Όγκος του μικρότερου τύπου κώνου. Πώς να βρείτε τον όγκο ενός κώνου
Η γεωμετρία ως επιστήμη διαμορφώθηκε στο Αρχαία Αίγυπτοςκαι έφτασε υψηλό επίπεδοανάπτυξη. Ο διάσημος φιλόσοφος Πλάτωνας ίδρυσε την Ακαδημία, όπου δόθηκε μεγάλη προσοχή στη συστηματοποίηση της υπάρχουσας γνώσης. Ο κώνος ως ένα από τα γεωμετρικά σχήματα αναφέρθηκε για πρώτη φορά στη διάσημη πραγματεία του Ευκλείδη «Στοιχεία». Ο Ευκλείδης ήταν εξοικειωμένος με τα έργα του Πλάτωνα. Σήμερα, λίγοι γνωρίζουν ότι η λέξη «κώνος» που μεταφράζεται από τα ελληνικά σημαίνει «κουκουνάρι». Ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης, που έζησε στην Αλεξάνδρεια, θεωρείται δικαίως ο ιδρυτής της γεωμετρικής άλγεβρας. Οι αρχαίοι Έλληνες όχι μόνο έγιναν οι διάδοχοι της γνώσης των Αιγυπτίων, αλλά και διεύρυναν σημαντικά τη θεωρία.
Ιστορία του ορισμού ενός κώνου
Η γεωμετρία ως επιστήμη προέκυψε από τις πρακτικές απαιτήσεις της κατασκευής και των παρατηρήσεων της φύσης. Σταδιακά, η πειραματική γνώση γενικεύτηκε και οι ιδιότητες ορισμένων σωμάτων αποδείχθηκαν μέσω άλλων. Οι αρχαίοι Έλληνες εισήγαγαν την έννοια των αξιωμάτων και των αποδείξεων. Το αξίωμα είναι μια δήλωση που λαμβάνεται με πρακτικά μέσα και δεν απαιτεί απόδειξη.
Στο βιβλίο του, ο Ευκλείδης έδωσε έναν ορισμό του κώνου ως σχήματος που προκύπτει με περιστροφή ορθογώνιο τρίγωνογύρω από το ένα πόδι. Κατέχει επίσης το κύριο θεώρημα που καθορίζει τον όγκο ενός κώνου. Το θεώρημα αυτό απέδειξε ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Εύδοξος από την Κνίδο.
Άλλος μαθηματικός αρχαία Ελλάδα, ο Απολλώνιος ο Πέργας, που ήταν μαθητής του Ευκλείδη, ανέπτυξε και εξέθεσε τη θεωρία των κωνικών επιφανειών στα βιβλία του. Του ανήκει ο ορισμός μιας κωνικής επιφάνειας και μιας τομής σε αυτήν. Οι μαθητές σήμερα μελετούν την Ευκλείδεια γεωμετρία, η οποία έχει διατηρήσει τα βασικά θεωρήματα και τους ορισμούς από την αρχαιότητα.
Βασικοί ορισμοί
Ένας ορθός κυκλικός κώνος σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο γύρω από το ένα πόδι. Όπως μπορείτε να δείτε, η έννοια του κώνου δεν έχει αλλάξει από την εποχή του Ευκλείδη.
Η υποτείνουσα AS του ορθογωνίου τριγώνου AOS όταν περιστρέφεται γύρω από το σκέλος OS σχηματίζεται πλευρική επιφάνειακώνος, που ονομάζεται επομένως γεννήτρια. Το OS σκέλος του τριγώνου στρέφεται ταυτόχρονα στο ύψος του κώνου και του άξονά του. Το σημείο S γίνεται η κορυφή του κώνου. Το πόδι ΑΟ, έχοντας περιγράψει έναν κύκλο (βάση), μετατράπηκε στην ακτίνα ενός κώνου.
Εάν σχεδιάσετε ένα επίπεδο από πάνω διαμέσου της κορυφής και του άξονα του κώνου, μπορείτε να δείτε ότι το αξονικό τμήμα που προκύπτει είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο ο άξονας είναι το ύψος του τριγώνου.
Οπου ντο- περιφέρεια βάσης, μεγάλο— μήκος της γεννήτριας κώνου, R— ακτίνα της βάσης.
Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κώνου
Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός κώνου, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο:
όπου S είναι το εμβαδόν της βάσης του κώνου. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένας κύκλος, το εμβαδόν του υπολογίζεται ως εξής:
Αυτό υπονοεί:
όπου V είναι ο όγκος του κώνου.
n είναι ένας αριθμός ίσος με 3,14.
R είναι η ακτίνα της βάσης που αντιστοιχεί στο τμήμα AO στο Σχήμα 1.
H είναι το ύψος ίσο με το τμήμα OS.
Περικομμένος κώνος, όγκος
Υπάρχει ένας ευθύς κυκλικός κώνος. Εάν κόψετε το πάνω μέρος με ένα επίπεδο κάθετο στο ύψος, θα έχετε έναν κόλουρο κώνο. Οι δύο βάσεις του έχουν σχήμα κύκλου με ακτίνες R1 και R2.
Εάν σχηματίζεται ένας ορθός κώνος περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε ένας κόλουρος κώνος σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές γύρω από μια ευθεία πλευρά.
Ο όγκος ενός κόλουρου κώνου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
V=n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H/3.
Ο κώνος και η τομή του με αεροπλάνο
Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Απολλώνιος από την Πέργα έγραψε το θεωρητικό έργο Κωνικές τομές. Χάρη στη δουλειά του στη γεωμετρία, εμφανίστηκαν ορισμοί καμπυλών: παραβολή, έλλειψη, υπερβολή. Ας δούμε τι σχέση έχει ο κώνος.
Ας πάρουμε έναν ευθύ κυκλικό κώνο. Αν το επίπεδο το τέμνει κάθετα στον άξονα, τότε σχηματίζεται κύκλος στην τομή. Όταν μια τομή τέμνει έναν κώνο υπό γωνία ως προς τον άξονα, προκύπτει μια έλλειψη στην τομή.
Ένα επίπεδο κοπής κάθετο στη βάση και παράλληλο στον άξονα του κώνου σχηματίζει μια υπερβολή στην επιφάνεια. Ένα επίπεδο που κόβει τον κώνο υπό γωνία στη βάση και παράλληλο στην εφαπτομένη του κώνου δημιουργεί μια καμπύλη στην επιφάνεια, η οποία ονομάζεται παραβολή.
Η λύση του προβλήματος
Ακόμη και απλή εργασίατο πώς να φτιάξεις έναν κουβά συγκεκριμένου όγκου απαιτεί γνώση. Για παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε το μέγεθος ενός κάδου έτσι ώστε να έχει όγκο 10 λίτρα.
V=10 l=10 dm 3 ;
Η ανάπτυξη του κώνου έχει τη μορφή που φαίνεται σχηματικά στο Σχήμα 3.
Το L είναι η γενεαλογία του κώνου.
Για να μάθετε την επιφάνεια του κάδου, η οποία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
S=n*(R 1 +R 2)*L,
είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η γεννήτρια. Το βρίσκουμε από την τιμή όγκου V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.
Ως εκ τούτου H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).
Ένας κόλουρος κώνος σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, στο οποίο η πλευρά είναι η γεννήτρια του κώνου.
L2 =(R2-R1) 2 +H2.
Τώρα έχουμε όλα τα δεδομένα για να φτιάξουμε ένα σχέδιο ενός κάδου.
Γιατί οι κάδοι φωτιάς έχουν σχήμα κώνου;
Ποιος αναρωτήθηκε ποτέ γιατί οι κάδοι φωτιάς έχουν ένα φαινομενικά περίεργο κωνικό σχήμα? Και αυτό δεν είναι μόνο έτσι. Αποδεικνύεται ότι ένας κωνικός κάδος κατά την κατάσβεση πυρκαγιάς έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σχέση με έναν κανονικό, ο οποίος έχει το σχήμα κόλουρου κώνου.
Πρώτον, όπως αποδεικνύεται, ο κάδος της φωτιάς γεμίζει με νερό πιο γρήγορα και δεν χύνεται όταν μεταφέρεται. Ένας κώνος με μεγαλύτερο όγκο από έναν κανονικό κουβά σας επιτρέπει να μεταφέρετε περισσότερο νερό τη φορά.
Δεύτερον, το νερό από αυτό μπορεί να πεταχτεί σε μεγαλύτερη απόσταση από ό, τι από έναν κανονικό κουβά.
Τρίτον, εάν ο κωνικός κάδος πέσει από τα χέρια σας και πέσει στη φωτιά, τότε όλο το νερό χύνεται στην πηγή της φωτιάς.
Όλοι οι παραπάνω παράγοντες εξοικονομούν χρόνο - ΒΑΣΙΚΟΣ παραγονταςκατά την κατάσβεση πυρκαγιάς.
Πρακτική χρήση
Οι μαθητές έχουν συχνά ερωτήσεις σχετικά με το γιατί πρέπει να μάθουν πώς να υπολογίζουν τον όγκο διαφόρων γεωμετρικών σωμάτων, συμπεριλαμβανομένου ενός κώνου.
Και οι μηχανικοί σχεδιασμού αντιμετωπίζουν συνεχώς την ανάγκη υπολογισμού του όγκου των κωνικών μερών των εξαρτημάτων μηχανής. Αυτά είναι μύτες τρυπανιών, μέρη τόρνων και φρέζας. Το σχήμα κώνου θα επιτρέψει στα τρυπάνια να εισέλθουν εύκολα στο υλικό χωρίς να απαιτείται αρχική σήμανση με ειδικό εργαλείο.
Ο όγκος ενός κώνου είναι ένας σωρός άμμου ή χώματος που χύνεται στο έδαφος. Εάν είναι απαραίτητο, κάνοντας απλές μετρήσεις, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο του. Κάποιοι μπορεί να μπερδευτούν με το ερώτημα πώς να μάθουν την ακτίνα και το ύψος ενός σωρού άμμου. Οπλισμένοι με μεζούρα, μετράμε την περιφέρεια του τύμβου C. Χρησιμοποιώντας τον τύπο R=C/2n βρίσκουμε την ακτίνα. Πετώντας ένα σχοινί (μεζούρα) πάνω από την κορυφή, βρίσκουμε το μήκος της γεννήτριας. Και ο υπολογισμός του ύψους χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τον όγκο δεν είναι δύσκολος. Φυσικά, αυτός ο υπολογισμός είναι κατά προσέγγιση, αλλά σας επιτρέπει να προσδιορίσετε εάν εξαπατηθήκατε φέρνοντας έναν τόνο άμμου αντί για έναν κύβο.
Μερικά κτίρια έχουν σχήμα κόλουρου κώνου. Για παράδειγμα, ο πύργος τηλεόρασης Ostankino πλησιάζει το σχήμα ενός κώνου. Μπορεί να φανταστεί κανείς ότι αποτελείται από δύο κώνους τοποθετημένους ο ένας πάνω στον άλλο. Οι θόλοι των αρχαίων κάστρων και των καθεδρικών ναών αντιπροσωπεύουν έναν κώνο, τον όγκο του οποίου υπολόγισαν οι αρχαίοι αρχιτέκτονες με εκπληκτική ακρίβεια.
Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα γύρω αντικείμενα, πολλά από αυτά είναι κώνοι:
- χοάνες για την έκχυση υγρών.
- Κόρνα-μεγάφωνο?
- Κώνοι στάθμευσης?
- αμπαζούρ για φωτιστικό δαπέδου?
- το συνηθισμένο χριστουγεννιάτικο δέντρο.
- πνευστά μουσικά όργανα.
Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα που δίνονται, η δυνατότητα υπολογισμού του όγκου ενός κώνου και της επιφάνειάς του είναι απαραίτητη σε επαγγελματίες και Καθημερινή ζωή. Ελπίζουμε ότι το άρθρο θα σας βοηθήσει.
Η γεωμετρία είναι μια δύσκολη επιστήμη, αλλά χρήσιμη. Στο σχολείο όλοι μάθαμε πώς να υπολογίζουμε τους όγκους των τρισδιάστατων σωμάτων, αλλά δεν θυμούνται όλοι καλά τους τύπους για αυτούς τους υπολογισμούς. Αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να βρείτε τον όγκο ενός κώνου. Αυτό το τρισδιάστατο σχήμα σχηματίζεται από την κυκλική περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου. Μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο του διαφορετικοί τρόποι, ανάλογα με τα δεδομένα πηγής που έχετε.
Οδηγίες:
- Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακτίνα του βασικού κύκλου και το ύψος χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό. Ο τύπος για τον όγκο ενός κώνου σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με: V= πRh, Οπου π=3,14, R– ακτίνα βάσης, η– ύψος της φιγούρας. Με απλά λόγια, με αυτόν τον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν της βάσης και το πολλαπλασιάζουμε με το ύψος. Ωστόσο, ο υπολογισμός του όγκου ενός κώνου μπορεί να έχει διαφορετική μορφή αν γνωρίζετε άλλες παραμέτρους του σχήματός σας.
- Αν γνωρίζετε το μήκος της πλευράς του κώνου και την ακτίνα της βάσης, για να βρείτε τον όγκο του σχήματος θα χρειαστεί να μάθετε ποιο είναι το ύψος του. Αυτό θα μας βοηθήσει Πυθαγόρειο θεώρημα , γιατί η ακτίνα βάσης είναι σε αυτήν την περίπτωσηείναι πόδιορθογώνιο τρίγωνο και πλευρική πλευρά, αντίστοιχα, υποτείνουσα. Για να βρούμε το μήκος του δεύτερου σκέλους, που είναι το ύψος του κώνου, θα χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο a^2+b^2=c^2 .
- Πώς όμως να βρείτε τον όγκο ενός κώνου αν δεν είναι γνωστά ούτε το μήκος της πλευράς ούτε η ακτίνα της βάσης; Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να γνωρίζετε βαθμός γωνίας στην κορυφή του κώνου και στο ύψος του. Με αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να υπολογίσετε την ακτίνα της βάσης. Μην ξεχνάτε ότι ένας κώνος είναι μια φιγούρα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από ένα από τα πόδια του. Εάν η γωνία κορυφής διαιρεθεί στα δύο, θα λάβετε τη μοίρα ενός από τα δύο αιχμηρές γωνίεςαυτό το τρίγωνο. Χρησιμοποιώντας ορισμούς τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μπορούμε να βρούμε το μήκος της πλευράς απέναντι από αυτή τη γωνία, δηλαδή, στην περίπτωσή μας, την ακτίνα της βάσης. Σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίσο l*sin(α), Οπου μεγάλο– το μήκος από την κορυφή του κώνου μέχρι τη βάση, το ύψος, κατά συνέπεια, θα είναι ίσο με l*cos(α), χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, εξάγουμε τον ακόλουθο τύπο για την ακτίνα της βάσης R= h/cos(α)*sin(α)ή, ισοδύναμα, R = h*tan(α).
Τα σώματα περιστροφής που μελετώνται στο σχολείο είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η μπάλα.
Εάν σε ένα πρόβλημα στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο ενός κώνου ή το εμβαδόν μιας σφαίρας, θεωρήστε τον εαυτό σας τυχερό.
Εφαρμόστε τύπους για όγκο και επιφάνεια κυλίνδρου, κώνου και σφαίρας. Όλα είναι στο τραπέζι μας. Μαθαίνω απ'έξω. Εδώ αρχίζει η γνώση της στερεομετρίας.
Μερικές φορές είναι καλό να σχεδιάζεις τη θέα από ψηλά. Ή, όπως σε αυτό το πρόβλημα, από κάτω.
2. Πόσες φορές ο όγκος ενός κώνου που περιβάλλεται γύρω από μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα είναι μεγαλύτερος από τον όγκο ενός κώνου που είναι εγγεγραμμένος σε αυτήν την πυραμίδα;
Είναι απλό - σχεδιάστε την άποψη από κάτω. Βλέπουμε ότι η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα του μικρότερου. Τα ύψη και των δύο κώνων είναι τα ίδια. Επομένως, ο όγκος του μεγαλύτερου κώνου θα είναι διπλάσιος.
Αλλο σημαντικό σημείο. Θυμηθείτε ότι στα προβλήματα του μέρους Β Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά η απάντηση γράφεται ως ακέραιος ή πεπερασμένος αριθμός δεκαδικός. Επομένως, δεν πρέπει να υπάρχει καμία ή στην απάντησή σας στο μέρος Β. Δεν χρειάζεται να αντικαταστήσετε ούτε την κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού! Πρέπει οπωσδήποτε να συρρικνωθεί! Για το σκοπό αυτό, σε ορισμένα προβλήματα η εργασία διατυπώνεται, για παράδειγμα, ως εξής: "Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου διαιρούμενη με".
Πού αλλού χρησιμοποιούνται οι τύποι για τον όγκο και την επιφάνεια των σωμάτων περιστροφής; Φυσικά στο πρόβλημα Γ2 (16). Θα σας πούμε και για αυτό.
Μια σφαίρα της οποίας ο όγκος είναι 8π εγγράφεται σε έναν κύβο. Βρείτε τον όγκο του κύβου.
Λύση
Έστω a η πλευρά του κύβου. Τότε ο όγκος του κύβου είναι V = a 3.
Εφόσον η μπάλα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύβο, η ακτίνα της μπάλας είναι ίση με το μισό της άκρης του κύβου, δηλαδή R = a/2 (βλ. σχήμα).
Ο όγκος της μπάλας είναι ίσος με V w = (4/3)πR 3 και ίσος με 8π, επομένως
(4/3)πR 3 = 8π,
Και ο όγκος του κύβου είναι V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Εργασία Β9 (Τυπικές επιλογές 2015)
Ο όγκος του κώνου είναι 32. Από το μέσο του ύψους, παράλληλα με τη βάση του κώνου, σχεδιάζεται μια τομή, η οποία είναι η βάση ενός μικρότερου κώνου με την ίδια κορυφή. Βρείτε τον όγκο του μικρότερου κώνου.
Λύση
Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:
72353. Ο όγκος του κώνου είναι 10. Από το μέσο του ύψους, παράλληλα με τη βάση του κώνου, σχεδιάζεται μια τομή, η οποία είναι η βάση ενός μικρότερου κώνου με την ίδια κορυφή. Βρείτε τον όγκο του μικρότερου κώνου.
Ας σημειώσουμε αμέσως ότι ο αρχικός και ο κώνος αποκοπής είναι παρόμοιοι, και αν λάβουμε υπόψη τον κώνο αποκοπής σε σχέση με τον αρχικό, τότε μπορούμε να πούμε το εξής: ο μικρότερος κώνος είναι παρόμοιος με τον μεγαλύτερο με συντελεστή ίσο με ένα -μισό ή 0,5. Μπορούμε να γράψουμε:
Θα μπορούσε κανείς να γράψει:
Θα μπορούσε κανείς να το σκεφτεί!
Ας εξετάσουμε τον αρχικό κώνο σε σχέση με τον αποκομμένο. Μπορούμε να πούμε ότι ο μεγαλύτερος κώνος είναι παρόμοιος με τον αποκομμένο με συντελεστή ίσο με δύο, ας γράψουμε:
Τώρα κοιτάξτε τη λύση χωρίς να χρησιμοποιήσετε ιδιότητες ομοιότητας.
Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του:
Εξετάστε την πλευρική προβολή (πλάγια όψη) με την υποδεικνυόμενη διατομή:
Έστω η ακτίνα του μεγαλύτερου κώνου ίση με R, το ύψος ίσο με H. Η τομή (η βάση του μικρότερου κώνου) διέρχεται από το μέσο του ύψους, που σημαίνει ότι το ύψος του θα είναι ίσο με H/2. Και η ακτίνα της βάσης είναι ίση με R/2, αυτό προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων.
Ας γράψουμε τον όγκο του αρχικού κώνου:
Ο όγκος του αποκομμένου κώνου θα είναι ίσος με:
Παρουσιάζονται τέτοιες λεπτομερείς λύσεις ώστε να μπορείτε να δείτε πώς μπορεί να χτιστεί το σκεπτικό. Ενεργήστε με οποιονδήποτε τρόπο - το κύριο πράγμα είναι ότι καταλαβαίνετε την ουσία της απόφασης. Ακόμα κι αν ο δρόμος που επιλέξατε δεν είναι ορθολογικός, το αποτέλεσμα (το σωστό αποτέλεσμα) είναι σημαντικό.
Απάντηση: 1,25
318145. Σε ένα δοχείο σε σχήμα κώνου, η στάθμη του υγρού φτάνει στο μισό ύψος. Ο όγκος του υγρού είναι 70 ml. Πόσα χιλιοστόλιτρα υγρού πρέπει να προστεθούν για να γεμίσει πλήρως το δοχείο;
Αυτή η εργασία είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Αν και εδώ μιλάμε για υγρό, η αρχή της λύσης είναι η ίδια.
Έχουμε δύο κώνους - αυτό είναι το ίδιο το δοχείο και ο "μικρός" κώνος (γεμάτος με υγρό), είναι παρόμοιοι. Είναι γνωστό ότι οι όγκοι τέτοιων σωμάτων σχετίζονται ως εξής:
Ο αρχικός κώνος (αγγείο) είναι παρόμοιος με έναν κώνο γεμάτο υγρό με συντελεστή ίσο με 2, αφού λέγεται ότι η στάθμη του υγρού φτάνει το μισό ύψος. Μπορείτε να γράψετε αναλυτικότερα:
Υπολογίζουμε:
Επομένως, πρέπει να προσθέσετε:
Άλλα προβλήματα με τα υγρά.
74257. Να βρείτε τον όγκο V ενός κώνου, του οποίου η γενεαλογία είναι ίση με 44 και έχει κλίση προς το επίπεδο της βάσης υπό γωνία 30 0. Σημειώστε V/Pi στην απάντησή σας.
Όγκος κώνου:
Βρίσκουμε το ύψος του κώνου χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου.
Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 30° είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας. Η υποτείνουσα, σε αυτή την περίπτωση, είναι η γεννήτρια του κώνου. Επομένως το ύψος του κώνου είναι 22.
Βρίσκουμε το τετράγωνο της ακτίνας της βάσης χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:
*Χρειαζόμαστε το τετράγωνο της ακτίνας, όχι την ίδια την ακτίνα.
1. Υπολογισμός όγκου κύβου
ένα- πλευρά του κύβου
Τύπος για τον όγκο ενός κύβου, ( V ):
2. Να βρείτε με τύπο τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου
α, β, γ- πλευρές παραλληλεπίπεδου
Μερικές φορές η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου ονομάζεται ακμή.
Τύπος για τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου, ( V):
3. Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας, σφαίρας
R — ακτίνα μπάλας
Χρησιμοποιώντας τον τύπο, εάν δίνεται η ακτίνα, μπορείτε να βρείτε τον όγκο της μπάλας, ( V):
4. Πώς υπολογίζεται ο όγκος ενός κυλίνδρου;
η- ύψος κυλίνδρου
r— ακτίνα βάσης
Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρείτε τον όγκο ενός κυλίνδρου εάν η ακτίνα και το ύψος βάσης του είναι γνωστά, ( V):
5. Πώς να βρείτε τον όγκο ενός κώνου;
R-ακτίνα βάσης
H-ύψος κώνου
Τύπος για τον όγκο ενός κώνου εάν η ακτίνα και το ύψος είναι γνωστά ( V):
7. Τύπος για τον όγκο ενός κόλουρου κώνου
r —επάνω ακτίνα βάσης
R-κάτω ακτίνα
h -ύψος κώνου
Τύπος για τον όγκο ενός κόλουρου κώνου, εάν είναι γνωστός - η ακτίνα της κάτω βάσης, η ακτίνα της άνω βάσης και το ύψος του κώνου ( V):
8. Όγκος κανονικού τετραέδρου
Ένα κανονικό τετράεδρο είναι μια πυραμίδα της οποίας όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
ΕΝΑ- άκρη τετραέδρου
Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κανονικού τετραέδρου ( V):
9. Όγκος κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση και ίσες, ισοσκελές πλευρές τριγώνου ονομάζεται κανονική τετραγωνική πυραμίδα.
ένα- πλευρά βάσης
η- ύψος της πυραμίδας
Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, ( V):
10. Όγκος κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
Μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο και της οποίας οι πλευρές είναι ίσες, ισοσκελές τρίγωνα ονομάζεται κανονική τριγωνική πυραμίδα.
ένα- πλευρά βάσης
η- ύψος της πυραμίδας
Τύπος για τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δεδομένου του ύψους και της πλευράς της βάσης ( V):
11. Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής πυραμίδας
Μια πυραμίδα με κανονικό πολύγωνο και ίσα τρίγωνα στη βάση της ονομάζεται κανονική.
η- ύψος της πυραμίδας
ένα- πλευρά της βάσης της πυραμίδας
n- τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου στη βάση
Τύπος για τον όγκο μιας κανονικής πυραμίδας, γνωρίζοντας το ύψος, την πλευρά της βάσης και τον αριθμό αυτών των πλευρών ( V):
Όλοι οι τύποι για όγκους γεωμετρικών σωμάτων
Γεωμετρία, Άλγεβρα, Φυσική
Τύποι όγκου
Όγκος γεωμετρικού σχήματος- ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό του χώρου που καταλαμβάνει ένα σώμα ή ουσία. Στις απλούστερες περιπτώσεις, ο όγκος μετριέται από τον αριθμό των μοναδιαίων κύβων που χωρούν στο σώμα, δηλαδή κύβους με άκρη ίση με μονάδα μήκους. Ο όγκος του σώματος ή η χωρητικότητα του αγγείου καθορίζεται από το σχήμα και τις γραμμικές του διαστάσεις.
Τύπος για τον όγκο ενός κύβου
1) Ο όγκος ενός κύβου είναι ίσος με τον κύβο της άκρης του.
V- όγκος του κύβου
H— ύψος της άκρης του κύβου
Τύπος όγκου πυραμίδας
1) Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού βάσης S (ABCD) και του ύψους h (OS).
V- όγκος της πυραμίδας
μικρό- περιοχή της βάσης της πυραμίδας
η- ύψος της πυραμίδας
Τύποι για τον όγκο ενός κώνου
1) Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
2) Ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του pi (3,1415) επί του τετραγώνου της ακτίνας της βάσης και του ύψους.
V- όγκος κώνου
μικρό- περιοχή της βάσης του κώνου
η— ύψος κώνου
π — αριθμός pi (3,1415)
r— ακτίνα του κώνου
Τύποι όγκου κυλίνδρου
1) Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
2) Ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του pi (3,1415) με το τετράγωνο της ακτίνας της βάσης και του ύψους.
V- όγκος κυλίνδρου
μικρό- περιοχή της βάσης του κυλίνδρου
η- ύψος κυλίνδρου
π — αριθμός pi (3,1415)
r— ακτίνα κυλίνδρου
Φόρμουλα για τον όγκο μιας μπάλας
1) Ο όγκος της μπάλας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο.
V- όγκος της μπάλας
π — αριθμός pi (3,1415)
R- ακτίνα της μπάλας
Τύπος για τον όγκο ενός τετραέδρου
1) Ο όγκος ενός τετραέδρου είναι ίσος με το κλάσμα στον αριθμητή του οποίου η τετραγωνική ρίζα του δύο πολλαπλασιάζεται με τον κύβο του μήκους της άκρης του τετραέδρου και στον παρονομαστή δώδεκα.
Τύποι όγκου
Τύποι όγκου και διαδικτυακά προγράμματαγια τον υπολογισμό του όγκου
Τύπος όγκου.
Τύπος όγκουαπαραίτητο για τον υπολογισμό των παραμέτρων και των χαρακτηριστικών ενός γεωμετρικού σχήματος.
Φιγούρα όγκουείναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό του χώρου που καταλαμβάνει ένα σώμα ή ουσία. Στις απλούστερες περιπτώσεις, ο όγκος μετριέται από τον αριθμό των μοναδιαίων κύβων που χωρούν στο σώμα, δηλαδή κύβους με άκρη ίση με μονάδα μήκους. Ο όγκος του σώματος ή η χωρητικότητα του αγγείου καθορίζεται από το σχήμα και τις γραμμικές του διαστάσεις.
Παραλληλεπίπεδο.
Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Κύλινδρος.
Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του pi (3,1415) με το τετράγωνο της ακτίνας της βάσης και του ύψους.
Πυραμίδα.
Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης S (ABCDE) και του ύψους h (OS).
Σωστή πυραμίδα- αυτή είναι μια πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και το ύψος διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στη βάση.
Κανονική τριγωνική πυραμίδαείναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο και οι πλευρές της είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Κανονική τετραγωνική πυραμίδαείναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα τετράγωνο και οι πλευρές της είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Τετράεδροείναι μια πυραμίδα της οποίας όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Κόλουρη πυραμίδα.
Ο όγκος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του ύψους h (OS) με το άθροισμα των εμβαδών της άνω βάσης S 1 (abcde), της κάτω βάσης της κολοβωμένης πυραμίδας S 2 (ABCDE) και η μέση αναλογία μεταξύ τους.
Είναι εύκολο να υπολογίσετε τον όγκο ενός κύβου - πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος. Δεδομένου ότι ένας κύβος έχει μήκος ίσο με το πλάτος του και ίσο με το ύψος του, ο όγκος του κύβου είναι ίσος με s 3 .
Κώνοςείναι ένα σώμα στον Ευκλείδειο χώρο που λαμβάνεται συνδυάζοντας όλες τις ακτίνες που προέρχονται από ένα σημείο (την κορυφή του κώνου) και διέρχονται από μια επίπεδη επιφάνεια.
Frustumθα λειτουργήσει αν σχεδιάσετε μια τομή στον κώνο παράλληλη με τη βάση.
V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)
Ο όγκος της σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περικλείεται γύρω της.
Πρίσμα.
Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του πρίσματος και του ύψους του.
Τομέας μπάλας.
Ο όγκος ενός σφαιρικού τομέα είναι ίσος με τον όγκο μιας πυραμίδας, η βάση της οποίας έχει το ίδιο εμβαδόν με το τμήμα της σφαιρικής επιφάνειας που κόβεται από τον τομέα, και το ύψος είναι ίσο με την ακτίνα της σφαίρας.
Στρώμα μπάλας- αυτό είναι το τμήμα της μπάλας που περικλείεται ανάμεσα σε δύο τεμνόμενα παράλληλα επίπεδα.
Τμήμα μπάλας- αυτό το τμήμα της μπάλας, που αποκόπτεται από αυτό με κάποιο επίπεδο, ονομάζεται σφαιρικό ή σφαιρικό τμήμα
Τύπος όγκου
Τύπος για τον όγκο ενός κύβου, σφαίρας, πυραμίδας, παραλληλογράμμου, κυλίνδρου, τετραέδρου, κώνου, πρίσματος και όγκου άλλων γεωμετρικών σχημάτων.
Σε ένα μάθημα στερεομετρίας, ένα από τα κύρια ερωτήματα είναι πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός συγκεκριμένου γεωμετρικού σώματος. Όλα ξεκινούν από ένα απλό παραλληλεπίπεδο και τελειώνουν με μια μπάλα.
Στη ζωή, επίσης, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσετε παρόμοια προβλήματα. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε τον όγκο του νερού που χωράει σε έναν κουβά ή βαρέλι.
Ιδιότητες που ισχύουν για τον όγκο κάθε σώματος
- Αυτή η τιμή είναι πάντα θετικός αριθμός.
- Εάν το σώμα μπορεί να χωριστεί σε μέρη έτσι ώστε να μην υπάρχουν τομές, τότε ο συνολικός όγκος αποδεικνύεται ίσος με το άθροισμα των όγκων των μερών.
- Τα ίσα σώματα έχουν ίσους όγκους.
- Εάν ένα μικρότερο σώμα περιέχεται πλήρως σε ένα μεγαλύτερο, τότε ο όγκος του πρώτου είναι μικρότερος από αυτόν του δεύτερου.
Γενικές ονομασίες για όλους τους φορείς
Κάθε ένα από αυτά έχει άκρες και βάσεις, και είναι χτισμένα ύψη. Επομένως, τέτοια στοιχεία προορίζονται εξίσου για αυτούς. Έτσι ακριβώς γράφονται στους τύπους. Θα μάθουμε περαιτέρω πώς να υπολογίζουμε τον όγκο κάθε σώματος και να εφαρμόζουμε νέες δεξιότητες στην πράξη.
Ορισμένοι τύποι έχουν άλλες ποσότητες. Ο χαρακτηρισμός τους θα συζητηθεί όταν προκύψει τέτοια ανάγκη.
Πρίσμα, παραλληλεπίπεδο (ίσιο και κεκλιμένο) και κύβος
Αυτά τα σώματα συνδυάζονται επειδή μοιάζουν πολύ και οι τύποι για τον υπολογισμό του όγκου είναι πανομοιότυποι:
V = S * h.
Μόνο το S θα διαφέρει. Στην περίπτωση παραλληλεπίπεδου, υπολογίζεται όπως για ένα ορθογώνιο ή τετράγωνο. Σε ένα πρίσμα, η βάση μπορεί να είναι ένα τρίγωνο, ένα παραλληλόγραμμο, ένα αυθαίρετο τετράπλευρο ή ένα άλλο πολύγωνο.
Για έναν κύβο, ο τύπος είναι σημαντικά απλοποιημένος επειδή όλες οι διαστάσεις του είναι ίσες:
V = a 3.
Πυραμίδα, τετράεδρο, κολοβωμένη πυραμίδα
Για το πρώτο από αυτά τα σώματα, υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό του όγκου:
V = 1/3 * S * n.
Ένα τετράεδρο είναι μια ειδική περίπτωση τριγωνικής πυραμίδας. Όλες οι άκρες σε αυτό είναι ίσες. Επομένως, λαμβάνεται ξανά ένας απλοποιημένος τύπος:
V = (a 3 * √2) / 12, ή V = 1/ 3 S h
Μια πυραμίδα κολοβώνεται όταν αποκόπτεται το πάνω μέρος της. Επομένως, ο όγκος του είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ δύο πυραμίδων: εκείνης που θα ήταν άθικτη και της αφαιρεθείσας κορυφής. Εάν είναι δυνατόν να ανακαλύψετε και τις δύο βάσεις μιας τέτοιας πυραμίδας (S 1 - το μεγαλύτερο και S 2 - το μικρότερο), τότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε τον όγκο:
Κύλινδρος, κώνος και κόλουρος κώνος
V =π * r 2 * h.
Η κατάσταση με έναν κώνο είναι κάπως πιο περίπλοκη. Υπάρχει μια φόρμουλα για αυτό:
V = 1/3 π * r 2 * h.Είναι πολύ παρόμοιο με αυτό που υποδεικνύεται για τον κύλινδρο, μόνο η τιμή μειώνεται κατά τρεις φορές.
Όπως και με μια κολοβωμένη πυραμίδα, η κατάσταση δεν είναι εύκολη με έναν κώνο, ο οποίος έχει δύο βάσεις. Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου μοιάζει με αυτό:
V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).Εδώ το r 1 είναι η ακτίνα της κάτω βάσης, το r 2 είναι η ακτίνα της άνω (μικρότερης).
Μπάλα, τμήματα μπάλας και τομέας
Αυτές είναι οι πιο δύσκολες φόρμουλες για να θυμάστε. Για τον όγκο της μπάλας μοιάζει με αυτό:
V = 4/3 π *r 3 .
Στα προβλήματα υπάρχει συχνά μια ερώτηση σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού του όγκου ενός σφαιρικού τμήματος - ενός τμήματος μιας σφαίρας που κόβεται, όπως ήταν, παράλληλα με τη διάμετρο. Σε αυτή την περίπτωση, ο ακόλουθος τύπος θα έρθει στη διάσωση:
V = π h 2 * (r - h/3).Σε αυτό, το h λαμβάνεται ως το ύψος του τμήματος, δηλαδή το τμήμα που πηγαίνει κατά μήκος της ακτίνας της μπάλας.
Ο τομέας χωρίζεται σε δύο μέρη: έναν κώνο και ένα σφαιρικό τμήμα. Επομένως, ο όγκος του ορίζεται ως το άθροισμα αυτών των σωμάτων. Ο τύπος μετά τους μετασχηματισμούς μοιάζει με αυτό:
V = 2/3 πr 2 * h.Εδώ h είναι επίσης το ύψος του τμήματος.
Παραδείγματα προβλημάτων
Σχετικά με τους όγκους ενός κυλίνδρου, μιας σφαίρας και ενός κώνου
Κατάσταση:η διάμετρος του κυλίνδρου (1ο σώμα) είναι ίση με το ύψος του, τη διάμετρο της μπάλας (2ο σώμα) και το ύψος του κώνου (3ο σώμα), ελέγξτε την αναλογικότητα των όγκων V 1: V 2: V 3 = 3: 2: 1
Λύση.Πρώτα πρέπει να γράψετε τρεις τύπους για τόμους. Τότε θεωρήστε ότι η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου. Δηλαδή, το ύψος θα είναι ίσο με δύο ακτίνες: h = 2r. Έχοντας παραγάγει απλή αντικατάστασηαποδεικνύεται ότι οι τύποι για τους τόμους θα μοιάζουν με αυτό:
V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Ο τύπος για τον όγκο μιας μπάλας δεν αλλάζει επειδή δεν εμφανίζεται το ύψος σε αυτήν.
Τώρα απομένει να σημειώσουμε τις αναλογίες όγκου και να εκτελέσουμε τη μείωση 2π και r 3. Αποδεικνύεται ότι V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν εύκολα να γραφτούν ως 3:2:1.
Σχετικά με τον όγκο της μπάλας
Κατάσταση:Υπάρχουν δύο καρπούζια με ακτίνες 15 και 20 εκατοστών, που είναι πιο κερδοφόρο να τα φας: το πρώτο με τέσσερα άτομα ή το δεύτερο με οκτώ;
Λύση.Για να απαντήσετε σε αυτή την ερώτηση, θα χρειαστεί να βρείτε την αναλογία των όγκων των μερών που θα προέρχονται από κάθε καρπούζι. Λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι σφαίρες, πρέπει να γράψουμε δύο τύπους για όγκους. Στη συνέχεια, λάβετε υπόψη ότι από το πρώτο όλοι θα πάρουν μόνο ένα τέταρτο μέρος, και από το δεύτερο - ένα όγδοο.
Απομένει να σημειωθεί η αναλογία των όγκων των εξαρτημάτων. Θα μοιάζει με αυτό:
(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Μετά τον μετασχηματισμό, παραμένει μόνο το κλάσμα: (2 r 1 3) / r 2 3. Μετά την αντικατάσταση των τιμών και τον υπολογισμό, προκύπτει το κλάσμα 6750/8000. Είναι σαφές από αυτό ότι η μερίδα από το πρώτο καρπούζι θα είναι μικρότερη από ό, τι από το δεύτερο.
Απάντηση.Είναι πιο κερδοφόρο να φάτε ένα όγδοο καρπούζι με ακτίνα 20 cm.
Σχετικά με τους όγκους της πυραμίδας και του κύβου
Κατάσταση:υπάρχει μια πυραμίδα από πηλό με ορθογώνια βάση 8Χ9 εκ. και ύψος 9 εκ., από το ίδιο κομμάτι πηλού έγινε ένας κύβος, ποια είναι η άκρη του;
Λύση.Αν ορίσουμε τις πλευρές του ορθογωνίου με τα γράμματα b και c, τότε το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας υπολογίζεται ως γινόμενο τους. Τότε ο τύπος για τον όγκο του είναι:
Ο τύπος για τον όγκο ενός κύβου αναγράφεται στο παραπάνω άρθρο. Αυτές οι δύο τιμές είναι ίσες: V 1 = V 2 . Το μόνο που μένει είναι να εξισωθούν οι δεξιές πλευρές των τύπων και να γίνουν οι απαραίτητοι υπολογισμοί. Αποδεικνύεται ότι η άκρη του κύβου θα είναι ίση με 6 cm.
Σχετικά με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου
Κατάσταση:πρέπει να φτιάξετε ένα κουτί χωρητικότητας 0,96 m 3, το πλάτος και το μήκος του είναι γνωστά - 1,2 και 0,8 μέτρα, ποιο πρέπει να είναι το ύψος του;
Λύση.Δεδομένου ότι η βάση ενός παραλληλεπίπεδου είναι ένα ορθογώνιο, το εμβαδόν του ορίζεται ως το γινόμενο του μήκους (α) και του πλάτους (β). Επομένως, ο τύπος για τον όγκο μοιάζει με αυτό:
Από αυτό είναι εύκολο να προσδιοριστεί το ύψος διαιρώντας τον όγκο με την περιοχή. Αποδεικνύεται ότι το ύψος πρέπει να είναι 1 m.
Απάντηση.Το ύψος του κουτιού είναι ένα μέτρο.
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο διαφόρων γεωμετρικών σωμάτων;
Σε ένα μάθημα στερεομετρίας, ένα από τα κύρια καθήκοντα είναι ο τρόπος υπολογισμού του όγκου ενός συγκεκριμένου γεωμετρικού σώματος. Όλα ξεκινούν από ένα απλό παραλληλεπίπεδο και τελειώνουν με μια μπάλα.