые углы, а на интервалах возрастания– острые (см.рис.1).

Теорема (необходимоеусловие монотонности функции).Еслифункциядифференцируема и()на интервале,то она не убывает (не возрастает) на этоминтервале.

Алгоритм нахожденияинтервалов монотонности функции:

Пример.Найти интервалы монотонности функции.

Точканазываетсяточкоймаксимума функциитакое, что для всех,удовлетворяющих условию,выполнено неравенство.

Максимум функции– это значение функции в точке максимума.

На рис2 показанпример графика функции, имеющей максимумыв точках.

Точканазываетсяточкойминимума функции,если существует некоторое числотакое, что для всех,удовлетворяющих условию,выполнено неравенство.Нарис.2 функцияимеет минимум в точке.

Для максимумов иминимумов есть общее название –экстремумы.Соответственно точки максимума и точкиминимума называются точкамиэкстремума.

Функция, определеннаяна отрезке, может иметь максимум иминимум только в точках, находящихсявнутри этого отрезка. Нельзя такжепутать максимум и минимум функции с еенаибольшим и наименьшим значением наотрезке – это понятия принципиальноразличные.

В точках экстремумау производной есть особые свойства.

Теорема (необходимоеусловие экстремума).Пусть в точкефункцияимеет экстремум. Тогда либоне существует, либо.

Те точки из областиопределения функции, в которыхне существует или в которых,называютсякритическимиточками функции.

Таким образом,точки экстремума лежат среди критическихточек. В общем случае критическая точкане обязана быть точкой экстремума. Еслипроизводная функции в некоторой точкеравна нулю, то это еще не значит, что вэтой точке функция имеет экстремум.

Пример.Рассмотрим.Имеем,но точкане является точкой экстремума (см.рис3).

Теорема (первоедостаточное условие экстремума).Пусть в точкефункциянепрерывна, а производнаяпри переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, еслизнак меняется с «+» на «–», и минимума,если с «–» на «+».

Если при переходечерез точкупроизводная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второедостаточное условие экстремума).Пусть в точкепроизводная дважды дифференцируемойфункцииравнанулю (),а ее вторая производная в этой точкеотлична от нуля ()и непрерывна в некоторой окрестноститочки.Тогда– точка экстремума;приэто точка минимума, а приэто точка максимума.

Алгоритм нахожденияэкстремумов функции с помощью первогодостаточного условия экстремума:

Найти производную.

Найти критические точки функции.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахожденияэкстремумов функции с помощью второгодостаточного условия экстремума:

Пример.Найти экстремумы функции.

Возрастание и убывание функции

функция y = f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х», а ≤ х выполняется неравенство f(x) ≤ f (x»), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) f(x»). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис., а) строго возрастает на отрезке , а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x), а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f«(x) была неотрицательной на [а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f«(x 0) > 0, то функция f(x) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969-1978.

Смотреть что такое «Возрастание и убывание функции» в других словарях:

Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, аЕстествознание. Энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Аристотель и перипатетики — Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней

— (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия

I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия

Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

1. Найти область определения функции

2.Найти производную функции

3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

4. Отметить критические точки на области определения

5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

6. Выяснить поведение функции в каждом интервале.

Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функцииf(x) = и число нулей данной функции на промежутке .

Решение:

1. D(f) = R

2. f«(x) =

D(f«) = D(f) = R

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f«(x) = 0.

x(x – 10) = 0

критические точки функции x = 0 и x = 10.

4. Определим знак производной.

f«(x) + – +

f(x) 0 10 x

в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; .

Определим знак значений функции на концах отрезка.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10)

Так как на отрезке функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.

Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; ;

на промежутке функция имеет один нуль функции.

2. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум.

Определение 1:Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.

Определение 2. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если значение функции в этой точке меньше (больше) ближайших значений функии.

Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.

На рис. 1. изображены локальные максимумы и минимумы.

Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.

Теорема 1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, .

Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции. Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной, которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной,являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная — окрестность: Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума, если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума, если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех Точка называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах: – значение называют максимумом функции; – значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО!Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: . При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Пример 1

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ: Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: . Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума: В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой: Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции. В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается…. Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Определениевозрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастаетна интервале X,если для любых и выполняетсянеравенство .Другими словами – большему значениюаргумента соответствует большее значениефункции.

Определениеубывающей функции.

Функция y=f(x) убываетна интервале X,если для любых и выполняетсянеравенство .Другими словами – большему значениюаргумента соответствует меньшее значениефункции.

ЗАМЕЧАНИЕ:если функция определена и непрерывнав концах интервала возрастания илиубывания (a;b),то есть при x=a и x=b,то эти точки включаются в промежутоквозрастания или убывания. Это непротиворечит определениям возрастающейи убывающей функции на промежутке X.

Кпримеру, из свойств основных элементарныхфункций мы знаем, что y=sinx определенаи непрерывна для всех действительныхзначений аргумента. Поэтому, из возрастанияфункции синуса на интервале мыможем утверждать о возрастании наотрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкоймаксимума функции y=f(x),если для всех x изее окрестности справедливо неравенство .Значение функции в точке максимуманазываютмаксимумомфункции иобозначают .

Точку называют точкойминимума функции y=f(x),если для всех x изее окрестности справедливо неравенство .Значение функции в точке минимуманазываютминимумомфункции иобозначают .

Подокрестностью точки понимаютинтервал ,где -достаточно малое положительное число.

Точкиминимума и максимума называют точкамиэкстремума,а значения функции, соответствующиеточкам экстремума, называют экстремумамифункции.

Непутайте экстремумы функции с наибольшими наименьшим значением функции.

Напервом рисунке наибольшее значениефункции на отрезке достигаетсяв точке максимума и равно максимумуфункции, а на втором рисунке – наибольшеезначение функции достигается в точке x=b,которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

Наосновании достаточных условий (признаков)возрастания и убывания функции находятсяпромежутки возрастания и убыванияфункции.

Вотформулировки признаков возрастания иубывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Такимобразом, чтобы определить промежуткивозрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотримпример нахождения промежутков возрастанияи убывания функции для разъясненияалгоритма.

Пример.

Найтипромежутки возрастания и убыванияфункции .

Решение.

Первымшагом является нахождениеобрасти определения функции. В нашемпримере выражение в знаменателе недолжно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходимк нахождению производной функции:

Дляопределения промежутков возрастанияи убывания функции по достаточномупризнаку решаем неравенства и наобласти определения. Воспользуемсяобобщением метода интервалов. Единственнымдействительным корнем числителяявляется x= 2,а знаменатель обращается в ноль при x=0.Эти точки разбивают область определенияна интервалы, в которых производнаяфункции сохраняет знак. Отметим этиточки на числовой прямой. Плюсами иминусами условно обозначим интервалы,на которых производная положительнаили отрицательна. Стрелочки снизусхематично показывают возрастание илиубывание функции на соответствующеминтервале.