Действия с матрицами. Решение матриц

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов: Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы.

Пример: Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Определение.Матрицей называется множество чисел,которое составляет прямоугольнуютаблицу, состоящее изmстрок иnстолбцов

короткоматрицу обозначают так:

гдеэлементыданной матрицы,i–номер строки,j– номерстолбца.

Если в матрицечисло строк равно числу столбцов (m=n), то матрицаназываетсяквадратнойn-гопорядка, а в противном случае –прямоугольной.

Если m=1иn >1, тополучаем однострочную матрицу

котораяназывается вектор-строкой, если,жеm>1 иn=1,то получаем одностолбцовую матрицу

котораяназывается вектор-столбцом.

Квадратнаяматрица, у которой все элементы, кромеэлементов главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.

Диагональнаяматрица, у которой элементы главнойдиагонали равны единице, называетсяединично,обозначаетсяE.

Матрица, полученнаяиз данной заменой ее строки столбцом стем же номером, называется транспонированнойк данной. Обозначается.

Две матрицыиравны, если равны между собой элементы,стоящие на одинаковых местах, то естьесли

привсех iиj(при этом число строк (столбцов) матрицAиBдолжно быть одинаковым).

1°.Суммой двух матрицA=(a ij)иB=(b ij)с одинаковым количествомmстрок иnстолбцовназывается матрицаC=(c ij),элементы которой определяются равенством

Суммуматриц обозначают C=A+B.

Пример.

2 0 . ПроизведениемматрицыA=(a ij) на числоλназывается матрица, у которой каждый элементравен произведению соответствующегоэлемента матрицыAна числоλ:

λA=λ(a ij)=(λa ij), (i=1,2…,m ; j=1,2…,n).

Пример.

3 0 . ПроизведениемматрицыA=(a ij),имеющейmстрок иkстолбцов, на матрицуB=(b ij),имеющейkстрокиnстолбцов, называетсяматрицаC=(c ij),имеющаяmстрок иnстолбцов, у которой элементc ij равен сумме произведений элементовi-ой строки матрицыAиj-гостолбца матрицыB, тоесть

При этом числостолбцов матрицы Aдолжно быть равно числу строк матрицыB. В противном случаепроизведение не определено. Произведениематриц обозначается A*B=C.

Пример.

Для произведенияматриц не выполняется равенство междуматрицами A*BиB*A,в общем случае одна из них может бытьне определена.

Умножение квадратнойматрицы любого порядка на соответствующуюединичную матрицу не меняет матрицу.

Пример.Пусть,,тогда согласно правилу умножения матрицимеем

,

откудазаключаем, что

Определители и их свойства.

Пусть дана квадратнаяматрица третьего порядка:

Определение.Определителем третьего порядка,соответствующим матрице (1), называетсячисло, обозначаемое символом

иопределяемое равенством

Чтобы запомнить,какие произведения в правой частиравенства (2) берутся со знаком «+»,а какие со знаком «-«, полезноиспользовать следующее правилотреугольников.

Пример.

Сформулируемосновные свойства для определителейтретьего порядка, хотя они присущиопределителям любого порядка.

1.Величина определителя не изменится,если его строки и столбцы поменятьместами, т. е.

2.Перестановка двух столбцов или двухстрок определителя равносильна умножениюего на -1.

3.Если определитель имеет два одинаковыхстолбца или две одинаковые строки, тоон равен нулю.

4.Умножение всех элементов одного столбцаили одной строки определителя на любоечислоλравносильно умножению определителя наэто числоλ.

5.Если все элементы некоторого столбцаили некоторой строки определителя равнынулю, то и сам определитель равен нулю.

6.Если элементы двух столбцов или двухстрок определителя пропорциональны,то определитель равен нулю.

7.Если каждый элементn-гостолбца (n-ой строки)определителя представляет собой суммудвух слагаемых, то определитель можетбыть представлен в виде суммы двухопределителей, из которых один вn-омстолбце (n-ойстроке) содержит первые из упомянутыхслагаемых, а другой — вторые; элементы,стоящие на остальных местах, у всех трехопределителей одни и те же.

Например,

8 0 . Если кэлементам некоторого столбца (строки)определителя прибавить соответствующиеэлементы другого столбца (строки),умноженные на любой общий множитель,то величина определителя не изменится.

Например,

Миноромнекоторого элемента определителяназывается определитель, получаемыйиз данного определителя вычеркиваниемстроки и столбца, на пересечении которыхрасположен этот элемент.

Например, миноромэлемента а 1 определителяΔявляется определитель 2-го порядка

Алгебраическимдополнением некоторого элементаопределителя называется минор этогоэлемента, умноженный на (-1) p ,гдер— сумма номеров строки и столбца,на пересечении которых расположен этотэлемент.

Если, например,элемент а 2 находятся напересечении 1-го столбца и 2-ой строки,то для негор=1+2=3 и алгебраическимдополнением является

9 0 . Определительравен сумме произведений элементовкакого–либо столбца или строки на ихалгебраические дополнения.

10 0 . Суммапроизведений элементов какого–либостолбца или какой–либо строкиопределителя на алгебраические дополнениясоответствующих элементов другогостолбца или другой строки равны нулю.

Возникаетвопрос, можно ли для квадратной матрицыАподобрать некоторую матрицу, такую чтоумножив на нее матрицу Аврезультате получить единичную матрицуЕ,такую матрицу называют обратной кматрице А.

Определение.Матрицаназывается обратной квадратной матрицеA, если.

Определение.Квадратная матрица называетсяневырожденной, если ее определительотличен от нуля. В противном случаеквадратная матрица называется вырожденной.

Всякая невырожденнаяматрица имеет обратную.

Элементарнымипреобразованиями матрицявляются:

перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

умножение всех элементов матрицы на число, отличное от нуля;

прибавление ко всем элементами ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрица В,полученная из матрицыАс помощьюэлементарных преобразований, называетсяэквивалентнойматрицей.

Для невырожденнойквадратной матрицы

третьегопорядка обратная матрица А -1 может быть вычислена по следующейформуле

здесьΔ — определитель матрицы А,A ij – алгебраические дополненияэлементовa ij матрицыА.

Элемент строкиматрицы называется крайним,если он отличен от нуля, а все элементыстроки, находящиеся левее него, равнынулю. Матрица называетсяступенчатой,если крайний элемент каждой строкинаходится правее крайнего элементапредыдущей строки. Например:

Не ступенчатая;- ступенчатая.

Сложениематриц:

Вычитаниеи сложение матрицсводится к соответствующим операциямнад их элементами. Операциясложения матрицвводится только для матрицодинакового размера, т. е. для матриц,у которых число строк и столбцовсоответственно равно. Суммойматриц А и В, называетсяматрицаС, элементы которой равны суммесоответствующих элементов.С = А + Вc ij= a ij+ b ijАналогичноопределяется разностьматриц.

Умножениематрицы на число:

Операцияумножения (деления) матрицылюбого размера на произвольное числосводится к умножению (делению) каждогоэлемента матрицына это число. Произведениемматрицы А на число kназывается матрицаВ, такая что

b ij= k × a ij .В= k × Ab ij= k × a ij .Матрица— А = (-1) × А называется противоположнойматрицеА.

Свойствасложения матриц и умножения матрицы начисло:

Операциисложения матриц иумножения матрицына число обладают следующими свойствами:1.А + В = В + А;2. А + (В + С) = (А + В) + С;3. А +0 = А;4. А — А = 0;5. 1 × А = А;6. α × (А + В)= αА + αВ;7. (α + β) × А = αА + βА;8. α × (βА)= (αβ) × А;, где А, В и С — матрицы, α и β -числа.

Умножениематриц (Произведение матриц):

Операцияумножения двух матрицвводится только для случая, когда числостолбцов первой матрицыравно числу строк второй матрицы.Произведением матрицыА m×nна матрицуВ n×p ,называется матрицаС m×pтакая, чтос ik= a i1× b 1k+ a i2× b 2k+ … + a in× b nk ,т.е. находиться сумма произведенийэлементов i — ой строки матрицыА на соответствующие элементы j — огостолбца матрицыВ. Если матрицыА и В квадратные одного размера, топроизведения АВ и ВА всегда существуют.Легко показать, что А × Е = Е × А = А, гдеА квадратная матрица,Е — единичная матрицатого же размера.

Свойстваумножения матриц:

Умножениематриц не коммутативно,т.е. АВ ≠ ВА даже если определены обапроизведения. Однако, если для каких -либо матрицсоотношение АВ=ВА выполняется, то такиематрицыназываются перестановочными. Самымхарактерным примером может служитьединичная матрица,которая является перестановочной слюбой другой матрицейтого же размера. Перестановочными могутбыть только квадратные матрицыодного и того же порядка.А × Е = Е × А= А

Умножениематриц обладаетследующими свойствами:1. А × (В × С) =(А × В) × С;2. А × (В + С) = АВ + АС;3. (А + В)× С = АС + ВС;4. α × (АВ) = (αА) × В;5. А × 0= 0; 0 × А = 0;6. (АВ) Т= В Т А Т;7.(АВС) Т= С Т В Т А Т;8.(А + В) Т= А Т+ В Т;

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определителемматрицы второгопорядка, или определителемвторого порядка, называется число,которое вычисляется по формуле:

Определителемматрицы третьегопорядка, или определителемтретьего порядка, называется число,которое вычисляется по формуле:

Эточисло представляет алгебраическуюсумму, состоящую из шести слагаемых. Вкаждое слагаемое входит ровно по одномуэлементу из каждой строки и каждогостолбца матрицы.Каждое слагаемое состоит из произведениятрех сомножителей.

Знаки,с которыми члены определителяматрицы входят вформулу нахожденияопределителя матрицытретьего порядка можно определить,пользуясь приведенной схемой, котораяназывается правилом треугольников илиправилом Сарруса. Первые три слагаемыеберутся со знаком плюс и определяютсяиз левого рисунка, а последующие трислагаемые берутся со знаком минус иопределяются из правого рисунка.

Определитьколичество слагаемых, для нахожденияопределителя матрицы,в алгебраической сумме, можно вычисливфакториал:2! = 1 × 2 = 23! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойстваопределителей матриц

Свойстваопределителей матриц:

Свойство№ 1:

Определительматрицыне изменится, если его строки заменитьстолбцами, причем каждую строку столбцомс тем же номером, и наоборот(Транспонирование).|А|= |А| Т

Следствие:

Столбцыи строки определителяматрицы равноправны,следовательно, свойства присущие строкамвыполняются и для столбцов.

Свойство№ 2:

Приперестановке 2-х строк или столбцовопределитель матрицыизменит знак на противоположный, сохраняяабсолютную величину, т.е.:

Свойство№ 3:

Определительматрицы, имеющий два одинаковых ряда,равен нулю.

Свойство№ 4:

Общиймножитель элементов какого-либо рядаопределителя матрицыможно вынести за знак определителя.

Следствияиз свойств № 3 и № 4:

Есливсе элементы некоторого ряда (строкиили столбца) пропорциональны соответствующимэлементам параллельного ряда, то такойопределитель матрицыравен нулю.

Свойство№ 5:

определителяматрицы равны нулю,то сам определительматрицы равен нулю.

Свойство№ 6:

Есливсе элементы какой–либо строки илистолбца определителяпредставлены в виде суммы 2-х слагаемых,то определительматрицыможно представить в виде суммы 2-хопределителейпо формуле:

Свойство№ 7:

Еслик какой–либо строке (или столбцу)определителяприбавить соответствующие элементыдругой строки (или столбца), умноженныена одно и тоже число, то определительматрицы неизменит своей величины.

Примерприменения свойств для вычисленияопределителя матрицы:

Сложение матриц$ A $ и $ B $ это арифметическая операция, в результате которой, должна получаться матрица $ C $, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

$$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:

$$ A + B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} + begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} end{pmatrix} = C $$

Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!

В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.

Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы $ C $ получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц $ A $ и $ B $:

$$ c_{ij} = a_{ij} — b_{ij} $$

Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:

$$ A — B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} — begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} a_{11} — b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} end{pmatrix} = C $$

Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами

Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).

Свойства

1. Если матрицы $ A,B,C $ одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая $ O $, при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется: $$ A pm O = A $$
3. Для каждой ненулевой матрицы $ A $ есть противоположная матрица $ (-A) $ сумма с которой обращается в нуль: $$ A + (-A) = 0 $$
4. При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы $ A $ и $ B $ можно менять местами: $$ A + B = B + A $$ $$ A — B = B — A $$

Примеры решений

Пример 1

Даны матрицы $ A = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} $ и $ B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} $.

Выполнить сложение матриц, а затем вычитание.

Решение

Первым делом проверяем матрицы на размерность. У матрицы $ A $ размерность $ 2 times 2 $, у второй матрицы $ B $ размерность тоже $ 2 times 2 $. Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию.

Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц $ A text{ и } B $.

$$ A + B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 + (-3) \ -1 + 2 & 4 + 5 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 9 end{pmatrix} $$

Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака «плюс» на «минус»:

$$ A — B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} 2 — 1 & 3 — (-3) \ -1 — 2 & 4 — 5 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 6 \ -3 & -1 end{pmatrix} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ A + B = begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 9 end{pmatrix}; A — B = begin{pmatrix} 1 & 6 \ -3 & -1 end{pmatrix} $$

В статье: «Сложение и вычитание матриц» были даны определения, правила, замечания, свойства операций и практические примеры решения.

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=left[ mtimes n right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=left[ 3times 2 right]$ и $B=left[ 2times 5 right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=left[ 2times 5 right]$ и $A=left[ 3times 2 right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $left[ ntimes n right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $left(1;0 right)$ и $left(0;1 right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $left(A;B right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$. И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$ — это новая матрица $C=left[ mtimes k right]$, элементы которой считаются по формуле:

[begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}cdot {{b}_{2;j}}+ldots +{{a}_{i;n}}cdot {{b}_{n;j}}= \ & =sumlimits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}cdot {{b}_{t;j}}} end{align}]

Обозначается такое произведение стандартно: $C=Acdot B$.

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

1. Что это за лютая дичь?
2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

1. Берём $i$-ю строку в первой матрице;
2. Берём $j$-й столбец во второй матрице;
3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Схема перемножения двух матриц

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1le ile m$ и $1le jle k$. Т.е. всего будет $mtimes k$ таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

[begin{align} & vec{a}=left({{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} right); \ & overrightarrow{b}=left({{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} right). \ end{align}]

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

[overrightarrow{a}times overrightarrow{b}={{x}_{a}}cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}cdot {{z}_{b}}]

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $overrightarrow{b}$.

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=left[ 2times 2 right]$ и $B=left[ 2times 2 right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

[begin{align} & left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot left(-2 right)+2cdot 3 & 1cdot 4+2cdot 1 \ -3cdot left(-2 right)+4cdot 3 & -3cdot 4+4cdot 1 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]. end{align}]

Вот и всё!

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

[left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 2 & 6 \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \ -3 & -2 \end{array} right]]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:[]

[begin{align} & left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 2 & 6 \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \ -3 & -2 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot 9+3cdot left(-3 right) & 1cdot 6+3cdot left(-2 right) \ 2cdot 9+6cdot left(-3 right) & 2cdot 6+6cdot left(-2 right) \end{array} right]= \ & =left[ begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{matrix} right]. end{align}]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $left[ begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{matrix} right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

1. Некоммутативно: $Acdot Bne Bcdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $Acdot B=Bcdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
2. Ассоциативно: $left(Acdot B right)cdot C=Acdot left(Bcdot C right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
3. Дистрибутивно: $Acdot left(B+C right)=Acdot B+Acdot C$ и $left(A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]]

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]=left[ begin{matrix} -14 & 4 \ 0 & 10 \end{matrix} right]]

Получается, что $Acdot Bne Bcdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $left[ 2times 3 right]$ и $left[ 3times 5 right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $left[ 3times 5 right]$ и $left[ 2times 3 right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

[left(Acdot B right)cdot C=Acdot left(Bcdot C right)]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $left[ ntimes n right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=left[ ntimes n right]$ и означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=left[ ntimes n right]$ выполняется равенство:

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

[begin{align} & Acdot left(B+C right)=Acdot B+Acdot C; \ & left(A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C. \ end{align}]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

[left[ begin{matrix} begin{matrix} 5 \ 2 \ 3 \end{matrix} & begin{matrix} 4 \ 5 \ 1 \end{matrix} \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \ 3 & 4 \end{array} right]]

Решение. Имеем две матрицы: $A=left[ 3times 2 right]$ и $B=left[ 2times 2 right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=left[ 3times 2 right]$:

[begin{align} & left[ begin{matrix} begin{matrix} 5 \ 2 \ 3 \end{matrix} & begin{matrix} 4 \ 5 \ 1 \end{matrix} \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \ 3 & 4 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 5cdot left(-2 right)+4cdot 3 & 5cdot 5+4cdot 4 \ 2cdot left(-2 right)+5cdot 3 & 2cdot 5+5cdot 4 \ 3cdot left(-2 right)+1cdot 3 & 3cdot 5+1cdot 4 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \ 11 & 30 \ -3 & 19 \end{array} right]. end{align}]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=left[ 3times 2 right]$.

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}} begin{array}{*{35}{r}} 2 \ 11 \ -3 \end{array} & begin{matrix} 41 \ 30 \ 19 \end{matrix} \end{array} right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

\]; $B=left[ begin{matrix} begin{matrix} 0 \ 2 \ 0 \ 4 \end{matrix} & begin{matrix} 1 \ 0 \ 3 \ 0 \end{matrix} \end{matrix} right]$; $C=left[ begin{matrix}0 & 1 \ 1 & 0 \end{matrix} right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

; B=left[ 4times 2 right]; C=left[ 2times 2 right]]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

\cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \ 2 & 0 \ 0 & 3 \ 4 & 0 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \ 10 & 7 \end{array} right]]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

\cdot left[ 4times 2 right]=left[ 2times 2 right]]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $Bcdot A$, поскольку $B=left[ 4times 2 right]$, $A=left[ 2times 4 right]$, поэтому упорядоченная пара $left(B;A right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

\cdot left[ 2times 4 right]=left[ 4times 4 right]]

Короче говоря, на выходе будет матрица $left[ 4times 4 right]$, коэффициенты которой легко считаются:

\cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \ 2 & -2 & 4 & -4 \ 3 & 3 & 6 & 6 \ 4 & -4 & 8 & -8 \end{array} right]]

Очевидно, можно согласовать ещё $Ccdot A$ и $Bcdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

Это было легко.:)

Ответ: $AB=left[ begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \ 10 & 7 \end{array} right]$; $BA=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \ 2 & -2 & 4 & -4 \ 3 & 3 & 6 & 6 \ 4 & -4 & 8 & -8 \end{array} right]$; $CA=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \ 1 & -1 & 2 & -2 \end{array} right]$; $BC=left[ begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \ 0 & 2 \ 3 & 0 \ 0 & 4 \end{array} right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $left[ mtimes 1 right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера $left[ 1times n right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $overrightarrow{a}=left(x;y;z right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \ 4 & 2 & 0 \ -1 & 1 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 \ 2 \ -1 \end{array} right]]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $left[ 3times 3 right]cdot left[ 3times 1 right]=left[ 3times 1 right]$. Найдём это произведение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \ 4 & 2 & 0 \ -1 & 1 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 \ 2 \ -1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2cdot 1+left(-1 right)cdot 2+3cdot left(-1 right) \ 4cdot 1+2cdot 2+0cdot 2 \ -1cdot 1+1cdot 2+1cdot left(-1 right) \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} -3 \ 8 \ 0 \end{array} right]]

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}}-3 \ 8 \ 0 \end{array} right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 3 \ 2 & 6 & 0 \end{array} right]]

Решение. Опять всё согласовано: $left[ 1times 3 right]cdot left[ 3times 3 right]=left[ 1times 3 right]$. Считаем произведение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 3 \ 2 & 6 & 0 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \end{array} right]]

Ответ: $left[ begin{matrix} 5 & -19 & 5 \end{matrix} right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\cdot left[ ntimes n right]=left[ ntimes n right]]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

[begin{align} & Acdot A={{A}^{2}}; \ & Acdot Acdot A={{A}^{3}}; \ & underbrace{Acdot Acdot ldots cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \ end{align}]

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

${{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{2}}=left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot 1+1cdot 0 & 1cdot 1+1cdot 1 \ 0cdot 1+1cdot 0 & 0cdot 1+1cdot 1 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{array} right] end{align}]

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}={{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{array} right] end{align}]

Вот и всё.:)

Ответ: $left[ begin{matrix}1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

[{{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{10}}]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{10}}={{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left(left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right] right)cdot left(left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right] right)= \ & =left[ begin{matrix} 1 & 6 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{matrix} 1 & 10 \ 0 & 1 \end{matrix} right] end{align}]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $left[ begin{matrix} 1 & 10 \ 0 & 1 \end{matrix} right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

[{{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{n}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \ 0 & 1 \end{array} right]]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $left[ 3times 3 right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

[{{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

[{{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}={{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{2}}cdot left[ begin{matrix}0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{2}}=left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{array} right] end{align}]

Теперь возведём в куб:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{array} right]cdot left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \ 3 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 2 \end{array} right] end{align}]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $left[ begin{matrix} 2 & 3 & 3 \ 3 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 2 \end{matrix} right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.