Контакты
Главная / Плинтус

Что значит функция возрастает на промежутке. Возрастание и убывание функции

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;
  • найти производную функции;
  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .

- Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума



Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x 0)

то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

Монотонность

Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов.

Выделяют следующие виды монотонности функций:

1) функция возрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

2) функция убывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

3) функция неубывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что ;

4) функция невозрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что .

2. Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».

3. Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.

4. Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе.

2. Четность/нечетность.

Функция называется нечетной , если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетных функций являются и др.

Например, график действительно обладает симметричностью относительно начала координат:

Функция называется четной , если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси .

Примерами четных функций являются и др.

К примеру, покажем симметричность графика относительно оси :

Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида . У таких функций нет симметрии.

Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция с графиком:

3. Особым свойством функций является периодичность.

Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы.

Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.

Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой .

Формульная запись этого выглядит следующим образом: .

Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:

Вспомним, что периодом функций и является , а периодом и – .

Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Ограниченность.

Функцию y=f(x)называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Функцию y=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую у=а, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу.

Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.

Тема: Свойства функций: промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; точки экстремума (локального максимума и минимума), выпуклость функции.

Промежутки возрастания и убывания.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;

· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

· найти область определения функции;

· найти производную функции;

· решить неравенства и на области определения;

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Функция y = f (x) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f (x 2) > f (x 1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y = f (x) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f (x 2) > f (x 1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a ; b) , где х = а, х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале - π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид - π 2 ; π 2 .

Определение 3

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≥ f (x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≤ f (x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Определение 4

Пусть задана функция y = f (x) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

  • когда f " (x) > 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) < 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
  • когда f " (x) < 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) > 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на - , значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на + , значит, точка называется минимумом.

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 · x + 1 2 " · (x - 2) - (x + 1) 2 · (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) " · (x - 2) - (x + 1) 2 · 1 (x - 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = - 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = - 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

Получаем, что

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал - ∞ ; - 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2 < 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = - 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на - . По первому признаку имеем, что х = - 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y (- 1) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x > 0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3 < 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 > 0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6 < 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y " (4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3 < 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графическое изображение

Ответ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Если задана функция f " (x 0) = 0 , тогда при ее f "" (x 0) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f "" (x 0) < 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y " = 8 x x + 1 " = 8 · x " · (x + 1) - x · (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 · 1 2 x · (x + 1) - x · 1 (x + 1) 2 = 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y "" = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x " = = 4 · (- x + 1) " · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 " · x + (x + 1) 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y "" (1) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1 < 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y (1) = 4 ..

Определение 5

Функция y = f (x) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f (n + 1) (x 0) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f (n + 1) (x 0) < 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Данная производная обратится в ноль при x 1 = - 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401 < 0 y "" (3) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f (n + 1) 5 7 < 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = - 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Значит, x 1 = - 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) (3) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 - точкой минимума заданной функции.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Возрастание и убывание функции

функция y = f (x ) называется возрастающей на отрезке [a , b ], если для любой пары точек х и х" , а ≤ х выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x" ), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f (x ) f (x" ). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис. , а) строго возрастает на отрезке , а

(рис. , б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x ), а убывающие f (x )↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x ) была возрастающей на отрезке [а , b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f "(x ) была неотрицательной на [а , b ].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x ) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) ≤ f (x ), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f "(x 0) > 0, то функция f (x ) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x ) возрастает в каждой точке интервала (a , b ), то она возрастает на этом интервале.

С. Б. Стечкин.


Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Возрастание и убывание функции" в других словарях:

    Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

    Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

    Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Естествознание. Энциклопедический словарь

    Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

    Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

    Аристотель и перипатетики - Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней

    - (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия

    I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия

    Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.