Πώς να λύσετε κλασματικές εξισώσεις. ODZ. Εύρος αποδεκτών τιμών

Μέχρι στιγμής έχουμε λύσει μόνο ακέραιες εξισώσεις ως προς το άγνωστο, δηλαδή εξισώσεις στις οποίες οι παρονομαστές (αν υπάρχουν) δεν περιείχαν το άγνωστο.

Συχνά πρέπει να λύσετε εξισώσεις που περιέχουν έναν άγνωστο στους παρονομαστές: τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται κλασματικές εξισώσεις.

Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με, δηλαδή, με το πολυώνυμο που περιέχει το άγνωστο. Η νέα εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτήν; Για να απαντήσουμε στην ερώτηση, ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με , παίρνουμε:

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση πρώτου βαθμού, βρίσκουμε:

Άρα, η εξίσωση (2) έχει μία μόνο ρίζα

Αντικαθιστώντας το με την εξίσωση (1), παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι είναι και ρίζα της εξίσωσης (1).

Η εξίσωση (1) δεν έχει άλλες ρίζες. Στο παράδειγμά μας, αυτό φαίνεται, για παράδειγμα, από το γεγονός ότι στην εξίσωση (1)

Πώς ο άγνωστος διαιρέτης πρέπει να είναι ίσος με το μέρισμα 1 διαιρούμενο με το πηλίκο 2, δηλαδή

Έτσι, οι εξισώσεις (1) και (2) έχουν μία μόνο ρίζα. Αυτό σημαίνει ότι είναι ισοδύναμες.

2. Ας λύσουμε τώρα την ακόλουθη εξίσωση:

Ο απλούστερος κοινός παρονομαστής: ; πολλαπλασιάστε όλους τους όρους της εξίσωσης με αυτό:

Μετά τη μείωση παίρνουμε:

Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:

Φέρνοντας παρόμοιους όρους, έχουμε:

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (1), παίρνουμε:

Στην αριστερή πλευρά λάβαμε εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα.

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (1) δεν είναι ρίζα. Από αυτό προκύπτει ότι οι εξισώσεις (1) και δεν είναι ισοδύναμες.

Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι η εξίσωση (1) έχει αποκτήσει μια ξένη ρίζα.

Ας συγκρίνουμε τη λύση της εξίσωσης (1) με τη λύση των εξισώσεων που εξετάσαμε προηγουμένως (βλ. § 51). Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, έπρεπε να εκτελέσουμε δύο πράξεις που δεν είχαν ξανασυναντήσει: πρώτον, πολλαπλασιάσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με μια παράσταση που περιέχει τον άγνωστο (κοινός παρονομαστής) και δεύτερον, μειώσαμε τα αλγεβρικά κλάσματα με παράγοντες που περιέχουν το άγνωστο .

Συγκρίνοντας την εξίσωση (1) με την εξίσωση (2), βλέπουμε ότι δεν ισχύουν όλες οι τιμές του x που ισχύουν για την εξίσωση (2) για την εξίσωση (1).

Είναι οι αριθμοί 1 και 3 που δεν είναι αποδεκτές τιμές του αγνώστου για την εξίσωση (1), αλλά ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού έγιναν αποδεκτές για την εξίσωση (2). Ένας από αυτούς τους αριθμούς αποδείχθηκε λύση στην εξίσωση (2), αλλά, φυσικά, δεν μπορεί να είναι λύση στην εξίσωση (1). Η εξίσωση (1) δεν έχει λύσεις.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι όταν πολλαπλασιάσετε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης με έναν παράγοντα που περιέχει το άγνωστο και ακυρώσετε αλγεβρικά κλάσματαΜπορεί να ληφθεί μια εξίσωση που δεν είναι ισοδύναμη με αυτήν, δηλαδή: μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες.

Από εδώ βγάζουμε το εξής συμπέρασμα. Κατά την επίλυση μιας εξίσωσης που περιέχει έναν άγνωστο στον παρονομαστή, οι ρίζες που προκύπτουν πρέπει να ελέγχονται με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση. Οι ξένες ρίζες πρέπει να απορρίπτονται.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε σχετικά μοναδικές προσφορές, προωθητικές ενέργειες και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας υγείας. σημαντικές περιπτώσεις.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματαΑς δούμε παραδείγματα. Τα παραδείγματα είναι απλά και ενδεικτικά. Με τη βοήθειά τους, θα μπορείτε να καταλάβετε με τον πιο κατανοητό τρόπο.
Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την απλή εξίσωση x/b + c = d.

Μια εξίσωση αυτού του τύπου ονομάζεται γραμμική, επειδή Ο παρονομαστής περιέχει μόνο αριθμούς.

Η λύση εκτελείται πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με b, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή x = b*(d – c), δηλ. ο παρονομαστής του κλάσματος στην αριστερή πλευρά ακυρώνει.

Για παράδειγμα, πώς να λύσετε μια κλασματική εξίσωση:
x/5+4=9
Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές επί 5. Παίρνουμε:
x+20=45
x=45-20=25

Ένα άλλο παράδειγμα όταν ο άγνωστος είναι στον παρονομαστή:

Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται κλασματικές-ορθολογικές ή απλώς κλασματικές.

Θα λύναμε μια κλασματική εξίσωση απαλλάσσοντας τα κλάσματα, μετά την οποία αυτή η εξίσωση, τις περισσότερες φορές, μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική εξίσωση, η οποία μπορεί να λυθεί με τον συνηθισμένο τρόπο. Απλά πρέπει να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σημεία:

• η τιμή μιας μεταβλητής που μετατρέπει τον παρονομαστή σε 0 δεν μπορεί να είναι ρίζα.
• Δεν μπορείτε να διαιρέσετε ή να πολλαπλασιάσετε μια εξίσωση με την παράσταση =0.

Εδώ τίθεται σε ισχύ η έννοια της περιοχής των επιτρεπόμενων τιμών (ADV) - αυτές είναι οι τιμές των ριζών της εξίσωσης για τις οποίες έχει νόημα η εξίσωση.

Έτσι, κατά την επίλυση της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να βρείτε τις ρίζες και στη συνέχεια να τις ελέγξετε για συμμόρφωση με το ODZ. Όσες ρίζες δεν αντιστοιχούν στο δικό μας ODZ εξαιρούνται από την απάντηση.

Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μια κλασματική εξίσωση:

Με βάση τον παραπάνω κανόνα, το x δεν μπορεί να είναι = 0, δηλ. ODZ σε σε αυτήν την περίπτωση: x – οποιαδήποτε τιμή εκτός από το μηδέν.

Απαλλαγούμε από τον παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης επί x

Και λύνουμε τη συνηθισμένη εξίσωση

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Απάντηση: x = 1/3

Ας λύσουμε μια πιο περίπλοκη εξίσωση:

Το ODZ είναι επίσης παρόν εδώ: x -2.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, δεν θα μετακινήσουμε τα πάντα στη μία πλευρά και θα φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Θα πολλαπλασιάσουμε αμέσως και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με μια παράσταση που θα ακυρώσει όλους τους παρονομαστές ταυτόχρονα.

Για να μειώσετε τους παρονομαστές, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την αριστερή πλευρά με x+2 και τη δεξιά πλευρά με 2. Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με 2(x+2):

Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, τον οποίο έχουμε ήδη συζητήσει παραπάνω.

Ας γράψουμε την ίδια εξίσωση, αλλά λίγο διαφορετικά

Η αριστερή πλευρά μειώνεται κατά (x+2), και η δεξιά κατά 2. Μετά τη μείωση παίρνουμε το συνηθισμένο γραμμική εξίσωση:

x = 4 – 2 = 2, που αντιστοιχεί στο δικό μας ODZ

Απάντηση: x = 2.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματαόχι τόσο δύσκολο όσο μπορεί να φαίνεται. Σε αυτό το άρθρο το δείξαμε με παραδείγματα. Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες με πώς να λύσετε εξισώσεις με κλάσματα, στη συνέχεια καταργήστε την εγγραφή σας στα σχόλια.

Ας συνεχίσουμε να μιλάμε επίλυση εξισώσεων. Σε αυτό το άρθρο θα αναφερθούμε αναλυτικά ορθολογικές εξισώσειςκαι αρχές επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων με μία μεταβλητή. Αρχικά, ας υπολογίσουμε ποιος τύπος εξισώσεων ονομάζονται ορθολογικές, ας δώσουμε έναν ορισμό ολόκληρων ορθολογικών και κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων και δώσουμε παραδείγματα. Στη συνέχεια θα λάβουμε αλγόριθμους για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων και, φυσικά, θα εξετάσουμε λύσεις τυπικά παραδείγματαμε όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Με βάση τους δηλωθέντες ορισμούς, δίνουμε αρκετά παραδείγματα ορθολογικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , είναι όλες ορθολογικές εξισώσεις.

Από τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, είναι σαφές ότι οι ορθολογικές εξισώσεις, καθώς και οι εξισώσεις άλλων τύπων, μπορούν να είναι με μία μεταβλητή ή με δύο, τρεις κ.λπ. μεταβλητές. Στις επόμενες παραγράφους θα μιλήσουμε για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων με μία μεταβλητή. Επίλυση εξισώσεων σε δύο μεταβλητέςκαι αυτοί ένας μεγάλος αριθμόςαξίζουν ιδιαίτερης προσοχής.

Εκτός από τη διαίρεση των ορθολογικών εξισώσεων με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών, χωρίζονται επίσης σε ακέραιες και κλασματικές. Ας δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς.

Ορισμός.

Ορθολογική εξίσωσηπου ονομάζεται ολόκληρος, αν και η αριστερή και η δεξιά πλευρά του είναι ακέραιες ορθολογικές εκφράσεις.

Ορισμός.

Εάν τουλάχιστον ένα από τα μέρη μιας ορθολογικής εξίσωσης είναι μια κλασματική έκφραση, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται κλασματικά ορθολογική(ή κλασματική ορθολογική).

Είναι σαφές ότι ολόκληρες εξισώσεις δεν περιέχουν διαίρεση με μια μεταβλητή, αντίθετα, οι κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα διαίρεση με μια μεταβλητή (ή μια μεταβλητή στον παρονομαστή). Άρα 3 x+2=0 και (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– αυτές είναι ολόκληρες ορθολογικές εξισώσεις, και τα δύο μέρη τους είναι ολόκληρες εκφράσεις. Τα A και x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 είναι παραδείγματα κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.

Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, ας επιστήσουμε την προσοχή στο γεγονός ότι οι γραμμικές και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις που είναι γνωστές σε αυτό το σημείο είναι ολόκληρες ορθολογικές εξισώσεις.

Επίλυση ολόκληρων εξισώσεων

Μία από τις κύριες προσεγγίσεις για την επίλυση ολόκληρων εξισώσεων είναι η αναγωγή τους σε ισοδύναμες αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτό μπορεί πάντα να γίνει εκτελώντας τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς της εξίσωσης:

• Πρώτον, η έκφραση από τη δεξιά πλευρά της αρχικής ακέραιας εξίσωσης μεταφέρεται στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο για να ληφθεί το μηδέν στη δεξιά πλευρά.
• μετά από αυτό, στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης το προκύπτον τυπική όψη.

Το αποτέλεσμα είναι αλγεβρική εξίσωση, η οποία είναι ισοδύναμη με την αρχική ακέραια εξίσωση. Έτσι, στις απλούστερες περιπτώσεις, η επίλυση ολόκληρων εξισώσεων ανάγεται στην επίλυση γραμμικών ή τετραγωνικών εξισώσεων, και στη γενική περίπτωση, στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης βαθμού n. Για λόγους σαφήνειας, ας δούμε τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Λύση.

Ας ανάγουμε τη λύση ολόκληρης αυτής της εξίσωσης στη λύση μιας ισοδύναμης αλγεβρικής εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, πρώτα μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα να φτάσουμε στην εξίσωση 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Και, δεύτερον, μετατρέπουμε την έκφραση που σχηματίζεται στην αριστερή πλευρά σε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής εκτελώντας τα απαραίτητα: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Έτσι, η επίλυση της αρχικής ακέραιας εξίσωσης ανάγεται στην επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 −5·x−6=0.

Υπολογίζουμε τη διάκρισή του D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, είναι θετικό, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις οποίες βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:

Για να είμαστε απόλυτα σίγουροι, ας το κάνουμε ελέγχοντας τις ρίζες της εξίσωσης που βρέθηκαν. Πρώτα ελέγχουμε τη ρίζα 6, την αντικαθιστούμε αντί για τη μεταβλητή x στην αρχική ακέραια εξίσωση: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, που είναι το ίδιο, 63=63. Αυτή είναι μια έγκυρη αριθμητική εξίσωση, επομένως το x=6 είναι πράγματι η ρίζα της εξίσωσης. Τώρα ελέγχουμε τη ρίζα −1, έχουμε 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, από όπου, 0=0 . Όταν x=−1, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται επίσης σε σωστή αριθμητική ισότητα, επομένως, το x=−1 είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση:

6 , −1 .

Εδώ πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι ο όρος «βαθμός ολόκληρης της εξίσωσης» συνδέεται με την αναπαράσταση ολόκληρης της εξίσωσης με τη μορφή αλγεβρικής εξίσωσης. Ας δώσουμε τον αντίστοιχο ορισμό:

Ορισμός.

Η δύναμη ολόκληρης της εξίσωσηςονομάζεται βαθμός ισοδύναμης αλγεβρικής εξίσωσης.

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ολόκληρη η εξίσωση από το προηγούμενο παράδειγμα έχει τον δεύτερο βαθμό.

Αυτό θα μπορούσε να ήταν το τέλος της επίλυσης ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων, αν όχι για ένα πράγμα…. Όπως είναι γνωστό, η επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων βαθμού πάνω από το δεύτερο συνδέεται με σημαντικές δυσκολίες και για εξισώσεις βαθμού πάνω από τον τέταρτο δεν υπάρχουν καθόλου γενικοί τύποι ρίζας. Επομένως, για να λύσουμε ολόκληρες εξισώσεις του τρίτου, του τέταρτου και άλλων υψηλούς βαθμούςΣυχνά πρέπει να καταφύγετε σε άλλες μεθόδους λύσης.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, μια προσέγγιση για την επίλυση ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων με βάση μέθοδος παραγοντοποίησης. Σε αυτήν την περίπτωση, τηρείται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

• Πρώτον, εξασφαλίζουν ότι υπάρχει ένα μηδέν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης για να το κάνουν αυτό, μεταφέρουν την έκφραση από τη δεξιά πλευρά ολόκληρης της εξίσωσης στην αριστερή.
• Στη συνέχεια, η έκφραση που προκύπτει στην αριστερή πλευρά παρουσιάζεται ως γινόμενο πολλών παραγόντων, γεγονός που μας επιτρέπει να προχωρήσουμε σε ένα σύνολο από πολλές απλούστερες εξισώσεις.

Ο δεδομένος αλγόριθμος για την επίλυση ολόκληρης της εξίσωσης μέσω παραγοντοποίησης απαιτεί λεπτομερή εξήγηση χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Λύστε ολόκληρη την εξίσωση (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Λύση.

Πρώτα, ως συνήθως, μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο, παίρνουμε (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Εδώ είναι προφανές ότι δεν είναι σκόπιμο να μετατραπεί η αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει σε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής, καθώς αυτό θα δώσει μια αλγεβρική εξίσωση του τέταρτου βαθμού της μορφής x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, η λύση του οποίου είναι δύσκολη.

Από την άλλη πλευρά, είναι προφανές ότι στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει μπορούμε να x 2 −10 x+13, παρουσιάζοντάς την ως γινόμενο. Εχουμε (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική ολόκληρη εξίσωση και, με τη σειρά της, μπορεί να αντικατασταθεί από ένα σύνολο δύο τετραγωνικών εξισώσεων x 2 −10·x+13=0 και x 2 −2·x−1=0. Η εύρεση των ριζών τους χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους ρίζας μέσω ενός διαχωριστή δεν είναι δύσκολη. Είναι οι επιθυμητές ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

Χρήσιμο επίσης για την επίλυση ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων μέθοδος για την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, σας επιτρέπει να μετακινηθείτε σε εξισώσεις των οποίων ο βαθμός είναι χαμηλότερος από τον βαθμό της αρχικής ολόκληρης εξίσωσης.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις πραγματικές ρίζες μιας ορθολογικής εξίσωσης (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Λύση.

Η αναγωγή ολόκληρης αυτής της ορθολογικής εξίσωσης σε μια αλγεβρική εξίσωση δεν είναι, για να το θέσω ήπια, μια πολύ καλή ιδέα, αφού σε αυτήν την περίπτωση θα καταλήξουμε στην ανάγκη να λύσουμε μια εξίσωση τέταρτου βαθμού που δεν έχει ορθολογικές ρίζες. Επομένως, θα πρέπει να αναζητήσετε άλλη λύση.

Εδώ είναι εύκολο να δείτε ότι μπορείτε να εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή y και να αντικαταστήσετε την έκφραση x 2 +3·x με αυτήν. Αυτή η αντικατάσταση μας οδηγεί σε ολόκληρη την εξίσωση (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , η οποία, μετά τη μετακίνηση της παράστασης −2·(y−4) στην αριστερή πλευρά και τον επακόλουθο μετασχηματισμό της παράστασης που σχηματίζεται εκεί, ανάγεται σε δευτεροβάθμια εξίσωση y 2 +4·y+3=0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης y=−1 και y=−3 είναι εύκολο να βρεθούν, για παράδειγμα, μπορούν να επιλεγούν με βάση το αντίστροφο θεώρημα προς το θεώρημα του Vieta.

Τώρα προχωράμε στο δεύτερο μέρος της μεθόδου εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής, δηλαδή στην εκτέλεση μιας αντίστροφης αντικατάστασης. Αφού εκτελέσουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, λαμβάνουμε δύο εξισώσεις x 2 +3 x=−1 και x 2 +3 x=−3, οι οποίες μπορούν να ξαναγραφτούν ως x 2 +3 x+1=0 και x 2 +3 x+3 =0. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, βρίσκουμε τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης. Και το δεύτερο τετραγωνική εξίσωσηδεν έχει πραγματικές ρίζες, αφού η διάκρισή του είναι αρνητική (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Απάντηση:

Γενικά, όταν έχουμε να κάνουμε με ολόκληρες εξισώσεις υψηλών βαθμών, πρέπει να είμαστε πάντα προετοιμασμένοι για αναζήτηση μη τυποποιημένη μέθοδοςή μια τεχνητή μέθοδο επίλυσής τους.

Επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων

Αρχικά, θα είναι χρήσιμο να κατανοήσουμε πώς να λύσουμε κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις της μορφής , όπου τα p(x) και q(x) είναι ακέραιες ορθολογικές εκφράσεις. Και στη συνέχεια θα δείξουμε πώς να μειώσουμε τη λύση άλλων κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων στη λύση των εξισώσεων του υποδεικνυόμενου τύπου.

Μια προσέγγιση για την επίλυση της εξίσωσης βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση: το αριθμητικό κλάσμα u/v, όπου v είναι ένας μη μηδενικός αριθμός (αλλιώς θα συναντήσουμε , ο οποίος είναι απροσδιόριστος), είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ο αριθμητής του είναι ίσο με μηδέν, τότε είναι, αν και μόνο αν u=0 . Δυνάμει αυτής της δήλωσης, η επίλυση της εξίσωσης ανάγεται στην εκπλήρωση δύο συνθηκών p(x)=0 και q(x)≠0.

Το συμπέρασμα αυτό αντιστοιχεί στα ακόλουθα αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης. Για να λύσετε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση της μορφής , χρειάζεστε

• να λύσετε ολόκληρη την ορθολογική εξίσωση p(x)=0 ;
• και ελέγξτε εάν η συνθήκη q(x)≠0 ικανοποιείται για κάθε ρίζα που βρέθηκε, ενώ
• Αν αληθεύει, τότε αυτή η ρίζα είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
• αν δεν ικανοποιηθεί, τότε αυτή η ρίζα είναι ξένη, δηλαδή δεν είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Ας δούμε ένα παράδειγμα χρήσης του ανακοινωθέντος αλγορίθμου κατά την επίλυση μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

Λύση.

Αυτή είναι μια κλασματική ορθολογική εξίσωση, και της μορφής , όπου p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων αυτού του τύπου, πρέπει πρώτα να λύσουμε την εξίσωση 3 x−2=0. Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση της οποίας η ρίζα είναι x=2/3.

Απομένει να ελέγξουμε για αυτήν τη ρίζα, δηλαδή να ελέγξουμε αν ικανοποιεί τη συνθήκη 5 x 2 −2≠0. Αντικαθιστούμε τον αριθμό 2/3 στην παράσταση 5 x 2 −2 αντί για x, και παίρνουμε . Η συνθήκη πληρούται, άρα x=2/3 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

2/3 .

Μπορείτε να προσεγγίσετε την επίλυση μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης από μια ελαφρώς διαφορετική θέση. Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την ακέραια εξίσωση p(x)=0 στη μεταβλητή x της αρχικής εξίσωσης. Δηλαδή, μπορείτε να επιμείνετε σε αυτό αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης :

• να λύσετε την εξίσωση p(x)=0 ;
• Να βρείτε το ODZ της μεταβλητής x.
• παίρνουν ρίζες που ανήκουν στην περιοχή των αποδεκτών τιμών - είναι οι επιθυμητές ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση.

Λύση.

Αρχικά, λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση x 2 −2·x−11=0. Οι ρίζες του μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο ρίζας για τον άρτιο δεύτερο συντελεστή, που έχουμε D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Και .

Δεύτερον, βρίσκουμε το ODZ της μεταβλητής x για την αρχική εξίσωση. Αποτελείται από όλους τους αριθμούς για τους οποίους x 2 +3·x≠0, που είναι ίδιο με το x·(x+3)≠0, από όπου x≠0, x≠−3.

Απομένει να ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρέθηκαν στο πρώτο βήμα περιλαμβάνονται στο ODZ. Προφανώς ναι. Επομένως, η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Σημειώστε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πιο κερδοφόρα από την πρώτη εάν το ODZ είναι εύκολο να βρεθεί και είναι ιδιαίτερα ωφέλιμη εάν οι ρίζες της εξίσωσης p(x) = 0 είναι παράλογες, για παράδειγμα, ή ορθολογικές, αλλά με αρκετά μεγάλο αριθμητή και/ή παρονομαστή, για παράδειγμα, 127/1101 και −31/59. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε τέτοιες περιπτώσεις, ο έλεγχος της συνθήκης q(x)≠0 θα απαιτήσει σημαντική υπολογιστική προσπάθεια και είναι ευκολότερο να αποκλειστούν οι εξωτερικές ρίζες χρησιμοποιώντας το ODZ.

Σε άλλες περιπτώσεις, κατά την επίλυση της εξίσωσης, ειδικά όταν οι ρίζες της εξίσωσης p(x) = 0 είναι ακέραιοι, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο από τους δεδομένους αλγόριθμους. Δηλαδή, συνιστάται να βρείτε αμέσως τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης p(x)=0 και στη συνέχεια να ελέγξετε εάν η συνθήκη q(x)≠0 ικανοποιείται για αυτές, αντί να βρείτε το ODZ και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση p(x)=0 σε αυτό το ODZ . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε τέτοιες περιπτώσεις είναι συνήθως πιο εύκολο να ελέγξετε παρά να βρείτε το DZ.

Ας εξετάσουμε τη λύση δύο παραδειγμάτων για να επεξηγήσουμε τις καθορισμένες αποχρώσεις.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

Λύση.

Αρχικά, ας βρούμε τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, που συντίθεται χρησιμοποιώντας τον αριθμητή του κλάσματος. Η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι ένα γινόμενο και η δεξιά πλευρά είναι μηδέν, επομένως, σύμφωνα με τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης, αυτή η εξίσωση ισοδυναμεί με ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Τρεις από αυτές τις εξισώσεις είναι γραμμικές και η μία είναι τετραγωνική. Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε x=1/2, από τη δεύτερη - x=6, από την τρίτη - x=7, x=−2, από την τέταρτη - x=−1.

Με τις ρίζες που βρέθηκαν, είναι πολύ εύκολο να ελέγξετε εάν ο παρονομαστής του κλάσματος στην αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης εξαφανίζεται, αλλά ο προσδιορισμός του ODZ, αντίθετα, δεν είναι τόσο απλός, αφού για αυτό θα πρέπει να λύσετε ένα αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού. Επομένως, θα εγκαταλείψουμε την εύρεση του ODZ υπέρ του ελέγχου των ριζών. Για να γίνει αυτό, τα αντικαθιστούμε ένα προς ένα αντί της μεταβλητής x στην παράσταση x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, που λήφθηκαν μετά από αντικατάσταση και συγκρίνετέ τα με το μηδέν: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Έτσι, το 1/2, το 6 και το −2 είναι οι επιθυμητές ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης και το 7 και το −1 είναι εξωτερικές ρίζες.

Απάντηση:

1/2 , 6 , −2 .

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις ρίζες μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Λύση.

Αρχικά, ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο δύο εξισώσεων: τετράγωνο 5 x 2 −7 x−1=0 και γραμμικό x−2=0. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, βρίσκουμε δύο ρίζες και από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε x=2.

Ο έλεγχος εάν ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν στις τιμές του x που βρέθηκαν είναι αρκετά δυσάρεστο. Και ο προσδιορισμός του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής x στην αρχική εξίσωση είναι αρκετά απλός. Ως εκ τούτου, θα ενεργήσουμε μέσω της ODZ.

Στην περίπτωσή μας, το ODZ της μεταβλητής x της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης αποτελείται από όλους τους αριθμούς εκτός από αυτούς για τους οποίους η συνθήκη x 2 +5·x−14=0 ικανοποιείται. Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης είναι x=−7 και x=2, από τις οποίες εξάγουμε ένα συμπέρασμα για το ODZ: αποτελείται από όλα τα x έτσι ώστε .

Απομένει να ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρέθηκαν και x=2 ανήκουν στο εύρος των αποδεκτών τιμών. Οι ρίζες ανήκουν, επομένως, είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, και το x=2 δεν ανήκει, επομένως, είναι μια ξένη ρίζα.

Απάντηση:

Θα είναι επίσης χρήσιμο να σταθούμε χωριστά στις περιπτώσεις που σε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση της μορφής υπάρχει ένας αριθμός στον αριθμητή, δηλαδή όταν το p(x) αντιπροσωπεύεται από κάποιον αριθμό. Εν

• Αν αυτός ο αριθμός είναι μη μηδενικός, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ο αριθμητής του είναι ίσος με μηδέν.
• αν αυτός ο αριθμός είναι μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το ODZ.

Παράδειγμα.

Λύση.

Εφόσον ο αριθμητής του κλάσματος στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης περιέχει έναν μη μηδενικό αριθμό, τότε για οποιοδήποτε x η τιμή αυτού του κλάσματος δεν μπορεί να είναι ίση με μηδέν. Επομένως, αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση:

χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση.

Λύση.

Ο αριθμητής του κλάσματος στην αριστερή πλευρά αυτής της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης περιέχει μηδέν, επομένως η τιμή αυτού του κλάσματος είναι μηδέν για κάθε x για το οποίο έχει νόημα. Με άλλα λόγια, η λύση αυτής της εξίσωσης είναι οποιαδήποτε τιμή του x από το ODZ αυτής της μεταβλητής.

Απομένει να καθοριστεί αυτό το εύρος αποδεκτών τιμών. Περιλαμβάνει όλες τις τιμές του x για τις οποίες x 4 +5 x 3 ≠0. Οι λύσεις της εξίσωσης x 4 +5 x 3 =0 είναι 0 και −5, αφού αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 3 (x+5)=0, και αυτή με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με το συνδυασμό δύο εξισώσεων x 3 =0 και x +5=0, από όπου φαίνονται αυτές οι ρίζες. Επομένως, το επιθυμητό εύρος αποδεκτών τιμών είναι οποιοδήποτε x εκτός από x=0 και x=−5.

Έτσι, μια κλασματική ορθολογική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες είναι οποιοιδήποτε αριθμοί εκτός από το μηδέν και το μείον πέντε.

Απάντηση:

Τέλος, ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων αυθαίρετης μορφής. Μπορούν να γραφτούν ως r(x)=s(x), όπου τα r(x) και s(x) είναι ορθολογικές εκφράσεις και τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματική. Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ότι η επίλυσή τους καταλήγει στην επίλυση εξισώσεων της μορφής που είναι ήδη γνωστές σε εμάς.

Είναι γνωστό ότι η μεταφορά ενός όρου από ένα μέρος της εξίσωσης σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο οδηγεί σε μια ισοδύναμη εξίσωση, επομένως η εξίσωση r(x)=s(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση r(x)−s(x )=0.

Γνωρίζουμε επίσης ότι οποιαδήποτε , ταυτόσημη με αυτήν την έκφραση, είναι δυνατή. Έτσι, μπορούμε πάντα να μετατρέψουμε την ορθολογική έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης r(x)−s(x)=0 σε ένα πανομοιότυπα ίσο ορθολογικό κλάσμα της μορφής .

Έτσι μεταβαίνουμε από την αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση r(x)=s(x) στην εξίσωση και η λύση της, όπως διαπιστώσαμε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης p(x)=0.

Αλλά εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι κατά την αντικατάσταση του r(x)−s(x)=0 με , και στη συνέχεια με το p(x)=0, το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής x μπορεί να επεκταθεί .

Κατά συνέπεια, η αρχική εξίσωση r(x)=s(x) και η εξίσωση p(x)=0 στην οποία καταλήξαμε μπορεί να αποδειχθούν άνισες και λύνοντας την εξίσωση p(x)=0, μπορούμε να πάρουμε ρίζες που θα είναι εξωτερικές ρίζες της αρχικής εξίσωσης r(x)=s(x) . Μπορείτε να αναγνωρίσετε και να μην συμπεριλάβετε ξένες ρίζες στην απάντηση είτε κάνοντας έλεγχο είτε ελέγχοντας ότι ανήκουν στο ODZ της αρχικής εξίσωσης.

Ας συνοψίσουμε αυτές τις πληροφορίες αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης r(x)=s(x). Για να λύσετε την κλασματική ορθολογική εξίσωση r(x)=s(x) , χρειάζεστε

• Πάρτε το μηδέν στα δεξιά μετακινώντας την έκφραση από τη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο.
• Εκτελέστε πράξεις με κλάσματα και πολυώνυμα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μετατρέποντάς την σε ορθολογικό κλάσμα της φόρμας.
• Λύστε την εξίσωση p(x)=0.
• Προσδιορίστε και εξαλείψτε τις ξένες ρίζες, κάτι που γίνεται αντικαθιστώντας τις στην αρχική εξίσωση ή ελέγχοντας ότι ανήκουν στο ODZ της αρχικής εξίσωσης.

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, θα δείξουμε ολόκληρη την αλυσίδα επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων:
.

Ας δούμε λύσεις σε πολλά παραδείγματα με λεπτομερής εξήγησητην πρόοδο της λύσης προκειμένου να αποσαφηνιστεί το δεδομένο μπλοκ πληροφοριών.

Παράδειγμα.

Λύστε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση.

Λύση.

Θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο λύσης που μόλις λήφθηκε. Και πρώτα μετακινούμε τους όρους από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα να προχωρήσουμε στην εξίσωση.

Στο δεύτερο βήμα, πρέπει να μετατρέψουμε την κλασματική ορθολογική έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει στη μορφή ενός κλάσματος. Για να γίνει αυτό, εκτελούμε ένα γύψο λογικά κλάσματασε έναν κοινό παρονομαστή και απλοποιήστε την παράσταση που προκύπτει: . Ερχόμαστε λοιπόν στην εξίσωση.

Στο επόμενο βήμα, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση −2·x−1=0. Βρίσκουμε x=−1/2.

Απομένει να ελέγξουμε αν ο αριθμός που βρέθηκε −1/2 δεν είναι ξένη ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να ελέγξετε ή να βρείτε το VA της μεταβλητής x της αρχικής εξίσωσης. Ας δείξουμε και τις δύο προσεγγίσεις.

Ας ξεκινήσουμε με τον έλεγχο. Αντικαθιστούμε τον αριθμό −1/2 στην αρχική εξίσωση αντί της μεταβλητής x, και παίρνουμε το ίδιο πράγμα, −1=−1. Η αντικατάσταση δίνει τη σωστή αριθμητική ισότητα, άρα x=−1/2 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Τώρα θα δείξουμε πώς εκτελείται το τελευταίο σημείο του αλγορίθμου μέσω του ODZ. Το εύρος των αποδεκτών τιμών της αρχικής εξίσωσης είναι το σύνολο όλων των αριθμών εκτός από −1 και 0 (στα x=−1 και x=0 εξαφανίζονται οι παρονομαστές των κλασμάτων). Η ρίζα x=−1/2 που βρέθηκε στο προηγούμενο βήμα ανήκει στο ODZ, επομένως, x=−1/2 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

−1/2 .

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

Λύση.

Πρέπει να λύσουμε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση, ας περάσουμε από όλα τα βήματα του αλγορίθμου.

Αρχικά, μετακινούμε τον όρο από τη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά, παίρνουμε .

Δεύτερον, μετασχηματίζουμε την έκφραση που σχηματίζεται στην αριστερή πλευρά: . Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην εξίσωση x=0.

Η ρίζα του είναι προφανής - είναι μηδέν.

Στο τέταρτο βήμα, μένει να μάθουμε εάν η ρίζα που βρέθηκε είναι ξένη προς την αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση. Όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, λαμβάνεται η έκφραση. Προφανώς, δεν έχει νόημα γιατί περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Από όπου συμπεραίνουμε ότι το 0 είναι μια ξένη ρίζα. Επομένως, η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

7, το οποίο οδηγεί στην Εξ. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έκφραση στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς πρέπει να είναι ίση με αυτή της δεξιάς πλευράς, δηλαδή . Τώρα αφαιρούμε και από τις δύο πλευρές του τριπλού: . Κατ' αναλογία, από πού, και παραπέρα.

Ο έλεγχος δείχνει ότι και οι δύο ρίζες που βρέθηκαν είναι ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Απάντηση:

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Μόρντκοβιτς Α. Γ.Αλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 σελ.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Αλγεβρα: 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Μια ακέραια παράσταση είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και κυριολεκτικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Οι ακέραιοι περιλαμβάνουν επίσης εκφράσεις που περιλαμβάνουν διαίρεση με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

Η έννοια της κλασματικής ορθολογικής έκφρασης

Μια κλασματική έκφραση είναι μια μαθηματική έκφραση που, εκτός από τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού που εκτελούνται με αριθμούς και μεταβλητές γραμμάτων, καθώς και διαίρεση με αριθμό όχι ίσο με το μηδέν, περιέχει επίσης διαίρεση σε εκφράσεις με μεταβλητές γραμμάτων.

Οι ορθολογικές εκφράσεις είναι όλες ολόκληρες και κλασματικές εκφράσεις. Οι ορθολογικές εξισώσεις είναι εξισώσεις στις οποίες η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ορθολογικές εκφράσεις. Εάν σε μια ορθολογική εξίσωση η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ακέραιες εκφράσεις, τότε μια τέτοια ορθολογική εξίσωση ονομάζεται ακέραιος.

Εάν σε μια ορθολογική εξίσωση η αριστερή ή η δεξιά πλευρά είναι κλασματικές εκφράσεις, τότε μια τέτοια ορθολογική εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Παραδείγματα κλασματικών ορθολογικών εκφράσεων

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Σχέδιο επίλυσης κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης

1. Να βρείτε τον κοινό παρονομαστή όλων των κλασμάτων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

2. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν κοινό παρονομαστή.

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει.

4. Ελέγξτε τις ρίζες και εξαιρέστε αυτές που εξαφανίζουν τον κοινό παρονομαστή.

Εφόσον λύνουμε κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, θα υπάρχουν μεταβλητές στους παρονομαστές των κλασμάτων. Αυτό σημαίνει ότι θα είναι κοινός παρονομαστής. Και στο δεύτερο σημείο του αλγορίθμου πολλαπλασιάζουμε με έναν κοινό παρονομαστή, τότε μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Στην οποία ο κοινός παρονομαστής θα είναι ίσος με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός με αυτόν δεν θα έχει νόημα. Ως εκ τούτου, στο τέλος είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις ληφθείσες ρίζες.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Θα τηρήσουμε το γενικό σχήμα: πρώτα βρείτε τον κοινό παρονομαστή όλων των κλασμάτων. Παίρνουμε x*(x-5).

Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα με έναν κοινό παρονομαστή και γράψτε την εξίσωση που προκύπτει.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ας απλοποιήσουμε την εξίσωση που προκύπτει. Παίρνουμε:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Παίρνουμε μια απλή ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Το λύνουμε με οποιοδήποτε από τα γνωστές μεθόδους, παίρνουμε τις ρίζες x=-2 και x=5.

Τώρα ελέγχουμε τις λύσεις που έχουμε:

Αντικαταστήστε τους αριθμούς -2 και 5 με τον κοινό παρονομαστή. Στο x=-2, ο κοινός παρονομαστής x*(x-5) δεν εξαφανίζεται, -2*(-2-5)=14. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός -2 θα είναι η ρίζα της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Στο x=5 ο κοινός παρονομαστής x*(x-5) γίνεται μηδέν. Επομένως, αυτός ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης, αφού θα υπάρξει διαίρεση με το μηδέν.