Seno, coseno, tangente y cotangente: ¡todo lo que necesita saber para la OGE y el Examen Estatal Unificado! Triángulo rectángulo: seno, coseno, tangente, cotangente del ángulo
Una de las áreas de las matemáticas con las que más luchan los estudiantes es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área del conocimiento, es necesario el pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes mediante fórmulas, simplificar expresiones y poder utilizar el número pi en cálculos. Además, es necesario poder utilizar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de derivar cadenas lógicas complejas.
Orígenes de la trigonometría
Para familiarizarse con esta ciencia, debe comenzar con la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo, pero primero debe comprender qué hace la trigonometría en general.
Históricamente, el principal objeto de estudio en esta rama de la ciencia matemática fueron los triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en el arte.
Primera etapa
Inicialmente, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados utilizando exclusivamente el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en La vida cotidiana esta rama de las matemáticas.
El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos en física y resuelven problemas abstractos. ecuaciones trigonométricas, trabajo con el que comienza en la escuela secundaria.
trigonometría esférica
Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, en la geometría esférica comenzaron a usarse fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre superior a 180 grados. Este apartado no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia al menos porque la superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca en la superficie tendrá "forma de arco" en tres -espacio dimensional.
Toma el globo y el hilo. Conecte el hilo a dos puntos cualesquiera del globo para que quede tenso. Tenga en cuenta que ha adquirido la forma de un arco. La geometría esférica se ocupa de estas formas y se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.
Triángulo rectángulo
Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.
El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el más largo. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.
Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.
Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular es igual a 180 grados.
Definición
Finalmente, con una comprensión firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa qué tan largo sea el cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su proporción siempre será menor que uno. Así, si en tu respuesta a un problema obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1, busca un error en los cálculos o razonamientos. Esta respuesta es claramente incorrecta.
Finalmente, la tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: según la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de tangente.
La cotangente, por tanto, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo uno por la tangente.
Entonces, hemos visto las definiciones de qué son seno, coseno, tangente y cotangente y podemos pasar a las fórmulas.
Las fórmulas más simples.
En trigonometría no puedes prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.
La primera fórmula que debes saber al empezar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesitas saber el tamaño del ángulo en lugar del lado.
Muchos alumnos no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular a la hora de resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad fueron divididos por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática no fórmula trigonométrica completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de transformación y varias fórmulas básicas, podrá derivar en cualquier momento las fórmulas más complejas necesarias en una hoja de papel.
Fórmulas para ángulos dobles y suma de argumentos.
Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se presentan en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.
También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores; como práctica, intente obtenerlos usted mismo tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.
Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de ángulos dobles se pueden reorganizar para reducir la potencia del seno, coseno y tangente alfa.
Teoremas
Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, podrás entender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente, y por tanto el área de la figura, y el tamaño de cada lado, etc.
El teorema del seno establece que dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el ángulo opuesto da como resultado el mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, del círculo que contiene todos los puntos de un triángulo dado.
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.
Errores por descuido
Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por despiste o por un error en los cálculos más simples. Para evitar este tipo de errores, echemos un vistazo a los más populares.
En primer lugar, no debes convertir fracciones a decimales hasta que obtengas el resultado final; puedes dejar la respuesta como fracción común, salvo que se indique lo contrario en las condiciones. Tal transformación no puede considerarse un error, pero conviene recordar que en cada etapa del problema pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, conviene reducir. En este caso, perderá el tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o la raíz de dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".
Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error te olvidas de restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no sólo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que además demostrarás una total falta de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.
En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados con senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.
Solicitud
Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no comprenden su significado práctico. ¿Qué es el seno, el coseno y la tangente para un ingeniero o astrónomo? Se trata de conceptos con los que puedes calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito o enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga sobre una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son sólo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se utiliza en todas partes, desde la música hasta la medicina.
Finalmente
Entonces eres seno, coseno, tangente. Puedes utilizarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.
El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que utilizando los parámetros conocidos de un triángulo es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: longitud tres lados y los tamaños de los tres ángulos. La única diferencia entre las tareas radica en el hecho de que se proporcionan datos de entrada diferentes.
Ahora sabes cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente basándose en las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, objetivo principal El problema trigonométrico consiste en encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o de un sistema de ecuaciones. Y aquí las matemáticas escolares habituales te ayudarán.
La trigonometría es una rama de la ciencia matemática que estudia funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.
Este artículo está dedicado a conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.
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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.
Definiciones de funciones trigonométricas
El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.
El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Ángulo tangente (t g α): la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Estas definiciones se dan para ángulo agudo¡triángulo rectángulo!
Pongamos una ilustración.
En el triángulo ABC con ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón entre el cateto BC y la hipotenusa AB.
Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.
¡Importante recordar!
El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.
Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞. .
En este contexto, podemos definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imaginemos un círculo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.
El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).
Seno (pecado) del ángulo de rotación.
El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y
Coseno (cos) del ángulo de rotación.
El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x
Tangente (tg) del ángulo de rotación
La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x
Cotangente (ctg) del ángulo de rotación
La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.
¡Importante recordar!
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.
La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Al resolver ejemplos prácticos, no diga “seno del ángulo de rotación α”. Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.
Números
¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.
Por ejemplo, el seno del número 10 π es igual al seno del ángulo de rotación de 10 π rad.
Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.
cualquier número real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.
El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).
Numero positivo t
Numero negativo t Corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y pasa por el camino t.
Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno (pecado) de t
Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y
Coseno (cos) de t
coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x
Tangente (tg) de t
tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t
Las últimas definiciones están de acuerdo y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.
Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.
De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un cierto valor del seno o coseno de un número t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.
Funciones básicas de trigonometría.
El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, del contexto queda claro con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.
Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente son totalmente consistentes con las definiciones geométricas dadas por las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.
Tome un círculo unitario con centro en un rectángulo sistema cartesiano coordenadas Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos una perpendicular al eje de abscisas desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.
De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.
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¿Qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo te ayudará a comprender un triángulo rectángulo?
¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado \(AC\)); Los catetos son los dos lados restantes \(AB\) y \(BC\) (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos con respecto al ángulo \(BC\), entonces el cateto \(AB\) es el cateto adyacente, y el cateto \(BC\) es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?
Seno de ángulo– esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
coseno de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
tangente del ángulo– esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).
En nuestro triángulo:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangente de ángulo– esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).
En nuestro triángulo:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:
Coseno→toque→toque→adyacente;
Cotangente→toque→toque→adyacente.
En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:
Considere, por ejemplo, el coseno del ángulo \(\beta \) . Por definición, de un triángulo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), pero podemos calcular el coseno del ángulo \(\beta \) del triángulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.
Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!
Para el triángulo \(ABC \) que se muestra en la siguiente figura, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo \(\beta \) .
Respuestas: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Círculo unitario (trigonométrico)
Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a \(1\) . Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.
Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen de coordenadas, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\) (en nuestro ejemplo, esto es el radio \(AB\)).
Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje \(x\) y la coordenada a lo largo del eje \(y\). ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere el triángulo \(ACG\) . Es rectangular porque \(CG\) es perpendicular al eje \(x\).
¿Qué es \(\cos \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Así es \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Además, sabemos que \(AC\) es el radio del círculo unitario, lo que significa \(AC=1\) . Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
¿A qué es igual \(\sin \ \alpha \) del triángulo \(ACG \)? Bueno, por supuesto, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Sustituye el valor del radio \(AC\) en esta fórmula y obtienes:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene el punto \(C\) que pertenece al círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de que \(\cos \ \alpha \) y \(\sin \alpha \) son solo números? ¿A qué coordenada corresponde \(\cos \alpha \)? Bueno, por supuesto, ¡la coordenada \(x\)! ¿Y a qué coordenada corresponde \(\sin \alpha \)? Así es, ¡coordina \(y\)! Entonces el punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Entonces, ¿a qué son iguales \(tg \alpha \) y \(ctg \alpha \)? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:
¿Qué ha cambiado en en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \): ángulo (como adyacente al ángulo \(\beta \) ). ¿Cuál es el valor del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada \(y\) ; el valor del coseno del ángulo - coordenada \(x\) ; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.
Ya se ha mencionado que la posición inicial del vector radio está a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\). Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj – negativo.
Entonces, sabemos que la revolución completa del vector radio alrededor del círculo es \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . ¿Es posible rotar el vector de radio en \(390()^\circ \) o en \(-1140()^\circ \)? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), por lo tanto, el vector de radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
En el segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), es decir, el vector de radio dará tres vueltas completas y se detendrá en la posición \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero), corresponden a la misma posición del vector radio.
La siguiente figura muestra el ángulo \(\beta =-60()^\circ \) . La misma imagen corresponde a la esquina. \(-420()^\circ,-780()^\circ,\ 300()^\circ,660()^\circ \) etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:
¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, empecemos en orden: la esquina en \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a un punto con coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , por lo tanto:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- no existe;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponden a puntos con coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \derecha) \), respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.
Respuestas:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- no existe
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- no existe
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\pecado \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- no existe
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- no existe
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Así, podemos hacer la siguiente tabla:
No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(¡¡Debes recordarlo o poder mostrarlo!! \) !}
Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indicado en la siguiente tabla, debe recordar:
No te asustes, ahora te mostramos un ejemplo de memorización bastante sencilla de los valores correspondientes:
Para utilizar este método, es vital recordar los valores de los senos para las tres medidas de ángulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi (3)\)), así como el valor de la tangente del ángulo en \(30()^\circ \) . Conociendo estos valores \(4\), es bastante sencillo restaurar la tabla completa: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(matriz)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabiendo esto, puedes restaurar los valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). El numerador "\(1 \)" corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) y el denominador "\(\sqrt(\text(3)) \)" corresponderá a \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar solo \(4\) valores de la tabla.
Coordenadas de un punto en un círculo.
¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación? ¡Bueno, por supuesto que puedes! Derivemos una fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:
Nos dan ese punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro del círculo. El radio del círculo es \(1,5\). Es necesario encontrar las coordenadas del punto \(P\) obtenidas al girar el punto \(O\) en \(\delta \) grados.
Como se puede ver en la figura, la coordenada \(x\) del punto \(P\) corresponde a la longitud del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\). La longitud del segmento \(UK\) corresponde a la coordenada \(x\) del centro del círculo, es decir, es igual a \(3\) . La longitud del segmento \(KQ\) se puede expresar usando la definición de coseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Entonces tenemos que para el punto \(P\) la coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto \(P\). De este modo,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Entonces, en vista general Las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), Dónde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas del centro del círculo,
\(r\) - radio del círculo,
\(\delta \) - ángulo de rotación del radio del vector.
Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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En este artículo mostraremos cómo dar definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo y número en trigonometría. Aquí hablaremos sobre notaciones, daremos ejemplos de entradas y daremos ilustraciones gráficas. En conclusión, establezcamos un paralelo entre las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente en trigonometría y geometría.
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Definición de seno, coseno, tangente y cotangente
Veamos cómo se forma la idea de seno, coseno, tangente y cotangente en curso escolar matemáticas. En las lecciones de geometría se da la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Y posteriormente se estudia la trigonometría, que habla del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación y número. Presentemos todas estas definiciones, demos ejemplos y demos los comentarios necesarios.
Ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
Del curso de geometría conocemos las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Se dan como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Demos sus formulaciones.
Definición.
Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
Definición.
Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Definición.
Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo– esta es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Definición.
Cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo- esta es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Allí también se introducen las designaciones de seno, coseno, tangente y cotangente: sin, cos, tg y ctg, respectivamente.
Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C, entonces el seno del ángulo agudo A es igual a la razón entre el lado opuesto BC y la hipotenusa AB, es decir, sen∠A=BC/AB.
Estas definiciones le permiten calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo rectángulo, así como de valores conocidos encuentra las longitudes de los otros lados usando seno, coseno, tangente, cotangente y la longitud de uno de los lados. Por ejemplo, si supiéramos que en un triángulo rectángulo el cateto AC es igual a 3 y la hipotenusa AB es igual a 7, entonces podríamos calcular el valor del coseno del ángulo agudo A por definición: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Ángulo de rotación
En trigonometría, comienzan a considerar el ángulo de manera más amplia: introducen el concepto de ángulo de rotación. La magnitud del ángulo de rotación, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados; el ángulo de rotación en grados (y en radianes) se puede expresar mediante cualquier número real de −∞ a +∞.
En este sentido, las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente no se dan para un ángulo agudo, sino para un ángulo de tamaño arbitrario: el ángulo de rotación. Se dan a través de las coordenadas xey del punto A 1, al que va el llamado punto inicial A(1, 0) después de su rotación en un ángulo α alrededor del punto O, el comienzo del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. y el centro del círculo unitario.
Definición.
Seno de ángulo de rotaciónα es la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y.
Definición.
Coseno del ángulo de rotación.α se llama abscisa del punto A 1, es decir, cosα=x.
Definición.
Tangente del ángulo de rotaciónα es la relación entre la ordenada del punto A 1 y su abscisa, es decir, tanα=y/x.
Definición.
Cotangente del ángulo de rotación.α es la relación entre la abscisa del punto A 1 y su ordenada, es decir, ctgα=x/y.
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α, ya que siempre podemos determinar la abscisa y la ordenada del punto, que se obtiene girando el punto inicial en el ángulo α. Pero la tangente y la cotangente no están definidas para ningún ángulo. La tangente no está definida para los ángulos α en los que el punto inicial va a un punto con abscisa cero (0, 1) o (0, −1), y esto ocurre en los ángulos 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). De hecho, en tales ángulos de rotación, la expresión tgα=y/x no tiene sentido, ya que contiene división por cero. En cuanto a la cotangente, no está definida para los ángulos α en los que el punto inicial va al punto de ordenada cero (1, 0) o (−1, 0), y esto ocurre para los ángulos de 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Entonces, el seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación, la tangente se define para todos los ángulos excepto 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), y la cotangente se define para todos los ángulos excepto 180°·k , k∈Z (π·k rad).
Las definiciones incluyen las designaciones que ya conocemos sin, cos, tg y ctg, también se utilizan para designar seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación (a veces puede encontrar las designaciones tan y cot correspondientes a tangente y cotangente) . Entonces, el seno de un ángulo de rotación de 30 grados se puede escribir como sin30°, las entradas tg(−24°17′) y ctgα corresponden a la tangente del ángulo de rotación −24 grados 17 minutos y la cotangente del ángulo de rotación α . Recuerde que al escribir la medida en radianes de un ángulo, a menudo se omite la designación "rad". Por ejemplo, el coseno de un ángulo de rotación de tres pi rad normalmente se denota como cos3·π.
Como conclusión de este punto, vale la pena señalar que cuando se habla de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación, a menudo se omite la frase "ángulo de rotación" o la palabra "rotación". Es decir, en lugar de la frase "seno del ángulo de rotación alfa", se suele utilizar la frase "seno del ángulo alfa" o, más brevemente, "seno alfa". Lo mismo se aplica al coseno, la tangente y la cotangente.
También diremos que las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son consistentes con las definiciones que se acaban de dar para seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de rotación que oscila entre 0 y 90 grados. Lo justificaremos.
Números
Definición.
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número igual al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en t radianes, respectivamente.
Por ejemplo, el coseno del número 8·π por definición es un número igual al coseno del ángulo de 8·π rad. Y el coseno de un ángulo de 8·π rad es igual a uno, por tanto, el coseno del número 8·π es igual a 1.
Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Consiste en que cada número real t está asociado a un punto de la circunferencia unitaria con centro en el origen del sistema de coordenadas rectangular, y a través de las coordenadas de este punto se determinan el seno, el coseno, la tangente y la cotangente. Veamos esto con más detalle.
Demostremos cómo se establece una correspondencia entre números reales y puntos de una circunferencia:
- al número 0 se le asigna el punto de partida A(1, 0);
- numero positivo t está asociado con el punto del círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto inicial en sentido antihorario y recorremos un camino de longitud t;
- el número negativo t está asociado con un punto en el círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto inicial en el sentido de las agujas del reloj y recorremos un camino de longitud |t| .
Pasemos ahora a las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del número t. Supongamos que el número t corresponde a un punto del círculo A 1 (x, y) (por ejemplo, el número &pi/2; corresponde al punto A 1 (0, 1)).
Definición.
Seno del numero t es la ordenada del punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, sint=y.
Definición.
coseno del numero t se llama abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, costo = x.
Definición.
tangente del numero t es la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, tgt=y/x. En otra formulación equivalente, la tangente de un número t es la relación entre el seno de este número y el coseno, es decir, tgt=sint/cost.
Definición.
Cotangente del numero t es la relación entre la abscisa y la ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, ctgt=x/y. Otra formulación es la siguiente: la tangente del número t es la relación entre el coseno del número t y el seno del número t: ctgt=cost/sint.
Aquí observamos que las definiciones que se acaban de dar son consistentes con la definición dada al comienzo de este párrafo. De hecho, el punto del círculo unitario correspondiente al número t coincide con el punto obtenido girando el punto inicial en un ángulo de t radianes.
Todavía vale la pena aclarar este punto. Digamos que tenemos la entrada sin3. ¿Cómo podemos saber si estamos hablando del seno del número 3 o del seno del ángulo de rotación de 3 radianes? Esto suele quedar claro en el contexto; de lo contrario, probablemente no tenga una importancia fundamental.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.
Según las definiciones dadas en el párrafo anterior, a cada ángulo de rotación α le corresponde un valor muy específico sinα, así como el valor cosα. Además, todos los ángulos de rotación distintos de 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corresponden a valores de tgα, y los valores distintos de 180°k, k∈Z (πk rad ) – valores de ctgα. Por tanto sinα, cosα, tanα y ctgα son funciones del ángulo α. En otras palabras, éstas son funciones del argumento angular.
Podemos hablar de manera similar de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un argumento numérico. De hecho, cada número real t corresponde a un valor sint muy específico, así como a un costo. Además, todos los números distintos de π/2+π·k, k∈Z corresponden a valores tgt, y los números π·k, k∈Z - valores ctgt.
Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se llaman funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, del contexto queda claro si se trata de funciones trigonométricas de un argumento angular o de un argumento numérico. De lo contrario, podemos pensar en la variable independiente como una medida del ángulo (argumento angular) y como un argumento numérico.
Sin embargo, en el colegio estudiamos principalmente funciones numéricas, es decir, funciones cuyos argumentos, así como sus correspondientes valores de función, son números. Por tanto, si hablamos específicamente de funciones, entonces es recomendable considerar las funciones trigonométricas como funciones de argumentos numéricos.
Relación entre definiciones de geometría y trigonometría
Si consideramos que el ángulo de rotación α varía de 0 a 90 grados, entonces las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en el contexto de la trigonometría son totalmente consistentes con las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, que se dan en el curso de geometría. Justifiquemos esto.
Representaremos el círculo unitario en el sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy. Marquemos el punto de partida A(1, 0) . Girémoslo en un ángulo α que oscila entre 0 y 90 grados, obtenemos el punto A 1 (x, y). Dejemos caer la perpendicular A 1 H desde el punto A 1 al eje Ox.
Es fácil ver que en un triángulo rectángulo, el ángulo A 1 OH es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto OH adyacente a este ángulo es igual a la abscisa del punto A 1, es decir, |OH |=x, la longitud del cateto A 1 H opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, |A 1 H|=y, y la longitud de la hipotenusa OA 1 es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario. Entonces, por definición de geometría, el seno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo A 1 OH es igual a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Y por definición de trigonometría, el seno del ángulo de rotación α es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y. Esto muestra que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α cuando α es de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede demostrar que las definiciones de coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo α son consistentes con las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α.
Bibliografía.
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Seno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón. opuesto cateto a la hipotenusa.
Se denota de la siguiente manera: sen α.
Coseno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Se designa de la siguiente manera: cos α.
Tangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Se designa de la siguiente manera: tg α.
Cotangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Se designa de la siguiente manera: ctg α.
El seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo dependen únicamente del tamaño del ángulo.
Normas:
Básico identidades trigonométricas en un triángulo rectángulo:
(α - ángulo agudo opuesto a la pierna b y adyacente a la pierna a . Lado Con – hipotenusa. β – segundo ángulo agudo).
b | pecado 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
pecadoα |
A medida que aumenta el ángulo agudopecado α yaumento de tg α, ycos α disminuye.
Para cualquier ángulo agudo α:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α
Ejemplo-explicación:
Sea un triángulo rectángulo ABC.
AB = 6,
antes de Cristo = 3,
ángulo A = 30º.
Averigüemos el seno del ángulo A y el coseno del ángulo B.
Solución .
1) Primero encontramos el valor del ángulo B. Aquí todo es simple: como en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, entonces el ángulo B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Calculemos el seno A. Sabemos que el seno es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Para el ángulo A, el lado opuesto es el lado BC. Entonces:
antes de Cristo 3 1
pecado A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ahora calculemos cos B. Sabemos que el coseno es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Para el ángulo B, el cateto adyacente es el mismo lado BC. Esto significa que nuevamente necesitamos dividir BC por AB, es decir, realizar las mismas acciones que cuando calculamos el seno del ángulo A:
antes de Cristo 3 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2
El resultado es:
pecado A = cos B = 1/2.
sen 30º = cos 60º = 1/2.
De esto se deduce que en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual al coseno del otro ángulo agudo, y viceversa. Esto es exactamente lo que significan nuestras dos fórmulas:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α
Asegurémonos de esto nuevamente:
1) Sea α = 60º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del seno, obtenemos:
sen (90º – 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.
2) Sea α = 30º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del coseno, obtenemos:
cos (90° – 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30°.
(Para obtener más información sobre trigonometría, consulte la sección de Álgebra)