Addition avec différents dénominateurs. Comment apprendre à soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Note! Avant d’écrire votre réponse finale, voyez si vous pouvez raccourcir la fraction que vous avez reçue.

Soustraire des fractions de même dénominateur, exemples:

,

,

Soustraire une fraction propre d'une.

S'il est nécessaire de soustraire une fraction d'une unité propre, l'unité est convertie sous la forme d'une fraction impropre, son dénominateur est égal au dénominateur de la fraction soustraite.

Un exemple de soustraction d'une fraction propre à une :

Dénominateur de la fraction à soustraire = 7 , c'est-à-dire que nous en représentons une comme une fraction impropre 7/7 et la soustrayons selon la règle de soustraction de fractions de dénominateurs similaires.

Soustraire une fraction propre d'un nombre entier.

Règles pour soustraire des fractions - corriger à partir d'un nombre entier (entier naturel):

• Nous convertissons les fractions données contenant une partie entière en fractions impropres. Nous obtenons des conditions normales (peu importe qu'elles soient avec différents dénominateurs), que nous calculons selon les règles données ci-dessus ;
• Ensuite, nous calculons la différence entre les fractions que nous avons reçues. En conséquence, nous trouverons presque la réponse ;
• Nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire que nous nous débarrassons de la fraction impropre - nous sélectionnons la partie entière de la fraction.

Soustrayez une fraction propre d'un nombre entier : représentez l'entier naturel comme un nombre fractionnaire. Ceux. Nous prenons une unité dans un nombre naturel et la convertissons sous la forme d’une fraction impropre, le dénominateur étant le même que celui de la fraction soustraite.

Exemple de soustraction de fractions :

Dans l'exemple, nous avons remplacé un par la fraction impropre 7/7 et au lieu de 3 nous avons écrit un nombre fractionnaire et soustrait une fraction de la partie fractionnaire.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

Ou, pour le dire autrement, soustraire différentes fractions.

Règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents. Afin de soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord réduire ces fractions au plus petit dénominateur commun (LCD), et seulement après cela, effectuer la soustraction comme pour les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Le dénominateur commun de plusieurs fractions est LCM (plus petit commun multiple) nombres naturels, qui sont les dénominateurs de ces fractions.

Attention! Si dans la fraction finale le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, alors la fraction doit être réduite. Une fraction impropre est mieux représentée comme une fraction mixte. Laisser le résultat de la soustraction sans réduire la fraction lorsque cela est possible est une solution incomplète à l'exemple !

Procédure pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

• trouver le LCM pour tous les dénominateurs ;
• ajoutez des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ;
• multiplier tous les numérateurs par un facteur supplémentaire ;
• Nous écrivons les produits résultants au numérateur, en signant le dénominateur commun sous toutes les fractions ;
• soustraire les numérateurs des fractions en signant le dénominateur commun sous la différence.

De la même manière, l'addition et la soustraction de fractions sont effectuées s'il y a des lettres au numérateur.

Soustraire des fractions, exemples :

Soustraire des fractions mixtes.

À soustraire des fractions mixtes (nombres) séparément, la partie entière est soustraite de la partie entière et la partie fractionnaire est soustraite de la partie fractionnaire.

La première option pour soustraire des fractions mixtes.

Si les parties fractionnaires le même dénominateurs et numérateur de la partie fractionnaire du minuend (on le soustrait) ≥ numérateur de la partie fractionnaire du soustrahend (on le soustrait).

Par exemple:

La deuxième option pour soustraire des fractions mixtes.

Lorsque les parties fractionnaires différent dénominateurs. Pour commencer, nous ramenons les parties fractionnaires à un dénominateur commun, puis nous soustrayons la partie entière de la partie entière et la partie fractionnaire de la partie fractionnaire.

Par exemple:

La troisième option pour soustraire des fractions mixtes.

La partie fractionnaire du minuend est inférieure à la partie fractionnaire du sous-trahend.

Exemple:

Parce que Les parties fractionnaires ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que, comme dans la deuxième option, nous ramenons d'abord les fractions ordinaires à un dénominateur commun.

Le numérateur de la partie fractionnaire du minuend est inférieur au numérateur de la partie fractionnaire du sous-trahend.3 < 14. Cela signifie que nous prenons une unité de la partie entière et réduisons cette unité à la forme d'une fraction impropre avec le même dénominateur et le même numérateur. = 18.

Au numérateur du côté droit, nous écrivons la somme des numérateurs, puis nous ouvrons les parenthèses dans le numérateur du côté droit, c'est-à-dire que nous multiplions tout et donnons des valeurs similaires. On n'ouvre pas les parenthèses au dénominateur. Il est d'usage de laisser le produit dans les dénominateurs. On a:

Le numérateur, et ce qui est divisé par est le dénominateur.

Pour écrire une fraction, écrivez d’abord le numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous le nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale qui sépare le numérateur et le dénominateur est appelée ligne de fraction. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction « deux tiers » s’écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3, vous pouvez trouver : ⅔.

Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur par un fractions au numérateur est différent. Écrivez le résultat au numérateur du nouveau fractions. Après cela, multipliez les dénominateurs. Entrez la valeur totale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).

Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d’abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les actions, « retournez » d'abord le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit apparaître à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5 ; 3 ? 1 = 3).

Sources:

• Problèmes de fractions de base

Les nombres fractionnaires peuvent être exprimés en sous différentes formes valeur exacte de la quantité. Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques avec des fractions qu’avec des nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il faut rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Certaines opérations arithmétiques nécessitent que la partie fractionnaire du résultat soit réduite après exécution.

Tu auras besoin de

• - calculatrice

Instructions

Regardez attentivement les chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous la forme irrégulière. Peux-tu traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres ci-dessus et ci-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière est isolée doivent être converties sous la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Cette valeur deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour sélectionner une pièce entière parmi une pièce initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le résultat complet de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions à partie entière, il est possible d'effectuer des actions séparément, d'abord pour la partie entière puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Somme des parties distinctes entières et fractionnaires des termes :
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Réécrivez-les en utilisant le séparateur « : » et continuez avec la division normale.

Pour obtenir le résultat final, réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un entier, le plus grand possible dans dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des entiers au-dessus et en dessous de la ligne.

note

N'effectuez pas d'arithmétique avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par celui-ci, le résultat est que les dénominateurs des deux fractions sont égaux.

Conseil utile

Lors de l'enregistrement nombres fractionnaires Le dividende est inscrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur, ou dénominateur, de la fraction est écrit sous la ligne. Par exemple, un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour faciliter le calcul, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. DANS dans cet exemple peut être divisé par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.

Les expressions fractionnaires sont difficiles à comprendre pour un enfant. La plupart des gens ont des difficultés avec. Lorsqu'il étudie le sujet « additionner des fractions avec des nombres entiers », l'enfant tombe dans la stupeur et a du mal à résoudre le problème. Dans de nombreux exemples, avant d’effectuer une action, une série de calculs doit être effectuée. Par exemple, convertissez des fractions ou convertissez une fraction impropre en fraction propre.

Expliquons-le clairement à l'enfant. Prenons trois pommes, dont deux entières, et coupons la troisième en 4 parties. Séparez une tranche de la pomme coupée et placez les trois tranches restantes à côté de deux fruits entiers. On obtient ¼ de pomme d'un côté et 2 ¾ de l'autre. Si nous les combinons, nous obtenons trois pommes. Essayons de réduire 2 ¾ pommes de ¼, c'est-à-dire en retirant une autre tranche, nous obtenons 2 2/4 pommes.

Examinons de plus près les opérations avec des fractions contenant des entiers :

Rappelons d'abord la règle de calcul des expressions fractionnaires avec un dénominateur commun :

À première vue, tout est simple et facile. Mais cela ne s'applique qu'aux expressions qui ne nécessitent pas de conversion.

Comment trouver la valeur d'une expression dont les dénominateurs sont différents

Dans certaines tâches, vous devez trouver le sens d'une expression dont les dénominateurs sont différents. Regardons un cas précis :
3 2/7+6 1/3

Trouvons la valeur de cette expression en trouvant un dénominateur commun à deux fractions.

Pour les nombres 7 et 3, c'est 21. On laisse les parties entières identiques, et on ramène les parties fractionnaires à 21, pour cela on multiplie la première fraction par 3, la seconde par 7, on obtient :
21/06+21/07, n'oubliez pas que des parties entières ne peuvent pas être converties. En conséquence, nous obtenons deux fractions avec le même dénominateur et calculons leur somme :
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Que se passe-t-il si le résultat de l'addition est une fraction impropre qui a déjà une partie entière :
2 1/3+3 2/3
Dans ce cas, on additionne les parties entières et les parties fractionnaires, on obtient :
5 3/3, comme vous le savez, 3/3 est un, ce qui signifie 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Trouver la somme est clair, regardons la soustraction :

De tout ce qui a été dit, la règle pour les opérations avec des nombres mixtes suit :

• Si vous devez soustraire un entier d'une expression fractionnaire, vous n'avez pas besoin de représenter le deuxième nombre sous forme de fraction ; il suffit d'effectuer l'opération uniquement sur les parties entières.

Essayons de calculer nous-mêmes le sens des expressions :

Regardons de plus près l'exemple sous la lettre « m » :

4 5/11-2 8/11, le numérateur de la première fraction est inférieur à celui de la seconde. Pour ce faire, on emprunte un entier à la première fraction, on obtient,
3 5/11+11/11=3 entier 16/11, soustrayez la seconde de la première fraction :
3 16/11-2 8/11=1 entier 8/11

• Soyez prudent lorsque vous accomplissez la tâche, n'oubliez pas de convertir les fractions impropres en fractions mixtes, en mettant en évidence la partie entière. Pour ce faire, il faut diviser la valeur du numérateur par la valeur du dénominateur, puis ce qui se passe prend la place de la partie entière, le reste sera le numérateur, par exemple :

19/4=4 ¾, vérifions : 4*4+3=19, le dénominateur 4 reste inchangé.

Résumer:

Avant de commencer une tâche liée aux fractions, il est nécessaire d'analyser de quel type d'expression il s'agit, quelles transformations doivent être apportées à la fraction pour que la solution soit correcte. Recherchez une solution plus rationnelle. N'allez pas par la voie difficile. Planifiez toutes les actions, résolvez-les d'abord sous forme de brouillon, puis transférez-les sur votre cahier d'écolier.

Pour éviter toute confusion lors de la résolution d'expressions fractionnaires, vous devez suivre la règle de cohérence. Décidez de tout avec soin, sans vous précipiter.

Actions avec des fractions.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Alors, que sont les fractions, les types de fractions, les transformations - nous nous en sommes souvenus. Venons-en au problème principal.

Que peut-on faire avec les fractions ? Oui, tout est comme avec les nombres ordinaires. Additionner, soustraire, multiplier, diviser.

Toutes ces actions avec décimal travailler avec des fractions n'est pas différent de travailler avec des nombres entiers. En fait, c’est ce qui est bien avec eux, les décimaux. La seule chose est que vous devez mettre la virgule correctement.

Numéros mixtes, comme je l'ai déjà dit, sont de peu d'utilité pour la plupart des actions. Ils doivent encore être convertis en fractions ordinaires.

Mais les actions avec fractions ordinaires ils seront plus rusés. Et bien plus important ! Laisse-moi te rappeler: toutes les actions avec des expressions fractionnaires avec des lettres, des sinus, des inconnues, etc. ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires! Les opérations avec des fractions ordinaires sont la base de toute algèbre. C’est pour cette raison que nous analyserons ici en détail toute cette arithmétique.

Additionner et soustraire des fractions.

Tout le monde peut additionner (soustraire) des fractions avec les mêmes dénominateurs (j'espère vraiment !). Eh bien, permettez-moi de rappeler à ceux qui oublient complètement : lors de l'addition (soustraction), le dénominateur ne change pas. Les numérateurs sont ajoutés (soustraits) pour donner le numérateur du résultat. Taper:

Bref, dans vue générale:

Et si les dénominateurs sont différents ? Ensuite, en utilisant la propriété de base d’une fraction (là encore, c’est pratique !), nous rendons les dénominateurs identiques ! Par exemple:

Ici, nous avons dû faire la fraction 4/10 à partir de la fraction 2/5. Dans le seul but de rendre les dénominateurs identiques. Permettez-moi de noter, juste au cas où, que 2/5 et 4/10 sont la même fraction! Seulement 2/5 sont inconfortables pour nous, et 4/10 sont vraiment bien.

Soit dit en passant, c’est l’essence même de la résolution de tout problème mathématique. Quand nous venons de inconfortable nous faisons des expressions la même chose, mais plus pratique pour résoudre.

Un autre exemple:

La situation est similaire. Ici on fait 48 sur 16. Par simple multiplication par 3. Tout est clair. Mais nous sommes tombés sur quelque chose comme :

Comment être?! C'est difficile de faire un neuf sur sept ! Mais nous sommes intelligents, nous connaissons les règles ! Transformons-nous chaque fraction pour que les dénominateurs soient les mêmes. C’est ce qu’on appelle « réduire à un dénominateur commun » :

Ouah! Comment ai-je su pour 63 ? Très simple! 63 est un nombre divisible par 7 et 9 à la fois. Un tel nombre peut toujours être obtenu en multipliant les dénominateurs. Si l’on multiplie un nombre par 7 par exemple, alors le résultat sera certainement divisible par 7 !

Si vous devez additionner (soustraire) plusieurs fractions, il n’est pas nécessaire de le faire par paires, étape par étape. Il suffit de trouver le dénominateur commun à toutes les fractions et de réduire chaque fraction à ce même dénominateur. Par exemple:

Et quel sera le dénominateur commun ? Vous pouvez bien sûr multiplier 2, 4, 8 et 16. Nous obtenons 1024. Cauchemar. Il est plus facile d’estimer que le nombre 16 est parfaitement divisible par 2, 4 et 8. Par conséquent, à partir de ces nombres, il est facile d’obtenir 16. Ce nombre sera le dénominateur commun. Transformons 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, et ainsi de suite.

D'ailleurs, si vous prenez 1024 comme dénominateur commun, tout s'arrangera, à la fin tout sera réduit. Mais tout le monde n’y parviendra pas, à cause des calculs…

Complétez l'exemple vous-même. Pas une sorte de logarithme... Cela devrait s'avérer être 29/16.

Alors, l'addition (soustraction) de fractions est claire, j'espère ? Bien entendu, il est plus simple de travailler dans une version raccourcie, avec des multiplicateurs supplémentaires. Mais ce plaisir est accessible à ceux qui ont travaillé honnêtement dans les classes inférieures... Et n'ont rien oublié.

Et maintenant nous allons faire les mêmes actions, mais pas avec des fractions, mais avec expressions fractionnaires. Un nouveau rake sera révélé ici, oui...

Nous devons donc ajouter deux expressions fractionnaires :

Nous devons rendre les dénominateurs identiques. Et seulement avec l'aide multiplication! C’est ce que dicte la propriété principale d’une fraction. Par conséquent, je ne peux pas ajouter un à X dans la première fraction du dénominateur. (ce serait bien !). Mais si vous multipliez les dénominateurs, vous voyez, tout grandit ensemble ! On note donc la ligne de la fraction, on laisse un espace vide en haut, puis on l'ajoute, et on écrit le produit des dénominateurs ci-dessous, pour ne pas oublier :

Et bien sûr, on ne multiplie rien du côté droit, on n’ouvre pas les parenthèses ! Et maintenant, en regardant le dénominateur commun du côté droit, on se rend compte : pour obtenir le dénominateur x(x+1) dans la première fraction, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par (x+1) . Et dans la deuxième fraction - à x. C'est ce que vous obtenez:

Note! Voici les parenthèses ! C'est le râteau sur lequel beaucoup de gens marchent. Pas les parenthèses, bien sûr, mais leur absence. Les parenthèses apparaissent car on multiplie tous numérateur et tous dénominateur! Et pas leurs pièces individuelles...

Au numérateur du côté droit on écrit la somme des numérateurs, tout est comme dans les fractions numériques, puis on ouvre les parenthèses au numérateur du côté droit, c'est-à-dire Nous multiplions tout et donnons des semblables. Il n’est pas nécessaire d’ouvrir les parenthèses dans les dénominateurs ni de multiplier quoi que ce soit ! En général, en dénominateurs (n'importe lesquels) le produit est toujours plus agréable ! On a:

Nous avons donc eu la réponse. Le processus semble long et difficile, mais cela dépend de la pratique. Une fois que vous aurez résolu les exemples, habituez-vous, tout deviendra simple. Ceux qui ont maîtrisé les fractions en temps voulu font toutes ces opérations avec une seule main gauche, automatiquement !

Et encore une remarque. Beaucoup gèrent intelligemment les fractions, mais restent bloqués sur des exemples avec entier Nombres. Comme : 2 + 1/2 + 3/4= ? Où fixer le deux pièces ? Vous n'avez pas besoin de le fixer n'importe où, vous devez faire une fraction sur deux. Ce n'est pas facile, mais très simple ! 2=2/1. Comme ça. Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction. Le numérateur est le nombre lui-même, le dénominateur est un. 7 est 7/1, 3 est 3/1 et ainsi de suite. C'est la même chose avec les lettres. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Et puis nous travaillons avec ces fractions selon toutes les règles.

Eh bien, les connaissances sur l’addition et la soustraction de fractions ont été rafraîchies. La conversion des fractions d'un type à un autre a été répétée. Vous pouvez également vous faire contrôler. On peut régler ça un peu ?)

Calculer:

Réponses (en désarroi) :

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplication/division de fractions - dans la prochaine leçon. Il existe également des tâches pour toutes les opérations avec des fractions.

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Comment ajouter des décimales

Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour effectuer une addition décimales, vous devez respecter une règle simple :

• Le lieu doit être sous le lieu, la virgule sous la virgule.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont situées les unes sous les autres, les chiffres des dixièmes et des centièmes sont situés les uns sous les autres. Maintenant, nous additionnons les nombres en ignorant la virgule. Que faire de la virgule ? La virgule est déplacée à l'endroit où elle se trouvait dans la catégorie des nombres entiers.

Additionner des fractions avec des dénominateurs égaux

Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction qui sera la somme totale.

Addition de fractions avec différents dénominateurs en utilisant la méthode multiple commune

La première chose à laquelle vous devez faire attention, ce sont les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, que l'un soit divisible par l'autre ou qu'il s'agisse de nombres premiers. Vous devez d’abord le ramener à un dénominateur commun ; il existe plusieurs façons de procéder :

• 1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b – LCM (a;b). Dans cet exemple LCM (3;4)=12. On vérifie : 12:3=4 ; 12:4=3.
• Nous multiplions les facteurs et additionnons les nombres résultants, nous obtenons 13/12 - une fraction impropre.

• Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, divisez le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.

Addition de fractions à l'aide de la méthode de multiplication croisée

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il existe une autre méthode utilisant la formule « cross to cross ». C'est un moyen garanti d'égaliser les dénominateurs ; pour ce faire, vous devez multiplier les numérateurs par le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si tu es juste là stade initial en étudiant les fractions, cette méthode est le moyen le plus simple et le plus précis d'obtenir le résultat correct lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.