Les problèmes les plus simples avec une ligne droite dans un avion. La position relative des lignes. Angle entre les lignes droites

Ce materiel est consacré à un concept tel que l'angle entre deux lignes sécantes. Dans le premier paragraphe, nous expliquerons ce que c'est et le montrerons dans des illustrations. Ensuite, nous examinerons les manières dont vous pouvez trouver le sinus, le cosinus de cet angle et l'angle lui-même (nous considérerons séparément les cas avec un plan et un espace tridimensionnel), nous donnerons les formules nécessaires et montrerons avec des exemples exactement comment ils sont utilisés dans la pratique.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Afin de comprendre quel est l’angle formé lorsque deux lignes se coupent, nous devons nous rappeler la définition même de l’angle, de la perpendiculaire et du point d’intersection.

Définition 1

On appelle deux droites se coupant si elles ont un point commun. Ce point est appelé point d’intersection de deux droites.

Chaque droite est divisée par un point d'intersection en rayons. Les deux lignes droites forment 4 angles, dont deux verticaux et deux adjacents. Si nous connaissons la mesure de l’un d’eux, nous pouvons alors déterminer les autres.

Disons que l'on sait que l'un des angles est égal à α. Dans ce cas, l'angle vertical par rapport à lui sera également égal à α. Pour trouver les angles restants, nous devons calculer la différence 180° - α. Si α est égal à 90 degrés, alors tous les angles seront droits. Les lignes se coupant à angle droit sont appelées perpendiculaires (un article séparé est consacré au concept de perpendiculaire).

Jetez un oeil à la photo :

Passons à la formulation de la définition principale.

Définition 2

L'angle formé par deux lignes sécantes est la mesure du plus petit des 4 angles qui forment ces deux lignes.

Une conclusion importante doit être tirée de la définition : la taille de l'angle dans ce cas sera exprimée par n'importe quel nombre réel dans l'intervalle (0, 90]. Si les lignes sont perpendiculaires, alors l'angle entre elles sera dans tous les cas égal à 90 degrés.

La capacité de trouver la mesure de l’angle entre deux lignes sécantes est utile pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. La méthode de résolution peut être choisie parmi plusieurs options.

Pour commencer, nous pouvons prendre des méthodes géométriques. Si nous savons quelque chose sur angles supplémentaires, nous pouvons alors les relier à l’angle dont nous avons besoin en utilisant les propriétés de figures égales ou similaires. Par exemple, si nous connaissons les côtés d'un triangle et devons calculer l'angle entre les lignes sur lesquelles se trouvent ces côtés, alors le théorème du cosinus convient à la résolution. Si nous avons la condition triangle rectangle, alors pour les calculs, nous aurons également besoin de la connaissance du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.

La méthode des coordonnées est également très pratique pour résoudre des problèmes de ce type. Expliquons comment l'utiliser correctement.

Nous avons un système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes) O x y, dans lequel deux lignes droites sont données. Désignons-les par les lettres a et b. Les lignes droites peuvent être décrites à l'aide de certaines équations. Les lignes originales ont un point d'intersection M. Comment déterminer l'angle recherché (notons-le α) entre ces droites ?

Commençons par formuler le principe de base pour trouver un angle dans des conditions données.

Nous savons que le concept de ligne droite est étroitement lié à des concepts tels que vecteur directeur et vecteur normal. Si nous avons une équation d’une certaine droite, nous pouvons en tirer les coordonnées de ces vecteurs. Nous pouvons faire cela pour deux lignes qui se croisent à la fois.

L’angle sous-tendu par deux lignes sécantes peut être trouvé en utilisant :

• angle entre les vecteurs directeurs ;
• angle entre les vecteurs normaux ;
• l'angle entre le vecteur normal d'une ligne et le vecteur directeur de l'autre.

Examinons maintenant chaque méthode séparément.

1. Supposons que nous ayons une droite a avec un vecteur directeur a → = (a x, a y) et une droite b avec un vecteur directeur b → (b x, b y). Traçons maintenant deux vecteurs a → et b → à partir du point d'intersection. Nous verrons ensuite qu'ils seront chacun situés sur leur propre ligne droite. Nous avons ensuite quatre options pour leur disposition relative. Voir l'illustration :

Si l’angle entre deux vecteurs n’est pas obtus, alors ce sera l’angle dont nous avons besoin entre les lignes sécantes a et b. S'il est obtus, alors l'angle souhaité sera égal à l'angle adjacent à l'angle a →, b → ^. Ainsi, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , et α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .

Partant du fait que les cosinus d'angles égaux sont égaux, nous pouvons réécrire les égalités résultantes comme suit : cos α = cos a →, b → ^, si a →, b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, si a →, b → ^ > 90°.

Dans le second cas, des formules de réduction ont été utilisées. Ainsi,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Écrivons la dernière formule avec des mots :

Définition 3

Le cosinus de l'angle formé par deux droites sécantes sera égal au module du cosinus de l'angle entre ses vecteurs directeurs.

La forme générale de la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs a → = (a x , a y) et b → = (b x , b y) ressemble à ceci :

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

De là, nous pouvons en déduire la formule du cosinus de l’angle entre deux droites données :

cos α = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2 = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2

Ensuite, l'angle lui-même peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :

α = a r c cos a x b x + a y + par a x 2 + a y 2 b x 2 + par y 2

Ici a → = (a x , a y) et b → = (b x , by y) sont les vecteurs directeurs des lignes données.

Donnons un exemple de résolution du problème.

Exemple 1

Dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan, deux lignes sécantes a et b sont données. Ils peuvent être décrits par les équations paramétriques x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R et x 5 = y - 6 - 3. Calculez l'angle entre ces lignes.

Solution

Nous avons une équation paramétrique dans notre condition, ce qui signifie que pour cette droite nous pouvons immédiatement noter les coordonnées de son vecteur directeur. Pour ce faire, il faut prendre les valeurs des coefficients du paramètre, c'est-à-dire la droite x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R aura un vecteur directeur a → = (4, 1).

La deuxième ligne est décrite à l'aide de l'équation canonique x 5 = y - 6 - 3. Ici, nous pouvons prendre les coordonnées des dénominateurs. Ainsi, cette droite a un vecteur directeur b → = (5 , - 3) .

Ensuite, nous passons directement à la recherche de l’angle. Pour ce faire, remplacez simplement les coordonnées existantes des deux vecteurs dans la formule ci-dessus α = a r c cos a x · b x + a y + by a x 2 + a y 2 · b x 2 + by y 2 . Nous obtenons ce qui suit :

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Répondre: Ces lignes droites forment un angle de 45 degrés.

Nous pouvons résoudre un problème similaire en trouvant l’angle entre les vecteurs normaux. Si nous avons une ligne a avec un vecteur normal n a → = (n a x , n a y) et une ligne b avec un vecteur normal n b → = (n b x , n b y), alors l'angle entre eux sera égal à l'angle entre n a → et n b → ou l'angle qui sera adjacent à n a →, n b → ^. Cette méthode est illustrée dans l'image :

Les formules pour calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent et cet angle lui-même en utilisant les coordonnées des vecteurs normaux ressemblent à ceci :

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n par n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n par 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n par n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n par 2

Ici n a → et n b → désignent les vecteurs normaux de deux lignes données.

Exemple 2

Dans un système de coordonnées rectangulaires, deux lignes droites sont données à l'aide des équations 3 x + 5 y - 30 = 0 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez le sinus et le cosinus de l'angle qui les sépare et la grandeur de cet angle lui-même.

Solution

Les lignes originales sont spécifiées à l'aide d'équations de lignes normales de la forme A x + B y + C = 0. Nous désignons le vecteur normal par n → = (A, B). Trouvons les coordonnées du premier vecteur normal pour une ligne et écrivons-les : n a → = (3, 5) . Pour la deuxième ligne x + 4 y - 17 = 0 le vecteur normal aura les coordonnées n b → = (1, 4). Ajoutons maintenant les valeurs obtenues à la formule et calculons le total :

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Si nous connaissons le cosinus d’un angle, nous pouvons alors calculer son sinus en utilisant la méthode de base identité trigonométrique. Puisque l'angle α formé par les droites n'est pas obtus, alors sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Dans ce cas, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Réponse : cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysons le dernier cas : trouver l'angle entre des droites si l'on connaît les coordonnées du vecteur directeur d'une droite et du vecteur normal de l'autre.

Supposons que la droite a ait un vecteur directeur a → = (a x , a y) et que la droite b ait un vecteur normal n b → = (n b x , n b y) . Nous devons mettre ces vecteurs à l’écart du point d’intersection et considérer toutes les options pour leurs positions relatives. Voir sur la photo :

Si l'angle entre les vecteurs donnés ne dépasse pas 90 degrés, il s'avère qu'il complétera l'angle entre a et b en un angle droit.

une → , n b → ^ = 90 ° - α si une → , n b → ^ ≤ 90 ° .

S'il fait moins de 90 degrés, alors nous obtenons ce qui suit :

a → , n b → ^ > 90 ° , alors a → , n b → ^ = 90 ° + α

En utilisant la règle d'égalité des cosinus d'angles égaux, on écrit :

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pour a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos une → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pour une → , n b → ^ > 90 ° .

Ainsi,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , une → , n b → ^ > 0 - cos une → , n b → ^ , une → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulons une conclusion.

Définition 4

Pour trouver le sinus de l'angle entre deux droites se coupant sur un plan, vous devez calculer le module du cosinus de l'angle entre le vecteur directeur de la première droite et le vecteur normal de la seconde.

Écrivons les formules nécessaires. Trouver le sinus d'un angle :

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2

Trouver l'angle lui-même :

α = a r c sin = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2

Ici a → est le vecteur directeur de la première ligne, et n b → est le vecteur normal de la seconde.

Exemple 3

Deux droites qui se croisent sont données par les équations x - 5 = y - 6 3 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez l'angle d'intersection.

Solution

Nous prenons les coordonnées du guide et du vecteur normal à partir des équations données. Il s'avère que a → = (- 5, 3) et n → b = (1, 4). Nous prenons la formule α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 et calculons :

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Veuillez noter que nous avons repris les équations du problème précédent et obtenu exactement le même résultat, mais de manière différente.

Répondre:α = a r c sin 7 2 34

Présentons une autre façon de trouver l'angle souhaité en utilisant les coefficients angulaires de droites données.

Nous avons une ligne a, qui est définie dans un système de coordonnées rectangulaires en utilisant l'équation y = k 1 x + b 1, et une ligne b, définie comme y = k 2 x + b 2. Ce sont des équations de droites avec des pentes. Pour trouver l'angle d'intersection, on utilise la formule :

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, où k 1 et k 2 sont les pentes des droites données. Pour obtenir cet enregistrement, des formules permettant de déterminer l'angle grâce aux coordonnées des vecteurs normaux ont été utilisées.

Exemple 4

Il y a deux droites se coupant dans un plan, données par les équations y = - 3 5 x + 6 et y = - 1 4 x + 17 4. Calculez la valeur de l'angle d'intersection.

Solution

Les coefficients angulaires de nos lignes sont égaux à k 1 = - 3 5 et k 2 = - 1 4. Ajoutons-les à la formule α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 et calculons :

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Répondre:α = a r c cos 23 2 34

Dans les conclusions de ce paragraphe, il convient de noter que les formules pour trouver l'angle données ici ne doivent pas être apprises par cœur. Pour ce faire, il suffit de connaître les coordonnées des guides et/ou vecteurs normaux de droites données et de pouvoir les déterminer par différents typeséquations. Mais il vaut mieux se souvenir ou noter les formules pour calculer le cosinus d'un angle.

Comment calculer l'angle entre les lignes qui se croisent dans l'espace

Le calcul d'un tel angle peut se réduire au calcul des coordonnées des vecteurs directeurs et à la détermination de l'amplitude de l'angle formé par ces vecteurs. Pour de tels exemples, le même raisonnement que celui que nous avons donné précédemment est utilisé.

Supposons que nous ayons un système de coordonnées rectangulaires situé dans un espace tridimensionnel. Il contient deux droites a et b avec un point d'intersection M. Pour calculer les coordonnées des vecteurs directeurs, nous devons connaître les équations de ces droites. Notons les vecteurs directeurs a → = (a x , a y , a z) et b → = (b x , b y , b z) . Pour calculer le cosinus de l'angle qui les sépare, on utilise la formule :

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pour trouver l'angle lui-même, nous avons besoin de cette formule :

α = a r c cos a x b x + a y by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemple 5

Nous avons une ligne définie dans l'espace tridimensionnel en utilisant l'équation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. On sait qu'il coupe l'axe O z. Calculez l'angle d'origine et le cosinus de cet angle.

Solution

Désignons l'angle qui doit être calculé par la lettre α. Notons les coordonnées du vecteur directeur de la première droite – a → = (1, - 3, - 2) . Pour l'axe applicable, nous pouvons prendre le vecteur de coordonnées k → = (0, 0, 1) comme guide. Nous avons reçu les données nécessaires et pouvons les ajouter à la formule souhaitée :

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

En conséquence, nous avons constaté que l'angle dont nous avons besoin sera égal à a r c cos 1 2 = 45 °.

Répondre: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors angle vif entre ces lignes droites sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.

Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné

Perpendiculaire à une ligne donnée

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base d'une perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

(1)

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation de la droite passant par point donné M 0 est perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.

k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = ; φ = p /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

Solution. On retrouve l’équation du côté AB : ; 4 x = 6 oui – 6 ;

2 x – 3 oui + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.

L'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

oui - oui 1 = k(X - X 1). (1)

Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(X 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , oui 1) et B(X 2 , oui 2), écrit ainsi :

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule

3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente

oui = k 1 X + B 1 ,

oui = k 2 X + B 2 , (4)

alors l'angle entre eux est déterminé par la formule

Il est à noter qu'au numérateur de la fraction, la pente de la première droite est soustraite de la pente de la deuxième droite.

Si les équations d'une droite sont données dans vue générale

UN 1 X + B 1 oui + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 oui + C 2 = 0, (6)

l'angle entre eux est déterminé par la formule

4. Conditions de parallélisme de deux droites :

a) Si les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, alors la condition nécessaire et suffisante de leur parallélisme est l'égalité de leurs coefficients angulaires :

k 1 = k 2 . (8)

b) Pour le cas où les droites sont données par des équations sous la forme générale (6), une condition nécessaire et suffisante pour leur parallélisme est que les coefficients des coordonnées actuelles correspondantes dans leurs équations soient proportionnels, c'est-à-dire

5. Conditions de perpendiculaire de deux droites :

a) Dans le cas où les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, une condition nécessaire et suffisante pour leur circularité est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe, c'est-à-dire

Cette condition peut également s'écrire sous la forme

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Si les équations des droites sont données sous la forme générale (6), alors la condition de leur circularité (nécessaire et suffisante) est de satisfaire l'égalité

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées en résolvant le système d'équations (6). Les lignes (6) se coupent si et seulement si

1. Écrivez les équations des droites passant par le point M, dont l'une est parallèle et l'autre perpendiculaire à la droite donnée l.

Instructions

note

Période fonction trigonométrique La tangente est égale à 180 degrés, ce qui signifie que les angles d'inclinaison des droites ne peuvent, en valeur absolue, dépasser cette valeur.

Conseil utile

Si les coefficients angulaires sont égaux les uns aux autres, alors l'angle entre ces lignes est 0, puisque ces lignes coïncident ou sont parallèles.

Pour déterminer la valeur de l'angle entre les lignes qui se croisent, il est nécessaire de déplacer les deux lignes (ou l'une d'entre elles) vers une nouvelle position en utilisant la méthode de translation parallèle jusqu'à ce qu'elles se croisent. Après cela, vous devriez trouver l’angle entre les lignes qui se croisent.

Tu auras besoin de

• Règle, triangle rectangle, crayon, rapporteur.

Instructions

Alors, donnons le vecteur V = (a, b, c) et le plan A x + B y + C z = 0, où A, B et C sont les coordonnées de la normale N. Alors le cosinus de l'angle α entre les vecteurs V et N est égal à : cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pour calculer l'angle en degrés ou en radians, vous devez calculer l'inverse de la fonction cosinus à partir de l'expression résultante, c'est-à-dire arccosinus:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemple : trouver coin entre vecteur(5, -3, 8) et avion, donnée par l'équation générale 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solution : noter les coordonnées du vecteur normal du plan N = (2, -5, 3). Remplacez tout valeurs connues dans la formule donnée : cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Vidéo sur le sujet

Une droite qui a un point commun avec un cercle est tangente au cercle. Une autre caractéristique de la tangente est qu'elle est toujours perpendiculaire au rayon tracé jusqu'au point de contact, c'est-à-dire que la tangente et le rayon forment une ligne droite. coin. Si deux tangentes à un cercle AB et AC sont tracées à partir d'un point A, alors elles sont toujours égales l'une à l'autre. Détermination de l'angle entre les tangentes ( coin ABC) est élaboré à l’aide du théorème de Pythagore.

Instructions

Pour déterminer l'angle, vous devez connaître le rayon du cercle OB et OS et la distance du point de départ de la tangente au centre du cercle - O. Ainsi, les angles ABO et ACO sont égaux, le rayon OB est, par exemple, 10 cm, et la distance au centre du cercle AO est de 15 cm. Déterminez la longueur de la tangente à l'aide de la formule conformément au théorème de Pythagore : AB =. Racine carrée de AO2 – OB2 ou 152 - 102 = 225 – 100 = 125 ;

Angle entre les lignes droites dans l'espace, nous appellerons n'importe lequel des angles adjacents formés par deux lignes droites passant par un point arbitraire parallèle aux données.

Soit deux droites dans l'espace :

Évidemment, l'angle φ entre les droites peut être considéré comme l'angle entre leurs vecteurs directeurs et . Puisque , alors en utilisant la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs, nous obtenons

Les conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites sont équivalentes aux conditions de parallélisme et de perpendiculaire de leurs vecteurs directeurs et :

Deux de suite parallèle si et seulement si leurs coefficients correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire je 1 parallèle je 2 si et seulement si parallèle .

Deux de suite perpendiculaire si et seulement si la somme des produits des coefficients correspondants est égale à zéro : .

U but entre la ligne et le plan

Que ce soit direct d- non perpendiculaire au plan θ ;
d′− projection d'une droite d au plan θ ;
Le plus petit angle entre des lignes droites d Et d' nous appellerons angle entre une droite et un plan.
Notons-le par φ=( d,θ)
Si d⊥θ, alors ( d,θ)=π/2

oh→j→k→− système de coordonnées rectangulaires.
Équation plane :

θ: Hache+Par+CZ+D=0

On suppose que la droite est définie par un point et un vecteur directeur : d[M 0,p→]
Vecteur n→(UN,B,C)⊥θ
Reste ensuite à connaître l'angle entre les vecteurs n→ et p→, notons-le γ=( n→,p→).

Si l'angle γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Si l'angle est γ>π/2, alors l'angle souhaité est φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Alors, angle entre la droite et le plan peut être calculé à l'aide de la formule :

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Pb 2+CP 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Question29. Le concept de forme quadratique. Signe la définition des formes quadratiques.

Forme quadratique j (x 1, x 2, …, x n) n variables réelles x 1, x 2, …, x n est appelé une somme de la forme
, (1)

Où un ij – quelques nombres appelés coefficients. Sans perte de généralité, on peut supposer que un ij = un ji.

La forme quadratique s'appelle valide, Si un ij Î GR. Matrice de forme quadratique s'appelle une matrice composée de ses coefficients. La forme quadratique (1) correspond à la seule matrice symétrique
C'est UNE T = UNE. Par conséquent, la forme quadratique (1) peut s’écrire sous forme matricielle j ( X) = x T Ah, Où xT = (X 1 X 2 … xn). (2)

Et, inversement, toute matrice symétrique (2) correspond à une forme quadratique unique jusqu'à la notation des variables.

Rang de forme quadratique est appelé le rang de sa matrice. La forme quadratique s'appelle non dégénéré, si sa matrice est non singulière UN. (rappelons que la matrice UN est dit non dégénéré si son déterminant n'est pas égal à zéro). Sinon, la forme quadratique est dégénérée.

définie positive(ou strictement positif) si

j ( X) > 0 , pour tout le monde X = (X 1 , X 2 , …, xn), sauf X = (0, 0, …, 0).

Matrice UN forme quadratique définie positive j ( X) est également appelé défini positif. Par conséquent, à une matrice définie positive unique correspond une forme quadratique définie positive et vice versa.

La forme quadratique (1) est appelée défini négativement(ou strictement négatif) si

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), sauf X = (0, 0, …, 0).

De la même manière que ci-dessus, une matrice de forme quadratique définie négative est également appelée définie négative.

Par conséquent, la forme quadratique définie positive (négative) j ( X) atteint la valeur minimale (maximale) j ( X*) = 0 à X* = (0, 0, …, 0).

Notez que la plupart des formes quadratiques ne sont pas définies par un signe, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni positives ni négatives. De telles formes quadratiques disparaissent non seulement à l’origine du système de coordonnées, mais également en d’autres points.

Quand n> 2, des critères particuliers sont nécessaires pour vérifier le signe d'une forme quadratique. Regardons-les.

Mineurs majeurs les formes quadratiques sont appelées mineurs :

c'est-à-dire qu'il s'agit de mineurs de l'ordre de 1, 2, ..., n matrices UN, situé à gauche coin supérieur, le dernier d'entre eux coïncide avec le déterminant de la matrice UN.

Critère de certitude positive (Critère Sylvester)

X) = x T Ahétait positif défini, il faut et suffisant que tous les mineurs majeurs de la matrice UNétaient positifs, c'est-à-dire : M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Critère de certitude négatif Pour que la forme quadratique j ( X) = x T Ahétait défini négatif, il est nécessaire et suffisant que ses principaux mineurs d'ordre pair soient positifs, et d'ordre impair - négatifs, c'est-à-dire : M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Je serai bref. L'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs vecteurs directeurs. Ainsi, si vous parvenez à trouver les coordonnées des vecteurs directeurs a = (x 1 ; y 1 ; z 1) et b = (x 2 ; y 2 ​​​​​​; z 2), vous pouvez trouver l'angle. Plus précisément, le cosinus de l'angle selon la formule :

Voyons comment cette formule fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points E et F sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.

Puisque l'arête du cube n'est pas précisée, posons AB = 1. Nous introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x, y, z sont dirigés selon AB, AD et AA 1, respectivement. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons maintenant les coordonnées des vecteurs directeurs de nos droites.

Trouvons les coordonnées du vecteur AE. Pour cela nous avons besoin des points A = (0 ; 0 ; 0) et E = (0,5 ; 0 ; 1). Puisque le point E est le milieu du segment A 1 B 1, ses coordonnées sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités. Notez que l'origine du vecteur AE coïncide avec l'origine des coordonnées, donc AE = (0,5 ; 0 ; 1).

Regardons maintenant le vecteur BF. De même, on analyse les points B = (1 ; 0 ; 0) et F = (1 ; 0,5 ; 1), car F est le milieu du segment B 1 C 1. Nous avons:
BF = (1 − 1 ; 0,5 − 0 ; 1 − 0) = (0 ; 0,5 ; 1).

Les vecteurs directeurs sont donc prêts. Le cosinus de l'angle entre droites est le cosinus de l'angle entre les vecteurs directeurs, on a donc :

Tâche. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points D et E sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AD et BE.

Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, l'axe x est dirigé selon AB, z - selon AA 1. Dirigons l'axe y pour que le plan OXY coïncide avec le plan ABC. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons les coordonnées des vecteurs directeurs des droites recherchées.

Commençons par trouver les coordonnées du vecteur AD. Considérons les points : A = (0 ; 0 ; 0) et D = (0,5 ; 0 ; 1), car D - le milieu du segment A 1 B 1. Puisque le début du vecteur AD coïncide avec l'origine des coordonnées, on obtient AD = (0,5 ; 0 ; 1).

Trouvons maintenant les coordonnées du vecteur BE. Le point B = (1 ; 0 ; 0) est facile à calculer. Avec le point E - le milieu du segment C 1 B 1 - c'est un peu plus compliqué. Nous avons:

Reste à trouver le cosinus de l'angle :

Tâche. Dans un prisme hexagonal régulier ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points K et L sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement . Trouvez l'angle entre les lignes AK et BL.

Introduisons un système de coordonnées standard pour un prisme : on place l'origine des coordonnées au centre de la base inférieure, l'axe x est dirigé selon FC, l'axe y est dirigé par les milieux des segments AB et DE, et le z l’axe est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est à nouveau égal à AB = 1. Notons les coordonnées des points qui nous intéressent :

Les points K et L sont respectivement les milieux des segments A 1 B 1 et B 1 C 1, leurs coordonnées sont donc trouvées par la moyenne arithmétique. Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AK et BL :

Trouvons maintenant le cosinus de l'angle :

Tâche. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points E et F sont marqués - les milieux des côtés SB et SC, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.

Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x et y sont dirigés respectivement le long de AB et AD, et l'axe z est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est égal à AB = 1.

Les points E et F sont respectivement les milieux des segments SB et SC, leurs coordonnées sont donc trouvées comme moyenne arithmétique des extrémités. Notons les coordonnées des points d'intérêt qui nous intéressent :
UNE = (0 ; 0 ; 0); B = (1 ; 0 ; 0)

Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AE et BF :

Les coordonnées du vecteur AE coïncident avec les coordonnées du point E, puisque le point A est l'origine. Reste à trouver le cosinus de l'angle :