Αριθμοί. Ακέραιοι

"Τετραγωνική συνάρτηση" - Ιδιότητες: -Διαστήματα μονοτονίας για ένα > 0 για ένα< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение τετραγωνική λειτουργία 2 Ιδιότητες συνάρτησης 3 Γραφήματα συνάρτησης 4 Τετραγωνικές ανισώσεις 5 Συμπέρασμα. Οι τετραγωνικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται εδώ και πολλά χρόνια.

"Βαθμός συνάρτησης ισχύος 9" - Είμαστε εξοικειωμένοι με τις συναρτήσεις. Λειτουργία ισχύος. U. 0. Δάσκαλος 9ης τάξης Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Ο δείκτης είναι ένας άρτιος φυσικός αριθμός (2n). Υ = x. Παραβολή. Κυβική παραβολή. Η συνάρτηση y=x2n είναι άρτια, γιατί (–x)2n = x2n.

«Τετραγωνική συνάρτηση 8ης τάξης» - 1) Κατασκευάστε την κορυφή μιας παραβολής. -1. Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. 2) Κατασκευάστε τον άξονα συμμετρίας x=-1. y. Άλγεβρα 8ης τάξης Δάσκαλος 496 Σχολείο Bovina T.V Γραφική παράσταση τετραγωνικής συνάρτησης. Χ. -7. Σχέδιο κατασκευής.

“Γράφημα της συνάρτησης Y X” - Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x2 + n είναι παραβολή με την κορυφή στο σημείο (0; n). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=(x - m)2 είναι παραβολή με την κορυφή της στο σημείο (m; 0). Για να δείτε τα γραφήματα, κάντε κλικ με το ποντίκι. Η σελίδα εμφανίζεται με κλικ. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=(x - m)2 + n είναι παραβολή με την κορυφή της στο σημείο (m; n).

"Φυσικός λογάριθμος" - 0,1. "Λογαριθμικά βελάκια" 0,04. 121. Φυσικοί λογάριθμοι. 7. 4.

«Η τετραγωνική συνάρτηση και το γράφημα της» - Συγγραφέας: Ilya Granov. Επίλυση προβλημάτων: Λύση.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-ανήκει. 4. Είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=4x σημείο: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4); Όταν a=1, ο τύπος y=ax παίρνει τη μορφή.

Υπάρχουν συνολικά 25 παρουσιάσεις στο θέμα

ΜΠΟΥ Λύκειο Αρ. 000

Δοκίμιο για τα μαθηματικά με θέμα

"Ακέραιοι"

Ολοκληρώθηκε το:

Μαθητής Ε' τάξης

Μορόζοφ Βάνια

Τετραγωνισμένος:

καθηγητής μαθηματικών

Νοβοσιμπίρσκ, 2012

Εισαγωγή – 3

Γιατί χρειαζόμαστε φυσικούς αριθμούς - 4

Τύποι φυσικών αριθμών - 5

Συμπέρασμα - 6

Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία – 7

Εισαγωγή

Στις μέρες μας οι άνθρωποι δεν μπορούν να κάνουν χωρίς αριθμούς. Οι αριθμοί μας περιβάλλουν παντού, τους συναντάμε κάθε λεπτό της ζωής μας. Από την τεράστια ποικιλία αριθμών, η πιο απλή ομάδα είναι ακέραιοι αριθμοί, με το οποίο ξεκινάμε την καταμέτρησή μας.

Στόχος: μάθετε σε ποιους τύπους μπορούν να χωριστούν οι φυσικοί αριθμοί.

Γιατί χρειαζόμαστε φυσικούς αριθμούς;

Οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων. Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας δέκα ψηφία: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Οι αριθμοί είναι τα «δομικά στοιχεία» στην κατασκευή αριθμών. Ένα ή περισσότερα ψηφία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εγγραφή ενός αριθμού. Αυτή η σημείωση αριθμών ονομάζεται δεκαδικός επειδή χρησιμοποιούνται μόνο 10 διαφορετικά ψηφία.

Η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται φυσικό δίπλα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Φυσική σειράείναι άπειρο, έχει αρχή, αλλά δεν έχει τέλος, δηλαδή δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός, μπορείς πάντα να βρεις έναν φυσικό αριθμό που θα είναι μεγαλύτερος.

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι ένας (1), και το καθένα επόμενος αριθμός 1 περισσότερο από το προηγούμενο.

Η σημασία ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στην εγγραφή αριθμών. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 σημαίνει: 4 μονάδες, αν βρίσκεται στην τελευταία θέση της εγγραφής αριθμών (στη θέση των μονάδων): 4 δεκάδες, αν είναι στην προτελευταία θέση (στη θέση των δεκάδων), 4 εκατοντάδες, αν είναι στην τρίτη θέση από το τέλος (στη θέση εκατοντάδων).

Ο αριθμός 0 σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μονάδες αυτού του ψηφίου στον δεκαδικό συμβολισμό του αριθμού. Χρησιμεύει επίσης για τον προσδιορισμό του αριθμού "μηδέν". Αυτός ο αριθμός σημαίνει "κανένας". Σκορ 0:3 ποδοσφαιρικό αγώναδείχνει ότι η πρώτη ομάδα δεν σημείωσε ούτε ένα γκολ εναντίον του αντιπάλου.

Πρέπει να θυμάστε ότι το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι το μηδέν από μόνο του δεν είναι φυσικός αριθμός, αλλά χρησιμοποιείται συχνά για να γράψει φυσικούς αριθμούς για να δείξει ότι ο αριθμός δεν περιέχει μονάδες, δεκάδες ή εκατοντάδες...

Τύποι φυσικών αριθμών.

Αν η καταγραφή ενός φυσικού αριθμού αποτελείται από ένα σύμβολο - ένα ψηφίο, τότε καλείται ξεκάθαρος. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1, 5, 8 είναι μονοψήφιοι.

Εάν ένας αριθμός αποτελείται από δύο χαρακτήρες - δύο ψηφία, τότε καλείται διπλό ψηφίο. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 14, 33, 28, 95 είναι διψήφιοι αριθμοί.

Επίσης, με βάση τον αριθμό των χαρακτήρων σε έναν δεδομένο αριθμό, δίνουν ονόματα σε άλλους αριθμούς: αριθμοί 386, 555, 951 - τριψήφιο; αριθμοί 1346, 5787, 9999 - τετραψήφιοκαι τα λοιπά.

Καλούνται οι διψήφιοι, τριψήφιοι, τετραψήφιοι, πενταψήφιοι κ.λπ πολυσηματικά. Για ευκολία αντίληψης και ανάγνωσης πολυψήφιους αριθμούςχωρίζονται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία (η πιο αριστερή ομάδα μπορεί να αποτελείται από ένα ή δύο ψηφία). Για παράδειγμα: , 1.250.

Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις. Τα τρία πρώτα ψηφία στα δεξιά αποτελούν την κατηγορία των μονάδων, τα επόμενα τρία είναι η τάξη των χιλιάδων, μετά έρχονται οι κατηγορίες των εκατομμυρίων, των δισεκατομμυρίων κ.λπ.

Χίλια είναι χίλιες μονάδες (1.000). Καταγράφεται ως 1.000 ή 1.000.

Ένα εκατομμύριο είναι χίλιες χιλιάδες (1000 χιλιάδες). Είναι γραμμένο: 1 εκατομμύριο ή 1

Ένα δισεκατομμύριο είναι χίλια εκατομμύρια (1000 εκατομμύρια). Είναι γραμμένο: 1 δισ. ή 1.000.

Σκεφτείτε τον αριθμό

Αυτός ο αριθμός έχει 286 μονάδες στην κατηγορία μονάδων, n μονάδες στην κατηγορία εκατομμυρίων και 15 μονάδες στην κατηγορία δισεκατομμυρίων.

Δεν προφέρουν το όνομα της κλάσης των μονάδων, καθώς και το όνομα μιας τάξης της οποίας τα τρία ψηφία είναι όλα μηδενικά.

15 δισεκατομμύρια 389 εκατομμύρια 286. (οι χιλιάδες είναι μηδέν, άρα δεν τις προφέρουμε).

Συμπέρασμα.

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε διάφορους τύπους. Και όταν διαβάζετε φυσικούς αριθμούς, πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

2. http://www. *****/lessons/5/1.html

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον ορισμό των φυσικών αριθμών:

• μέτρηση (αρίθμηση)αντικείμενα ( πρώτα, δεύτερος, τρίτος, τέταρτος, πέμπτος…);
• Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που προκύπτουν όταν προσδιορισμός ποσότηταςαντικείμενα ( 0 στοιχεία, 1 στοιχείο, 2 είδη, 3 στοιχεία, 4 είδη, 5 είδη…).

Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά των φυσικών αριθμών ξεκινά με ένα, στη δεύτερη - με μηδέν. Δεν υπάρχει συναίνεση μεταξύ των περισσότερων μαθηματικών για το εάν η πρώτη ή η δεύτερη προσέγγιση είναι προτιμότερη (δηλαδή αν το μηδέν πρέπει να θεωρείται φυσικός αριθμός ή όχι). Η συντριπτική πλειοψηφία των ρωσικών πηγών υιοθετεί παραδοσιακά την πρώτη προσέγγιση. Η δεύτερη προσέγγιση γίνεται, για παράδειγμα, στα έργα του Nicolas Bourbaki, όπου οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται ως καρδιαλότητες πεπερασμένων συνόλων.

Το θεμελιώδες γεγονός είναι ότι αυτά τα αξιώματα ουσιαστικά ορίζουν μοναδικά τους φυσικούς αριθμούς (η κατηγορική φύση του συστήματος αξιωμάτων Peano). Δηλαδή, μπορεί να αποδειχθεί (βλ., καθώς και μια σύντομη απόδειξη) ότι αν (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))Και (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- δύο μοντέλα για το αξιωματικό σύστημα Peano, τότε είναι απαραίτητα ισομορφικά, δηλαδή υπάρχει μια αντιστρέψιμη χαρτογράφηση (bijection) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N))))τέτοια που f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))Και f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))για όλα x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Επομένως, αρκεί να διορθώσουμε ως οποιοδήποτε συγκεκριμένο μοντέλο του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Το μηδέν ως φυσικός αριθμός

Μερικές φορές, ειδικά στην ξένη και μεταφρασμένη λογοτεχνία, στο πρώτο και τρίτο αξίωμα Peano το ένα αντικαθίσταται από το μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, το μηδέν θεωρείται φυσικός αριθμός. Όταν ορίζεται μέσω κλάσεων ίσων συνόλων, το μηδέν είναι ένας φυσικός αριθμός εξ ορισμού. Θα ήταν αφύσικο να το απορρίψουμε εσκεμμένα. Επιπλέον, αυτό θα περιέπλεκε σημαντικά την περαιτέρω κατασκευή και εφαρμογή της θεωρίας, αφού στις περισσότερες κατασκευές το μηδέν, όπως και το κενό σύνολο, δεν είναι κάτι ξεχωριστό. Ένα άλλο πλεονέκτημα της αντιμετώπισης του μηδενός ως φυσικού αριθμού είναι ότι N (\displaystyle \mathbb (N) )σχηματίζει ένα μονοειδές.

Στη ρωσική βιβλιογραφία, το μηδέν συνήθως εξαιρείται από τη λίστα των φυσικών αριθμών ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), και το σύνολο των φυσικών αριθμών με το μηδέν συμβολίζεται ως N 0 (\displaystyle \mathbb (N)_(0)). Εάν το μηδέν περιλαμβάνεται στον ορισμό των φυσικών αριθμών, τότε το σύνολο των φυσικών αριθμών γράφεται ως N (\displaystyle \mathbb (N) ), και χωρίς μηδενικά N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

Στη διεθνή μαθηματική βιβλιογραφία, λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και προς αποφυγή αμφισημιών, υπάρχουν πολλές ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \))συνήθως ονομάζεται το σύνολο των θετικών ακεραίων και συμβολίζεται Z + (\displaystyle \mathbb (Z)_(+)). Ενα μάτσο ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \))ονομάζεται συχνά το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων και δηλώνει Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z)_(\geqslant 0)).

Έτσι, οι φυσικοί αριθμοί εισάγονται επίσης με βάση την έννοια του συνόλου, σύμφωνα με δύο κανόνες:

Οι αριθμοί που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται τακτικοί.

Ας περιγράψουμε τους πρώτους τακτικούς αριθμούς και τους αντίστοιχους φυσικούς αριθμούς:

Μέγεθος του συνόλου των φυσικών αριθμών

Το μέγεθος ενός άπειρου συνόλου χαρακτηρίζεται από την έννοια «πρωταρότητα ενός συνόλου», η οποία είναι μια γενίκευση του αριθμού των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου σε άπειρα σύνολα. Σε μέγεθος (δηλαδή, η καρδινάτητα), το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο, αλλά μικρότερο από οποιοδήποτε διάστημα, για παράδειγμα, το διάστημα (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει την ίδια καρδινάτητα με το σύνολο των ρητών αριθμών. Ένα σύνολο με την ίδια καρδινάτητα με το σύνολο των φυσικών αριθμών ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο. Έτσι, το σύνολο των όρων οποιασδήποτε ακολουθίας είναι μετρήσιμο. Ταυτόχρονα, υπάρχει μια ακολουθία στην οποία κάθε φυσικός αριθμός εμφανίζεται άπειρες φορές, αφού το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια αριθμήσιμη ένωση ασυνάρτητων αριθμήσιμων συνόλων (για παράδειγμα, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Πράξεις σε φυσικούς αριθμούς

Οι κλειστές πράξεις (πράξεις που δεν προκύπτουν αποτέλεσμα από το σύνολο των φυσικών αριθμών) σε φυσικούς αριθμούς περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αριθμητικές πράξεις:

Επιπλέον, εξετάζονται δύο ακόμη πράξεις (από τυπική άποψη, δεν είναι πράξεις σε φυσικούς αριθμούς, καθώς δεν ορίζονται για Ολοιζεύγη αριθμών (άλλες φορές υπάρχουν, μερικές φορές όχι)):

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού είναι θεμελιώδεις. Συγκεκριμένα, ο δακτύλιος των ακεραίων ορίζεται ακριβώς μέσω των δυαδικών πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

Βασικές ιδιότητες

• Ανταλλαγή της πρόσθεσης:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• Συσχετισμός προσθήκης:

(a + b) + c = a + (b + c) (\style display (a+b)+c=a+(b+c)).

• Συσχετισμός πολλαπλασιασμού:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\style display (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end (περιπτώσεις))).

Αλγεβρική δομή

Η πρόσθεση μετατρέπει το σύνολο των φυσικών αριθμών σε ημιομάδα με μονάδα, τον ρόλο της μονάδας παίζει 0 . Ο πολλαπλασιασμός μετατρέπει επίσης το σύνολο των φυσικών αριθμών σε μια ημιομάδα με ταυτότητα, με το στοιχείο ταυτότητας να είναι 1 . Χρησιμοποιώντας κλεισίματα σε σχέση με τις πράξεις πρόσθεση-αφαίρεση και πολλαπλασιασμό-διαίρεση, λαμβάνονται ομάδες ακεραίων αριθμών Z (\displaystyle \mathbb (Z) )και ορθολογικό θετικούς αριθμούς Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))αντίστοιχα.

Ορισμοί θεωρητικών συνόλων

Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό των φυσικών αριθμών ως τάξεις ισοδυναμίας πεπερασμένων συνόλων. Αν συμβολίσουμε την κλάση ισοδυναμίας ενός συνόλου ΕΝΑ, που δημιουργείται από διοχετεύσεις, χρησιμοποιώντας αγκύλες: [ ΕΝΑ], οι βασικές αριθμητικές πράξεις ορίζονται ως εξής:

Μπορεί να φανεί ότι οι προκύπτουσες πράξεις στις κλάσεις εισάγονται σωστά, δηλαδή δεν εξαρτώνται από την επιλογή των στοιχείων κλάσης και συμπίπτουν με επαγωγικούς ορισμούς.

δείτε επίσης

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Vygodsky M. Ya.Εγχειρίδιο Μαθηματικών Δημοτικού. - Μ.: Nauka, 1978.
  • Ανατύπωση: M.: AST, 2006,

Τα μαθηματικά προέκυψαν από τη γενική φιλοσοφία γύρω στον έκτο αιώνα π.Χ. ε., και από εκείνη τη στιγμή ξεκίνησε η νικηφόρα πορεία της σε όλο τον κόσμο. Κάθε στάδιο ανάπτυξης εισήγαγε κάτι νέο - η στοιχειώδης μέτρηση εξελίχθηκε, μετατράπηκε σε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, πέρασαν αιώνες, οι τύποι έγιναν όλο και πιο συγκεχυμένοι και ήρθε η στιγμή που "άρχισαν τα πιο περίπλοκα μαθηματικά - όλοι οι αριθμοί εξαφανίστηκαν από αυτό". Ποια ήταν όμως η βάση;

Η αρχή του χρόνου

Οι φυσικοί αριθμοί εμφανίστηκαν μαζί με τις πρώτες μαθηματικές πράξεις. Μία ράχη, δύο ράχη, τρεις ράχες... Εμφανίστηκαν χάρη σε Ινδούς επιστήμονες που ανέπτυξαν την πρώτη θέση

Η λέξη «θέση» σημαίνει ότι η θέση κάθε ψηφίου σε έναν αριθμό είναι αυστηρά καθορισμένη και αντιστοιχεί στην κατάταξή του. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 784 και 487 είναι οι ίδιοι αριθμοί, αλλά οι αριθμοί δεν είναι ισοδύναμοι, αφού ο πρώτος περιλαμβάνει 7 εκατοντάδες, ενώ ο δεύτερος μόνο 4. Την ινδική καινοτομία πήραν οι Άραβες, οι οποίοι έφεραν τους αριθμούς στη φόρμα που ξέρουμε τώρα.

Στην αρχαιότητα, στους αριθμούς δόθηκε ένα μυστικό νόημα, ο Πυθαγόρας πίστευε ότι ο αριθμός αποτελεί τη βάση της δημιουργίας του κόσμου μαζί με τα βασικά στοιχεία - φωτιά, νερό, γη, αέρας. Αν εξετάσουμε τα πάντα μόνο από τη μαθηματική πλευρά, τότε τι είναι ένας φυσικός αριθμός; Το πεδίο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με Ν και είναι μια άπειρη σειρά αριθμών που είναι ακέραιοι και θετικοί: 1, 2, 3, … + ∞. Το μηδέν εξαιρείται. Χρησιμοποιείται κυρίως για την καταμέτρηση αντικειμένων και την ένδειξη της σειράς.

Τι είναι στα μαθηματικά; Τα αξιώματα του Peano

Το πεδίο Ν είναι το βασικό στο οποίο βασίζονται τα στοιχειώδη μαθηματικά. Με την πάροδο του χρόνου, πεδία ακεραίων, ορθολογικών,

Το έργο του Ιταλού μαθηματικού Giuseppe Peano κατέστησε δυνατή την περαιτέρω δόμηση της αριθμητικής, πέτυχε την τυπικότητά της και προετοίμασε τον δρόμο για περαιτέρω συμπεράσματα που ξεπέρασαν την περιοχή πεδίου Ν.

Τι είναι φυσικός αριθμός διευκρινίστηκε νωρίτερα σε απλή γλώσσα, παρακάτω θα εξετάσουμε έναν μαθηματικό ορισμό που βασίζεται στα αξιώματα του Peano.

• Το ένα θεωρείται φυσικός αριθμός.
• Ο αριθμός που ακολουθεί έναν φυσικό αριθμό είναι ένας φυσικός αριθμός.
• Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός πριν από το ένα.
• Εάν ο αριθμός b ακολουθεί και τον αριθμό c και τον αριθμό d, τότε c=d.
• Ένα αξίωμα επαγωγής, το οποίο με τη σειρά του δείχνει τι είναι ένας φυσικός αριθμός: αν κάποια πρόταση που εξαρτάται από μια παράμετρο ισχύει για τον αριθμό 1, τότε υποθέτουμε ότι λειτουργεί και για τον αριθμό n από το πεδίο των φυσικών αριθμών N. Τότε η πρόταση ισχύει επίσης για n =1 από το πεδίο των φυσικών αριθμών N.

Βασικές πράξεις για το πεδίο των φυσικών αριθμών

Δεδομένου ότι το πεδίο N ήταν το πρώτο για μαθηματικούς υπολογισμούς, τόσο οι τομείς ορισμού όσο και οι περιοχές τιμών ενός αριθμού πράξεων παρακάτω ανήκουν σε αυτό. Είναι κλειστά και όχι. Η κύρια διαφορά είναι ότι οι κλειστές πράξεις είναι εγγυημένα ότι αφήνουν το αποτέλεσμα εντός του συνόλου N, ανεξάρτητα από τους αριθμούς που αφορούν. Φτάνει να είναι φυσικά. Το αποτέλεσμα άλλων αριθμητικών αλληλεπιδράσεων δεν είναι πλέον τόσο σαφές και εξαρτάται άμεσα από το είδος των αριθμών που εμπλέκονται στην έκφραση, καθώς μπορεί να έρχεται σε αντίθεση με τον κύριο ορισμό. Λοιπόν, κλειστές λειτουργίες:

• πρόσθεση - x + y = z, όπου x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• πολλαπλασιασμός - x * y = z, όπου τα x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• εκθετικότητα - x y, όπου τα x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Οι υπόλοιπες πράξεις, το αποτέλεσμα των οποίων ενδέχεται να μην υπάρχει στο πλαίσιο του ορισμού του «τι είναι φυσικός αριθμός», είναι οι εξής:

Ιδιότητες αριθμών που ανήκουν στο πεδίο N

Κάθε περαιτέρω μαθηματικός συλλογισμός θα βασίζεται στις ακόλουθες ιδιότητες, τις πιο ασήμαντες, αλλά όχι λιγότερο σημαντικές.

• Η μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης είναι x + y = y + x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N. Ή το γνωστό «το άθροισμα δεν αλλάζει αλλάζοντας τις θέσεις των όρων».
• Η ανταλλάξιμη ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι x * y = y * x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η συνδυαστική ιδιότητα της πρόσθεσης είναι (x + y) + z = x + (y + z), όπου τα x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η αντιστοιχισμένη ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι (x * y) * z = x * (y * z), όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• διανεμητική ιδιότητα - x (y + z) = x * y + x * z, όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Πυθαγόρειο τραπέζι

Ένα από τα πρώτα βήματα στη γνώση των μαθητών για ολόκληρη τη δομή των στοιχειωδών μαθηματικών αφού καταλάβουν μόνοι τους ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί είναι ο Πυθαγόρειος πίνακας. Μπορεί να θεωρηθεί όχι μόνο από την σκοπιά της επιστήμης, αλλά και ως ένα πολυτιμότερο επιστημονικό μνημείο.

Αυτός ο πίνακας πολλαπλασιασμού έχει υποστεί πολλές αλλαγές με την πάροδο του χρόνου: το μηδέν έχει αφαιρεθεί από αυτόν και οι αριθμοί από το 1 έως το 10 αντιπροσωπεύουν τον εαυτό τους, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι εντολές (εκατοντάδες, χιλιάδες...). Είναι ένας πίνακας στον οποίο οι επικεφαλίδες σειρών και στηλών είναι αριθμοί και τα περιεχόμενα των κελιών όπου τέμνονται είναι ίσα με το γινόμενο τους.

Στην πρακτική της διδασκαλίας τις τελευταίες δεκαετίες, υπήρξε η ανάγκη να απομνημονεύσουμε τον πυθαγόρειο πίνακα «με τη σειρά», δηλαδή η αποστήθιση προηγήθηκε. Ο πολλαπλασιασμός με το 1 εξαιρέθηκε επειδή το αποτέλεσμα ήταν πολλαπλασιαστής 1 ή μεγαλύτερος. Εν τω μεταξύ, στον πίνακα με γυμνό μάτι μπορείτε να παρατηρήσετε ένα μοτίβο: το γινόμενο των αριθμών αυξάνεται κατά ένα βήμα, το οποίο είναι ίσο με τον τίτλο της γραμμής. Έτσι, ο δεύτερος παράγοντας μας δείχνει πόσες φορές πρέπει να πάρουμε το πρώτο για να αποκτήσουμε το επιθυμητό προϊόν. Αυτό το σύστημα είναι πολύ πιο βολικό από αυτό που εφαρμοζόταν στον Μεσαίωνα: ακόμη και κατανοώντας τι είναι ένας φυσικός αριθμός και πόσο ασήμαντο είναι, οι άνθρωποι κατάφεραν να περιπλέξουν την καθημερινή τους μέτρηση χρησιμοποιώντας ένα σύστημα που βασιζόταν στις δυνάμεις του δύο.

Υποσύνολο ως το λίκνο των μαθηματικών

Επί αυτή τη στιγμήΤο πεδίο των φυσικών αριθμών N θεωρείται μόνο ως ένα από τα υποσύνολα μιγαδικών αριθμών, αλλά αυτό δεν τους καθιστά λιγότερο πολύτιμους στην επιστήμη. Ο φυσικός αριθμός είναι το πρώτο πράγμα που μαθαίνει ένα παιδί όταν μελετά τον εαυτό του και ο κόσμος. Ένα δάχτυλο, δύο δάχτυλα... Χάρη σε αυτόν αναπτύσσεται ο άνθρωπος λογική σκέψη, καθώς και την ικανότητα προσδιορισμού της αιτίας και του αποτελέσματος, ανοίγοντας το δρόμο για μεγάλες ανακαλύψεις.

Ο απλούστερος αριθμός είναι φυσικός αριθμός. Χρησιμοποιούνται σε Καθημερινή ζωήγια καταμέτρηση αντικείμενα, δηλ. να υπολογίσει τον αριθμό και τη σειρά τους.

Τι είναι ένας φυσικός αριθμός: φυσικούς αριθμούςονομάστε τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται καταμέτρηση ειδών ή για να δηλώσετε τον αύξοντα αριθμό οποιουδήποτε είδους από όλα τα ομοιογενήείδη.

Ακέραιοιείναι αριθμοί που ξεκινούν από το ένα. Σχηματίζονται φυσικά κατά την καταμέτρηση.Για παράδειγμα, 1,2,3,4,5... -πρώτοι φυσικοί αριθμοί.

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός- ένας. Δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός. Κατά την καταμέτρηση του αριθμού Το μηδέν δεν χρησιμοποιείται, άρα το μηδέν είναι φυσικός αριθμός.

Σειρά φυσικών αριθμώνείναι η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών. Γράψιμο φυσικών αριθμών:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Στη φυσική σειρά, κάθε αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.

Πόσοι αριθμοί υπάρχουν στη φυσική σειρά; Η φυσική σειρά είναι άπειρη ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός δεν υπάρχει.

Δεκαδικό αφού 10 μονάδες οποιουδήποτε ψηφίου σχηματίζουν 1 μονάδα του υψηλότερου ψηφίου. Θετικά έτσι πώς η σημασία ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό, δηλ. από την κατηγορία που αναγράφεται.

Τάξεις φυσικών αριθμών.

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας 10 αραβικούς αριθμούς:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Για την ανάγνωση των φυσικών αριθμών, χωρίζονται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των 3 ψηφίων η καθεμία. 3 πρώτα οι αριθμοί στα δεξιά είναι η κατηγορία των μονάδων, οι επόμενοι 3 είναι η τάξη των χιλιάδων, μετά οι τάξεις των εκατομμυρίων, των δισεκατομμυρίων καικαι τα λοιπά. Κάθε ένα από τα ψηφία της κλάσης ονομάζεται δικό τουαπαλλάσσω.

Σύγκριση φυσικών αριθμών.

Από 2 φυσικούς αριθμούς, τόσο μικρότερος είναι ο αριθμός που καλείται νωρίτερα κατά την μέτρηση. Για παράδειγμα, αριθμός 7 πιο λιγο 11 (γραμμένο έτσι:7 < 11 ). Όταν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, γράφεται ως εξής:386 > 99 .

Πίνακας ψηφίων και τάξεων αριθμών.

Μονάδα 1ης τάξης	1ο ψηφίο της μονάδας 2ο ψηφίο δεκάδες 3η θέση εκατοντάδες
2η τάξη χίλια	1ο ψηφίο της μονάδας των χιλιάδων 2ο ψηφίο δεκάδες χιλιάδες 3η κατηγορία εκατοντάδες χιλιάδες
3ης τάξης εκατομμύρια	1ο ψηφίο της μονάδας των εκατομμυρίων 2η κατηγορία δεκάδες εκατομμύρια 3η κατηγορία εκατοντάδες εκατομμύρια
4ης τάξης δισεκατομμύρια	1ο ψηφίο της μονάδας δισεκατομμυρίων 2η κατηγορία δεκάδες δισεκατομμύρια 3η κατηγορία εκατοντάδες δισεκατομμύρια

Οι αριθμοί από την 5η τάξη και άνω αναφέρονται μεγάλοι αριθμοί. Οι μονάδες της 5ης τάξης είναι τρισεκατομμύρια, 6η class - quadrillions, 7th class - quintillions, 8th class - sixtillions, 9th class - eptillions. Βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών. Ανταλλαγή της πρόσθεσης . α + β = β + α Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού. αβ = βα Συνειρμικότητα προσθήκης. (α + β) + γ = α + (β + γ) Συσχετισμός πολλαπλασιασμού. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση: Πράξεις σε φυσικούς αριθμούς. 4. Η διαίρεση των φυσικών αριθμών είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Αν b ∙ c = a, Οτι Φόρμουλες για διαίρεση: α: 1 = α a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (ΕΝΑ∙ β) : γ = (α:γ) ∙ β (ΕΝΑ∙ β) : γ = (β:γ) ∙ α Αριθμητικές εκφράσεις και αριθμητικές ισότητες. Ένας συμβολισμός όπου οι αριθμοί συνδέονται με τα σημάδια δράσης είναι αριθμητική έκφραση. Για παράδειγμα, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Οι εγγραφές όπου 2 αριθμητικές εκφράσεις συνδυάζονται με πρόσημο ίσου είναι αριθμητικές ισότητες. Η ισότητα έχει αριστερή και δεξιά πλευρά. Η σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων. Η πρόσθεση και η αφαίρεση αριθμών είναι πράξεις πρώτου βαθμού και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις δεύτερου βαθμού. Όταν μια αριθμητική παράσταση αποτελείται από ενέργειες ενός μόνο βαθμού, εκτελούνται διαδοχικάαπο αριστερά προς δεξιά. Όταν οι εκφράσεις αποτελούνται από ενέργειες μόνο του πρώτου και του δεύτερου βαθμού, τότε οι ενέργειες εκτελούνται πρώτα δεύτερου βαθμού, και στη συνέχεια - ενέργειες πρώτου βαθμού. Όταν υπάρχουν παρενθέσεις σε μια έκφραση, οι ενέργειες στις παρενθέσεις εκτελούνται πρώτα. Για παράδειγμα, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.