Τι κι αν το συντομεύαμε. Πώς να μειώσετε τα αλγεβρικά κλάσματα

Σε αυτό το άρθρο θα αναφερθούμε αναλυτικά μείωση αλγεβρικών κλασμάτων. Αρχικά, ας καταλάβουμε τι σημαίνει ο όρος "αναγωγή ενός αλγεβρικού κλάσματος" και ας μάθουμε εάν ένα αλγεβρικό κλάσμα είναι πάντα αναγώγιμο. Παρακάτω παρουσιάζουμε έναν κανόνα που επιτρέπει την πραγματοποίηση αυτού του μετασχηματισμού. Τέλος, ας δούμε τις λύσεις τυπικά παραδείγματα, που θα σας επιτρέψει να κατανοήσετε όλες τις περιπλοκές της διαδικασίας.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει μείωση ενός αλγεβρικού κλάσματος;

Μελετώντας, μιλήσαμε για τη μείωσή τους. καλέσαμε τη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του με έναν κοινό παράγοντα. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 30/54 μπορεί να μειωθεί κατά 6 (δηλαδή ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρούνται με το 6), που μας οδηγεί στο κλάσμα 5/9.

Με την αναγωγή ενός αλγεβρικού κλάσματος εννοούμε παρόμοια δράση. Μείωση αλγεβρικού κλάσματος- αυτό σημαίνει διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του με έναν κοινό παράγοντα. Αλλά εάν ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος μπορεί να είναι μόνο ένας αριθμός, τότε ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος μπορεί να είναι ένα πολυώνυμο, συγκεκριμένα, ένα μονώνυμο ή ένας αριθμός.

Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά τον αριθμό 3, δίνοντας το κλάσμα . Είναι επίσης δυνατό να πραγματοποιηθεί μια συστολή στη μεταβλητή x, με αποτέλεσμα την έκφραση . Το αρχικό αλγεβρικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί με το μονώνυμο 3 x, καθώς και με οποιοδήποτε από τα πολυώνυμα x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y ή 3 x 2 +6 x y.

Ο απώτερος στόχος της μείωσης ενός αλγεβρικού κλάσματος είναι να ληφθεί ένα κλάσμα μιας απλούστερης μορφής, σε το καλύτερο σενάριο– μη αναγώγιμο κλάσμα.

Μπορεί να αναχθεί οποιοδήποτε αλγεβρικό κλάσμα;

Γνωρίζουμε ότι τα συνηθισμένα κλάσματα χωρίζονται σε . Τα μη αναγώγιμα κλάσματα δεν έχουν κοινούς συντελεστές στον αριθμητή και στον παρονομαστή εκτός του ενός και επομένως δεν μπορούν να μειωθούν.

Τα αλγεβρικά κλάσματα μπορεί να έχουν ή να μην έχουν κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Εάν υπάρχουν κοινοί παράγοντες, είναι δυνατό να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα. Εάν δεν υπάρχουν κοινοί παράγοντες, τότε η απλοποίηση ενός αλγεβρικού κλάσματος με τη μείωση του είναι αδύνατη.

Γενικά, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστεί από την εμφάνιση ενός αλγεβρικού κλάσματος εάν είναι δυνατή η αναγωγή του. Βέβαια, σε ορισμένες περιπτώσεις οι κοινοί παράγοντες αριθμητή και παρονομαστή είναι προφανείς. Για παράδειγμα, φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός αλγεβρικού κλάσματος έχουν κοινό παράγοντα 3. Είναι επίσης εύκολο να παρατηρήσετε ότι ένα αλγεβρικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά x, κατά y ή απευθείας κατά x·y. Αλλά πολύ πιο συχνά, ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος δεν είναι άμεσα ορατός, και ακόμη πιο συχνά, απλά δεν υπάρχει. Για παράδειγμα, είναι δυνατό να μειωθεί ένα κλάσμα κατά x−1, αλλά αυτός ο κοινός παράγοντας δεν υπάρχει ξεκάθαρα στον συμβολισμό. Και ένα αλγεβρικό κλάσμα είναι αδύνατο να μειωθεί, αφού ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεν έχουν κοινούς παράγοντες.

Γενικά, το ζήτημα της αναγωγιμότητας ενός αλγεβρικού κλάσματος είναι πολύ δύσκολο. Και μερικές φορές είναι πιο εύκολο να λύσετε ένα πρόβλημα δουλεύοντας με ένα αλγεβρικό κλάσμα στην αρχική του μορφή παρά να ανακαλύψετε εάν αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί πρώτα. Αλλά εξακολουθούν να υπάρχουν μετασχηματισμοί που σε ορισμένες περιπτώσεις καθιστούν δυνατό, με σχετικά μικρή προσπάθεια, να βρούμε τους κοινούς παράγοντες του αριθμητή και του παρονομαστή, εάν υπάρχουν, ή να συμπεράνουμε ότι το αρχικό αλγεβρικό κλάσμα είναι μη αναγώγιμο. Αυτές οι πληροφορίες θα γνωστοποιηθούν στην επόμενη παράγραφο.

Κανόνας για τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων

Οι πληροφορίες από τις προηγούμενες παραγράφους σας επιτρέπουν να αντιλαμβάνεστε φυσικά τα ακόλουθα κανόνας για τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων, το οποίο αποτελείται από δύο βήματα:

• Πρώτον, βρίσκονται οι κοινοί παράγοντες του αριθμητή και του παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.
• αν υπάρχουν, τότε γίνεται μείωση από αυτούς τους παράγοντες.

Τα υποδεικνυόμενα βήματα του ανακοινωθέντος κανόνα χρειάζονται διευκρίνιση.

Ο πιο βολικός τρόπος για να βρούμε κοινά είναι να συνυπολογίσουμε τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του αρχικού αλγεβρικού κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή, οι κοινοί παράγοντες του αριθμητή και του παρονομαστή γίνονται αμέσως ορατοί ή γίνεται σαφές ότι δεν υπάρχουν κοινοί παράγοντες.

Εάν δεν υπάρχουν κοινοί παράγοντες, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αλγεβρικό κλάσμα είναι μη αναγώγιμο. Αν βρεθούν κοινοί παράγοντες, τότε στο δεύτερο βήμα μειώνονται. Το αποτέλεσμα είναι ένα νέο κλάσμα μιας απλούστερης μορφής.

Ο κανόνας για τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων βασίζεται στη βασική ιδιότητα ενός αλγεβρικού κλάσματος, η οποία εκφράζεται με την ισότητα, όπου τα a, b και c είναι μερικά πολυώνυμα και τα b και c είναι μη μηδενικά. Στο πρώτο βήμα, το αρχικό αλγεβρικό κλάσμα μειώνεται στη μορφή από την οποία γίνεται ορατός ο κοινός παράγοντας c και στο δεύτερο βήμα εκτελείται η αναγωγή - η μετάβαση στο κλάσμα.

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση παραδειγμάτων χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα. Σε αυτά θα αναλύσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις που προκύπτουν όταν παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος σε παράγοντες και την επακόλουθη αναγωγή.

Χαρακτηριστικά παραδείγματα

Αρχικά, πρέπει να μιλήσουμε για τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων των οποίων ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίδιοι. Τέτοια κλάσματα είναι πανομοιότυπα ίσα με ένα σε ολόκληρο το ODZ των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό, για παράδειγμα,
και ούτω καθεξής.

Τώρα δεν θα σας βλάψει να θυμάστε πώς γίνεται η μείωση συνηθισμένα κλάσματα– άλλωστε αποτελούν ειδική περίπτωση αλγεβρικών κλασμάτων. Φυσικοί αριθμοί στον αριθμητή και στον παρονομαστή κοινού κλάσματος, μετά τους οποίους ακυρώνονται οι κοινοί συντελεστές (αν υπάρχουν). Για παράδειγμα, . Το γινόμενο πανομοιότυπων πρώτων παραγόντων μπορεί να γραφτεί με τη μορφή δυνάμεων και να χρησιμοποιηθεί κατά τη συντομογραφία. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση θα μοιάζει με αυτό: , εδώ διαιρέσαμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν κοινό παράγοντα 2 2 3. Ή, για μεγαλύτερη σαφήνεια, με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, η λύση παρουσιάζεται στη μορφή.

Απόλυτα παρόμοιες αρχές χρησιμοποιούνται για τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων, των οποίων ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν μονώνυμα με ακέραιους συντελεστές.

Παράδειγμα.

Ακύρωση αλγεβρικού κλάσματος .

Λύση.

Μπορείτε να αναπαραστήσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού αλγεβρικού κλάσματος ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και μεταβλητών και στη συνέχεια να πραγματοποιήσετε τη μείωση:

Αλλά είναι πιο λογικό να γράψουμε τη λύση με τη μορφή μιας έκφρασης με δυνάμεις:

Απάντηση:

.

Όσον αφορά τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων που έχουν κλασματικούς αριθμητικούς συντελεστές στον αριθμητή και στον παρονομαστή, μπορείτε να κάνετε δύο πράγματα: είτε να διαιρέσετε αυτούς τους κλασματικούς συντελεστές ξεχωριστά ή πρώτα να απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με ένα ορισμένο φυσικός αριθμός. Μιλήσαμε για τον τελευταίο μετασχηματισμό στο άρθρο που φέρνει ένα αλγεβρικό κλάσμα σε έναν νέο παρονομαστή, ο οποίος μπορεί να πραγματοποιηθεί λόγω της βασικής ιδιότητας ενός αλγεβρικού κλάσματος. Ας το καταλάβουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε μείωση κλασμάτων.

Λύση.

Μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα ως εξής: .

Ή θα μπορούσατε πρώτα να απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τους παρονομαστές αυτών των συντελεστών, δηλαδή με LCM(5, 10)=10. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε .

Απάντηση:

.

Μπορούμε να προχωρήσουμε στα αλγεβρικά κλάσματα γενική εικόνα, στο οποίο ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να περιέχουν και αριθμούς και μονοώνυμα, καθώς και πολυώνυμα.

Κατά τη μείωση τέτοιων κλασμάτων, το κύριο πρόβλημα είναι ότι ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή δεν είναι πάντα ορατός. Επιπλέον, δεν υπάρχει πάντα. Για να βρείτε έναν κοινό παράγοντα ή να επαληθεύσετε την απουσία του, πρέπει να συνυπολογίσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος.

Παράδειγμα.

Περιορίζω ορθολογικό κλάσμα .

Λύση.

Για να γίνει αυτό, συνυπολογίστε τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ας ξεκινήσουμε βάζοντάς το εκτός παρενθέσεων: . Προφανώς, οι εκφράσεις στις παρενθέσεις μπορούν να μετασχηματιστούν χρησιμοποιώντας

Για να κατανοήσουμε πώς να μειώσουμε τα κλάσματα, ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα.

Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το ίδιο πράγμα. Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε ένα ψηφίο, οπότε μπορούμε να μειώσουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στο νέο κλάσμα, και το 180 και το 210 διαιρούνται επίσης με το 2, οπότε μειώνουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στους αριθμούς 90 και 105, το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3, άρα και οι δύο αυτοί αριθμοί διαιρούνται με το 3, μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Στο νέο κλάσμα, το 30 και το 35 τελειώνουν σε 0 και 5, που σημαίνει ότι και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με το 5, οπότε μειώνουμε το κλάσμα κατά 5. Το κλάσμα των έξι έβδομων που προκύπτει είναι μη αναγώγιμο. Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια απάντηση με διαφορετικό τρόπο.

Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε μηδέν, που σημαίνει ότι διαιρούνται με το 10. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 10. Στο νέο κλάσμα, και ο αριθμητής 36 και ο παρονομαστής 42 διαιρούνται με το 2. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2. Στο επόμενο κλάσμα, τόσο ο αριθμητής 18 όσο και ο παρονομαστής 21 διαιρούνται με το 3, πράγμα που σημαίνει ότι μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Φτάσαμε στο αποτέλεσμα - έξι έβδομα.

Και μια ακόμα λύση.

Την επόμενη φορά θα δούμε παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων.

Με την πρώτη ματιά, τα αλγεβρικά κλάσματα φαίνονται πολύ περίπλοκα και ένας απροετοίμαστος μαθητής μπορεί να πιστεύει ότι τίποτα δεν μπορεί να γίνει με αυτά. Η ακαταστασία των μεταβλητών, των αριθμών ακόμη και των βαθμών προκαλεί φόβο. Ωστόσο, οι ίδιοι κανόνες χρησιμοποιούνται για τη μείωση των κλασμάτων (όπως 15/25) και των αλγεβρικών κλασμάτων.

Βήματα

Αναγωγικά Κλάσματα

Ελέγξτε τις δραστηριότητες με απλά κλάσματα. Οι πράξεις με συνηθισμένα και αλγεβρικά κλάσματα είναι παρόμοιες. Για παράδειγμα, ας πάρουμε το κλάσμα 15/35. Για να απλοποιήσετε αυτό το κλάσμα, θα πρέπει εύρημα κοινός διαιρέτης . Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με το πέντε, οπότε μπορούμε να απομονώσουμε το 5 στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Τώρα μπορείς μείωση των κοινών παραγόντων, δηλαδή να διαγράψετε το 5 στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το απλοποιημένο κλάσμα 3/7 . ΣΕ αλγεβρικές εκφράσειςΟι κοινοί παράγοντες κατανέμονται με τον ίδιο τρόπο όπως στους συνηθισμένους. Στο προηγούμενο παράδειγμα μπορέσαμε να επιλέξουμε εύκολα 5 από τα 15 - η ίδια αρχή ισχύει για περισσότερα σύνθετες εκφράσεις, όπως 15x – 5. Ας βρούμε τον κοινό παράγοντα. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαυτό θα είναι 5, αφού και οι δύο όροι (15x και -5) διαιρούνται με το 5. Όπως και πριν, απομονώστε τον κοινό παράγοντα και μετακινήστε τον αριστερά.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Για να ελέγξετε αν όλα είναι σωστά, απλώς πολλαπλασιάστε την έκφραση σε αγκύλες με 5 - το αποτέλεσμα θα είναι οι ίδιοι αριθμοί όπως αρχικά. Τα σύνθετα μέλη μπορούν να απομονωθούν με τον ίδιο τρόπο όπως τα απλά. Για τα αλγεβρικά κλάσματα ισχύουν οι ίδιες αρχές όπως και για τα συνηθισμένα. Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να μειώσετε ένα κλάσμα. Θεωρήστε το ακόλουθο κλάσμα:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Σημειώστε ότι τόσο ο αριθμητής (πάνω) όσο και ο παρονομαστής (κάτω) περιέχουν έναν όρο (x+2), επομένως μπορεί να μειωθεί με τον ίδιο τρόπο όπως ο κοινός παράγοντας 5 στο κλάσμα 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια απλοποιημένη έκφραση: (x-3)/(x+10)

Μείωση αλγεβρικών κλασμάτων

Βρείτε τον κοινό παράγοντα στον αριθμητή, δηλαδή στην κορυφή του κλάσματος. Όταν μειώνετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, το πρώτο βήμα είναι να απλοποιήσετε και τις δύο πλευρές. Ξεκινήστε με τον αριθμητή και προσπαθήστε να τον αποσυνθέσετε σε άλλους μεγαλύτερο αριθμόπολλαπλασιαστές. Σκεφτείτε σε αυτή την ενότητα το ακόλουθο κλάσμα:

9x-3 15x+6

Ας ξεκινήσουμε με τον αριθμητή: 9x – 3. Για το 9x και το -3, ο κοινός παράγοντας είναι ο αριθμός 3. Ας βγάλουμε 3 από αγκύλες, όπως γίνεται με τους συνηθισμένους αριθμούς: 3 * (3x-1). Σαν άποτέλεσμα αυτής της μεταμόρφωσηςπαίρνετε το ακόλουθο κλάσμα:

3 (3x-1) 15x+6

Βρείτε τον κοινό παράγοντα στον αριθμητή. Ας συνεχίσουμε με το παραπάνω παράδειγμα και γράψουμε τον παρονομαστή: 15x+6. Όπως και πριν, ας βρούμε με ποιον αριθμό διαιρούνται και τα δύο μέρη. Και σε αυτή την περίπτωση ο κοινός παράγοντας είναι 3, οπότε μπορούμε να γράψουμε: 3 * (5x +2). Ας ξαναγράψουμε το κλάσμα με την ακόλουθη μορφή:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Συντομεύστε τους ίδιους όρους. Σε αυτό το βήμα μπορείτε να απλοποιήσετε το κλάσμα. Ακυρώστε τους ίδιους όρους στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Στο παράδειγμά μας, αυτός ο αριθμός είναι 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Προσδιορίστε ότι το κλάσμα έχει απλούστερη μορφή. Ένα κλάσμα απλοποιείται πλήρως όταν δεν έχουν απομείνει κοινοί παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να ακυρώσετε όρους που εμφανίζονται μέσα σε παρένθεση - στο παραπάνω παράδειγμα δεν υπάρχει τρόπος να απομονώσετε το x από το 3x και το 5x, καθώς οι πλήρεις όροι είναι (3x -1) και (5x + 2). Έτσι, το κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω και η τελική απάντηση είναι η εξής:

(3x-1)(5x+2)

Εξασκηθείτε στη μείωση των κλασμάτων μόνοι σας. Ο καλύτερος τρόποςμάθετε η μέθοδος είναι ανεξάρτητη απόφασηκαθήκοντα. Οι σωστές απαντήσεις δίνονται κάτω από τα παραδείγματα.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Απάντηση:(x=13)

2x 2 -x 5x

Απάντηση:(2x-1)/5

Ειδικές κινήσεις

Τοποθετήστε το αρνητικό πρόσημο έξω από το κλάσμα. Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται το ακόλουθο κλάσμα:

3 (x-4) 5 (4-x)

Παρατηρήστε ότι τα (x-4) και (4-x) είναι «σχεδόν» πανομοιότυπα, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν αμέσως επειδή είναι «ανεστραμμένα». Ωστόσο, το (x - 4) μπορεί να γραφτεί ως -1 * (4 - x), όπως το (4 + 2x) μπορεί να γραφτεί ως 2 * (2 + x). Αυτό ονομάζεται «αντιστροφή σημάτων».

-1 * 3(4-x) 5 (4-x)

Τώρα μπορείτε να μειώσετε τους ίδιους όρους (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Λοιπόν, παίρνουμε την τελική απάντηση: -3/5 . Μάθετε να αναγνωρίζετε τη διαφορά μεταξύ των τετραγώνων. Διαφορά τετραγώνων είναι όταν το τετράγωνο ενός αριθμού αφαιρείται από το τετράγωνο ενός άλλου αριθμού, όπως στην παράσταση (a 2 - b 2). Η διαφορά των τέλειων τετραγώνων μπορεί πάντα να αποσυντεθεί σε δύο μέρη - το άθροισμα και τη διαφορά των αντίστοιχων τετραγωνικές ρίζες. Τότε η έκφραση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Αυτή η τεχνική είναι πολύ χρήσιμη όταν βρίσκουμε κοινούς όρους σε αλγεβρικά κλάσματα.

• Ελέγξτε εάν συνυπολογίσατε σωστά αυτήν ή εκείνη την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους παράγοντες - το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια έκφραση.
• Για να απλοποιήσετε πλήρως ένα κλάσμα, απομονώνετε πάντα τους μεγαλύτερους παράγοντες.

Πολλοί μαθητές κάνουν τα ίδια λάθη όταν εργάζονται με κλάσματα. Και όλα αυτά επειδή ξεχνούν τους βασικούς κανόνες αριθμητική. Σήμερα θα επαναλάβουμε αυτούς τους κανόνες συγκεκριμένα καθήκονταπου δίνω στα μαθήματά μου.

Εδώ είναι η εργασία που προσφέρω σε όλους όσους προετοιμάζονται για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά:

Εργο. Μια φώκαινα τρώει 150 γραμμάρια τροφής την ημέρα. Όμως μεγάλωσε και άρχισε να τρώει 20% περισσότερο. Πόσα γραμμάρια τροφής τρώει το γουρούνι τώρα;

Δεν σωστή λύση. Αυτό είναι ένα ποσοστό πρόβλημα που καταλήγει στην εξίσωση:

Πολλοί (πολύ πολλοί) μειώνουν τον αριθμό 100 στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος:

Αυτό είναι το λάθος που έκανε ο μαθητής μου την ημέρα που έγραψε αυτό το άρθρο. Οι αριθμοί που έχουν περικοπεί σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Περιττό να πούμε ότι η απάντηση ήταν λάθος. Κρίνετε μόνοι σας: το γουρούνι έφαγε 150 γραμμάρια, αλλά άρχισε να τρώει 3150 γραμμάρια. Η αύξηση δεν είναι 20%, αλλά 21 φορές, δηλ. κατά 2000%.

Για να αποφύγετε τέτοιες παρεξηγήσεις, θυμηθείτε τον βασικό κανόνα:

Μόνο οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν. Οι όροι δεν μπορούν να μειωθούν!

Έτσι, η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Οι αριθμοί που συντομεύονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή σημειώνονται με κόκκινο χρώμα. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμητής είναι ένα γινόμενο, ο παρονομαστής είναι ένας συνηθισμένος αριθμός. Επομένως, η μείωση είναι απολύτως νόμιμη.

Εργασία με αναλογίες

Ένας άλλος προβληματικός τομέας είναι αναλογίες. Ειδικά όταν η μεταβλητή βρίσκεται και στις δύο πλευρές. Για παράδειγμα:

Εργο. Λύστε την εξίσωση:

Λάθος λύση - μερικοί άνθρωποι κυριολεκτικά φαγούρα για να συντομεύσουν τα πάντα κατά m:

Οι μειωμένες μεταβλητές εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα. Η έκφραση 1/4 = 1/5 αποδεικνύεται πλήρης ανοησία, αυτοί οι αριθμοί δεν είναι ποτέ ίσοι.

Και τώρα - η σωστή απόφαση. Ουσιαστικά είναι συνηθισμένο γραμμική εξίσωση . Μπορεί να λυθεί είτε μετακινώντας όλα τα στοιχεία στη μία πλευρά είτε με τη βασική ιδιότητα της αναλογίας:

Πολλοί αναγνώστες θα αντιταχθούν: «Πού είναι το λάθος στην πρώτη λύση;» Λοιπόν, ας μάθουμε. Ας θυμηθούμε τον κανόνα για την εργασία με εξισώσεις:

Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να διαιρεθεί και να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό, μη μηδενικό.

Σου ξέφυγε το κόλπο; Μπορείτε να διαιρέσετε μόνο με αριθμούς μη μηδενικό. Συγκεκριμένα, μπορείτε να διαιρέσετε με μια μεταβλητή m μόνο εάν m != 0. Τι γίνεται όμως αν, τελικά, m = 0; Ας αντικαταστήσουμε και ας ελέγξουμε:

Λάβαμε τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. m = 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Για το υπόλοιπο m != 0 λαμβάνουμε μια έκφραση της μορφής 1/4 = 1/5, η οποία είναι φυσικά λανθασμένη. Έτσι, δεν υπάρχουν μη μηδενικές ρίζες.

Συμπεράσματα: συνδυάζοντας τα όλα μαζί

Λοιπόν, για να λυθεί κλασματικές ορθολογικές εξισώσειςθυμηθείτε τρεις κανόνες:

1. Μόνο οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν. Προσθήκες δεν είναι δυνατές. Επομένως, μάθετε να συνυπολογίζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
2. Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: το γινόμενο των ακραίων στοιχείων είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων.
3. Οι εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν μόνο με αριθμούς k διαφορετικούς από το μηδέν. Η περίπτωση k = 0 πρέπει να ελεγχθεί χωριστά.

Θυμηθείτε αυτούς τους κανόνες και μην κάνετε λάθη.

Χωρίς να γνωρίζουμε πώς να μειώνουμε ένα κλάσμα και να έχουμε σταθερή ικανότητα στην επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, είναι πολύ δύσκολο να μελετήσουμε την άλγεβρα στο σχολείο. Όσο προχωράτε, τόσο περισσότερες νέες πληροφορίες υπερτίθενται στις βασικές γνώσεις σχετικά με τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων. Πρώτα εμφανίζονται δυνάμεις και μετά παράγοντες που αργότερα γίνονται πολυώνυμα.

Πώς μπορείτε να αποφύγετε τη σύγχυση εδώ; Ενοποιήστε διεξοδικά τις δεξιότητες σε προηγούμενα θέματα και προετοιμαστείτε σταδιακά για τη γνώση του πώς να μειώσετε ένα κλάσμα, το οποίο γίνεται πιο περίπλοκο από χρόνο σε χρόνο.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Χωρίς αυτά, δεν θα μπορείτε να ανταπεξέλθετε σε εργασίες οποιουδήποτε επιπέδου. Για να καταλάβετε, πρέπει να κατανοήσετε δύο απλά σημεία. Πρώτον: μπορείτε μόνο να μειώσετε τους παράγοντες. Αυτή η απόχρωση αποδεικνύεται πολύ σημαντική όταν εμφανίζονται πολυώνυμα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Στη συνέχεια, πρέπει να διακρίνετε ξεκάθαρα πού είναι ο παράγοντας και πού είναι το πρόσθετο.

Το δεύτερο σημείο λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή παραγόντων. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της αναγωγής είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν μπορούν πλέον να μειωθούν.

Κανόνες για τη μείωση κοινών κλασμάτων

Αρχικά, πρέπει να ελέγξετε αν ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή ή το αντίστροφο. Τότε είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός που πρέπει να μειωθεί. Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή.

Το δεύτερο είναι η ανάλυση εμφάνισηαριθμοί. Εάν και τα δύο τελειώνουν σε ένα ή περισσότερα μηδενικά, μπορούν να συντομευθούν κατά 10, 100 ή χίλια. Εδώ μπορείτε να παρατηρήσετε αν οι αριθμοί είναι ζυγοί. Εάν ναι, τότε μπορείτε να το κόψετε με ασφάλεια κατά δύο.

Ο τρίτος κανόνας για τη μείωση ενός κλάσματος είναι να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες. Αυτή τη στιγμή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενεργά όλες τις γνώσεις σας σχετικά με τα σημάδια διαιρετότητας των αριθμών. Μετά από αυτή την αποσύνθεση, το μόνο που μένει είναι να βρούμε όλες τις επαναλαμβανόμενες, να τις πολλαπλασιάσουμε και να τις μειώσουμε κατά τον αριθμό που προκύπτει.

Τι γίνεται αν υπάρχει μια αλγεβρική έκφραση σε ένα κλάσμα;

Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες. Επειδή εδώ εμφανίζονται όροι που μπορεί να είναι πανομοιότυποι με παράγοντες. Θέλω πολύ να τα μειώσω, αλλά δεν μπορώ. Για να μπορέσετε να μειώσετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει να μετατραπεί έτσι ώστε να έχει συντελεστές.

Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολλά βήματα. Ίσως χρειαστεί να περάσετε από όλα αυτά, ή ίσως το πρώτο να προσφέρει μια κατάλληλη επιλογή.

Ελέγξτε εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ή οποιαδήποτε έκφραση σε αυτά διαφέρουν κατά πρόσημο. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να βάλετε μείον ένα εκτός παρενθέσεων. Αυτό παράγει ίσους παράγοντες που μπορούν να μειωθούν.

Δείτε αν είναι δυνατό να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα από το πολυώνυμο εκτός παρενθέσεων. Ίσως αυτό να οδηγήσει σε μια παρένθεση, η οποία μπορεί επίσης να συντομευτεί ή θα είναι ένα αφαιρεμένο μονώνυμο.

Προσπαθήστε να ομαδοποιήσετε τα μονώνυμα για να προσθέσετε στη συνέχεια έναν κοινό παράγοντα σε αυτά. Μετά από αυτό, μπορεί να αποδειχθεί ότι θα υπάρξουν παράγοντες που μπορούν να μειωθούν ή και πάλι η αγκύρωση των κοινών στοιχείων θα επαναληφθεί.

Προσπαθήστε να λάβετε υπόψη τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού γραπτώς. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε πολυώνυμα σε παράγοντες.

Ακολουθία πράξεων με κλάσματα με δυνάμεις

Για να κατανοήσετε εύκολα το ερώτημα πώς να μειώσετε ένα κλάσμα με δυνάμεις, πρέπει να θυμάστε σταθερά τις βασικές λειτουργίες με αυτές. Το πρώτο από αυτά σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Σε αυτή την περίπτωση, εάν οι βάσεις είναι ίδιες, πρέπει να προστεθούν οι δείκτες.

Το δεύτερο είναι η διαίρεση. Και πάλι, για όσους έχουν τους ίδιους λόγους, οι δείκτες θα πρέπει να αφαιρεθούν. Επιπλέον, πρέπει να αφαιρέσετε από τον αριθμό που είναι στο μέρισμα και όχι το αντίστροφο.

Το τρίτο είναι η εκθετικότητα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται.

Η επιτυχής μείωση θα απαιτήσει επίσης τη δυνατότητα μείωσης των βαθμών σε για τους ίδιους λόγους. Δηλαδή, να δούμε ότι τέσσερα είναι δύο στο τετράγωνο. Ή 27 - ο κύβος των τριών. Γιατί η μείωση 9 σε τετράγωνο και 3 κύβους είναι δύσκολη. Αλλά αν μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση σε (3 2) 2, τότε η αναγωγή θα είναι επιτυχής.