Las ecuaciones más simples con tangente. Resolver ecuaciones trigonométricas. Cómo resolver una ecuación trigonométrica

Al resolver muchos problemas matemáticos, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales problemas incluyen, por ejemplo, lineal y ecuaciones cuadráticas, lineal y desigualdades cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debes establecer qué tipo de problema estás resolviendo, recuerda secuencia necesaria acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.

Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve y de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.

La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.

Por apariencia ecuación a veces es difícil determinar su tipo. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Consideremos métodos básicos de solución ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.

Diagrama de solución

Paso 1. Expresar Funcion trigonometrica a través de componentes conocidos.

Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:

porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3. Encuentra la variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solución.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Reemplazo de variables

Diagrama de solución

Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).

Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.

Etapa 4. Haga un reemplazo inverso.

Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Solución.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;

2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤ 1.

4) pecado(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de reducción del orden de las ecuaciones

Diagrama de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación por una lineal, usando la fórmula para reducir el grado:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.

Ejemplo.

porque 2x + porque 2x = 5/4.

Solución.

1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.

2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Diagrama de solución

Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por

a) porque x ≠ 0;

b) porque 2 x ≠ 0;

y obtenga la ecuación para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.

Solución.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, lo que significa

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas.

Diagrama de solución

Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solución.

1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;

2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.

2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x ​​= π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.

Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.

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Ejemplos:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas:

Cualquier ecuación trigonométrica debe reducirse a uno de los siguientes tipos:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

donde \(t\) es una expresión con una x, \(a\) es un número. Estas ecuaciones trigonométricas se llaman lo más simple. Se pueden resolver fácilmente usando () o fórmulas especiales:

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Solución:

Respuesta: \(\left[ \begin(reunidos)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(reunidos)\right.\) \(k,n∈Z\)

Qué significa cada símbolo en la fórmula de las raíces de ecuaciones trigonométricas, ver.

¡Atención! Las ecuaciones \(\sin⁡x=a\) y \(\cos⁡x=a\) no tienen soluciones si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Porque el seno y el coseno de cualquier x son mayores o iguales que \(-1\) y menores que o iguales a \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(\cos⁡x=-1,1\).
Solución: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Respuesta : sin soluciones.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica tg\(⁡x=1\).
Solución:

Resolvamos la ecuación usando el círculo numérico. Para esto: 1) Construye un círculo) 2) Construya los ejes \(x\) y \(y\) y el eje tangente (pasa por el punto \((0;1)\) paralelo al eje \(y\)). 3) En el eje tangente, marque el punto \(1\). 4) Conecte este punto y el origen de coordenadas: una línea recta. 5) Marque los puntos de intersección de esta línea y el círculo numérico. 6) Firmemos los valores de estos puntos: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Anota todos los valores de estos puntos. Dado que están ubicados a una distancia exacta de \(π\) entre sí, todos los valores se pueden escribir en una fórmula:

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solución:

Usemos el círculo numérico nuevamente. 1) Construye un círculo, con ejes \(x\) y \(y\). 2) En el eje coseno (eje \(x\)), marque \(0\). 3) Traza una perpendicular al eje coseno que pasa por este punto. 4) Marcar los puntos de intersección de la perpendicular y el círculo. 5) Firmemos los valores de estos puntos: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Anotamos el valor total de estos puntos y los equiparamos al coseno (a lo que hay dentro del coseno). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Como es habitual, expresaremos \(x\) en ecuaciones. No olvides tratar los números con \(π\), así como \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Estos son los mismos números que todos los demás. ¡Sin discriminación numérica! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducir las ecuaciones trigonométricas a lo más simple es una tarea creativa; aquí es necesario utilizar métodos especiales para resolver ecuaciones:
- Método (el más popular en el Examen Estatal Unificado).
- Método.
- Método de argumentos auxiliares.

Consideremos un ejemplo de resolución de la ecuación trigonométrica cuadrática.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solución:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Hagamos el reemplazo \(t=\cos⁡x\).
	Nuestra ecuación se ha vuelto típica. Puedes resolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hacemos un reemplazo inverso.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Resolvemos la primera ecuación usando el círculo numérico. La segunda ecuación no tiene soluciones porque \(\cos⁡x∈[-1;1]\) y no puede ser igual a dos para cualquier x.
	Anotemos todos los números que se encuentran en estos puntos.

Respuesta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica con el estudio de ODZ:

Ejemplo (USO) . Resuelve la ecuación trigonométrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Hay una fracción y hay una cotangente, eso significa que debemos escribirla. Permítanme recordarles que una cotangente es en realidad una fracción: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Por lo tanto, la ODZ para ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\pecado⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquemos las “no soluciones” en el círculo numérico.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminemos el denominador de la ecuación multiplicándolo por ctg\(x\). Podemos hacer esto, ya que escribimos arriba que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Apliquemos la fórmula del doble ángulo para el seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si tus manos se extienden para dividir por el coseno, ¡retíralas! Puedes dividir por una expresión con una variable si definitivamente no es igual a cero (por ejemplo, estos: \(x^2+1.5^x\)). En lugar de ello, saquemos \(\cos⁡x\) de los corchetes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividamos" la ecuación en dos.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Resolvamos la primera ecuación usando el círculo numérico. Dividamos la segunda ecuación por \(2\) y muevamos \(\sin⁡x\) al lado derecho.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sen⁡x\)	Las raíces resultantes no están incluidas en la ODZ. Por lo tanto, no los escribiremos en respuesta. La segunda ecuación es típica. Dividámoslo entre \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) no puede ser una solución a la ecuación porque en este caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usamos un círculo nuevamente.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ODZ no excluye estas raíces, por lo que puede escribirlas en la respuesta.

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Al resolver muchos problemas matemáticos, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Dichos problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debe establecer qué tipo de problema está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.

Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve y de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.

La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.

A veces es difícil determinar su tipo basándose en la apariencia de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Consideremos Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.

Diagrama de solución

Paso 1. Expresar una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.

Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:

porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3. Encuentra la variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solución.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Reemplazo de variables

Diagrama de solución

Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).

Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.

Etapa 4. Haga un reemplazo inverso.

Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Solución.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;

2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤ 1.

4) pecado(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de reducción del orden de las ecuaciones

Diagrama de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación por una lineal, usando la fórmula para reducir el grado:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.

Ejemplo.

porque 2x + porque 2x = 5/4.

Solución.

1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.

2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Diagrama de solución

Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por

a) porque x ≠ 0;

b) porque 2 x ≠ 0;

y obtenga la ecuación para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.

Solución.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, lo que significa

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas.

Diagrama de solución

Paso 1. Usando todas las fórmulas trigonométricas posibles, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solución.

1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;

2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.

2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x ​​= π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.

Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.

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