Достаточные признаки возрастания и убывания функции. Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Функция называетсявозрастающей на интервале
, если для любых точек

выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Аналогично, функция
называетсяубывающей на интервале
, если для любых точек
из этого интервала при выполнении условия
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале
и убывающие на интервале
функции называютсямонотонными на интервале
.

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции).
функции
положительна на интервале
, то функция
монотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале
функции
отрицательна на интервале
, то функция
монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью
тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см.рис. 1).

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция
дифференцируема и
(
) на интервале
, то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции
:


Пример. Найти интервалы монотонности функции
.

Точка называетсяточкой максимума функции

такое, что для всех, удовлетворяющих условию
, выполнено неравенство
.

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 2 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках
.

Точка называетсяточкой минимума функции
, если существует некоторое число
такое, что для всех, удовлетворяющих условию
, выполнено неравенство
. Нарис. 2 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы . Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума .

Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция
имеет экстремум. Тогда либо
не существует, либо
.

Те точки из области определения функции, в которых
не существует или в которых
, называютсякритическими точками функции .

Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим
. Имеем
, но точка
не является точкой экстремума (см.рис 3).

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке функция
непрерывна, а производная
при переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции
равна нулю (
), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля (
) и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда– точка экстремума
; при
это точка минимума, а при
это точка максимума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:

    Найти производную.

    Найти критические точки функции.

    Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

    Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:


Пример. Найти экстремумы функции
.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;
  • найти производную функции;
  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .

- Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума



Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x 0)

то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

1. Найти область определения функции

2.Найти производную функции

3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

4. Отметить критические точки на области определения

5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

6. Выяснить поведение функции в каждом интервале.

Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) = и число нулей данной функции на промежутке .

Решение:

1. D(f ) = R

2. f "(x ) =

D(f ") = D(f ) = R

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f "(x ) = 0.

x (x – 10) = 0

критические точки функции x = 0 и x = 10.

4. Определим знак производной.

f "(x ) + – +


f (x ) 0 10 x

в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f (x ) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; .

Определим знак значений функции на концах отрезка.

f (0) = 3, f (0) > 0

f (10) = , f (10) < 0.

Так как на отрезке функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.

Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; ;

на промежутке функция имеет один нуль функции.

2. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум .

Определение 1: Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.

Определение 2 . Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если значение функции в этой точке меньше (больше) ближайших значений функии.

Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.

На рис. 1. изображены локальные максимумы и минимумы.

Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.

Теорема 1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, .

Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f"(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f"(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:

\ \, если для любой пары точек х и х" , а ≤ х выполняется неравенство f (x ) f (x" ), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f (x ) f (x" ). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис. , а) строго возрастает на отрезке , а

(рис. , б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x ), а убывающие f (x )↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x ) была возрастающей на отрезке [а , b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f "(x ) была неотрицательной на [а , b ].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x ) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) f (x ), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f "(x 0) > 0, то функция f (x ) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x ) возрастает в каждой точке интервала (a , b ), то она возрастает на этом интервале.

С. Б. Стечкин.


Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Возрастание и убывание функции" в других словарях:

    Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

    Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

    Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Естествознание. Энциклопедический словарь

    Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

    Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

    Аристотель и перипатетики - Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней

    - (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия

    I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия

    Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия