На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков:
- если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
- если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
- найти область определения функции;
- найти производную функции;
- к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, 
.
Переходим к производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства 
и 
на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, 
и 
.
В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ: функция возрастает при 
, убывает на интервале (0; 2].
— Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума
Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 — ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.
f(x) f(x 0))
Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство
f(x)f(x 0)
то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.
Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.
Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 — ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.
Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным
Монотонность
Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов.
Выделяют следующие виды монотонности функций:
1) функция возрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
2) функция убывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
3) функция неубывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что ;
4) функция невозрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что .
2. Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».
3. Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.
4. Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе.
2. Четность/нечетность.
Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так 
. Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Примерами нечетных функций являются и др.
Например, график действительно обладает симметричностью относительно начала координат:
Функция называется четной, если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси .
Примерами четных функций являются и др.
К примеру, покажем симметричность графика относительно оси :
Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида. У таких функций нет симметрии.
Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция с графиком:
3. Особым свойством функций является периодичность.
Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы.
Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.
Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой .
Формульная запись этого выглядит следующим образом: 
.
Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:
Вспомним, что периодом функций и является , а периодом и – .
Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Ограниченность.
Функциюy=f(x)называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x)
Функциюy=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x)
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую у=а, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу.
Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.
Тема: Свойства функций: промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; точки экстремума (локального максимума и минимума), выпуклость функции.
Промежутки возрастания и убывания.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
· найти область определения функции;
· найти производную функции;
· решить неравенства и на области определения;
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Функция y = f (x) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f (x 2) > f (x 1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение 2
Функция y = f (x) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f (x 2) > f (x 1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание:Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a ; b) , где х = а, х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .
Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале — π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид — π 2 ; π 2 .
Определение 3
Точка х 0 называется точкой максимумадля функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≥ f (x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .
Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≤ f (x) является справедливым. Минимум функции– это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .
Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума,а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Определение 4
Пусть задана функция y = f (x) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что
- когда f » (x) > 0 с x ∈ (x 0 — ε ; x 0) и f » (x)
- когда f » (x) 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на — , значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на + , значит, точка называется минимумом.
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Пример 1
Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 (x + 1) 2 x — 2 .
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:
y » = 2 x + 1 2 x — 2 » = 2 · x + 1 2 » · (x — 2) — (x + 1) 2 · (x — 2) » (x — 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) » · (x — 2) — (x + 1) 2 · 1 (x — 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x — 2) — (x + 2) 2 (x — 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x — 5) (x — 2) 2
Отсюда видим, что нули функции – это х = — 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = — 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .
Получаем, что
y » (- 2) = 2 · (x + 1) · (x — 5) (x — 2) 2 x = — 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 — 5) (- 2 — 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал — ∞ ; — 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y » (0) = 2 · (0 + 1) · 0 — 5 0 — 2 2 = 2 · — 5 4 = — 5 2 0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х = — 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на — . По первому признаку имеем, что х = — 1 является точкой максимума, значит получаем
y m a x = y (- 1) = 2 · (x + 1) 2 x — 2 x = — 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 — 1 — 2 = 0
Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x — 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 — 2 = 24
Графическое изображение
Ответ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.
Пример 2
Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x — 8 .
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 , x
После чего необходимо найти производную:
y » = 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 » , x 0 y » = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0
Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y » x → 0 — 0 = lim y x → 0 — 0 — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 = — 1 2 · (0 — 0) 2 — 4 · (0 — 0) — 22 3 = — 22 3 lim y » x → 0 + 0 = lim y x → 0 — 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 — 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем
lim y x → 0 — 0 = lim x → 0 — 0 — 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 = = — 1 6 · (0 — 0) 3 — 2 · (0 — 0) 2 — 22 3 · (0 — 0) — 8 = — 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 — 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 — 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) — 8 = — 8 y (0) = 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 — 2 · 0 2 + 22 3 · 0 — 8 = — 8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x
1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 — 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 — 4 3 2 · 1 2 = 4 — 2 3 3 > 0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = — 6 , x = — 4 , x = — 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что
y » (- 6) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 6 = — 1 2 · — 6 2 — 4 · (- 6) — 22 3 = — 4 3 0 y » (- 1) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 1 = — 1 2 · (- 1) 2 — 4 · (- 1) — 22 3 = 23 6 0 y » (4) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 — 4 · 4 + 22 3 = — 2 3 0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x = — 4 — 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = — 4 + 2 3 3 , x = 4 — 2 3 3
Перейдем к вычислению минимумов:
y m i n = y — 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 + 2 3 3 = — 8 27 3
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 — 2 3 3 = 8 27 3
Графическое изображение
Ответ:
y m i n = y — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y (0) = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = — 8 27 3 y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 8 27 3
Если задана функция f » (x 0) = 0 , тогда при ее f «» (x 0) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f «» (x 0)
Пример 3
Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D (y) : x ≥ 0 x ≠ — 1 ⇔ x ≥ 0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y » = 8 x x + 1 » = 8 · x » · (x + 1) — x · (x + 1) » (x + 1) 2 = = 8 · 1 2 x · (x + 1) — x · 1 (x + 1) 2 = 4 · x + 1 — 2 x (x + 1) 2 · x = 4 · — x + 1 (x + 1) 2 · x
При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:
y «» = 4 · — x + 1 (x + 1) 2 · x » = = 4 · (- x + 1) » · (x + 1) 2 · x — (- x + 1) · x + 1 2 · x » (x + 1) 4 · x = = 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x — (- x + 1) · x + 1 2 » · x + (x + 1) 2 · x » (x + 1) 4 · x = = 4 · — (x + 1) 2 x — (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1) » x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x = = — (x + 1) 2 x — (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x = = 2 · 3 x 2 — 6 x — 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y «» (1) = 2 · 3 · 1 2 — 6 · 1 — 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 = 2 · — 4 8 = — 1
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .
Графическое изображение
Ответ: y m a x = y (1) = 4 ..
Определение 5
Функция y = f (x) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f » (x 0) = f «» (x 0) = f » » » (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f (n + 1) (x 0) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f (n + 1) (x 0)
Пример 4
Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 (x + 1) 3 (x — 3) 4 .
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y » = 1 16 x + 1 3 » (x — 3) 4 + (x + 1) 3 x — 3 4 » = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x — 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x — 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x — 3) 3 (3 x — 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x — 3) 3 (7 x — 5)
Данная производная обратится в ноль при x 1 = — 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y «» = 1 16 x + 1 2 (x — 3) 3 (7 x — 5) » = 1 8 (x + 1) (x — 3) 2 (21 x 2 — 30 x — 3) y «» (- 1) = 0 y «» 5 7 = — 36864 2401
Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f (n + 1) 5 7
Необходимо определить характер точек x 1 = — 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y » » » = 1 8 (x + 1) (x — 3) 2 (21 x 2 — 30 x — 3) » = = 1 8 (x — 3) (105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93) y » » » (- 1) = 96 ≠ 0 y » » » (3) = 0
Значит, x 1 = — 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y (4) = 1 8 (x — 3) (105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93) » = = 1 2 (105 x 3 — 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) (3) = 96 > 0
Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 — точкой минимума заданной функции.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Возрастание и убывание функции
функция y = f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х», а ≤ х выполняется неравенство f(x) ≤ f (x»), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) f(x»). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис., а) строго возрастает на отрезке , а
(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x), а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f«(x) была неотрицательной на [а, b].
Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f«(x 0) > 0, то функция f(x) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.
С. Б. Стечкин.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969-1978.
Смотреть что такое «Возрастание и убывание функции» в других словарях:
Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь
Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь
Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, аЕстествознание. Энциклопедический словарь
Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия
Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Аристотель и перипатетики — Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней
— (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия
I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия
Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия
Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.
Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.
Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.
Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.
Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.
Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.
Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.