Ángulo entre líneas que se cruzan: definición, ejemplos de búsqueda.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, entonces esquina filosa entre estas rectas se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Las rectas Ax + Bу + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 son paralelas cuando los coeficientes A 1 = λA, B 1 = λB son proporcionales. Si también C 1 = λC, entonces las rectas coinciden. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado

Perpendicular a una recta dada

Definición. Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la recta y = kx + b está representada por la ecuación:

Distancia de un punto a una línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Ax + Bу + C = 0 se determina como

.

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

(1)

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de la recta que pasa por Punto dado M 0 es perpendicular a una línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema está demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=p/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Solución. Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Solución. Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3 x + 2 y – 34 = 0.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(X 1 , y 1) en una dirección determinada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto. A(X 1 , y 1), que se llama centro del haz.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2), escrito así:

El coeficiente angular de una línea recta que pasa por dos puntos dados está determinado por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A Y B es el ángulo que debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones con pendiente

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

entonces el ángulo entre ellos está determinado por la fórmula

Cabe señalar que en el numerador de la fracción, la pendiente de la primera recta se resta de la pendiente de la segunda recta.

Si las ecuaciones de una recta están dadas en vista general

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

el ángulo entre ellos está determinado por la fórmula

4. Condiciones para el paralelismo de dos rectas:

a) Si las rectas vienen dadas por las ecuaciones (4) con coeficiente angular, entonces la condición necesaria y suficiente para su paralelismo es la igualdad de sus coeficientes angulares:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para el caso en que las rectas estén dadas por ecuaciones en forma general (6), una condición necesaria y suficiente para su paralelismo es que los coeficientes de las correspondientes coordenadas actuales en sus ecuaciones sean proporcionales, es decir

5. Condiciones de perpendicularidad de dos rectas:

a) En el caso de que las rectas estén dadas por las ecuaciones (4) con un coeficiente angular, una condición necesaria y suficiente para su perpendicularidad es que sus coeficientes angulares sean de magnitud inversa y de signo opuesto, es decir

Esta condición también se puede escribir en la forma

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Si las ecuaciones de las rectas se dan en la forma general (6), entonces la condición para su perpendicularidad (necesaria y suficiente) es satisfacer la igualdad

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones (6). Las rectas (6) se cortan si y sólo si

1. Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto M, una de las cuales es paralela y la otra perpendicular a la recta dada l.

Ángulo entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo al dato.

Sean dos líneas en el espacio:

Obviamente, el ángulo φ entre líneas rectas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Desde entonces, usando la fórmula para el coseno del ángulo entre vectores obtenemos

Las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas son equivalentes a las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de sus vectores directores y:

dos seguidos paralelo si y sólo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales, es decir yo 1 paralelo yo 2 si y solo si paralelo .

dos seguidos perpendicular si y sólo si la suma de los productos de los coeficientes correspondientes es igual a cero: .

Ud. meta entre linea y plano

Déjalo ser recto d- no perpendicular al plano θ;
d′− proyección de una recta d al plano θ;
El ángulo más pequeño entre líneas rectas. d Y d' llamaremos ángulo entre una recta y un plano.
Denotémoslo como φ=( d,θ)
Si d⊥θ, entonces ( d,θ)=π/2

Oye→j→k→− sistema de coordenadas rectangulares.
Ecuación plana:

θ: Hacha+Por+cz+D=0

Suponemos que la recta está definida por un punto y un vector director: d[METRO 0,pag→]
Vector norte→(A,B,C)⊥θ
Entonces queda por descubrir el ángulo entre los vectores. norte→ y pag→, denotémoslo como γ=( norte→,pag→).

Si el ángulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Si el ángulo es γ>π/2, entonces el ángulo deseado es φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Entonces, ángulo entre la recta y el plano se puede calcular usando la fórmula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ AP 1+pb 2+CP 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√pag 21+pag 22+pag 23

Pregunta 29. El concepto de forma cuadrática. Definitividad de signos de formas cuadráticas.

Forma cuadrática j (x 1, x 2, …, x n) n variables reales x 1, x 2, …, x n se llama suma de la forma
, (1)

Dónde un ij – algunos números llamados coeficientes. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que un ij = un ji.

La forma cuadrática se llama válido, Si un ij Î GR. Matriz de forma cuadrática se llama matriz formada por sus coeficientes. La forma cuadrática (1) corresponde a la única matriz simétrica
Eso es A T = A. En consecuencia, la forma cuadrática (1) se puede escribir en forma matricial j ( X) = x T Ah, Dónde xt = (X 1 X 2 … xn). (2)

Y, a la inversa, toda matriz simétrica (2) corresponde a una única forma cuadrática hasta la notación de variables.

Rango de forma cuadrática se llama rango de su matriz. La forma cuadrática se llama no degenerado, si su matriz es no singular A. (recordemos que la matriz A se llama no degenerado si su determinante no es igual a cero). De lo contrario, la forma cuadrática es degenerada.

positivo definitivo(o estrictamente positivo) si

j ( X) > 0 , para cualquiera X = (X 1 , X 2 , …, xn), excepto X = (0, 0, …, 0).

Matriz A forma cuadrática definida positiva j ( X) también se llama definida positiva. Por lo tanto, una forma cuadrática definida positiva corresponde a una matriz definida positiva única y viceversa.

La forma cuadrática (1) se llama definido negativamente(o estrictamente negativo) si

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), excepto X = (0, 0, …, 0).

De manera similar a lo anterior, una matriz de forma cuadrática definida negativa también se llama definida negativa.

En consecuencia, la forma cuadrática definida positiva (negativa) j ( X) alcanza el valor mínimo (máximo) j ( X*) = 0 en X* = (0, 0, …, 0).

Tenga en cuenta que la mayoría de las formas cuadráticas no tienen signos definidos, es decir, no son ni positivas ni negativas. Estas formas cuadráticas llegan a 0 no sólo en el origen del sistema de coordenadas, sino también en otros puntos.

Cuando norte> 2, se requieren criterios especiales para comprobar el signo de una forma cuadrática. Mirémoslos.

menores mayores forma cuadrática se llaman menores:

es decir, se trata de menores del orden de 1, 2,..., norte matrices A, ubicado a la izquierda esquina superior, el último de ellos coincide con el determinante de la matriz A.

Criterio de certeza positiva (criterio de Sylvester)

X) = x T Ah fue positivo definitivo, es necesario y suficiente que todos los menores mayores de la matriz A fueron positivos, es decir: METRO 1 > 0, METRO 2 > 0, …, m n > 0. Criterio de certeza negativo Para que la forma cuadrática j ( X) = x T Ah era negativo definido, es necesario y suficiente que sus menores principales de orden par sean positivos, y de orden impar, negativos, es decir: METRO 1 < 0, METRO 2 > 0, METRO 3 < 0, …, (–1)norte

Será útil para todo estudiante que se esté preparando para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas repetir el tema "Encontrar un ángulo entre líneas rectas". Como muestran las estadísticas, al aprobar la prueba de certificación, las tareas de esta sección de estereometría causan dificultades a los gran cantidad estudiantes. Al mismo tiempo, las tareas que requieren encontrar el ángulo entre líneas rectas se encuentran en el Examen Estatal Unificado tanto en el nivel básico como en el especializado. Esto significa que todos deberían poder resolverlos.

Momentos básicos

Hay 4 tipos en el espacio. posición relativa derecho Pueden coincidir, cruzarse, ser paralelos o cruzarse. El ángulo entre ellos puede ser agudo o recto.

Para encontrar el ángulo entre líneas en el Examen Estatal Unificado o, por ejemplo, al resolverlo, los escolares de Moscú y otras ciudades pueden utilizar varias formas de resolver problemas en esta sección de estereometría. Puedes completar la tarea utilizando construcciones clásicas. Para ello, conviene aprender los axiomas y teoremas básicos de la estereometría. El estudiante necesita ser capaz de razonar lógicamente y crear dibujos para poder llevar la tarea a un problema planimétrico.

También puede utilizar el método del vector de coordenadas utilizando fórmulas, reglas y algoritmos simples. Lo principal en este caso es realizar todos los cálculos correctamente. Perfeccione sus habilidades para resolver problemas en estereometría y otras áreas. curso escolar El proyecto educativo de Shkolkovo le ayudará.

A. Sean dadas dos rectas. Estas rectas, como se indicó en el Capítulo 1, forman varios ángulos positivos y negativos, que pueden ser agudos u obtusos. Conociendo uno de estos ángulos, podemos encontrar fácilmente cualquier otro.

Por cierto, para todos estos ángulos el valor numérico de la tangente es el mismo, la diferencia solo puede estar en el signo

Ecuaciones de rectas. Los números son las proyecciones de los vectores directores de la primera y segunda recta. El ángulo entre estos vectores es igual a uno de los ángulos formados por las rectas. Por tanto, el problema se reduce a determinar el ángulo entre los vectores.

Por simplicidad, podemos acordar que el ángulo entre dos rectas se entiende como un ángulo positivo agudo (como, por ejemplo, en la Fig. 53).

Entonces la tangente de este ángulo siempre será positiva. Por lo tanto, si hay un signo menos en el lado derecho de la fórmula (1), entonces debemos descartarlo, es decir, guardar solo el valor absoluto.

Ejemplo. Determinar el ángulo entre líneas rectas.

Según la fórmula (1) tenemos

Con. Si se indica cuál de los lados del ángulo es su comienzo y cuál es su final, entonces, contando siempre la dirección del ángulo en sentido antihorario, podemos extraer algo más de la fórmula (1). Como es fácil de ver en la Fig. 53, el signo obtenido en el lado derecho de la fórmula (1) indicará qué tipo de ángulo, agudo u obtuso, forma la segunda línea recta con la primera.

(De hecho, en la Fig. 53 vemos que el ángulo entre el primer y el segundo vector de dirección es igual al ángulo deseado entre las líneas rectas o difiere de él en ±180°.)

d. Si las rectas son paralelas, entonces sus vectores directores son paralelos. Aplicando la condición de paralelismo de dos vectores, obtenemos!

Ésta es una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas.

Ejemplo. Directo

son paralelos porque

mi. Si las rectas son perpendiculares entonces sus vectores directores también lo son. Aplicando la condición de perpendicularidad de dos vectores, obtenemos la condición de perpendicularidad de dos rectas, a saber

Ejemplo. Directo

son perpendiculares debido a que

En relación con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, resolveremos los dos problemas siguientes.

F. Trazar una recta que pase por un punto paralela a la recta dada

La solución se realiza así. Como la recta deseada es paralela a ésta, entonces como vector director podemos tomar el mismo que el de la recta dada, es decir, un vector con proyecciones A y B. Y luego la ecuación de la recta deseada se escribirá en el formulario (§ 1)

Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por el punto (1; 3) paralela a la recta

¡Habrá el próximo!

gramo. Trazar una recta que pase por un punto perpendicular a la recta dada

Aquí ya no conviene tomar el vector con proyecciones A y como vector guía, sino que es necesario tomar el vector perpendicular a él. Por tanto, las proyecciones de este vector deben elegirse según la condición de perpendicularidad de ambos vectores, es decir, según la condición

Esta condición se puede cumplir de innumerables maneras, ya que aquí hay una ecuación con dos incógnitas. Pero la forma más sencilla es tomar o Entonces la ecuación de la recta deseada se escribirá en la forma.

Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por el punto (-7; 2) en una recta perpendicular

¡Habrá lo siguiente (según la segunda fórmula)!

h. En el caso de que las rectas estén dadas por ecuaciones de la forma

Seré breve. El ángulo entre dos rectas es igual al ángulo entre sus vectores directores. Así, si logras encontrar las coordenadas de los vectores directores a = (x 1 ; y 1 ; z 1) y b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), podrás encontrar el ángulo. Más precisamente, el coseno del ángulo según la fórmula:

Veamos cómo funciona esta fórmula usando ejemplos específicos:

Tarea. En el cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, están marcados los puntos E y F, los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Como la arista del cubo no está especificada, establezcamos AB = 1. Introducimos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, los ejes x, y, z se dirigen a lo largo de AB, AD y AA 1, respectivamente. El segmento unitario es igual a AB = 1. Ahora encontremos las coordenadas de los vectores directores de nuestras rectas.

Encontremos las coordenadas del vector AE. Para ello necesitamos los puntos A = (0; 0; 0) y E = (0,5; 0; 1). Dado que el punto E es el medio del segmento A 1 B 1, sus coordenadas son iguales a la media aritmética de las coordenadas de los extremos. Tenga en cuenta que el origen del vector AE coincide con el origen de coordenadas, por lo que AE = (0,5; 0; 1).

Ahora veamos el vector BF. De manera similar, analizamos los puntos B = (1; 0; 0) y F = (1; 0,5; 1), porque F es la mitad del segmento B 1 C 1. Tenemos:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Entonces, los vectores de dirección están listos. El coseno del ángulo entre rectas es el coseno del ángulo entre los vectores directores, entonces tenemos:

Tarea. En un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cuyos bordes son iguales a 1, están marcados los puntos D y E, los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AD y BE.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, el eje x se dirige a lo largo de AB, z - a lo largo de AA 1. Dirijamos el eje y de modo que el plano OXY coincida con el plano ABC. El segmento unitario es igual a AB = 1. Encontremos las coordenadas de los vectores directores para las rectas requeridas.

Primero, encontremos las coordenadas del vector AD. Considere los puntos: A = (0; 0; 0) y D = (0,5; 0; 1), porque D - la mitad del segmento A 1 B 1. Como el inicio del vector AD coincide con el origen de coordenadas, obtenemos AD = (0,5; 0; 1).

Ahora encontremos las coordenadas del vector BE. El punto B = (1; 0; 0) es fácil de calcular. Con el punto E, la mitad del segmento C 1 B 1, es un poco más complicado. Tenemos:

Queda por encontrar el coseno del ángulo:

Tarea. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , cuyos bordes son iguales a 1, se marcan los puntos K y L: los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente . Encuentra el ángulo entre las líneas AK y BL.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar para un prisma: colocamos el origen de coordenadas en el centro de la base inferior, el eje x se dirige a lo largo de FC, el eje y se dirige a través de los puntos medios de los segmentos AB y DE, y el z El eje está dirigido verticalmente hacia arriba. El segmento unitario vuelve a ser igual a AB = 1. Anotamos las coordenadas de los puntos que nos interesan:

Los puntos K y L son los puntos medios de los segmentos A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran mediante la media aritmética. Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AK y BL:

Ahora encontremos el coseno del ángulo:

Tarea. En una pirámide cuadrangular regular SABCD, cuyos bordes son iguales a 1, están marcados los puntos E y F, los puntos medios de los lados SB y SC, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, los ejes xey están dirigidos a lo largo de AB y AD, respectivamente, y el eje z está dirigido verticalmente hacia arriba. El segmento unitario es igual a AB = 1.

Los puntos E y F son los puntos medios de los segmentos SB y SC, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran como la media aritmética de los extremos. Anotemos las coordenadas de los puntos que nos interesan:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AE y BF:

Las coordenadas del vector AE coinciden con las coordenadas del punto E, ya que el punto A es el origen. Queda por encontrar el coseno del ángulo: