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Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones: definición, tipos, ejemplos de soluciones.

1. Método de sustitución: de cualquier ecuación del sistema expresamos una incógnita mediante otra y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema.


Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:


Solución. De la primera ecuación del sistema expresamos en a través de X y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema equivalente al original.


Después de traer términos similares, el sistema tomará la forma:


De la segunda ecuación encontramos: . Sustituyendo este valor en la ecuación en = 2 - 2X, obtenemos en= 3. Por lo tanto, la solución de este sistema es un par de números.


2. Método de suma algebraica: Al sumar dos ecuaciones, se obtiene una ecuación con una variable.


Tarea. Resuelve la ecuación del sistema:



Solución. Multiplicando ambos lados de la segunda ecuación por 2 obtenemos el sistema equivalente al original. Sumando las dos ecuaciones de este sistema llegamos al sistema


Después de traer términos similares, este sistema tomará la forma: De la segunda ecuación encontramos . Sustituyendo este valor en la ecuación 3 X + 4en= 5, obtenemos , dónde . Por tanto, la solución de este sistema es un par de números.


3. Método para introducir nuevas variables.: buscamos algunas expresiones repetidas en el sistema, que denotaremos con nuevas variables, simplificando así la apariencia del sistema.


Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:



Solución. Escribamos este sistema de manera diferente:


Dejar x + y = tú, xy = v. Entonces obtenemos el sistema.


Resolvámoslo usando el método de sustitución. De la primera ecuación del sistema expresamos tu a través de v y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema aquellos.


De la segunda ecuación del sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.


Sustituyendo estos valores en la ecuación. tu = 5 - v, obtenemos tu 1 = 3,
tu 2 = 2. Entonces tenemos dos sistemas.


Resolviendo el primer sistema, obtenemos dos pares de números (1; 2), (2; 1). El segundo sistema no tiene soluciones.


Ejercicios para el trabajo independiente.


1. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.


Lección y presentación sobre el tema: "Sistemas de ecuaciones. Método de sustitución, método de suma, método de introducción de una nueva variable"

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Métodos para resolver sistemas de desigualdades.

Chicos, estudiamos sistemas de ecuaciones y aprendimos a resolverlos usando gráficas. Ahora veamos ¿qué otras formas de resolver sistemas existen?
Casi todos los métodos para resolverlos no se diferencian de los que estudiamos en séptimo grado. Ahora necesitamos hacer algunos ajustes según las ecuaciones que hemos aprendido a resolver.
La esencia de todos los métodos descritos en esta lección es reemplazar el sistema con un sistema equivalente con más vista sencilla y el método de solución. Chicos, recuerden qué es un sistema equivalente.

Método de sustitución

Conocemos bien la primera forma de resolver sistemas de ecuaciones con dos variables: el método de sustitución. Usamos este método para resolver ecuaciones lineales. Ahora veamos cómo resolver ecuaciones en el caso general.

¿Cómo se debe proceder a la hora de tomar una decisión?
1. Expresar una de las variables en términos de otra. Las variables más utilizadas en las ecuaciones son x e y. En una de las ecuaciones expresamos una variable en términos de otra. Consejo: mira ambas ecuaciones detenidamente antes de empezar a resolver y elige aquella en la que sea más fácil expresar la variable.
2. Sustituye la expresión resultante en la segunda ecuación, en lugar de la variable que se expresó.
3. Resuelve la ecuación que obtuvimos.
4. Sustituye la solución resultante en la segunda ecuación. Si hay varias soluciones, entonces es necesario sustituirlas secuencialmente para no perder un par de soluciones.
5. Como resultado, recibirá un par de números $(x;y)$, que deberá anotar como respuesta.

Ejemplo.
Resuelve un sistema con dos variables usando el método de sustitución: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Solución.
Echemos un vistazo más de cerca a nuestras ecuaciones. Obviamente, expresar y en términos de x en la primera ecuación es mucho más sencillo.
$\begin(casos)y=5-x, \\xy=6\end(casos)$.
Sustituyamos la primera expresión en la segunda ecuación $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Resolvamos la segunda ecuación por separado:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Obtuvimos dos soluciones a la segunda ecuación $x_1=2$ y $x_2=3$.
Sustituye secuencialmente en la segunda ecuación.
Si $x=2$, entonces $y=3$. Si $x=3$, entonces $y=2$.
La respuesta serán dos pares de números.
Respuesta: $(2;3)$ y $(3;2)$.

Método de suma algebraica

También estudiamos este método en séptimo grado.
Se sabe que ecuación racional a partir de dos variables podemos multiplicar por cualquier número, sin olvidarnos de multiplicar ambos lados de la ecuación. Multiplicamos una de las ecuaciones por un número determinado de modo que al sumar la ecuación resultante a la segunda ecuación del sistema, una de las variables quedaba destruida. Luego se resolvió la ecuación para la variable restante.
Este método todavía funciona, aunque no siempre es posible destruir una de las variables. Pero te permite simplificar significativamente la forma de una de las ecuaciones.

Ejemplo.
Resuelva el sistema: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Solución.
Multipliquemos la primera ecuación por 2.
$\begin(casos)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
Restemos la segunda de la primera ecuación.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Como puedes ver, la forma de la ecuación resultante es mucho más simple que la original. Ahora podemos usar el método de sustitución.
$\begin(casos)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
Expresemos x en términos de y en la ecuación resultante.
$\begin(casos)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(casos)$.
Tenemos $y=-1$ y $y=-3$.
Sustituyamos estos valores secuencialmente en la primera ecuación. Obtenemos dos pares de números: $(1;-1)$ y $(-1;-3)$.
Respuesta: $(1;-1)$ y $(-1;-3)$.

Método para introducir una nueva variable.

También estudiamos este método, pero veámoslo de nuevo.

Ejemplo.
Resuelve el sistema: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Solución.
Introduzcamos el reemplazo $t=\frac(x)(y)$.
Reescribamos la primera ecuación con una nueva variable: $t+\frac(2)(t)=3$.
Resolvamos la ecuación resultante:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Tenemos $t=2$ o $t=1$. Introduzcamos el cambio inverso $t=\frac(x)(y)$.
Tenemos: $x=2y$ y $x=y$.

Para cada una de las expresiones se debe resolver el sistema original por separado:
$\begin(casos)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(casos)$.    $\begin(casos)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(casos)$.    $\begin(casos)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\7y^2=1\end(casos)$.       $\begin(casos)x=2y, \\y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(casos)$.      $\begin(casos)x=y, \\y=±1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(casos)$.     $\begin(casos)x=±1, \\y=±1\end(casos)$.
Recibimos cuatro pares de soluciones.
Respuesta: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Ejemplo.
Resuelve el sistema: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(casos)$.

Solución.
Introduzcamos el reemplazo: $z=\frac(2)(x-3y)$ y $t=\frac(3)(2x+y)$.
Reescribamos las ecuaciones originales con nuevas variables:
$\begin(casos)z+t=2, \\4z-3t=1\end(casos)$.
Usemos el método de suma algebraica:
$\begin(casos)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)7z=7, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)z=1, \\-3t=1-4\end(casos)$.
$\begin(casos)z=1, \\t=1\end(casos)$.
Introduzcamos la sustitución inversa:
$\begin(casos)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x-3y=2, \\2x+y=3\end(casos)$.
Usemos el método de sustitución:
$\begin(casos)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2+3y, \\7y=-1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(casos)$.
$\begin(casos)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(casos)$.
Respuesta: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemas sobre sistemas de ecuaciones para solución independiente.

Resolver sistemas:
1. $\begin(casos)2x-2y=6,\\xy =-2\end(casos)$.
2. $\begin(casos)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(casos)$.
3. $\begin(casos)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(casos)$.
4. $\begin(casos)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fin (casos) $.
5. $\begin(casos)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Instrucciones

Método de suma.
Debes escribir dos estrictamente uno debajo del otro:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
En una ecuación elegida arbitrariamente (del sistema), inserte el número 11 en lugar del "juego" ya encontrado y calcule la segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La respuesta a este sistema de ecuaciones es x=116, y=11.

Método gráfico.
Consiste prácticamente en encontrar las coordenadas del punto en el que se escriben matemáticamente las rectas en un sistema de ecuaciones. Las gráficas de ambas rectas deben dibujarse por separado en el mismo sistema de coordenadas. Vista general: – y=khx+b. Para construir una línea recta, basta con encontrar las coordenadas de dos puntos y elegir x arbitrariamente.
Sea el sistema dado: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Con la primera se construye una recta, por conveniencia se debe escribir: y=2x-4. Calcula valores (más fáciles) para x, sustituyéndolos en la ecuación, resolviéndolos y encontrando y. Obtenemos dos puntos a lo largo de los cuales se construye una línea recta. (ver imagen)
x 0 1

y -4 -2
Se construye una línea recta usando la segunda ecuación: y=-3x+1.
También construye una línea recta. (ver imagen)

años 1-5
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de dos rectas construidas en la gráfica (si las rectas no se cruzan, entonces el sistema de ecuaciones no tiene, entonces).

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Si el mismo sistema de ecuaciones se resuelve mediante tres diferentes caminos, la respuesta será la misma (si la solución es correcta).

Fuentes:

  • álgebra de octavo grado
  • resolver una ecuación con dos incógnitas en línea
  • Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos.

Sistema ecuaciones representa una colección notaciones matemáticas, cada uno de los cuales contiene una serie de variables. Hay varias formas de solucionarlos.

Necesitará

  • -Regla y lápiz;
  • -calculadora.

Instrucciones

Consideremos la secuencia de resolución del sistema, que consta de ecuaciones lineales que tienen la forma: a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2. Donde xey son variables desconocidas y b,c son términos libres. Al aplicar este método, cada sistema representa las coordenadas de puntos correspondientes a cada ecuación. Para empezar, en cada caso, exprese una variable en términos de otra. Luego establezca la variable x en cualquier número de valores. Dos son suficientes. Sustituye en la ecuación y encuentra y. Construya un sistema de coordenadas, marque los puntos resultantes en él y dibuje una línea a través de ellos. Se deben realizar cálculos similares para otras partes del sistema.

El sistema tiene única decisión, si las líneas construidas se cruzan y tienen un punto común. Son incompatibles si son paralelos entre sí. Y tiene infinitas soluciones cuando las líneas se fusionan entre sí.

Este método considerado muy visual. La principal desventaja es que las incógnitas calculadas tienen valores aproximados. Los llamados métodos algebraicos proporcionan resultados más precisos.

Vale la pena comprobar cualquier solución a un sistema de ecuaciones. Para ello, sustituye los valores resultantes por las variables. También puedes encontrar su solución utilizando varios métodos. Si la solución del sistema es correcta, entonces todos deberían resultar iguales.

A menudo hay ecuaciones en las que uno de los términos es desconocido. Para resolver una ecuación, debes recordar y realizar un determinado conjunto de acciones con estos números.

Necesitará

  • - papel;
  • - bolígrafo o lápiz.

Instrucciones

Imagina que hay 8 conejos frente a ti y solo tienes 5 zanahorias. Piénsalo, todavía necesitas comprar más zanahorias para que cada conejo reciba una.

Presentemos este problema en forma de ecuación: 5 + x = 8. Sustituyamos el número 3 en lugar de x. De hecho, 5 + 3 = 8.

Cuando sustituiste x por un número, hiciste lo mismo que cuando restaste 5 de 8. Entonces, para encontrar desconocido término, reste el término conocido de la suma.

Digamos que tienes 20 conejos y sólo 5 zanahorias. Vamos a arreglarlo. Una ecuación es una igualdad que se cumple sólo para ciertos valores de las letras incluidas en ella. Las letras cuyo significado es necesario encontrar se llaman . Escribe una ecuación con una incógnita, llámala x. Al resolver nuestro problema del conejo, obtenemos la siguiente ecuación: 5 + x = 20.

Encontremos la diferencia entre 20 y 5. Al restar, el número al que se resta es el que se resta. El número que se resta se llama y el resultado final se llama diferencia. Entonces, x = 20 – 5; x = 15. Necesitas comprar 15 zanahorias para los conejos.

Comprueba: 5 + 15 = 20. La ecuación se resuelve correctamente. Por supuesto, cuando se trata de cosas tan simples, no es necesario comprobarlo. Sin embargo, cuando tienes ecuaciones con números de tres, cuatro dígitos, etc., definitivamente debes verificar para estar absolutamente seguro del resultado de tu trabajo.

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia.

Para encontrar el sustraendo desconocido, debes restar la diferencia del minuendo.

Consejo 4: Cómo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede no tener soluciones, a pesar de tener un número suficiente de ecuaciones. Puedes intentar resolverlo usando el método de sustitución o usando el método de Cramer. El método de Cramer, además de resolver el sistema, permite evaluar si el sistema tiene solución antes de encontrar los valores de las incógnitas.

Instrucciones

El método de sustitución consiste en pasar secuencialmente una incógnita por otras dos y sustituir el resultado resultante en las ecuaciones del sistema. Sea un sistema de tres ecuaciones dado en vista general:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprese x de la primera ecuación: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones, luego exprese y de la segunda ecuación y sustitúyalo en la tercera. Obtendrás una expresión lineal para z a través de los coeficientes de las ecuaciones del sistema. Ahora vaya “hacia atrás”: sustituya z en la segunda ecuación y encuentre y, y luego sustituya zey en la primera y resuelva para x. El proceso se muestra generalmente en la figura antes de encontrar z. Seguir escribiendo en forma general será demasiado engorroso en la práctica; al sustituir , se pueden encontrar con bastante facilidad las tres incógnitas;

El método de Cramer consiste en construir una matriz del sistema y calcular el determinante de esta matriz, así como tres matrices auxiliares más. La matriz del sistema está compuesta por coeficientes para los términos desconocidos de las ecuaciones. Una columna que contiene los números en el lado derecho de las ecuaciones, una columna de los lados derechos. No se utiliza en el sistema, pero se utiliza al resolver el sistema.

Vídeo sobre el tema.

nota

Todas las ecuaciones del sistema deben proporcionar información adicional independiente de otras ecuaciones. De lo contrario, el sistema quedará indeterminado y no será posible encontrar una solución inequívoca.

Consejo útil

Después de resolver el sistema de ecuaciones, sustituye los valores encontrados en el sistema original y verifica que satisfagan todas las ecuaciones.

Por sí mismo la ecuacion con tres desconocido tiene muchas soluciones, por lo que la mayoría de las veces se complementa con dos ecuaciones o condiciones más. De cuáles sean los datos iniciales dependerá en gran medida el curso de la decisión.

Necesitará

  • - un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Instrucciones

Si dos de los tres sistemas tienen sólo dos de las tres incógnitas, intente expresar algunas variables en términos de las demás y sustitúyalas en la ecuacion con tres desconocido. Tu objetivo en este caso es convertirlo en algo normal. la ecuacion con una persona desconocida. Si es así, la solución adicional es bastante simple: sustituir el valor encontrado en otras ecuaciones y encontrar todas las demás incógnitas.

Algunos sistemas de ecuaciones se pueden restar de una ecuación por otra. Vea si es posible multiplicar uno de o una variable de modo que se cancelen dos incógnitas a la vez. Si existe esa oportunidad, lo más probable es que la aproveche, la solución posterior no será difícil. Recuerda que al multiplicar por un número, debes multiplicar tanto el lado izquierdo como el lado derecho. Asimismo, al restar ecuaciones debes recordar que también se debe restar el lado derecho.

Si los métodos anteriores no ayudaron, utilice de manera general soluciones a cualquier ecuación con tres desconocido. Para hacer esto, reescribe las ecuaciones en la forma a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ahora crea una matriz de coeficientes para x (A), una matriz de incógnitas (X) y una matriz de libres (B). Tenga en cuenta que al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de incógnitas, obtendrá una matriz de términos libres, es decir, A*X=B.

Encuentre la matriz A elevada a (-1) encontrando primero , tenga en cuenta que no debe ser igual a cero. Después de esto, multiplique la matriz resultante por la matriz B, como resultado obtendrá la matriz X deseada, indicando todos los valores.

También puedes encontrar una solución a un sistema de tres ecuaciones usando el método de Cramer. Para hacer esto, encuentre el determinante de tercer orden ∆ correspondiente a la matriz del sistema. Luego encuentre sucesivamente tres determinantes más ∆1, ∆2 y ∆3, sustituyendo los valores de los términos libres en lugar de los valores de las columnas correspondientes. Ahora encuentre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fuentes:

  • soluciones a ecuaciones con tres incógnitas

Al comenzar a resolver un sistema de ecuaciones, averigua qué tipo de ecuaciones son. Los métodos para resolver ecuaciones lineales se han estudiado bastante bien. Las ecuaciones no lineales en la mayoría de los casos no se resuelven. Sólo hay un caso especial, cada uno de los cuales es prácticamente individual. Por tanto, el estudio de las técnicas de solución debe comenzar con ecuaciones lineales. Estas ecuaciones pueden incluso resolverse de forma puramente algorítmica.

Instrucciones

Comienza tu proceso de aprendizaje aprendiendo cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas X e Y por eliminación. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Los coeficientes de las ecuaciones se indican mediante índices que indican su ubicación. Así, el coeficiente a21 enfatiza el hecho de que está escrito en primer lugar en la segunda ecuación. En notación generalmente aceptada, el sistema se escribe mediante ecuaciones ubicadas una debajo de la otra y denotadas conjuntamente por una llave a la derecha o a la izquierda (para más detalles, consulte la Fig. 1a).

La numeración de las ecuaciones es arbitraria. Elija el más simple, como aquel en el que una de las variables esté precedida por un coeficiente de 1 o al menos un número entero. Si se trata de la ecuación (1), entonces a continuación se expresa, digamos, la incógnita Y en términos de X (el caso de excluir Y). Para hacer esto, transforme (1) a la forma a12*Y=b1-a11*X (o a11*X=b1-a12*Y al excluir X)), y luego Y=(b1-a11*X)/a12 . Sustituyendo este último en la ecuación (2), escriba a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Resuelve esta ecuación para X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) o X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Usando la conexión encontrada entre Y y X, finalmente obtendrá la segunda desconocida Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Si el sistema estuviera especificado con coeficientes numéricos específicos, entonces los cálculos serían menos engorrosos. Pero la solución general permite considerar que las incógnitas encontradas son exactamente las mismas. Sí, y los numeradores muestran algunos patrones en su construcción. Si la dimensión del sistema de ecuaciones fuera mayor que dos, entonces el método de eliminación conduciría a cálculos muy engorrosos. Para evitarlos se han desarrollado soluciones puramente algorítmicas. El más simple de ellos es el algoritmo de Cramer (fórmulas de Cramer). porque deberías descubrirlo sistema general ecuaciones a partir de n ecuaciones.

Sistema n lineal ecuaciones algebraicas con n incógnitas tiene la forma (ver Fig. 1a). En él, aij son los coeficientes del sistema,
xj – incógnitas, bi – términos libres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un sistema de este tipo se puede escribir de forma compacta en forma matricial AX=B. Aquí A es la matriz de coeficientes del sistema, X es la matriz de columnas de incógnitas, B es la matriz de columnas de términos libres (ver Figura 1b). Según el método de Cramer, cada incógnita xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). El determinante ∆ de la matriz de coeficientes se denomina principal y ∆i auxiliar. Para cada incógnita, el determinante auxiliar se encuentra reemplazando la i-ésima columna del determinante principal con una columna de términos libres. El método de Cramer para el caso de sistemas de segundo y tercer orden se presenta en detalle en la Fig. 2.

El sistema es una combinación de dos o más igualdades, cada una de las cuales contiene dos o más incógnitas. Hay dos formas principales de resolver sistemas de ecuaciones lineales que se utilizan dentro currículum escolar. Uno de ellos se llama método, el otro, método de suma.

Forma estándar de un sistema de dos ecuaciones.

En forma estándar la primera ecuación tiene la forma a1*x+b1*y=c1, la segunda ecuación tiene la forma a2*x+b2*y=c2 y así sucesivamente. Por ejemplo, en el caso de dos partes del sistema, ambas dadas a1, a2, b1, b2, c1, c2 son algunos coeficientes numéricos representados en ecuaciones específicas. A su vez, xey representan incógnitas cuyos valores es necesario determinar. Los valores requeridos convierten ambas ecuaciones simultáneamente en verdaderas igualdades.

Resolver el sistema usando el método de la suma.

Para resolver el sistema, es decir, encontrar los valores de xey que los convertirán en igualdades verdaderas, es necesario seguir varios pasos sencillos. El primero de ellos es transformar cualquiera de las ecuaciones de modo que los coeficientes numéricos de la variable x o y en ambas ecuaciones sean iguales en magnitud, pero diferentes en signo.

Por ejemplo, supongamos que se da un sistema que consta de dos ecuaciones. El primero de ellos tiene la forma 2x+4y=8, el segundo tiene la forma 6x+2y=6. Una de las opciones para completar la tarea es multiplicar la segunda ecuación por un coeficiente de -2, lo que la llevará a la forma -12x-4y=-12. La elección correcta del coeficiente es una de las tareas clave en el proceso de resolución de un sistema mediante el método de la suma, ya que determina todo el curso posterior del procedimiento para encontrar incógnitas.

Ahora es necesario sumar las dos ecuaciones del sistema. Obviamente, la destrucción mutua de variables con coeficientes iguales en valor pero de signo opuesto conducirá a la forma -10x=-4. Después de esto, es necesario resolver esta sencilla ecuación, de la que se deduce claramente que x = 0,4.

El último paso en el proceso de solución es sustituir el valor encontrado de una de las variables en cualquiera de las igualdades originales disponibles en el sistema. Por ejemplo, sustituyendo x=0,4 en la primera ecuación, puedes obtener la expresión 2*0,4+4y=8, de la cual y=1,8. Por tanto, x=0,4 e y=1,8 son las raíces del sistema de ejemplo.

Para asegurarse de que las raíces se encontraron correctamente, es útil verificar sustituyendo los valores encontrados en la segunda ecuación del sistema. Por ejemplo, en en este caso obtenemos una igualdad de la forma 0,4*6+1,8*2=6, lo cual es cierto.

Vídeo sobre el tema.

resolver el sistema con dos incógnitas: esto significa encontrar todos los pares de valores de variables que satisfagan cada una de las ecuaciones dadas. Cada uno de estos pares se llama solución del sistema.

Ejemplo:
El par de valores \(x=3\);\(y=-1\) es una solución al primer sistema, porque al sustituir estos tres y menos unos en el sistema en lugar de \(x\) y \ (y\), ambas ecuaciones se convertirán en las igualdades correctas \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( casos)\)

Pero \(x=1\); \(y=-2\) - no es una solución para el primer sistema, porque después de la sustitución la segunda ecuación “no converge” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(casos)\)

Tenga en cuenta que estos pares a menudo se escriben más cortos: en lugar de "\(x=3\); \(y=-1\)" se escriben así: \((3;-1)\).

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Hay tres formas principales de resolver sistemas de ecuaciones lineales:

  1. Método de sustitución.

      2. \(\begin(casos)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(casos)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

      Sustituye la expresión resultante en lugar de esta variable en otra ecuación del sistema.

      \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

    1. \(\begin(casos)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(casos)\)

      En la segunda ecuación, cada término es par, por lo que simplificamos la ecuación dividiéndola por \(2\).

      \(\begin(casos)13x+9y=17\\6x-y=13\end(casos)\)

      Este sistema se puede solucionar de cualquiera de las siguientes formas, pero me parece que aquí el método de sustitución es el más conveniente. Expresemos y a partir de la segunda ecuación.

      \(\begin(casos)13x+9y=17\\y=6x-13\end(casos)\)

      Sustituyamos \(6x-13\) en lugar de \(y\) en la primera ecuación.

      \(\begin(casos)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(casos)\)

      La primera ecuación se convirtió en una normal. Resolvámoslo.

      Primero, abramos los corchetes.

      \(\begin(casos)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(casos)\)

      Movámonos \(117\) hacia la derecha y presentemos términos similares.

      \(\begin(casos)67x=134\\y=6x-13\end(casos)\)

      Dividamos ambos lados de la primera ecuación por \(67\).

      \(\begin(casos)x=2\\y=6x-13\end(casos)\)

      ¡Hurra, encontramos \(x\)! Sustituyamos su valor en la segunda ecuación y encontremos \(y\).

      \(\begin(casos)x=2\\y=12-13\end(casos)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(casos)x=2\\y=-1\end(casos )\)

      Anotemos la respuesta.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan ampliamente en el sector económico en la modelización matemática. varios procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.

Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.

Ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.

Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.

Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.

El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.

Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables; puede haber tantas como se desee.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.

No existe un método analítico general para resolver tales sistemas; todos los métodos se basan en soluciones numéricas. EN curso escolar En matemáticas se describen en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como los métodos gráficos y matriciales y la solución mediante el método gaussiano.

La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en el plan de estudios de educación general de séptimo grado es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.

Resolver sistemas mediante el método de sustitución.

Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.

Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:

Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Solución este ejemplo no causa dificultades y permite obtener el valor Y. El último paso es comprobar los valores obtenidos.

No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:

Solución usando suma algebraica

Cuando se buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, las ecuaciones se suman término por término y se multiplican por varios números. El objetivo final de las operaciones matemáticas es una ecuación en una variable.

La aplicación de este método requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.

Algoritmo de solución:

  1. Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debería ser igual a 1.
  2. Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
  3. Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

Método de solución introduciendo una nueva variable.

Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser superior a dos.

El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se utiliza para determinar la variable original.

El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a un trinomio cuadrático estándar. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor del discriminante utilizando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante es menor que cero, entonces hay una solución: x = -b / 2*a.

La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.

Método visual para resolver sistemas.

Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir gráficas de cada ecuación incluida en el sistema sobre el eje de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán decisión general sistemas.

El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.

Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.

Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.

El siguiente ejemplo requiere encontrar solución gráfica sistemas de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.

Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.

Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no; siempre es necesario construir una gráfica.

La matriz y sus variedades.

Las matrices se utilizan para escribir de forma concisa un sistema de ecuaciones lineales. Una matriz es un tipo especial de tabla llena de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.

Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.

Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica, la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe sólo para la matriz cuadrada original;

Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.

En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones se escriben como números matriciales; una ecuación es una fila de la matriz.

Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila es distinto de cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.

Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.

Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.

Opciones para encontrar la matriz inversa.

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.

El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con gran cantidad variables y ecuaciones.

En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.

Resolver sistemas mediante el método gaussiano.

En matemáticas superiores, el método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar variables de sistemas con una gran cantidad de ecuaciones lineales.

El método de Gauss es muy similar a las soluciones por sustitución y suma algebraica, pero es más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Mediante transformaciones y sustituciones algebraicas se encuentra el valor de una variable en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.

Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

En los libros de texto escolares para el séptimo grado, un ejemplo de una solución mediante el método de Gauss se describe a continuación:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es uno de los más maneras interesantes Desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de estudios avanzados en clases de matemáticas y física.

Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:

Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.

Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y se continúan las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.

El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.

Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.

El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.