Να βρείτε την τετμημένη της εφαπτομένης. Ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Εξίσωση ευθείας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση συνάρτησης σε δεδομένο σημείο

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία σε κάποιο σημείο x 0 έχει πεπερασμένη παράγωγο f (x 0). Τότε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (x 0 , f (x 0)), που έχει γωνιακό συντελεστή f' (x 0), ονομάζεται εφαπτομένη.

Τι συμβαίνει αν η παράγωγος δεν υπάρχει στο σημείο x 0; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Δεν υπάρχει ούτε εφαπτομένη στο γράφημα. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η συνάρτηση y = |x | στο σημείο (0; 0).
2. Η εφαπτομένη γίνεται κατακόρυφη. Αυτό ισχύει, για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y = arcsin x στο σημείο (1; π /2).

Εξίσωση εφαπτομένης

Οποιαδήποτε μη κάθετη ευθεία δίνεται από μια εξίσωση της μορφής y = kx + b, όπου k είναι η κλίση. Η εφαπτομένη δεν αποτελεί εξαίρεση και για να δημιουργηθεί η εξίσωσή της σε κάποιο σημείο x 0, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης και της παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Άρα, έστω μια συνάρτηση y = f (x), η οποία έχει παράγωγο y = f ’(x) στο τμήμα. Τότε σε οποιοδήποτε σημείο x 0 ∈ (a ; b) μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης, η οποία δίνεται από την εξίσωση:

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Εδώ f ’(x 0) είναι η τιμή της παραγώγου στο σημείο x 0 και f (x 0) είναι η τιμή της ίδιας της συνάρτησης.

Εργο. Δίνεται η συνάρτηση y = x 3 . Γράψτε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο σημείο x 0 = 2.

Εφαπτομένη εξίσωση: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Το σημείο x 0 = 2 μας δίνεται, αλλά θα πρέπει να υπολογιστούν οι τιμές f (x 0) και f ’ (x 0).

Αρχικά, ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης. Όλα είναι εύκολα εδώ: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Τώρα ας βρούμε την παράγωγο: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Αντικαθιστούμε το x 0 = 2 στην παράγωγο: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Συνολικά παίρνουμε: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Αυτή είναι η εφαπτομένη εξίσωση.

Εργο. Να γράψετε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 2sin x + 5 στο σημείο x 0 = π /2.

Αυτή τη φορά δεν θα περιγράψουμε κάθε ενέργεια λεπτομερώς - θα υποδείξουμε μόνο βασικά βήματα. Εχουμε:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Εξίσωση εφαπτομένης:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Στην τελευταία περίπτωση, η ευθεία αποδείχθηκε οριζόντια, επειδή ο γωνιακός συντελεστής του k = 0. Δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό - μόλις πέσαμε σε ένα ακραίο σημείο.

Τύπος εργασίας: 7

Κατάσταση

Η ευθεία y=3x+2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10. Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.

Δείξε λύση

Λύση

Έστω x_0 η τετμημένη του σημείου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10 από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση.

Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y"(x_0)=-24x_0+b=3. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει ταυτόχρονα και στη γραφική παράσταση του συνάρτηση και η εφαπτομένη, δηλαδή, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων \begin(περιπτώσεις) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (περιπτώσεις)

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1. Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Απάντηση

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Η ευθεία y=-3x+4 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=-x^2+5x-7. Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.

Δείξε λύση

Λύση

Ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-x^2+5x-7 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίσος με y"(x_0). Αλλά y"=-2x+5, που σημαίνει y" (x_0)=-2x_0+5 ο συντελεστής της ευθείας y=-3x+4 είναι ίσος με -3 Οι παράλληλες ευθείες έχουν τους ίδιους γωνιακούς συντελεστές -2x_0 +5=-3.

Παίρνουμε: x_0 = 4.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Δείξε λύση

Λύση

Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(-6; 2) και B(-1; 1). Ας συμβολίσουμε με C(-6; 1) το σημείο τομής των ευθειών x=-6 και y=1 και με \άλφα τη γωνία ABC (μπορείτε να δείτε στο σχήμα ότι είναι οξεία). Τότε η ευθεία ΑΒ σχηματίζει γωνία \pi -\άλφα με τη θετική φορά του άξονα Ox, η οποία είναι αμβλεία.

Όπως είναι γνωστό, το tg(\pi -\alpha) θα είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x_0. σημειώσε ότι tg \άλφα =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Από εδώ, χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης, παίρνουμε: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Η ευθεία y=-2x-4 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=16x^2+bx+12. Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Δείξε λύση

Λύση

Έστω x_0 η τετμημένη του σημείου στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=16x^2+bx+12 μέσω της οποίας

είναι εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα.

Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y"(x_0)=32x_0+b=-2. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει ταυτόχρονα και στη γραφική παράσταση του συνάρτηση και η εφαπτομένη, δηλαδή, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων \begin(περιπτώσεις) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end (περιπτώσεις)

Λύνοντας το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1. Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα σημεία εφαπτομένης είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, άρα x_0=1, μετά b=-2-32x_0=-34.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-2; 8). Να προσδιορίσετε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y=6.

Δείξε λύση

Λύση

Η ευθεία y=6 είναι παράλληλη στον άξονα Ox. Επομένως, βρίσκουμε σημεία στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη με τον άξονα Ox. Σε αυτό το γράφημα, τέτοια σημεία είναι ακραία σημεία (μέγιστα ή ελάχιστα σημεία). Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν 4 ακραία σημεία.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Η ευθεία y=4x-6 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x^2-4x+9. Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.

Δείξε λύση

Λύση

Η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x^2-4x+9 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίση με y"(x_0). Αλλά y"=2x-4, που σημαίνει y"(x_0)= 2x_0-4 Η κλίση της εφαπτομένης y =4x-7 που καθορίζεται στη συνθήκη είναι ίση με 4. Οι παράλληλες ευθείες έχουν τους ίδιους γωνιακούς συντελεστές.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Τύπος εργασίας: 7
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Κατάσταση

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και η εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x_0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x_0.

Δείξε λύση

Λύση

Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4). Ας συμβολίσουμε με C(5; 1) το σημείο τομής των ευθειών x=5 και y=1 και με \άλφα τη γωνία BAC (μπορείτε να δείτε στο σχήμα ότι είναι οξεία). Τότε η ευθεία ΑΒ σχηματίζει γωνία \άλφα με τη θετική φορά του άξονα Ox.

Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε όλους τους τύπους προβλημάτων για να βρούμε

Ας θυμηθούμε γεωμετρική σημασίαπαράγωγο: αν μια εφαπτομένη σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, τότε ο συντελεστής κλίσης της εφαπτομένης (ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα) είναι ίσος με την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο στην εφαπτομένη με συντεταγμένες:

Και σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο:

Σε αυτό το τρίγωνο

Από εδώ

Αυτή είναι η εξίσωση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο.

Για να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης, χρειάζεται μόνο να γνωρίζουμε την εξίσωση της συνάρτησης και το σημείο στο οποίο σχεδιάζεται η εφαπτομένη. Τότε μπορούμε να βρούμε και .

Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι προβλημάτων εξίσωσης εφαπτομένων.

1. Δίνεται ένα σημείο επαφής

2. Δίνεται ο συντελεστής της εφαπτομένης κλίσης, δηλαδή η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο.

3. Δίνονται οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο σύρεται η εφαπτομένη, αλλά που δεν είναι το σημείο της εφαπτομένης.

Ας δούμε κάθε τύπο εργασίας.

1 . Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο .

.

β) Να βρείτε την τιμή της παραγώγου στο σημείο . Αρχικά ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην εφαπτομενική εξίσωση:

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Παίρνουμε:

Απάντηση: .

2. Να βρείτε την τετμημένη των σημείων στα οποία οι συναρτήσεις εφάπτονται στη γραφική παράσταση παράλληλα με τον άξονα x.

Εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα x, επομένως η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα είναι μηδέν, επομένως η εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στα σημεία επαφής είναι μηδέν.

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης .

β) Ας εξισώσουμε την παράγωγο με το μηδέν και ας βρούμε τις τιμές στις οποίες η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα:

Εξισώνοντας κάθε παράγοντα με μηδέν, παίρνουμε:

Απάντηση: 0;3;5

3. Να γράψετε εξισώσεις για τις εφαπτομένες στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης , παράλληλο ευθεία .

Μια εφαπτομένη είναι παράλληλη σε μια ευθεία. Η κλίση αυτής της γραμμής είναι -1. Εφόσον η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε αυτήν την ευθεία, επομένως, η κλίση της εφαπτομένης είναι επίσης -1. Αυτό είναι γνωρίζουμε την κλίση της εφαπτομένης, και ως εκ τούτου, παράγωγη τιμή στο σημείο εφαπτομένης.

Αυτός είναι ο δεύτερος τύπος προβλήματος για την εύρεση της εφαπτομενικής εξίσωσης.

Έτσι, μας δίνεται η συνάρτηση και η τιμή της παραγώγου στο σημείο εφαπτομένης.

α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με -1.

Αρχικά, ας βρούμε την εξίσωση της παραγώγου.

Ας εξισώσουμε την παράγωγο με τον αριθμό -1.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο.

(κατά συνθήκη)

.

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο .

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο.

(κατά συνθήκη).

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην εφαπτομενική εξίσωση:

.

Απάντηση:

4 . Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης , περνώντας από ένα σημείο

Αρχικά, ας ελέγξουμε αν το σημείο είναι εφαπτομενικό. Αν ένα σημείο είναι εφαπτομενικό, τότε ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση της συνάρτησης. Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση της συνάρτησης.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} δεν είναι σημείο επαφής.

Αυτός είναι ο τελευταίος τύπος προβλήματος για την εύρεση της εφαπτομένης εξίσωσης. Το πρώτο πράγμα πρέπει να βρούμε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.

Ας βρούμε την τιμή.

Ας είναι το σημείο επαφής. Το σημείο ανήκει στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στην εφαπτομενική εξίσωση, θα έχουμε τη σωστή ισότητα:

.

Η τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο είναι .

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο.

Αρχικά, ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης. Αυτό .

Η παράγωγος σε ένα σημείο είναι ίση με .

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις για και στην εφαπτομένη εξίσωση. Παίρνουμε την εξίσωση για:

Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση.

Μειώστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος κατά 2:

Ας φέρουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε έναν κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε:

Ας απλοποιήσουμε τον αριθμητή του κλάσματος και ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με - αυτή η έκφραση είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν.

Παίρνουμε την εξίσωση

Ας το λύσουμε. Για να γίνει αυτό, ας τετραγωνίσουμε και τα δύο μέρη και ας προχωρήσουμε στο σύστημα.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση.

Ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση, παίρνουμε

Η δεύτερη ρίζα δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Ας γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε την τιμή στην εξίσωση - Το ηχογραφήσαμε ήδη.

Απάντηση:
.

Το μάθημα βίντεο "Εξίσωση εφαπτομένης στο γράφημα μιας συνάρτησης" παρουσιάζει εκπαιδευτικό υλικό για την κατάκτηση του θέματος. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος βίντεο, περιγράφεται το θεωρητικό υλικό που είναι απαραίτητο για τη διατύπωση της έννοιας της εξίσωσης μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο, ένας αλγόριθμος για την εύρεση μιας τέτοιας εφαπτομένης και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων χρησιμοποιώντας το μελετημένο θεωρητικό υλικό .

Το εκπαιδευτικό βίντεο χρησιμοποιεί μεθόδους που βελτιώνουν τη σαφήνεια του υλικού. Η παρουσίαση περιέχει σχέδια, διαγράμματα, σημαντικά φωνητικά σχόλια, κινούμενα σχέδια, επισημάνσεις και άλλα εργαλεία.

Το μάθημα βίντεο ξεκινά με μια παρουσίαση του θέματος του μαθήματος και μια εικόνα μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y=f(x) στο σημείο M(a;f(a)). Είναι γνωστό ότι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης που απεικονίζεται στη γραφική παράσταση σε ένα δεδομένο σημείο είναι ίσος με την παράγωγο της συνάρτησης f΄(a) σε αυτό το σημείο. Επίσης από το μάθημα της άλγεβρας γνωρίζουμε την εξίσωση της ευθείας y=kx+m. Παρουσιάζεται σχηματικά η λύση στο πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης εξίσωσης σε ένα σημείο, η οποία ανάγεται στην εύρεση των συντελεστών k, m. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, μπορούμε να βρούμε το m αντικαθιστώντας την τιμή της συντεταγμένης στην εφαπτομενική εξίσωση f(a)=ka+m. Από αυτό βρίσκουμε m=f(a)-ka. Έτσι, γνωρίζοντας την τιμή της παραγώγου σε ένα δεδομένο σημείο και τις συντεταγμένες του σημείου, μπορούμε να αναπαραστήσουμε την εφαπτομένη εξίσωση με αυτόν τον τρόπο y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα σύνθεσης μιας εφαπτομενικής εξίσωσης σύμφωνα με το διάγραμμα. Δίνεται η συνάρτηση y=x 2 , x=-2. Λαμβάνοντας a=-2, βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Καθορίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης f΄(x)=2x. Στο σημείο αυτό η παράγωγος ισούται με f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Για τη σύνθεση της εξίσωσης βρέθηκαν όλοι οι συντελεστές a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, άρα η εφαπτομένη εξίσωση είναι y=4+(-4)(x+2). Απλοποιώντας την εξίσωση, παίρνουμε y = -4-4x.

Το παρακάτω παράδειγμα προτείνει την κατασκευή μιας εξίσωσης για την εφαπτομένη στην αρχή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=tgx. Σε δεδομένο σημείο a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Άρα η εφαπτομενική εξίσωση μοιάζει με y=x.

Ως γενίκευση, η διαδικασία σύνθεσης μιας εξίσωσης εφαπτομένης στο γράφημα μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο επισημοποιείται με τη μορφή ενός αλγορίθμου που αποτελείται από 4 βήματα:

• Εισαγάγετε τον προσδιορισμό a για την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
• Το f(a) υπολογίζεται.
• Προσδιορίζεται η f΄(x) και υπολογίζεται η f΄(a). Οι ευρεθείσες τιμές των a, f(a), f΄(a) αντικαθίστανται στον τύπο της εφαπτομενικής εξίσωσης y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Το Παράδειγμα 1 εξετάζει τη σύνθεση της εφαπτομένης εξίσωσης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=1/x στο σημείο x=1. Για να λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιούμε έναν αλγόριθμο. Για μια δεδομένη συνάρτηση στο σημείο a=1, η τιμή της συνάρτησης f(a)=-1. Παράγωγος της συνάρτησης f΄(x)=1/x 2. Στο σημείο a=1 η παράγωγος f΄(a)= f΄(1)=1. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που ελήφθησαν, συντάσσεται η εφαπτομένη εξίσωση y=-1+(x-1), ή y=x-2.

Στο παράδειγμα 2, είναι απαραίτητο να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 3 +3x 2 -2x-2. Βασική προϋπόθεση είναι ο παραλληλισμός της εφαπτομένης και της ευθείας y=-2x+1. Αρχικά, βρίσκουμε τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης, ίσο με τον γωνιακό συντελεστή της ευθείας y=-2x+1. Αφού f΄(a)=-2 για δεδομένη ευθεία, τότε k=-2 για την επιθυμητή εφαπτομένη. Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Γνωρίζοντας ότι f΄(a)=-2, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου 3a 2 +6a-2=-2. Έχοντας λύσει την εξίσωση, παίρνουμε 1 =0 και 2 =-2. Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες που βρέθηκαν, μπορείτε να βρείτε την εφαπτομένη εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν πολύ γνωστό αλγόριθμο. Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Η τιμή της παραγώγου στο σημείο f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στην εφαπτομενική εξίσωση, λαμβάνουμε για το πρώτο σημείο a 1 =0 y=-2x-2 και για το δεύτερο σημείο a 2 =-2 την εφαπτομένη εξίσωση y=-2x-22.

Το Παράδειγμα 3 περιγράφει τη σύνθεση της εφαπτομένης εξίσωσης για τη σχεδίασή της στο σημείο (0;3) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=√x. Η λύση γίνεται χρησιμοποιώντας έναν πολύ γνωστό αλγόριθμο. Το εφαπτομενικό σημείο έχει συντεταγμένες x=a, όπου a>0. Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο f(a)=√x. Η παράγωγος της συνάρτησης f΄(х)=1/2√х, άρα σε δεδομένο σημείο f΄(а)=1/2√а. Αντικαθιστώντας όλες τις λαμβανόμενες τιμές στην εφαπτομενική εξίσωση, λαμβάνουμε y = √a + (x-a)/2√a. Μετασχηματίζοντας την εξίσωση, παίρνουμε y=x/2√а+√а/2. Γνωρίζοντας ότι η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο (0;3), βρίσκουμε την τιμή του α. Βρίσκουμε a από 3=√a/2. Άρα √a=6, a=36. Βρίσκουμε την εφαπτομένη εξίσωση y=x/12+3. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της υπό εξέταση συνάρτησης και την κατασκευασμένη επιθυμητή εφαπτομένη.

Υπενθυμίζονται στους μαθητές οι κατά προσέγγιση ισότητες Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Λαμβάνοντας x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, παίρνουμε f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), επομένως f(x)≈f(a)+ f΄( α)(χ-α).

Στο παράδειγμα 4, είναι απαραίτητο να βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή της έκφρασης 2.003 6. Εφόσον είναι απαραίτητο να βρούμε την τιμή της συνάρτησης f(x)=x 6 στο σημείο x=2,003, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο, λαμβάνοντας f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Παράγωγος στο σημείο f΄(2)=192. Επομένως, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Έχοντας υπολογίσει την παράσταση, παίρνουμε 2.003 6 ≈64.576.

Το μάθημα βίντεο «Εξίσωση εφαπτομένης στο γράφημα μιας συνάρτησης» συνιστάται για χρήση παραδοσιακό μάθημαμαθηματικά στο σχολείο. Για έναν δάσκαλο που διδάσκει εξ αποστάσεως, το υλικό βίντεο θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε το θέμα με μεγαλύτερη σαφήνεια. Το βίντεο μπορεί να προταθεί στους μαθητές να το αναθεωρήσουν ανεξάρτητα εάν είναι απαραίτητο για να εμβαθύνουν την κατανόησή τους για το θέμα.

ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Γνωρίζουμε ότι αν ένα σημείο M (a; f(a)) (em με συντεταγμένες a και ef από a) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και αν σε αυτό το σημείο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που δεν είναι κάθετη στην τετμημένη του άξονα, τότε ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης είναι ίσος με f"(a) (eff πρώτος από το a).

Έστω μια συνάρτηση y = f(x) και ένα σημείο M (a; f(a)) και είναι επίσης γνωστό ότι υπάρχει f´(a). Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Αυτή η εξίσωση, όπως και η εξίσωση οποιασδήποτε ευθείας που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα τεταγμένης, έχει τη μορφή y = kx+m (το y ισούται με ka x συν em), επομένως η εργασία είναι να βρούμε τις τιμές του οι συντελεστές k και m (ka και em)

Συντελεστής γωνίας k= f"(a). Για να υπολογίσουμε την τιμή του m, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η επιθυμητή ευθεία διέρχεται από το σημείο M(a; f (a)). Αυτό σημαίνει ότι αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείο Μ στην εξίσωση της ευθείας, παίρνουμε τη σωστή ισότητα : f(a) = ka+m, από όπου βρίσκουμε ότι m = f(a) - ka.

Απομένει να αντικαταστήσουμε τις ευρεθείσες τιμές των συντελεστών ki και m στην εξίσωση της ευθείας:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= φά(ένα)+ φά"(ένα) (Χ- ένα). (Το y ισούται με ef από ένα συν ef πρώτο από το a, πολλαπλασιαζόμενο επί x μείον a).

Έχουμε λάβει την εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο x=a.

Αν, ας πούμε, y = x 2 και x = -2 (δηλ. a = -2), τότε f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, που σημαίνει f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (τότε το ef του a είναι ίσο με τέσσερα, το ef του πρώτου του Το x είναι ίσο με δύο x, που σημαίνει ef πρώτος από ένα ίσο με μείον τέσσερα)

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 στην εξίσωση, λαμβάνουμε: y = 4+(-4)(x+2), δηλαδή y = -4x -4.

(Το Ε ισούται με μείον τέσσερα x μείον τέσσερα)

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = tanx (το y είναι ίσο με την εφαπτομένη x) στην αρχή. Έχουμε: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , που σημαίνει f"(0) = l. Αντικαθιστώντας τις τιμές a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 στην εξίσωση, παίρνουμε: y=x.

Ας συνοψίσουμε τα βήματά μας για την εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο x χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο.

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΦΑΜΕΝΗ ΣΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y = f(x):

1) Να χαρακτηρίσετε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου με το γράμμα α.

2) Υπολογίστε τη f(a).

3) Βρείτε το f´(x) και υπολογίστε το f´(a).

4) Αντικαταστήστε τους αριθμούς που βρέθηκαν a, f(a), f´(a) στον τύπο y= φά(ένα)+ φά"(ένα) (Χ- ένα).

Παράδειγμα 1. Δημιουργήστε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - σε

σημείο x = 1.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο σε αυτό το παράδειγμα

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Αντικαταστήστε τους τρεις αριθμούς που βρέθηκαν: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 στον τύπο. Παίρνουμε: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Απάντηση: y = x-2.

Παράδειγμα 2. Δίνεται η συνάρτηση y = x 3 +3x 2 -2x-2. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), παράλληλη στην ευθεία y = -2x +1.

Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο για τη σύνθεση της εφαπτομένης εξίσωσης, λαμβάνουμε υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, αλλά η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου δεν υποδεικνύεται εδώ.

Ας αρχίσουμε να σκεφτόμαστε έτσι. Η επιθυμητή εφαπτομένη πρέπει να είναι παράλληλη στην ευθεία y = -2x+1. Και οι παράλληλες γραμμές έχουν ίσους γωνιακούς συντελεστές. Αυτό σημαίνει ότι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης είναι ίσος με τον γωνιακό συντελεστή της δεδομένης ευθείας: k εφαπτομένη. = -2. Hok cas. = f"(a). Έτσι, μπορούμε να βρούμε την τιμή του a από την εξίσωση f´(a) = -2.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y=φά(Χ):

φά"(Χ)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;φά"(α)= 3a 2 +6a-2.

Από την εξίσωση f"(a) = -2, δηλ. 3α 2 +6α-2=-2 βρίσκουμε ένα 1 =0, ένα 2 =-2. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο εφαπτομένες που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του προβλήματος: η μία στο σημείο με την τετμημένη 0, η άλλη στο σημείο με την τετμημένη -2.

Τώρα μπορείτε να ακολουθήσετε τον αλγόριθμο.

1) a 1 =0 και 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Αντικαθιστώντας τις τιμές a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 στον τύπο, παίρνουμε:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Αντικαθιστώντας τις τιμές a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 στον τύπο, παίρνουμε:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Απάντηση: y=-2x-2, y=-2x+2.

Παράδειγμα 3. Από το σημείο (0; 3) σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = . Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για τη σύνθεση της εφαπτομένης εξίσωσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα f(x) = . Σημειώστε ότι εδώ, όπως στο παράδειγμα 2, η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου δεν υποδεικνύεται ρητά. Ωστόσο, ακολουθούμε τον αλγόριθμο.

1) Έστω x = a η τετμημένη του σημείου εφαπτομένης. είναι σαφές ότι ένα >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Αντικατάσταση των τιμών των a, f(a) = , f"(a) = στον τύπο

y=f (a) +f "(a) (x-a), παίρνουμε:

Κατά συνθήκη, η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο (0; 3). Αντικαθιστώντας τις τιμές x = 0, y = 3 στην εξίσωση, παίρνουμε: 3 = , και μετά =6, a =36.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτό το παράδειγμα, μόνο στο τέταρτο βήμα του αλγορίθμου καταφέραμε να βρούμε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου. Αντικαθιστώντας την τιμή a =36 στην εξίσωση, παίρνουμε: y=+3

Στο Σχ. Το σχήμα 1 δείχνει μια γεωμετρική απεικόνιση του εξεταζόμενου παραδείγματος: κατασκευάζεται μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y =, σχεδιάζεται μια ευθεία γραμμή y = +3.

Απάντηση: y = +3.

Γνωρίζουμε ότι για μια συνάρτηση y = f(x), που έχει παράγωγο στο σημείο x, ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα: Δyf´(x)Δx (το δέλτα y είναι περίπου ίσο με τον πρώτο eff του x πολλαπλασιαζόμενος επί δέλτα x)

ή, πιο αναλυτικά, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff από το x συν δέλτα x μείον το ef από το x είναι περίπου ίσο με το ef πρώτο από το x με το δέλτα x).

Για τη διευκόλυνση της περαιτέρω συζήτησης, ας αλλάξουμε τη σημείωση:

αντί για x θα γράψουμε ΕΝΑ,

αντί για x+Δx θα γράψουμε x

Αντί για Δx θα γράψουμε x-a.

Τότε η κατά προσέγγιση ισότητα που γράφτηκε παραπάνω θα έχει τη μορφή:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (Το eff από το x είναι περίπου ίσο με το ef από έναν συν ef πρώτο από το a, πολλαπλασιαζόμενο με τη διαφορά μεταξύ x και a).

Παράδειγμα 4. Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της αριθμητικής παράστασης 2.003 6.

Λύση. Μιλάμε για την εύρεση της τιμής της συνάρτησης y = x 6 στο σημείο x = 2,003. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο f(x)f(a)+f´(a)(x-a), λαμβάνοντας υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 και, επομένως, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

2.003 6 64+192· 0.003, δηλ. 2.003 6 =64.576.

Εάν χρησιμοποιήσουμε μια αριθμομηχανή, παίρνουμε:

2,003 6 = 64,5781643...

Όπως μπορείτε να δείτε, η ακρίβεια προσέγγισης είναι αρκετά αποδεκτή.

Μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή , που αγγίζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα σημείο και όλα τα σημεία της βρίσκονται στη μικρότερη απόσταση από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Επομένως, η εφαπτομένη περνά εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε μια ορισμένη γωνία και πολλές εφαπτομένες σε διαφορετικές γωνίες δεν μπορούν να περάσουν από το σημείο της εφαπτομένης. Οι εφαπτομενικές και οι κανονικές εξισώσεις στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας την παράγωγο.

Η εξίσωση εφαπτομένης προκύπτει από την εξίσωση ευθείας .

Ας εξαγάγουμε την εξίσωση της εφαπτομένης και μετά την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

y = kx + σι .

Σε αυτόν κ- γωνιακός συντελεστής.

Από εδώ παίρνουμε την ακόλουθη καταχώρηση:

y - y 0 = κ(Χ - Χ 0 ) .

Παράγωγη αξία φά "(Χ 0 ) λειτουργίες y = φά(Χ) στο σημείο Χ0 ίσο με την κλίση κ= tg φ εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που διασχίζεται από ένα σημείο Μ0 (Χ 0 , y 0 ) , Οπου y0 = φά(Χ 0 ) . Αυτό είναι γεωμετρική σημασία της παραγώγου .

Έτσι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε κεπί φά "(Χ 0 ) και πάρε τα παρακάτω εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης :

y - y 0 = φά "(Χ 0 )(Χ - Χ 0 ) .

Σε προβλήματα που αφορούν τη σύνθεση της εξίσωσης μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (και θα προχωρήσουμε σε αυτά σύντομα), απαιτείται να μειωθεί η εξίσωση που προκύπτει από τον παραπάνω τύπο σε εξίσωση ευθείας σε γενική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετακινήσετε όλα τα γράμματα και τους αριθμούς στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και να αφήσετε το μηδέν στη δεξιά πλευρά.

Τώρα για την κανονική εξίσωση. Κανονικός - αυτή είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Κανονική εξίσωση :

(Χ - Χ 0 ) + φά "(Χ 0 )(y - y 0 ) = 0

Για να ζεσταθείτε, σας ζητείται να λύσετε μόνοι σας το πρώτο παράδειγμα και μετά να δείτε τη λύση. Υπάρχει κάθε λόγος να ελπίζουμε ότι αυτή η εργασία δεν θα είναι ένα «κρύο ντους» για τους αναγνώστες μας.

Παράδειγμα 0.Δημιουργήστε μια εφαπτομενική εξίσωση και μια κανονική εξίσωση για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο Μ (1, 1) .

Παράδειγμα 1.Να γράψετε μια εφαπτομενική εξίσωση και μια κανονική εξίσωση για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης , αν η τετμημένη είναι εφαπτομένη .

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

Τώρα έχουμε όλα όσα πρέπει να αντικατασταθούν στην καταχώρηση που δίνεται στη θεωρητική βοήθεια για να πάρουμε την εφαπτομένη εξίσωση. Παίρνουμε

Σε αυτό το παράδειγμα, ήμασταν τυχεροί: η κλίση αποδείχθηκε μηδέν, επομένως μειώνουμε χωριστά την εξίσωση σε γενική εμφάνισηδεν χρειαζόταν. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε την κανονική εξίσωση:

Στο παρακάτω σχήμα: γράφημα συνάρτησης μπορντώ χρώμα, εφαπτομένη Πράσινο χρώμα, πορτοκαλί κανονικό.

Το επόμενο παράδειγμα δεν είναι επίσης περίπλοκο: η συνάρτηση, όπως και στην προηγούμενη, είναι επίσης πολυώνυμο, αλλά η κλίση δεν θα είναι ίση με το μηδέν, επομένως θα προστεθεί ένα ακόμη βήμα - φέρνοντας την εξίσωση σε μια γενική μορφή.

Παράδειγμα 2.

Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:

Αντικαθιστούμε όλα τα ληφθέντα δεδομένα στον "κενό τύπο" και παίρνουμε την εφαπτομενική εξίσωση:

Φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή (συλλέγουμε όλα τα γράμματα και τους αριθμούς εκτός από το μηδέν στην αριστερή πλευρά και αφήνουμε το μηδέν στη δεξιά):

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:

Παράδειγμα 3.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.

Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:

.

Βρίσκουμε την εφαπτομένη εξίσωση:

Πριν φέρετε την εξίσωση στη γενική της μορφή, πρέπει να την "χτενίσετε" λίγο: πολλαπλασιάστε όρο με όρο με 4. Κάνουμε αυτό και φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.

Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:

.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:

.

Παίρνουμε την εφαπτομένη εξίσωση:

Φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:

Ένα συνηθισμένο λάθος όταν γράφετε εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις είναι να μην παρατηρήσετε ότι η συνάρτηση που δίνεται στο παράδειγμα είναι σύνθετη και να υπολογίσετε την παράγωγό της ως παράγωγο μιας απλής συνάρτησης. Τα ακόλουθα παραδείγματα προέρχονται ήδη από σύνθετες λειτουργίες(το αντίστοιχο μάθημα θα ανοίξει σε νέο παράθυρο).

Παράδειγμα 5.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.

Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:

Προσοχή! Αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη, καθώς το όρισμα της εφαπτομένης (2 Χ) είναι η ίδια μια συνάρτηση. Επομένως, βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης ως παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.