Ας βρούμε το τρίγωνο χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Εμβαδόν τριγώνου. Παραδείγματα προβλημάτων που χρησιμοποιούν τον τύπο του Heron

Θεώρημα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της πλευράς του και του υψομέτρου του:

Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Αυτό το τρίγωνο αλφάβητο(Εικ. 1.15) ας το φτιάξουμε σε παραλληλόγραμμο ABDC. Τρίγωνα αλφάβητοΚαι DCBείναι ίσες σε τρεις πλευρές, άρα οι περιοχές τους είναι ίσες. Άρα το εμβαδόν του τριγώνου αλφάβητοίσο με το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου ABDC, δηλ.

Εδώ όμως τίθεται το εξής ερώτημα: γιατί τα τρία πιθανά ημιπροϊόντα της βάσης και το ύψος για οποιοδήποτε τρίγωνο είναι ίδια; Αυτό, ωστόσο, είναι εύκολο να αποδειχθεί από την ομοιότητα των ορθογωνίων με ένα κοινό οξεία γωνία. Θεωρήστε ένα τρίγωνο αλφάβητο(Εικ. 1.16):

Και ως εκ τούτου

Αυτό όμως δεν γίνεται στα σχολικά εγχειρίδια. Αντίθετα, η ισότητα των τριών ημι-προϊόντων καθορίζεται με βάση ότι όλα αυτά τα ημιπροϊόντα εκφράζουν το εμβαδόν του τριγώνου. Έτσι, η ύπαρξη μιας μεμονωμένης συνάρτησης αξιοποιείται σιωπηρά. Αλλά εδώ έρχεται μια βολική και διδακτική ευκαιρία να επιδείξουμε ένα παράδειγμα μαθηματικής μοντελοποίησης. Πράγματι, υπάρχει μια φυσική πραγματικότητα πίσω από την έννοια του εμβαδού, αλλά η άμεση επαλήθευση της ισότητας τριών ημι-προϊόντων δείχνει την ποιότητα της μετάφρασης αυτής της έννοιας στη γλώσσα των μαθηματικών.

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα εμβαδού τριγώνου, είναι συχνά βολικό να συγκρίνουμε τα εμβαδά δύο τριγώνων. Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικές προφανείς αλλά σημαντικές συνέπειες του θεωρήματος.

Συμπέρασμα 1. Αν η κορυφή ενός τριγώνου μετακινηθεί κατά μήκος μιας ευθείας παράλληλης στη βάση του, τότε το εμβαδόν του δεν αλλάζει.

Στο Σχ. 1,17 τρίγωνα αλφάβητοΚαι ABDέχουν κοινό έδαφος ΑΒκαι ίσα ύψη χαμηλωμένα σε αυτή τη βάση, από ευθεία γραμμή ΕΝΑ, που περιέχει τις κορυφές ΜΕΚαι ρεπαράλληλα με τη βάση ΑΒ, και επομένως τα εμβαδά αυτών των τριγώνων είναι ίσα.

Το συμπέρασμα 1 μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής.

Συμπέρασμα 1;. Ας δοθεί ένα τμήμα ΑΒ. Πολλά σημεία Μέτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου AMVίση με την καθορισμένη τιμή μικρό, υπάρχουν δύο γραμμές παράλληλες στο τμήμα ΑΒκαι αυτά που βρίσκονται σε απόσταση από αυτό (Εικ. 1. 18)

Συμπέρασμα 2. Αν μια από τις πλευρές ενός τριγώνου που γειτνιάζουν με μια δεδομένη γωνία αυξηθεί κατά κφορές, τότε η έκτασή του θα αυξηθεί επίσης κατά κμια φορά.

Στο Σχ. 1,19 τρίγωνα αλφάβητοΚαι ABDέχουν κοινό ύψος BH, επομένως ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των βάσεων

Από το συμπέρασμα 2 προκύπτουν σημαντικές ειδικές περιπτώσεις:

1. Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο μικρά μέρη.

2. Διχοτόμος γωνίας τριγώνου, που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του ΕΝΑΚαι σι, το χωρίζει σε δύο τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων σχετίζονται ως ένα : σι.

Συμπέρασμα 3. Αν δύο τρίγωνα έχουν κοινή γωνία, τότε το εμβαδόν τους είναι ανάλογο με το γινόμενο των πλευρών που περικλείουν αυτή τη γωνία.

Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι (Εικ. 1.19)

Ειδικότερα, αναφέρεται η ακόλουθη δήλωση:

Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια και η πλευρά ενός από αυτά είναι κφορές μεγαλύτερη από τις αντίστοιχες πλευρές του άλλου, τότε το εμβαδόν του είναι κ 2 φορές το εμβαδόν του δεύτερου.

Εξάγουμε τον τύπο του Heron για το εμβαδόν ενός τριγώνου με τους εξής δύο τρόπους. Στο πρώτο χρησιμοποιούμε το θεώρημα συνημιτόνου:

όπου a, b, c είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου, r είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά c.

Από το (1.3) βρίσκουμε.

Παρατηρώντας αυτό

όπου είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, παίρνουμε.

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις πλευρές του a, b και c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλ. p = (a + b + c)/2.
Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ήρωνα της Αλεξάνδρειας (περίπου τον 1ο αιώνα). Ο Ήρων θεώρησε τρίγωνα με ακέραιες πλευρές των οποίων οι περιοχές είναι επίσης ακέραιοι. Τέτοια τρίγωνα ονομάζονται τρίγωνα Ηρωνείας. Για παράδειγμα, αυτά είναι τρίγωνα με πλευρές 13, 14, 15 ή 51, 52, 53.

Υπάρχουν ανάλογα του τύπου του Heron για τα τετράπλευρα. Λόγω του γεγονότος ότι το έργο της κατασκευής ενός τετράπλευρου κατά τις πλευρές του a, b, c και d δεν έχει μόνη απόφαση, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου στη γενική περίπτωση, δεν αρκεί μόνο να γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών. Πρέπει να εισαγάγετε πρόσθετες παραμέτρους ή να επιβάλετε περιορισμούς. Για παράδειγμα, το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου βρίσκεται με τον τύπο: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)

Εάν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο ταυτόχρονα, το εμβαδόν του είναι χρησιμοποιώντας έναν απλούστερο τύπο: S=√(abcd).

Ήρων Αλεξανδρείας - Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός.

Ήταν ο πρώτος που εφηύρε αυτόματες πόρτες, αυτόματο κουκλοθέατρο, μηχανή αυτόματης πώλησης, βαλλίστρα αυτοφόρτωσης ταχείας φωτιάς, ατμοστρόβιλο, αυτόματες διακοσμήσεις, συσκευή μέτρησης του μήκους των δρόμων (αρχαίο οδόμετρο) κ.λπ. Ήταν ο πρώτος που δημιούργησε προγραμματιζόμενες συσκευές (άξονας με καρφίτσες με σχοινί τυλιγμένο γύρω του).

Σπούδασε γεωμετρία, μηχανική, υδροστατική και οπτική. Κύρια έργα: Metrics, Pneumatics, Automatopoetics, Mechanics (το έργο σώζεται εξ ολοκλήρου σε αραβική μετάφραση), Catoptrics (η επιστήμη των κατόπτρων· σώζεται μόνο σε λατινική μετάφραση) κ.λπ. Το 1814 βρέθηκε το δοκίμιο του Heron «Περί Διόπτρας», το οποίο καθορίζει τους κανόνες τοπογραφίας γης, βασισμένος στην πραγματικότητα στη χρήση ορθογώνιων συντεταγμένων. Ο Ήρων χρησιμοποίησε τα επιτεύγματα των προκατόχων του: Ευκλείδη, Αρχιμήδη, Στράτο της Λαμψάκου. Πολλά από τα βιβλία του έχουν χαθεί ανεπανόρθωτα (οι ειλητάριοι φυλάσσονταν στη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας).

Στην πραγματεία του «Μηχανική», ο Heron περιέγραψε πέντε τύπους απλών μηχανών: μοχλό, πύλη, σφήνα, βίδα και μπλοκ.

Στην πραγματεία του «Πνευματικά», ο Heron περιέγραψε διάφορα σιφόνια, έξυπνα σχεδιασμένα δοχεία και αυτόματα που κινούνται από πεπιεσμένο αέρα ή ατμό. Αυτό είναι ένα aeolipile, που ήταν ο πρώτος ατμοστρόβιλος - μια μπάλα που περιστρέφεται από τη δύναμη των πίδακες υδρατμών. ένα μηχάνημα για το άνοιγμα των θυρών, ένα μηχάνημα πώλησης «αγίου» νερού, μια πυροσβεστική αντλία, ένα όργανο νερού, ένα μηχανικό κουκλοθέατρο.

Το βιβλίο «About the Diopter» περιγράφει τη διόπτρα - η απλούστερη συσκευή, χρησιμοποιείται για γεωδαιτικές εργασίες. Ο Heron εκθέτει στην πραγματεία του τους κανόνες για την τοπογραφία γης, με βάση τη χρήση ορθογώνιων συντεταγμένων.

Στο Catoptrics, ο Heron τεκμηριώνει την ευθύτητα των ακτίνων φωτός με μια απείρως υψηλή ταχύτητα διάδοσης. Ο Ήρων θεωρεί Διάφοροι τύποικαθρέφτες, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στους κυλινδρικούς καθρέφτες.

Το "Metrics" του Heron και το "Geometrics" και "Stereometrics" που εξάγονται από αυτό είναι βιβλία αναφοράς για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Μεταξύ των πληροφοριών που περιέχονται στο Metrica:

Τύποι για τα εμβαδά των κανονικών πολυγώνων.


Όγκοι κανονικών πολύεδρων, πυραμίδας, κώνου, κόλουρου κώνου, τόρου, σφαιρικού τμήματος.


Ο τύπος του Heron για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του (ανακαλύφθηκε από τον Αρχιμήδη).


Κανόνες αριθμητικής επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.


Αλγόριθμοι εξαγωγής τετραγωνικών και κυβικών ριζών.

Το βιβλίο του Heron "Definitions" είναι μια εκτενής συλλογή γεωμετρικών ορισμών, που ως επί το πλείστον συμπίπτουν με τους ορισμούς των "Στοιχείων" του Ευκλείδη.

Περίληψη μαθήματος

Θέμα: "Ο τύπος του Ήρωνα και άλλοι τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου."

Τύπος μαθήματος : ένα μάθημα για την ανακάλυψη νέων γνώσεων.

Τάξη: 10.

Στόχοι μαθήματος: κατά τη διάρκεια του μαθήματος, εξασφαλίστε τη συνειδητή επανάληψη τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου, οι οποίοι μελετώνται σε σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Δείξτε την ανάγκη να γνωρίζετε τον τύπο II του Heron, τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Εξασφαλίστε τη συνειδητή αφομοίωση και εφαρμογή αυτών των τύπων κατά την επίλυση προβλημάτων.

Καθήκοντα:

Εκπαιδευτικός: ανάπτυξη λογική σκέψη, ικανότητα να επιλύει ανεξάρτητα εκπαιδευτικά προβλήματα. αναπτυξιακή περιέργειαμαθητές, γνωστικό ενδιαφέρον για το θέμα. ανάπτυξη δημιουργική σκέψη, μαθηματική ομιλία μαθητών;

Εκπαιδευτικός: καλλιέργεια ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά· δημιουργία συνθηκών γιαδιαμόρφωση επικοινωνιακών δεξιοτήτων και βουλητικών ιδιοτήτων του ατόμου.

Εκπαιδευτικός: εμβάθυνση της γνώσηςο συντελεστής πραγματικού αριθμού. διδάσκουν την ικανότητα επίλυσης τυπικών προβλημάτων.

Καθολικές μαθησιακές δραστηριότητες:

Προσωπικός: σεβασμός για το άτομο και την αξιοπρέπειά του· βιώσιμο γνωστικό ενδιαφέρον· την ικανότητα διεξαγωγής διαλόγου στη βάση ίσων σχέσεων και αμοιβαίου σεβασμού.

Ρυθμιστικό: θέτουν στόχους για δραστηριότητες στο μάθημα. σχεδιάστε τρόπους για την επίτευξη του στόχου. λήψη αποφάσεων σε μια προβληματική κατάσταση με βάση τις διαπραγματεύσεις.

Γνωστική: V κατέχουν γενικές τεχνικές για την επίλυση προβλημάτων, την εκτέλεση εργασιών και υπολογισμών. εκτελεί εργασίες που βασίζονται στη χρήση ιδιοτήτων συντελεστή πραγματικού αριθμού.

Διαχυτικός: ΕΝΑ να χρησιμοποιεί επαρκώς την ομιλία για να σχεδιάζει και να ρυθμίζει τις δραστηριότητές του· διατυπώστε τη δική σας γνώμη.

Τεχνική υποστήριξη : υπολογιστής, προβολέας, διαδραστικός πίνακας.

Δομή μαθήματος

Στάδιο παρακίνησης – 2 λεπτά.

Εργασία για το σπίτι – 1 λεπτό.

Το στάδιο της ενημέρωσης των γνώσεων για το προτεινόμενο θέμα και η πραγματοποίηση της πρώτης δοκιμαστικής ενέργειας - 10 λεπτά.

Εντοπισμός δυσκολιών: ποια είναι η πολυπλοκότητα του νέου υλικού, τι ακριβώς δημιουργεί το πρόβλημα, αναζήτηση αντιφάσεων - 4 λεπτά.

Ανάπτυξη έργου, σχέδιο για να ξεπεράσουν τις υπάρχουσες δυσκολίες τους, εξέταση πολλών επιλογών, αναζήτηση βέλτιστη λύση- 2 λεπτά.

Εφαρμογή του επιλεγμένου σχεδίου για την επίλυση της δυσκολίας - 5 λεπτά.

Πρωτογενής εμπέδωση νέας γνώσης - 10 λεπτά.

Ανεξάρτητη εργασίακαι έλεγχος σε σχέση με το πρότυπο - 5 λεπτά.

Αντανάκλαση, που περιλαμβάνει τον προβληματισμό εκπαιδευτικές δραστηριότητες, και ενδοσκόπηση και αντανάκλαση συναισθημάτων και συναισθημάτων – 1 λεπτό.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

Στάδιο παρακίνησης.

Γεια σας παιδιά, καθίστε. Σήμερα το μάθημά μας θα ακολουθήσει το εξής σχέδιο: κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα μελετήσουμε νέο θέμα: « Ο τύπος του Heron και άλλοι τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου "; Ας επαναλάβουμε τους τύπους που γνωρίζετε. Ας μάθουμε πώς να εφαρμόζουμε αυτούς τους τύπους κατά την επίλυση προβλημάτων. Λοιπόν, ας πιάσουμε τη δουλειά.

Το στάδιο της ενημέρωσης των γνώσεων για το προτεινόμενο θέμα και η πραγματοποίηση της πρώτης δοκιμαστικής ενέργειας.

Διαφάνεια 1.

Καταγράψτε το θέμα του μαθήματος. Πριν προχωρήσουμε απευθείας στους τύπους, ας θυμηθούμε ποιους τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου γνωρίζετε;

Διαφάνεια 2.

Γράψτε αυτούς τους τύπους.

Ποιους τύπους γνωρίζετε για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου;(οι μαθητές θυμούνται όλους τους τύπους που έχουν μάθει)

Διαφάνεια 3.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου. S=αβ. Καταγράψτε τον τύπο

Διαφάνεια 4.

Εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου. S= ΕΝΑ . ένα = , = Καταγράψτε τον τύπο.

Διαφάνεια 5. Το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία.

S=½·ab·sina. Καταγράψτε τον τύπο.

Τώρα θα μελετήσουμε νέους τύπους για την εύρεση της περιοχής.

Διαφάνεια 6.

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. S= P r. Καταγράψτε τον τύπο.

Διαφάνεια 7.

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα R του κυκλικού κύκλου.

Καταγράψτε τον τύπο.

Διαφάνεια 8.

Η φόρμουλα του Heron.

Πριν ξεκινήσουμε την απόδειξη, ας θυμηθούμε δύο θεωρήματα της γεωμετρίας - το θεώρημα των ημιτόνων και το θεώρημα των συνημιτόνων.

1. , a=2R; b=2R; c=2R

2.,κοσγ = .

Διαφάνεια 9-10

Απόδειξη της φόρμουλας του Heron. Καταγράψτε τον τύπο.

Διαφάνεια 11.

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές ανακαλύφθηκε από τον Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. Ωστόσο, η αντίστοιχη δουλειά δεν έχει φτάσει στις μέρες μας. Αυτή η φόρμουλα περιέχεται στα «Μετρικά» του Ήρωνα της Αλεξάνδρειας (1ος αιώνας μ.Χ.) και φέρει το όνομά του. Ο Heron ενδιαφέρθηκε για τρίγωνα με ακέραιες πλευρές των οποίων οι περιοχές είναι επίσης ακέραιες. Τέτοια τρίγωνα ονομάζονται τρίγωνα Ηρωνείας. Το απλούστερο τρίγωνο του Ηρωνείου είναι το αιγυπτιακό τρίγωνο

Προσδιορισμός της δυσκολίας: ποια είναι η πολυπλοκότητα του νέου υλικού, τι ακριβώς δημιουργεί το πρόβλημα, αναζήτηση μιας αντίφασης.

Διαφάνεια 12.

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με τις δοσμένες πλευρές: 4,6,8. Υπάρχουν αρκετές πληροφορίες για την επίλυση του προβλήματος; Ποια φόρμουλα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να λύσετε αυτό το πρόβλημα;

Ανάπτυξη έργου, σχέδιο επίλυσης των υφιστάμενων δυσκολιών τους, εξέταση πολλών επιλογών, αναζήτηση βέλτιστης λύσης.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Πρώτα, πρέπει να βρείτε την ημιπερίμετρο του τριγώνου και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες τιμές στον τύπο.

Εφαρμογή του επιλεγμένου σχεδίου για την επίλυση της δυσκολίας.

Εύρεση σελ

Π=(13+14+15)/2=21

Π- ένα=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Απάντηση :84

Εργασία Νο. 2

Βρείτε τις πλευρές του τριγώνουαλφάβητο, εάν το εμβαδόν των τριγώνωνABO, BCO, ACO, όπου Ο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, ίσο με 17,65,80 dc 2 .

Λύση:

μικρό=17+65+80=162 – αθροίστε τα εμβαδά των τριγώνων. Σύμφωνα με τον τύπο

μικρό ABO =1/2 ΑΒ* r, άρα 17=1/2ΑΒ* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.* r

34/r=AB; 130/r=π.Χ. 160/r=AC

Βρείτε σελ

Π= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- ντο)=162-160=2

(R- σι)=162-130=32

Σύμφωνα με τον τύπο του Heronμικρό=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Επειδή μικρό=162, επομένωςr =  1152/162=3128/18

Απάντηση: ΑΒ=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Πρωτογενής εμπέδωση νέας γνώσης.

№10(1)

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με τις δοσμένες πλευρές:

№12

Ανεξάρτητη εργασία και δοκιμή σε σχέση με το πρότυπο.

№10.(2)

Εργασία για το σπίτι . Σελ.83, Νο. 10(3), Νο. 15

Αναστοχασμός, ο οποίος περιλαμβάνει στοχασμό σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες, ενδοσκόπηση και προβληματισμό για συναισθήματα και συναισθήματα.

Ποιους τύπους επαναλάβατε σήμερα;

Ποιες φόρμουλες μάθατε μόλις σήμερα;

Μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας τη βάση και το ύψος. Η όλη απλότητα του διαγράμματος έγκειται στο γεγονός ότι το ύψος χωρίζει τη βάση α σε δύο μέρη α 1 και α 2 και το ίδιο το τρίγωνο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το εμβαδόν του οποίου είναι και. Τότε το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου θα είναι το άθροισμα των δύο υποδεικνυόμενων περιοχών και αν αφαιρέσουμε ένα δευτερόλεπτο του ύψους από το στήριγμα, τότε στο άθροισμα θα πάρουμε πίσω τη βάση:

Μια πιο δύσκολη μέθοδος για τους υπολογισμούς είναι ο τύπος του Heron, για τον οποίο πρέπει να γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές. Για αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου: Ο ίδιος ο τύπος του Heron υποδηλώνει την τετραγωνική ρίζα της ημιπεριμέτρου, πολλαπλασιαζόμενη με τη σειρά της με τη διαφορά της σε κάθε πλευρά.

Η ακόλουθη μέθοδος, επίσης σχετική για οποιοδήποτε τρίγωνο, σας επιτρέπει να βρείτε την περιοχή του τριγώνου μέσω δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους. Η απόδειξη αυτού προέρχεται από τον τύπο με το ύψος - σχεδιάζουμε το ύψος σε οποιαδήποτε από τις γνωστές πλευρές και μέσα από το ημίτονο της γωνίας α παίρνουμε ότι h=a⋅sinα. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν, πολλαπλασιάστε το μισό ύψος με τη δεύτερη πλευρά.

Ένας άλλος τρόπος είναι να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, γνωρίζοντας 2 γωνίες και την πλευρά μεταξύ τους. Η απόδειξη αυτού του τύπου είναι αρκετά απλή και φαίνεται καθαρά από το διάγραμμα.

Χαμηλώνουμε το ύψος από την κορυφή της τρίτης γωνίας στη γνωστή πλευρά και ονομάζουμε ανάλογα x τα τμήματα που προκύπτουν. Από ορθογώνια τρίγωναείναι σαφές ότι το πρώτο τμήμα x είναι ίσο με το γινόμενο

Η φόρμουλα του Heron Η φόρμουλα του Heron

εκφράζει περιοχή μικρόενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του ΕΝΑ, σιΚαι Μεκαι ημιπεριμετρική R = (ΕΝΑ + σι + Με)/2: . Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας.

ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΗΡΩΝΑΣ

ΗΡΩΝΑΣ ΦΟΡΜΟΥΛΑ, εκφράζει περιοχή μικρόενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του ένα, σιΚαι ντοκαι ημιπεριμετρική Π = (ένα + σι + ντο)/2
Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας.

εγκυκλοπαιδικό λεξικό . 2009 .

Δείτε τι είναι η «φόρμουλα του Ήρωνα» σε άλλα λεξικά:

Εκφράζει το εμβαδόν S ενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του a, b και c και την ημιπερίμετρο P = (a + b + c)/2 Ονομάζεται από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Τύπος που εκφράζει το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω των τριών πλευρών του. Δηλαδή, αν a, b, C είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου και S το εμβαδόν του, τότε το G. f. έχει τη μορφή: όπου το p δηλώνει την ημιπερίμετρο του τριγώνου G. f.... ...

Ένας τύπος που εκφράζει το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω των πλευρών του a, b, c: όπου πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα (περ. 1ος αιώνας μ.Χ.), ο A. B. Ivanov ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Εκφράζει το εμβαδόν 5 ενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του a, b και c και την ημιπερίμετρο p = (a + b + c)/2: s = τετράγωνο. ρίζα p(p a)(p b)(p c). Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- ... Βικιπαίδεια

Σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου (S) με βάση τις πλευρές του a, b, c: όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου: . Απόδειξη όπου η γωνία είναι τριγωνική... Wikipedia

Εκφράζει το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο σε συνάρτηση με τα μήκη των πλευρών του. Αν ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει μήκη πλευρών και ημιπερίμετρο, τότε το εμβαδόν του είναι ... Wikipedia

Αυτό το άρθρο δεν διαθέτει συνδέσμους προς πηγές πληροφοριών. Οι πληροφορίες πρέπει να είναι επαληθεύσιμες, διαφορετικά ενδέχεται να τεθούν υπό αμφισβήτηση και να διαγραφούν. Μπορείτε να επεξεργαστείτε αυτό το άρθρο για να περιλαμβάνει συνδέσμους προς έγκυρες πηγές. Αυτό το σήμα... ... Wikipedia

- (Ήρωνος Αλεξανδρινός) (άγνωστα χρόνια γέννησης και θανάτου, πιθανώς 1ος αιώνας), αρχαίος Έλληνας επιστήμονας που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια. Συγγραφέας έργων στα οποία περιέγραψε συστηματικά τα κύρια επιτεύγματα αρχαίος κόσμοςστον τομέα της εφαρμοσμένης μηχανικής, V... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Αλεξανδρινός (Heronus Alexandrinus) (άγνωστα χρόνια γέννησης και θανάτου, πιθανώς 1ος αιώνας), αρχαίος Έλληνας επιστήμονας που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια. Ο συγγραφέας έργων στα οποία περιέγραψε συστηματικά τα κύρια επιτεύγματα του αρχαίου κόσμου στον τομέα της... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια