Cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas. El punto de intersección de dos rectas - definición (desarrollo metodológico)

Dejemos que se den dos líneas y necesitas encontrar su punto de intersección. Dado que este punto pertenece a cada una de las dos rectas dadas, sus coordenadas deben satisfacer tanto la ecuación de la primera recta como la ecuación de la segunda recta.

Así, para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, es necesario resolver el sistema de ecuaciones

Ejemplo 1. Encuentra el punto de intersección de líneas y

Solución. Encontraremos las coordenadas del punto de intersección deseado resolviendo el sistema de ecuaciones.

El punto de intersección M tiene coordenadas

Vamos a mostrar cómo construir una línea recta usando su ecuación. Para construir una recta basta con conocer sus dos puntos. Para construir cada uno de estos puntos, especificamos un valor arbitrario para una de sus coordenadas y luego, a partir de la ecuación, encontramos el valor correspondiente para la otra coordenada.

Si en la ecuación general de una línea recta ambos coeficientes en las coordenadas actuales no son iguales a cero, entonces para construir esta línea recta es mejor encontrar los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas.

Ejemplo 2. Construye una línea recta.

Solución. Encontramos el punto de intersección de esta recta con el eje de abscisas. Para ello, resolvemos juntos sus ecuaciones:

y conseguimos. Así, se ha encontrado el punto M (3; 0) de intersección de esta recta con el eje de abscisas (Fig. 40).

Luego resolviendo juntas la ecuación de esta recta y la ecuación del eje de ordenadas

encontramos el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. Finalmente, construimos una línea recta desde sus dos puntos M y

No había pasado ni un minuto antes de que creara un nuevo archivo Verd y continuara con un tema tan fascinante. Es necesario capturar momentos de humor laboral, por lo que no habrá una introducción lírica. Habrá una paliza prosaica =)

Dos espacios rectos pueden:

1) cruzarse;

2) cruzarse en el punto ;

3) ser paralelo;

4) partido.

El caso número 1 es fundamentalmente diferente de otros casos. Dos rectas se cortan si no están en el mismo plano. Levante un brazo y extienda el otro brazo hacia adelante; este es un ejemplo de líneas cruzadas. En los puntos 2-4 las líneas rectas deben quedar en un avión.

¿Cómo saber las posiciones relativas de las líneas en el espacio?

Considere dos espacios directos:

- derecho, dado por el punto y un vector de dirección;
– una línea recta definida por un punto y un vector director.

Para una mejor comprensión, hagamos un dibujo esquemático:

El dibujo muestra como ejemplo líneas rectas que se cruzan.

¿Cómo afrontar estas líneas rectas?

Como se conocen los puntos, es fácil encontrar el vector.

si es heterosexual cruzarse, entonces los vectores no coplanar(ver lección Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores), y, por tanto, el determinante compuesto por sus coordenadas es distinto de cero. O, lo que en realidad es lo mismo, será distinto de cero: .

En los casos 2-4, nuestra estructura "cae" en un plano y los vectores coplanar, y el producto mixto es lineal Vectores dependientes es igual a cero: .

Ampliemos aún más el algoritmo. pretendamos que Por lo tanto, las líneas se cruzan, son paralelas o coinciden.

Si los vectores de dirección colineal, entonces las líneas son paralelas o coincidentes. Para el clavo final, propongo la siguiente técnica: tomar cualquier punto de una recta y sustituir sus coordenadas en la ecuación de la segunda recta; si las coordenadas "encajan", entonces las líneas coinciden; si "no encajan", entonces las líneas son paralelas;

El algoritmo es simple, pero los ejemplos prácticos seguirán siendo útiles:

Ejemplo 11

Descubra la posición relativa de dos líneas.

Solución: como en muchos problemas de geometría, conviene formular la solución punto por punto:

1) Sacamos puntos y vectores directores de las ecuaciones:

2) Encuentra el vector:

Por tanto, los vectores son coplanares, lo que significa que las rectas se encuentran en el mismo plano y pueden cruzarse, ser paralelas o coincidir.

4) Comprobemos la colinealidad de los vectores de dirección.

Creemos un sistema a partir de las coordenadas correspondientes de estos vectores:

De todos ecuaciones se deduce que, por lo tanto, el sistema es consistente, las coordenadas correspondientes de los vectores son proporcionales y los vectores son colineales.

Conclusión: las rectas son paralelas o coinciden.

5) Descubre si las rectas tienen puntos comunes. Tomemos un punto que pertenece a la primera recta y sustituyamos sus coordenadas en las ecuaciones de la recta:

Así, las líneas no tienen puntos comunes y no les queda más remedio que ser paralelas.

Respuesta:

ejemplo interesante Para decisión independiente:

Ejemplo 12

Descubra las posiciones relativas de las líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Tenga en cuenta que la segunda línea tiene la letra como parámetro. Lógico. En el caso general, se trata de dos líneas diferentes, por lo que cada línea tiene su propio parámetro.

Y de nuevo os insto a que no os saltéis los ejemplos, las tareas que propongo distan mucho de ser aleatorias ;-)

Problemas con una línea en el espacio.

En la parte final de la lección, intentaré considerar el máximo número de problemas diferentes con líneas espaciales. En este caso, se observará el orden original de la historia: primero consideraremos problemas con líneas que se cruzan, luego con líneas que se cruzan, y al final hablaremos de líneas paralelas en el espacio. Sin embargo, debo decir que algunas tareas de esta lección se pueden formular para varios casos de ubicación de líneas a la vez y, en este sentido, la división de la sección en párrafos es algo arbitraria. Hay mas ejemplos simples, hay mas ejemplos complejos, y espero que todos encuentren lo que necesitan.

Líneas que se cruzan

Déjame recordarte que las líneas rectas se cruzan si no hay un plano en el que ambas se encuentren. Mientras pensaba en la práctica, me vino a la mente un problema de monstruos, y ahora me complace presentarles un dragón con cuatro cabezas:

Ejemplo 13

Líneas rectas dadas. Requerido:

a) demostrar que las líneas se cruzan;

b) encontrar las ecuaciones de una recta que pasa por un punto perpendicular a las rectas dadas;

c) componer ecuaciones de una línea recta que contenga perpendicular común líneas que se cruzan;

d) encuentra la distancia entre las líneas.

Solución: El que camina dominará el camino:

a) Demostremos que las rectas se cortan. Encontremos los puntos y los vectores directores de estas rectas:

Encontremos el vector:

calculemos producto mixto de vectores:

Así, los vectores no coplanar, lo que significa que las líneas se cruzan, que es lo que había que demostrar.

Probablemente todo el mundo haya notado desde hace tiempo que para cruzar líneas el algoritmo de verificación es el más corto.

b) Encuentra las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a las rectas. Hagamos un dibujo esquemático:

Para variar publiqué un directo. DETRÁS recto, mira como está un poco borrado en los cruces. ¿Cruce? Sí, con carácter general se cruzará la recta “de” con las rectas originales. A pesar de este momento No nos interesa todavía, solo necesitamos construir una línea perpendicular y listo.

¿Qué se sabe del “de” directo? Se conoce el punto que le pertenece. No hay suficiente vector guía.

Según la condición, la recta debe ser perpendicular a las rectas, lo que significa que su vector director será ortogonal a los vectores directores. Ya familiarizado con el Ejemplo No. 9, encontremos el producto vectorial:

Compongamos las ecuaciones de la recta “de” usando un punto y un vector director:

Listo. En principio, puedes cambiar los signos de los denominadores y escribir la respuesta en la forma , pero no es necesario.

Para verificar, debe sustituir las coordenadas del punto en las ecuaciones de línea recta resultantes, luego usar producto escalar de vectores asegúrese de que el vector sea realmente ortogonal a los vectores de dirección “pe uno” y “pe dos”.

¿Cómo encontrar las ecuaciones de una recta que contiene una perpendicular común?

c) Este problema será más difícil. Recomiendo a los tontos que se salten este punto, no quiero enfriar su sincera simpatía por la geometría analítica =) Por cierto, quizás sería mejor que los lectores más preparados esperaran también, el hecho es que en términos de complejidad el ejemplo Debería colocarse al final del artículo, pero según la lógica de presentación debería ubicarse aquí.

Entonces, necesitas encontrar las ecuaciones de la línea que contiene la perpendicular común de las líneas oblicuas.

- este es un segmento que conecta estas líneas y es perpendicular a estas líneas:

Aquí está nuestro chico guapo: - perpendicular común de líneas que se cruzan. Él es el único. No hay otro igual. Necesitamos crear ecuaciones para la recta que contiene este segmento.

¿Qué se sabe del “um” directo? Se conoce su vector director, que se encuentra en el párrafo anterior. Pero, lamentablemente, no conocemos ni un solo punto de la recta “em”, ni conocemos los extremos de la perpendicular: los puntos . ¿Dónde se cruza esta línea perpendicular con las dos líneas originales? ¿En África, en la Antártida? Desde la revisión y análisis inicial del estado, no queda nada claro cómo solucionar el problema... Pero hay un truco complicado asociado con el uso de ecuaciones paramétricas de una línea recta.

Formularemos la decisión punto por punto:

1) Reescribamos las ecuaciones de la primera línea en forma paramétrica:

Consideremos el punto. No conocemos las coordenadas. PERO. Si un punto pertenece a una recta dada, entonces sus coordenadas corresponden a , denotaremos por . Entonces las coordenadas del punto se escribirán en la forma:

La vida está mejorando, una incógnita todavía no son tres incógnitas.

2) El mismo atropello debe realizarse sobre el segundo punto. Reescribamos las ecuaciones de la segunda línea en forma paramétrica:

Si un punto pertenece a una recta dada, entonces con un significado muy específico sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones paramétricas:

O:

3) El vector, como el vector encontrado anteriormente, será el vector director de la línea recta. Cómo construir un vector a partir de dos puntos se discutió en tiempos inmemoriales en clase Vectores para tontos. Ahora la diferencia es que las coordenadas de los vectores se escriben con valores de parámetros desconocidos. ¿Así que lo que? Nadie prohíbe restar las coordenadas correspondientes del comienzo del vector de las coordenadas del final del vector.

Hay dos puntos: .

Encontrar el vector:

4) Como los vectores directores son colineales, un vector se expresa linealmente a través del otro con un cierto coeficiente de proporcionalidad “lambda”:

O coordenada por coordenada:

Resultó ser el más común. sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, que tiene solución estándar, por ejemplo, método de cramer. Pero aquí es posible salir con poca pérdida; de la tercera ecuación expresaremos “lambda” y la sustituiremos en la primera y segunda ecuaciones:

De este modo: , y no necesitamos "lambda". El hecho de que los valores de los parámetros resulten ser los mismos es puramente un accidente.

5) El cielo se está despejando por completo, sustituyamos los valores encontrados. a nuestros puntos:

El vector de dirección no es particularmente necesario, ya que ya se ha encontrado su contraparte.

Siempre es interesante comprobarlo después de un largo viaje.

:

Se obtienen las igualdades correctas.

Sustituyamos las coordenadas del punto en las ecuaciones. :

Se obtienen las igualdades correctas.

6) Acorde final: creemos las ecuaciones de una recta usando un punto (puedes tomarlo) y un vector director:

En principio, puedes seleccionar un punto "bueno" con coordenadas intactas, pero esto es cosmético.

¿Cómo encontrar la distancia entre líneas que se cruzan?

d) Cortamos la cuarta cabeza del dragón.

Método uno. Ni siquiera un camino, sino uno pequeño. caso especial. La distancia entre líneas que se cruzan es igual a la longitud de su perpendicular común: .

Puntos extremos perpendicular común encontrado en el párrafo anterior, y la tarea es elemental:

Método dos. En la práctica, la mayoría de las veces se desconocen los extremos de la perpendicular común, por lo que se utiliza un enfoque diferente. Se pueden dibujar planos paralelos a través de dos líneas rectas que se cruzan, y la distancia entre estos planos es igual a la distancia entre estas líneas rectas. En particular, entre estos planos sobresale una perpendicular común.

En el curso de geometría analítica, a partir de las consideraciones anteriores, se deriva una fórmula para encontrar la distancia entre líneas rectas que se cruzan:
(en lugar de nuestros puntos "um uno, dos", puedes tomar puntos de líneas arbitrarios).

Producto mixto de vectores. ya encontrado en el punto "a": .

Producto vectorial de vectores encontrado en el párrafo "ser": , calculemos su longitud:

De este modo:

Mostremos con orgullo los trofeos en una fila:

Respuesta:
A) , lo que significa que las líneas rectas se cruzan, que es lo que se requería demostrar;
b) ;
V) ;
GRAMO)

¿Qué más puedes decir sobre cruzar líneas? Hay un ángulo definido entre ellos. Pero consideraremos la fórmula del ángulo universal en el siguiente párrafo:

Los espacios rectos que se cruzan necesariamente se encuentran en el mismo plano:

El primer pensamiento es apoyarse con todas sus fuerzas en el punto de intersección. E inmediatamente pensé: ¿por qué negarte los deseos correctos? ¡Pongámonos encima de ella ahora mismo!

¿Cómo encontrar el punto de intersección de líneas espaciales?

Ejemplo 14

Encuentra el punto de intersección de líneas.

Solución: Reescribamos las ecuaciones de rectas en forma paramétrica:

Esta tarea se analizó en detalle en el Ejemplo No. 7 de esta lección (ver. Ecuaciones de una recta en el espacio). Y, por cierto, tomé las líneas rectas del Ejemplo No. 12. No mentiré, soy demasiado vago para pensar en otras nuevas.

La solución es estándar y ya la encontramos cuando intentábamos descifrar las ecuaciones para la perpendicular común de las líneas que se cruzan.

El punto de intersección de las rectas pertenece a la recta, por lo tanto sus coordenadas satisfacen las ecuaciones paramétricas de esta recta, y les corresponde un valor de parámetro muy específico:

Pero este mismo punto también pertenece a la segunda línea, por tanto:

Igualamos las ecuaciones correspondientes y realizamos simplificaciones:

Recibió sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si las líneas se cruzan (lo cual se demuestra en el Ejemplo No. 12), entonces el sistema es necesariamente consistente y tiene una solución única. se puede solucionar método gaussiano, pero no pecaremos con ese fetichismo infantil, lo haremos más sencillo: de la primera ecuación expresamos “te cero” y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

Las dos últimas ecuaciones resultaron ser esencialmente iguales y de ellas se deduce que . Entonces:

Sustituyamos el valor encontrado del parámetro en las ecuaciones:

Respuesta:

Para comprobarlo, sustituimos el valor encontrado del parámetro en las ecuaciones:
Se obtuvieron las mismas coordenadas que necesitaban ser verificadas. Los lectores meticulosos pueden sustituir las coordenadas del punto en las ecuaciones canónicas originales de las líneas.

Por cierto, era posible hacer lo contrario: encontrar el punto a través de “es cero” y verificarlo a través de “te cero”.

Una conocida superstición matemática dice: donde se habla de la intersección de líneas, siempre huele a perpendiculares.

¿Cómo construir una línea del espacio perpendicular a una determinada?

(las líneas se cruzan)

Ejemplo 15

a) Escribe las ecuaciones de una recta que pasa por un punto perpendicular a la recta. (las líneas se cruzan).

b) Calcula la distancia del punto a la recta.

Nota : cláusula “las líneas se cruzan” – significativo. a través del punto
puedes dibujar un número infinito de líneas perpendiculares que se cruzarán con la línea recta “el”. La única solución ocurre en el caso en que se traza una línea recta perpendicular a un punto dado. dos dado por una línea recta (ver Ejemplo No. 13, punto “b”).

A) Solución: Denotamos la línea desconocida por . Hagamos un dibujo esquemático:

¿Qué se sabe sobre la línea recta? Según la condición, se otorga un punto. Para componer las ecuaciones de una línea recta, es necesario encontrar el vector director. El vector es bastante adecuado como tal, así que lo abordaremos. Más precisamente, tomemos el extremo desconocido del vector por la nuca.

1) Saquemos su vector director de las ecuaciones de la recta “el” y reescribamos las ecuaciones mismas en forma paramétrica:

Muchos adivinaron que ahora, por tercera vez durante la lección, el mago obtendrá cisne blanco de un sombrero. Considere un punto con coordenadas desconocidas. Como el punto es , sus coordenadas satisfacen las ecuaciones paramétricas de la recta “el” y corresponden a un valor de parámetro específico:

O en una línea:

2) Según la condición, las rectas deben ser perpendiculares, por tanto, sus vectores directores son ortogonales. Y si los vectores son ortogonales, entonces sus producto escalar es igual a cero:

¿Qué pasó? La ecuación lineal más simple con una incógnita:

3) Se conoce el valor del parámetro, busquemos el punto:

Y el vector de dirección:
.

4) Compondremos las ecuaciones de una recta usando un punto y un vector director. :

Los denominadores de la proporción resultaron ser fraccionarios, y este es exactamente el caso cuando conviene deshacerse de las fracciones. Simplemente los multiplicaré por -2:

Respuesta:

Nota : un final más riguroso de la solución se formaliza de la siguiente manera: compongamos las ecuaciones de una línea recta usando un punto y un vector director . De hecho, si un vector es el vector guía de una línea recta, entonces el vector colineal, naturalmente, también será el vector guía de esta línea recta.

La verificación consta de dos etapas:

1) verifique la ortogonalidad de los vectores de dirección de las líneas;

2) sustituimos las coordenadas del punto en las ecuaciones de cada recta, deben “encajar” tanto allí como allí.

Se habló mucho sobre acciones típicas, así que revisé un borrador.

Por cierto, olvidé otro punto: construir un punto "zyu" simétrico al punto "en" con respecto a la línea recta "el". Sin embargo, existe un buen "análogo plano", que se puede encontrar en el artículo. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. Aquí la única diferencia estará en la coordenada “Z” adicional.

¿Cómo encontrar la distancia de un punto a una recta en el espacio?

b) Solución: Encontremos la distancia de un punto a una recta.

Método uno. Esta distancia es exactamente igual a la longitud de la perpendicular: . La solución es obvia: si se conocen los puntos , Eso:

Método dos. En problemas prácticos, la base de la perpendicular suele ser un secreto sellado, por lo que es más racional utilizar una fórmula ya preparada.

La distancia de un punto a una recta se expresa mediante la fórmula:
, donde es el vector director de la recta “el”, y – gratis un punto perteneciente a una recta dada.

1) De las ecuaciones de la recta. Sacamos el vector de dirección y el punto más accesible.

2) El punto se conoce por la condición, agudiza el vector:

3) Busquemos producto vectorial y calcula su longitud:

4) Calcular la longitud del vector guía:

5) Así, la distancia de un punto a una recta:

si es heterosexual

se encuentran en el mismo plano, entonces

o en forma vectorial

Por el contrario, si se cumple la condición (3), entonces las líneas se encuentran en el mismo plano.

Explicación. Si las líneas rectas (1) y (2) se encuentran en el mismo plano, entonces en este último se encuentra una línea recta (Fig. 177), es decir, los vectores son coplanares (y viceversa). Esto es lo que expresa la ecuación (3) (ver § 120).

Comentario. Si (en este caso (3) se cumple necesariamente), entonces las rectas son paralelas. De lo contrario, las líneas que satisfacen la condición (3) se cruzan.

Ejemplo. Determinar si las líneas se cruzan

y si es así, en qué momento.

Solución. Las rectas (1) y (2) se encuentran en el mismo plano, ya que el determinante (3), igual a, desaparece. Estas líneas no son paralelas (los coeficientes de dirección no son proporcionales). Para encontrar el punto de intersección, debes resolver un sistema de cuatro ecuaciones (1), (2) con tres incógnitas. Por regla general, un sistema así no tiene soluciones, pero en en este caso(debido al cumplimiento de la condición (3)) hay solución. Habiendo resuelto un sistema de tres ecuaciones cualesquiera, obtenemos La cuarta ecuación se satisface. Punto de intersección (1; 2; 3).

Al resolver algunos problemas geométricos utilizando el método de coordenadas, debes encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas. La mayoría de las veces hay que buscar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en un plano, pero a veces es necesario determinar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en el espacio. En este artículo nos ocuparemos de encontrar las coordenadas del punto en el que se cruzan dos líneas.

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El punto de intersección de dos rectas es una definición.

Primero definamos el punto de intersección de dos líneas.

En la sección sobre la posición relativa de las rectas en un plano, se muestra que dos rectas en un plano pueden coincidir (y tienen infinitos puntos comunes), o ser paralelas (y dos rectas no tienen puntos comunes), o cruzarse. , teniendo un punto en común. Hay más opciones para la posición relativa de dos líneas en el espacio: pueden coincidir (tener infinitos puntos comunes), pueden ser paralelas (es decir, estar en el mismo plano y no cruzarse), pueden cruzarse (no se encuentran en el mismo plano), y también pueden tener un punto común, es decir, cruzarse. Entonces, dos rectas tanto en el plano como en el espacio se llaman intersecantes si tienen un punto común.

De la definición de líneas que se cruzan se deduce determinar el punto de intersección de líneas: El punto en el que se cruzan dos rectas se llama punto de intersección de estas rectas. En otras palabras, el único punto común de dos rectas que se cruzan es el punto de intersección de estas rectas.

Para mayor claridad, presentamos una ilustración gráfica del punto de intersección de dos líneas rectas en un plano y en el espacio.

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Encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en un plano.

Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas rectas en un plano usando sus ecuaciones conocidas, considere un problema auxiliar.

oxi a Y b. Asumiremos que directamente a corresponde a una ecuación general de la recta de la forma , y la recta b- tipo . Sea algún punto en el plano, y necesitamos averiguar si el punto es M 0 el punto de intersección de las rectas dadas.

Resolvamos el problema.

Si M0 a Y b, entonces por definición también pertenece a la línea a y recto b, es decir, sus coordenadas deben satisfacer tanto la ecuación como la ecuación. Por lo tanto, necesitamos sustituir las coordenadas del punto. M 0 en las ecuaciones de las líneas dadas y vea si esto da como resultado dos igualdades correctas. Si las coordenadas del punto M 0 satisfacen ambas ecuaciones y , entonces es el punto de intersección de las rectas a Y b, de lo contrario M 0 .

es el punto M 0 con coordenadas (2, -3) punto de intersección de líneas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0?

Si M 0 es de hecho el punto de intersección de las rectas dadas, entonces sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de las rectas. Comprobemos esto sustituyendo las coordenadas del punto. M 0 en las ecuaciones dadas:

Tenemos dos igualdades verdaderas, por lo tanto, M 0 (2, -3)- punto de intersección de líneas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0.

Para mayor claridad, presentamos un dibujo que muestra líneas rectas y son visibles las coordenadas de sus puntos de intersección.

si, punto M 0 (2, -3) es el punto de intersección de las rectas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0.

¿Se cruzan las líneas? 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0 en el punto M 0 (2, -3)?

Sustituyamos las coordenadas del punto. M 0 en las ecuaciones de líneas rectas, esta acción comprobará si el punto pertenece a M 0 ambas rectas al mismo tiempo:

Desde la segunda ecuación, al sustituir las coordenadas del punto en ella M 0 no se convirtió en una verdadera igualdad, entonces señale M 0 no pertenece a la linea 7x-2y+11=0. De este hecho podemos concluir que el punto M 0 no es el punto de intersección de las rectas dadas.

El dibujo también muestra claramente que el punto M 0 no es el punto de intersección de líneas 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0. Obviamente, las líneas dadas se cruzan en un punto con coordenadas (-1, 2) .

M 0 (2, -3) no es el punto de intersección de líneas 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0.

Ahora podemos pasar a la tarea de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas usando las ecuaciones de rectas dadas en un plano.

Sea un rectangular sistema cartesiano coordenadas oxi y dadas dos líneas que se cruzan a Y b ecuaciones y respectivamente. Denotaremos el punto de intersección de las rectas dadas como M 0 y resuelve el siguiente problema: encuentra las coordenadas del punto de intersección de dos rectas a Y b según las ecuaciones conocidas de estas rectas y .

Punto M0 pertenece a cada una de las líneas que se cruzan a Y b a-priorato. Entonces las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b satisfacen tanto la ecuación como la ecuación. Por tanto, las coordenadas del punto de intersección de dos rectas. a Y b son la solución de un sistema de ecuaciones (ver el artículo resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales).

Por tanto, para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas definidas en un plano mediante ecuaciones generales, es necesario resolver un sistema compuesto por ecuaciones de rectas dadas.

Veamos la solución de ejemplo.

Encuentre el punto de intersección de dos líneas definidas en un sistema de coordenadas rectangular en un plano mediante las ecuaciones x-9y+14=0 Y 5x-2y-16=0.

Nos dan dos ecuaciones generales de rectas, hagamos un sistema con ellas: . Las soluciones al sistema de ecuaciones resultante se encuentran fácilmente resolviendo su primera ecuación con respecto a la variable X y sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

La solución encontrada al sistema de ecuaciones nos da las coordenadas deseadas del punto de intersección de dos líneas.

M 0 (4, 2)– punto de intersección de líneas x-9y+14=0 Y 5x-2y-16=0.

Entonces, encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas definidas por ecuaciones generales en un plano se reduce a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables desconocidas. Pero, ¿qué pasa si las líneas en un plano no están dadas por ecuaciones generales, sino por ecuaciones de otro tipo (ver tipos de ecuaciones de una línea en un plano)? En estos casos, primero puedes reducir las ecuaciones de líneas a apariencia general, y luego encuentre las coordenadas del punto de intersección.

Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas, reducimos sus ecuaciones a una forma general. La transición de las ecuaciones paramétricas de una recta a la ecuación general de esta recta se ve así:

Ahora llevemos a cabo acciones necesarias con la ecuación canónica de la recta:

Por tanto, las coordenadas deseadas del punto de intersección de las rectas son una solución a un sistema de ecuaciones de la forma. Usamos el método de Cramer para resolverlo:

M 0 (-5, 1)

Hay otra forma de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en un plano. Es conveniente usarlo cuando una de las rectas está dada por ecuaciones paramétricas de la forma y la otra por una ecuación lineal de otro tipo. En este caso, en otra ecuación en lugar de variables. X Y y puedes sustituir las expresiones y , de donde puedes obtener el valor que corresponde al punto de intersección de las rectas dadas. En este caso, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas.

Encontremos las coordenadas del punto de intersección de las líneas del ejemplo anterior usando este método.

Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas y .

Sustituyamos la expresión de la línea recta en la ecuación:

Resolviendo la ecuación resultante, obtenemos. Este valor corresponde al punto común de las rectas y . Calculamos las coordenadas del punto de intersección sustituyendo una línea recta en las ecuaciones paramétricas:
.

M 0 (-5, 1).

Para completar el cuadro, conviene discutir un punto más.

Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en un plano, es útil asegurarse de que las líneas dadas realmente se crucen. Si resulta que las líneas originales coinciden o son paralelas, entonces no se puede tratar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dichas líneas.

Por supuesto, puede prescindir de dicha verificación, pero cree inmediatamente un sistema de ecuaciones de la forma y resuélvalo. Si un sistema de ecuaciones tiene una solución única, entonces da las coordenadas del punto en el que se cruzan las líneas originales. Si el sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces podemos concluir que las rectas originales son paralelas (ya que no existe tal par de números reales X Y y, que satisfaría simultáneamente ambas ecuaciones de las rectas dadas). De la presencia de un número infinito de soluciones a un sistema de ecuaciones se deduce que las rectas originales tienen infinitos puntos comunes, es decir, coinciden.

Veamos ejemplos que se ajustan a estas situaciones.

Descubra si las líneas y se cruzan, y si se cruzan, luego encuentre las coordenadas del punto de intersección.

Las ecuaciones de rectas dadas corresponden a las ecuaciones y . Resolvamos el sistema formado por estas ecuaciones.

Es obvio que las ecuaciones del sistema se expresan linealmente entre sí (la segunda ecuación del sistema se obtiene de la primera multiplicando ambas partes por 4 ), por tanto, el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Por tanto, las ecuaciones definen la misma recta y no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.

ecuaciones y están definidas en un sistema de coordenadas rectangular. oxi la misma línea recta, por lo que no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección.

Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las rectas y, si es posible.

La condición del problema permite que las líneas no se crucen. Creemos un sistema a partir de estas ecuaciones. Apliquemos el método de Gauss para resolverlo, ya que nos permite establecer la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones, y si es compatible encontrar una solución:

La última ecuación del sistema después del paso directo del método de Gauss se convirtió en una igualdad incorrecta, por lo tanto, el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. De esto podemos concluir que las rectas originales son paralelas y no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.

Segunda solución.

Averigüemos si las líneas dadas se cruzan.

Un vector normal es una recta y un vector es un vector normal de una recta. Comprobemos que la condición de colinealidad de los vectores y : la igualdad es verdadera, ya que , por tanto, los vectores normales de las rectas dadas son colineales. Entonces estas rectas son paralelas o coincidentes. Por tanto, no podemos encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas originales.

es imposible encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas, ya que estas rectas son paralelas.

Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las rectas. 2x-1=0 y , si se cruzan.

Compongamos un sistema de ecuaciones que sean ecuaciones generales de rectas dadas: . El determinante de la matriz principal de este sistema de ecuaciones es distinto de cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene una solución única, que indica la intersección de las rectas dadas.

Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, necesitamos resolver el sistema:

La solución resultante nos da las coordenadas del punto de intersección de las rectas, es decir, el punto de intersección de las rectas 2x-1=0 Y .

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Encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en el espacio.

Las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en el espacio tridimensional se encuentran de manera similar.

Deja que las líneas que se cruzan a Y b especificado en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz ecuaciones de dos planos que se cruzan, es decir, una línea recta a está determinada por un sistema de la forma , y la recta b- . Dejar M 0– punto de intersección de líneas a Y b. Entonces señala M 0 por definición también pertenece a la línea a y recto b, por tanto, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas rectas. Así, las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b representar una solución a un sistema de ecuaciones lineales de la forma . Aquí necesitaremos información de la sección sobre resolución de sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas.

Veamos las soluciones a los ejemplos.

Encuentra las coordenadas del punto de intersección de dos líneas definidas en el espacio por las ecuaciones y .

Compongamos un sistema de ecuaciones a partir de las ecuaciones de las rectas dadas: . La solución de este sistema nos dará las coordenadas deseadas del punto de intersección de líneas en el espacio. Encontremos la solución al sistema escrito de ecuaciones.

La matriz principal del sistema tiene la forma , y la extendida - .

Determinemos el rango de la matriz. A y rango de matriz t. Usamos el método de menores limítrofes, pero no describiremos en detalle el cálculo de determinantes (si es necesario, consulte el artículo Cálculo del determinante de una matriz):

Por tanto, el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida y es igual a tres.

En consecuencia, el sistema de ecuaciones tiene una solución única.

Tomaremos el determinante como base menor, por lo que la última ecuación debe excluirse del sistema de ecuaciones, ya que no participa en la formación de la base menor. Entonces,

La solución al sistema resultante es fácil de encontrar:

Por tanto, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas. (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Cabe señalar que el sistema de ecuaciones tiene solución única si y sólo si las rectas a Y b intersecarse. si es heterosexual A Y b paralelas o cruzadas, entonces el último sistema de ecuaciones no tiene soluciones, ya que en este caso las rectas no tienen puntos comunes. si es heterosexual a Y b coinciden, entonces tienen un número infinito de puntos comunes, por lo tanto, el sistema de ecuaciones indicado tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, en estos casos no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, ya que las rectas no se cruzan.

Por lo tanto, si no sabemos de antemano si las líneas dadas se cruzan a Y b o no, entonces es razonable crear un sistema de ecuaciones de la forma y resolverlo mediante el método de Gauss. Si obtenemos una solución única, corresponderá a las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b. Si el sistema resulta ser inconsistente, entonces la acción directa a Y b no se crucen. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, entonces las rectas a Y b emparejar.

Puede prescindir del método gaussiano. Alternativamente, puede calcular los rangos de las matrices principal y extendida de este sistema y, basándose en los datos obtenidos y el teorema de Kronecker-Capelli, sacar una conclusión sobre la existencia. la única solución, o la existencia de muchas soluciones, o la ausencia de soluciones. Es una cuestión de gustos.

Si las líneas se cruzan, entonces determine las coordenadas del punto de intersección.

Creemos un sistema a partir de las ecuaciones dadas: . Resolvámoslo usando el método gaussiano en forma matricial:

Quedó claro que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones, por lo tanto, las rectas dadas no se cruzan y no se puede tratar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.

No podemos encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas dadas, ya que estas líneas no se cruzan.

Cuando las líneas que se cruzan están dadas por ecuaciones canónicas de una línea en el espacio o ecuaciones paramétricas de una línea en el espacio, primero se deben obtener sus ecuaciones en forma de dos planos que se cruzan, y solo después encontrar las coordenadas del punto de intersección.

Dos líneas que se cruzan están definidas en un sistema de coordenadas rectangular. Oxyz ecuaciones y . Encuentra las coordenadas del punto de intersección de estas líneas.

Definamos las líneas rectas iniciales mediante las ecuaciones de dos planos que se cruzan:

Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, queda por resolver el sistema de ecuaciones. El rango de la matriz principal de este sistema es igual al rango de la matriz extendida y es igual a tres (recomendamos verificar este hecho). Tomemos como base menor; por lo tanto, podemos excluir la última ecuación del sistema. Habiendo resuelto el sistema resultante utilizando cualquier método (por ejemplo, el método de Cramer), obtenemos la solución. Por tanto, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas. (-2, 3, -5) .