Формулы мат ожидания и дисперсии. Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины

Как уже известно,закон распределения полностьюхарактеризует случайную величину.Однако часто закон распределениянеизвестен и приходится ограничиватьсяменьшими сведениями. Иногда даже выгоднеепользоваться числами, которые описываютслучайную величину суммарно; такиечисла называют числовымихарактеристиками случайной величины.К числуважных числовых характеристик относитсяматематическое ожидание.

Математическоеожидание, как будет показано далее,приближенно равно среднему значениюслучайной величины. Для решения многихзадач достаточно знать математическоеожидание. Например, если известно, чтоматематическое ожидание числа выбиваемыхочков у первого стрелка больше, чем увторого, то первый стрелок в среднемвыбивает больше очков, чем второй, и,следовательно, стреляет лучше второго.Хотя математическое ожидание дает ослучайной величине значительно меньшесведений, чем закон ее распределения,но для решения задач, подобных приведеннойи многих других, знание математическогоожидания оказывается достаточным.

§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическиможиданиемдискретнойслучайной величины называют суммупроизведений всех ее возможных значенийна их вероятности.

Пусть случайнаявеличина Xможетпринимать только значения х 1 ,х 2 ,…, х п ,вероятностикоторых соответственно равны р 1 , р 2 ,. . ., р п .Тогдаматематическое ожидание М(X)случайнойвеличины Xопределяетсяравенством

М(X)=х 1 р 1 +х 2 р 2 + … +x n p n .

Если дискретнаяслучайная величина Xпринимаетсчетное множество возможных значений,то

М(Х)=

причем математическоеожидание существует, если ряд в правойчасти равенства сходится абсолютно.

Замечание. Изопределения следует, что математическоеожидание дискретной случайной величиныесть неслучайная (постоянная) величина.Рекомендуем запомнить это утверждение,так как далее оно используется многократно.В дальнейшем будет показано, чтоматематическое ожидание непрерывнойслучайной величины также есть постояннаявеличина.

Пример 1.Найтиматематическое ожидание случайнойвеличины X,зная законее распределения:

Решение. Искомоематематическое ожидание равно суммепроизведений всех возможных значенийслучайной величины на их вероятности:

M(X)=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 2.Найтиматематическое ожидание числа появленийсобытия Аводном испытании, если вероятностьсобытия Аравна р.

Решение. Случайнаявеличина X— числопоявлений события Ав одномиспытании — может принимать только двазначения: х 1 =1(событие Анаступило)с вероятностью ри х 2 =0(событие Ане наступило)с вероятностью q=1 —р.Искомоематематическое ожидание

M(X)=1*p+0*q=p

Итак, математическоеожидание числа появлений события водном испытании равно вероятности этогособытия.Этотрезультат будет использован ниже.

§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведенописпытаний,в которых случайная величина Xприняла т 1 раз значениех 1 ,т 2 раз значениех 2 ,…,m k раз значениеx k ,причем т 1 + т 2 +…+т к = п.Тогдасумма всех значений, принятых X,равна

х 1 т 1 +х 2 т 2 + … +х к т к .

Найдем среднееарифметическоевсех значений,принятых, случайной величиной, для чегоразделим найденную сумму на общее числоиспытаний:

=(х 1 т 1 +х 2 т 2 +… +х к т к)/п,

=х 1 (m 1 /n)+х 2 (m 2 / n)+ … +х к (т к /п).(*)

Заметив, чтоотношение m 1 /n— относительная частота W 1 значениях 1 ,m 2 /n— относительнаячастота W 2 значения х 2 и т. д., запишемсоотношение (*) так:

=х 1 W 1 +x 2 W 2 + ... + х к W k .(**)

Допустим, что числоиспытаний достаточно велико. Тогдаотносительная частота приближенноравна вероятности появления события(это будет доказано в гл. IX,§ 6):

W 1 p 1 ,W 2 p 2 ,…,W k p k .

Заменив в соотношении(**) относительные частоты соответствующимивероятностями, получим

x 1 p 1 +х 2 р 2 + … +х к р к .

Правая часть этогоприближенного равенства есть М(X).Итак,

М(X).

Вероятностныйсмысл полученного результата таков:математическоеожидание приближенно равно(темточнее, чем больше число испытаний)среднемуарифметическому наблюдаемых значенийслучайной величины.

Замечание 1. Легкосообразить, что математическое ожиданиебольше наименьшего и меньше наибольшеговозможных значений. Другими словами,на числовой оси возможные значениярасположены слева и справа отматематического ожидания. В этом смыслематематическое ожидание характеризуетрасположение распределения и поэтомуего часто называют центромраспределения.

Этот терминзаимствован из механики: если массыр 1 ,р 2 ,…, р п расположеныв точках с абсциссами x 1 , х 2 ,…,х n ,причемто абсцисса центра тяжести

x c =.

Учитывая, что =M(X)иполучим М(Х)= х с .

Итак, математическоеожидание есть абсцисса центра тяжестисистемы материальных точек, абсциссыкоторых равны возможным значениямслучайной величины, а массы — ихвероятностям.

Замечание 2.Происхождение термина «математическоеожидание» связано с начальным периодомвозникновения теории вероятностей (XVI- XVIIвв.), когда область ее примененияограничивалась азартными играми. Игрокаинтересовало среднее значение ожидаемоговыигрыша, или, иными словами, математическоеожидание выигрыша.

Задача1.Вероятностьвсхожести семян пшеницы равна 0,9. Каковавероятность того, что из четырех посеянныхсемян взойдут не менее трех?

Решение. Пустьсобытие А– из 4 семян взойдут не менее 3 семян;событие В– из 4 семян взойдут 3 семени; событие С– из 4 семян взойдут 4 семени. По теоремесложения вероятностей

Вероятности и определим по формуле Бернулли, применяемойв следующем случае. Пусть проводитсясерия пнезависимых испытаний, при каждом изкоторых вероятность наступления событияпостоянна и равна р,а вероятность ненаступления этогособытия равна .Тогда вероятность того, что событие Ав писпытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли

,

где – число сочетаний из пэлементов по .Тогда

Искомая вероятность

Задача2.Вероятностьвсхожести семян пшеницы равна 0,9. Найтивероятность того, что из 400 посеянныхсемян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислитьискомую вероятность по формуле Бернулли затруднительноиз-за громоздкости вычислений. Поэтомуприменим приближенную формулу, выражающуюлокальную теорему Лапласа:

,

где и .

Из условия задачи.Тогда

.

Из таблицы 1приложений находим .Искомая вероятность равна

Задача3.Среди семянпшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятностьтого, что при случайном отборе 10000 семянбудет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применениелокальной теоремы Лапласа из-за малойвероятности приводит к значительному отклонениювероятности от точного значения .Поэтому при малых значениях рдля вычисления применяют асимптотическую формулуПуассона

,где .

Эта формулаиспользуется при ,причем чем меньше ри больше п,тем результат точнее.

По условию задачи;.Тогда

Задача4.Процентвсхожести семян пшеницы равен 90%. Найтивероятность того, что из 500 посеянныхсемян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Есливероятность наступления события Ав каждом из писпытаний постоянна и равна р,то вероятность того, что событие Ав таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теоремеЛапласа следующей формулой:

,где

, .

Функция называется функцией Лапласа. В приложениях(табл. 2) даны значения этой функции для.При функция .При отрицательных значениях хв силу нечетности функции Лапласа .Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи .По приведенным выше формулам находими :

Задача 5.Заданзакон распределения дискретной случайнойвеличины Х:

2. Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение.1) Если закон распределения дискретнойслучайной величины задан таблицей

2. Где в первой строке даны значения случайной величины х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание вычисляется по формуле

2) Дисперсия дискретнойслучайной величины Хназывается математическое ожиданиеквадрата отклонения случайной величиныот ее математического ожидания, т.е.

Эта величинахарактеризует среднее ожидаемое значениеквадрата отклонения Хот .Из последней формулы имеем

Дисперсию можно найти другим способом, исходя изследующего ее свойства: дисперсия равна разности между математическиможиданием квадрата случайной величиныХ и квадратом ее математического ожидания,то есть

Для вычисления составим следующий закон распределениявеличины :

3) Для характеристикирассеяния возможных значений случайнойвеличины вокруг ее среднего значениявводится среднее квадратическоеотклонение случайной величины Х,равное квадратному корню из дисперсии,то есть

.

Из этой формулыимеем:

Задача6.Непрерывнаяслучайная величина Хзадана интегральной функцией распределения

Найти: 1)дифференциальную функцию распределения;2) математическое ожидание ;3) дисперсию .

Решение. 1)Дифференциальной функцией распределениянепрерывной случайной величины Хназывается производная от интегральнойфункции распределения ,то есть

.

Искомаядифференциальная функция имеет следующийвид:

2) Если непрерывнаяслучайная величина Хзадана функцией ,то ее математическое ожидание определяетсяформулой

Так как функцияпри и при равна нулю, то из последней формулыимеем

.

3) Дисперсию определим по формуле

Задача7.Длинадетали представляет собой нормальнораспределенную случайную величину сматематическим ожиданием 40 мм и среднимквадратическим отклонением 3 мм. Найти:1) вероятность того, что длина произвольновзятой детали будет больше 34 мм и меньше43 мм; 2) вероятность того, что длина деталиотклонится от ее математическогоожидания не более чем на 1,5 мм.

Решение. 1) ПустьХ– длина детали. Если случайная величинаХзадана дифференциальной функцией ,то вероятность того, что Хпримет значения, принадлежащие отрезку,определяется по формуле

.

Вероятностьвыполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Еслислучайная величина Храспределена по нормальному закону, то

, (1)

где – функция Лапласа, .

В задаче .Тогда

2) По условию задачи,где .Подставив в (1) ,имеем

. (2)

Из формулы (2) имеем.

Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

• среднее значение;
• средняя величина;
• показатель центральной тенденции;
• первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

• средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
• возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
• процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Свойства математического ожидания

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

• находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина):1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• полученную сумму делим на количество гномов:6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Рабочая формула — М(х)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов. Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели. Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете. В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется. В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

• наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
• наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

• тактика управления капиталом;
• стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

Математическое ожидание — это, определение

Мат ожидание — это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр.

Мат ожидание — этосреднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Мат ожидание — этомера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Мат ожидание случайной величины x обозначается M(x).

Математическое ожидание (Population mean) — это

Мат ожидание — это

Мат ожидание — это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Мат ожидание — этосумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание (Population mean) — это

Мат ожидание — это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Мат ожидание — этов теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть спекулянт, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных спекулянтов это иногда называется «преимуществом спекулянта» (если оно положительно для спекулянта) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для спекулянта).

Математическое ожидание (Population mean) — это

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x).

Инструкция. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x) Задана функция распределения F(x)

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей (закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:P(α причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:P(α Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формулеГеометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }