Angle entre les lignes qui se croisent : définition, exemples de constatation

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors angle vif entre ces lignes droites sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.

Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné

Perpendiculaire à une ligne donnée

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

(1)

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation de la droite passant par point donné M 0 est perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.

k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = ; φ = p /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

Solution. On retrouve l’équation du côté AB : ; 4 x = 6 oui – 6 ;

2 x – 3 oui + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.

L'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

oui - oui 1 = k(X - X 1). (1)

Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(X 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , oui 1) et B(X 2 , oui 2), écrit ainsi :

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule

3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente

oui = k 1 X + B 1 ,

oui = k 2 X + B 2 , (4)

alors l'angle entre eux est déterminé par la formule

Il est à noter qu'au numérateur de la fraction, la pente de la première droite est soustraite de la pente de la deuxième droite.

Si les équations d'une droite sont données dans vue générale

UN 1 X + B 1 oui + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 oui + C 2 = 0, (6)

l'angle entre eux est déterminé par la formule

4. Conditions de parallélisme de deux droites :

a) Si les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, alors la condition nécessaire et suffisante de leur parallélisme est l'égalité de leurs coefficients angulaires :

k 1 = k 2 . (8)

b) Pour le cas où les droites sont données par des équations sous la forme générale (6), une condition nécessaire et suffisante pour leur parallélisme est que les coefficients des coordonnées actuelles correspondantes dans leurs équations soient proportionnels, c'est-à-dire

5. Conditions de perpendiculaire de deux droites :

a) Dans le cas où les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, une condition nécessaire et suffisante pour leur circularité est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe, c'est-à-dire

Cette condition peut également s'écrire sous la forme

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Si les équations des droites sont données sous la forme générale (6), alors la condition de leur circularité (nécessaire et suffisante) est de satisfaire l'égalité

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées en résolvant le système d'équations (6). Les lignes (6) se coupent si et seulement si

1. Écrivez les équations des droites passant par le point M, dont l'une est parallèle et l'autre perpendiculaire à la droite donnée l.

Angle entre les lignes droites dans l'espace, nous appellerons n'importe lequel des angles adjacents formés par deux lignes droites passant par un point arbitraire parallèle aux données.

Soit deux droites dans l'espace :

Évidemment, l'angle φ entre les droites peut être considéré comme l'angle entre leurs vecteurs directeurs et . Puisque , alors en utilisant la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs, nous obtenons

Les conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites sont équivalentes aux conditions de parallélisme et de perpendiculaire de leurs vecteurs directeurs et :

Deux de suite parallèle si et seulement si leurs coefficients correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire je 1 parallèle je 2 si et seulement si parallèle .

Deux de suite perpendiculaire si et seulement si la somme des produits des coefficients correspondants est égale à zéro : .

U but entre la ligne et le plan

Que ce soit direct d- non perpendiculaire au plan θ ;
d′− projection d'une droite d au plan θ ;
Le plus petit angle entre des lignes droites d Et d' nous appellerons angle entre une droite et un plan.
Notons-le par φ=( d,θ)
Si d⊥θ, alors ( d,θ)=π/2

oh→j→k→− système de coordonnées rectangulaires.
Équation plane :

θ: Hache+Par+CZ+D=0

On suppose que la droite est définie par un point et un vecteur directeur : d[M. 0,p→]
Vecteur n→(UN,B,C)⊥θ
Reste ensuite à connaître l'angle entre les vecteurs n→ et p→, notons-le γ=( n→,p→).

Si l'angle γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Si l'angle est γ>π/2, alors l'angle souhaité est φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Alors, angle entre la droite et le plan peut être calculé à l'aide de la formule :

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Pb 2+CP 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Question29. Le concept de forme quadratique. Signe la définition des formes quadratiques.

Forme quadratique j (x 1, x 2, …, x n) n variables réelles x 1, x 2, …, x n est appelé une somme de la forme
, (1)

Où un ij – quelques nombres appelés coefficients. Sans perte de généralité, on peut supposer que un ij = un ji.

La forme quadratique s'appelle valide, Si un ij Î GR. Matrice de forme quadratique s'appelle une matrice composée de ses coefficients. La forme quadratique (1) correspond à la seule matrice symétrique
C'est UNE T = UNE. Par conséquent, la forme quadratique (1) peut s’écrire sous forme matricielle j ( X) = x T Ah, Où xT = (X 1 X 2 … xn). (2)

Et, inversement, à toute matrice symétrique (2) correspond une forme quadratique unique jusqu'à la notation des variables.

Rang de forme quadratique est appelé le rang de sa matrice. La forme quadratique s'appelle non dégénéré, si sa matrice est non singulière UN. (rappelons que la matrice UN est dit non dégénéré si son déterminant n'est pas égal à zéro). Sinon, la forme quadratique est dégénérée.

définie positive(ou strictement positif) si

j ( X) > 0 , pour tout le monde X = (X 1 , X 2 , …, xn), sauf X = (0, 0, …, 0).

Matrice UN forme quadratique définie positive j ( X) est également appelé défini positif. Par conséquent, à une matrice définie positive unique correspond une forme quadratique définie positive et vice versa.

La forme quadratique (1) est appelée défini négativement(ou strictement négatif) si

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), sauf X = (0, 0, …, 0).

De la même manière que ci-dessus, une matrice de forme quadratique définie négative est également appelée définie négative.

Par conséquent, la forme quadratique définie positive (négative) j ( X) atteint la valeur minimale (maximale) j ( X*) = 0 à X* = (0, 0, …, 0).

Notez que la plupart des formes quadratiques ne sont pas définies par un signe, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni positives ni négatives. De telles formes quadratiques tournent vers 0 non seulement à l'origine du système de coordonnées, mais également en d'autres points.

Quand n> 2, des critères particuliers sont nécessaires pour vérifier le signe d'une forme quadratique. Regardons-les.

Mineurs majeurs les formes quadratiques sont appelées mineurs :

c'est-à-dire qu'il s'agit de mineurs de l'ordre de 1, 2, ..., n matrices UN, situé à gauche coin supérieur, le dernier d'entre eux coïncide avec le déterminant de la matrice UN.

Critère de certitude positive (Critère Sylvester)

X) = x T Ahétait positif défini, il faut et suffisant que tous les mineurs majeurs de la matrice UNétaient positifs, c'est-à-dire : M. 1 > 0, M. 2 > 0, …, Mn > 0. Critère de certitude négatif Pour que la forme quadratique j ( X) = x T Ahétait défini négatif, il est nécessaire et suffisant que ses principaux mineurs d'ordre pair soient positifs, et d'ordre impair - négatifs, c'est-à-dire : M. 1 < 0, M. 2 > 0, M. 3 < 0, …, (–1)n

Il sera utile à chaque étudiant qui se prépare à l'examen d'État unifié de mathématiques de répéter le sujet « Trouver un angle entre des lignes droites ». Comme le montrent les statistiques, lors de la réussite du test de certification, les tâches de cette section de stéréométrie posent des difficultés pour grande quantitéétudiants. Dans le même temps, les tâches qui nécessitent de trouver l'angle entre des lignes droites se retrouvent dans l'examen d'État unifié aux niveaux de base et spécialisé. Cela signifie que tout le monde devrait pouvoir les résoudre.

Moments de base

Il existe 4 types dans l'espace position relative droit Ils peuvent coïncider, se croiser, être parallèles ou se croiser. L'angle entre eux peut être aigu ou droit.

Pour trouver l'angle entre les lignes dans l'examen d'État unifié ou, par exemple, pour résoudre, les écoliers de Moscou et d'autres villes peuvent utiliser plusieurs méthodes pour résoudre les problèmes de cette section de stéréométrie. Vous pouvez terminer la tâche en utilisant des constructions classiques. Pour ce faire, il vaut la peine d'apprendre les axiomes et théorèmes de base de la stéréométrie. L'élève doit être capable de raisonner logiquement et de créer des dessins afin d'amener la tâche à un problème planimétrique.

Vous pouvez également utiliser la méthode des vecteurs de coordonnées en utilisant des formules, des règles et des algorithmes simples. L'essentiel dans ce cas est d'effectuer correctement tous les calculs. Perfectionnez vos compétences dans la résolution de problèmes de stéréométrie et d'autres domaines cours scolaire Le projet éducatif Shkolkovo vous aidera.

UN. Soit deux droites. Ces droites, comme indiqué au chapitre 1, forment divers angles positifs et négatifs, qui peuvent être aigus ou obtus. Connaissant l’un de ces angles, on peut facilement en trouver un autre.

D'ailleurs, pour tous ces angles la valeur numérique de la tangente est la même, la différence ne peut être que dans le signe

Équations de droites. Les nombres sont les projections des vecteurs directeurs des première et deuxième droites. L'angle entre ces vecteurs est égal à l'un des angles formés par les droites. Le problème se résume donc à déterminer l’angle entre les vecteurs.

Par souci de simplicité, on peut convenir que l'angle entre deux droites est un angle aigu positif (comme, par exemple, sur la Fig. 53).

Alors la tangente de cet angle sera toujours positive. Ainsi, s’il y a un signe moins à droite de la formule (1), alors nous devons le supprimer, c’est-à-dire sauvegarder uniquement la valeur absolue.

Exemple. Déterminer l'angle entre les lignes droites

D'après la formule (1) on a

Avec. S'il est indiqué lequel des côtés de l'angle est son début et lequel est sa fin, alors, en comptant toujours la direction de l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous pouvons extraire quelque chose de plus de la formule (1). Comme il est facile de le constater sur la fig. 53, le signe obtenu à droite de la formule (1) indiquera quel type d'angle - aigu ou obtus - forme la deuxième droite avec la première.

(En effet, sur la figure 53, nous voyons que l'angle entre les premier et deuxième vecteurs directeurs est soit égal à l'angle souhaité entre les lignes droites, soit en diffère de ± 180°.)

d. Si les droites sont parallèles, alors leurs vecteurs directeurs sont parallèles. En appliquant la condition de parallélisme de deux vecteurs, on obtient !

C'est une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de deux droites.

Exemple. Direct

sont parallèles parce que

e. Si les droites sont perpendiculaires alors leurs vecteurs directeurs sont également perpendiculaires. En appliquant la condition de perpendiculaire de deux vecteurs, on obtient la condition de perpendiculaire de deux droites, à savoir

Exemple. Direct

sont perpendiculaires du fait que

En relation avec les conditions de parallélisme et de perpendiculaire, nous résoudrons les deux problèmes suivants.

F. Tracer une ligne passant par un point parallèle à la ligne donnée

La solution s'effectue ainsi. Puisque la droite recherchée est parallèle à celle-ci, alors pour son vecteur directeur on peut prendre le même que celui de la droite donnée, c'est-à-dire un vecteur avec les projections A et B. Et alors l'équation de la droite recherchée s'écrira en le formulaire (§ 1)

Exemple. Équation d'une droite passant par le point (1; 3) parallèle à la droite

il y aura la prochaine !

g. Tracer une ligne passant par un point perpendiculaire à la ligne donnée

Ici, il ne convient plus de prendre le vecteur avec les projections A et comme vecteur directeur, mais il faut prendre le vecteur perpendiculaire à celui-ci. Les projections de ce vecteur doivent donc être choisies en fonction de la condition de circularité des deux vecteurs, c'est-à-dire en fonction de la condition

Cette condition peut être remplie d'innombrables manières, puisqu'il s'agit ici d'une équation à deux inconnues. Mais le moyen le plus simple est de prendre ou. Ensuite, l'équation de la droite souhaitée sera écrite sous la forme.

Exemple. Équation d'une droite passant par le point (-7; 2) dans une droite perpendiculaire

il y aura ce qui suit (selon la deuxième formule) !

h. Dans le cas où les droites sont données par des équations de la forme

Je serai bref. L'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs vecteurs directeurs. Ainsi, si vous parvenez à trouver les coordonnées des vecteurs directeurs a = (x 1 ; y 1 ; z 1) et b = (x 2 ; y 2 ​​​​​​; z 2), alors vous pouvez trouver l'angle. Plus précisément, le cosinus de l'angle selon la formule :

Voyons comment cette formule fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points E et F sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.

Puisque l'arête du cube n'est pas précisée, posons AB = 1. Nous introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x, y, z sont dirigés selon AB, AD et AA 1, respectivement. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons maintenant les coordonnées des vecteurs directeurs de nos droites.

Trouvons les coordonnées du vecteur AE. Pour cela nous avons besoin des points A = (0 ; 0 ; 0) et E = (0,5 ; 0 ; 1). Puisque le point E est le milieu du segment A 1 B 1, ses coordonnées sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités. Notez que l'origine du vecteur AE coïncide avec l'origine des coordonnées, donc AE = (0,5 ; 0 ; 1).

Regardons maintenant le vecteur BF. De même, on analyse les points B = (1 ; 0 ; 0) et F = (1 ; 0,5 ; 1), car F est le milieu du segment B 1 C 1. Nous avons:
BF = (1 − 1 ; 0,5 − 0 ; 1 − 0) = (0 ; 0,5 ; 1).

Les vecteurs directeurs sont donc prêts. Le cosinus de l'angle entre droites est le cosinus de l'angle entre les vecteurs directeurs, on a donc :

Tâche. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points D et E sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AD et BE.

Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, l'axe x est dirigé selon AB, z - selon AA 1. Dirigons l'axe y pour que le plan OXY coïncide avec le plan ABC. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons les coordonnées des vecteurs directeurs des droites recherchées.

Commençons par trouver les coordonnées du vecteur AD. Considérons les points : A = (0 ; 0 ; 0) et D = (0,5 ; 0 ; 1), car D - le milieu du segment A 1 B 1. Puisque le début du vecteur AD coïncide avec l'origine des coordonnées, on obtient AD = (0,5 ; 0 ; 1).

Trouvons maintenant les coordonnées du vecteur BE. Le point B = (1 ; 0 ; 0) est facile à calculer. Avec le point E - le milieu du segment C 1 B 1 - c'est un peu plus compliqué. Nous avons:

Reste à trouver le cosinus de l'angle :

Tâche. Dans un prisme hexagonal régulier ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points K et L sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement . Trouvez l'angle entre les lignes AK et BL.

Introduisons un système de coordonnées standard pour un prisme : on place l'origine des coordonnées au centre de la base inférieure, l'axe x est dirigé selon FC, l'axe y est dirigé par les milieux des segments AB et DE, et le z l’axe est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est à nouveau égal à AB = 1. Notons les coordonnées des points qui nous intéressent :

Les points K et L sont respectivement les milieux des segments A 1 B 1 et B 1 C 1, leurs coordonnées sont donc trouvées par la moyenne arithmétique. Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AK et BL :

Trouvons maintenant le cosinus de l'angle :

Tâche. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points E et F sont marqués - les milieux des côtés SB et SC, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.

Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x et y sont dirigés respectivement le long de AB et AD, et l'axe z est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est égal à AB = 1.

Les points E et F sont respectivement les milieux des segments SB et SC, leurs coordonnées sont donc trouvées comme moyenne arithmétique des extrémités. Notons les coordonnées des points d'intérêt qui nous intéressent :
UNE = (0 ; 0 ; 0); B = (1 ; 0 ; 0)

Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AE et BF :

Les coordonnées du vecteur AE coïncident avec les coordonnées du point E, puisque le point A est l'origine. Reste à trouver le cosinus de l'angle :