1 Paralelogram ima suprotne kutove. Definicija paralelograma i njegova svojstva

Sažetak lekcije.

Algebra 8. razred

Učitelj Sysoy A.K.

Školske 1828

Tema lekcije: "Paralelogram i njegova svojstva"

Vrsta lekcije: kombinirana

Ciljevi lekcije:

1) Osigurajte asimilaciju novog koncepta - paralelograma i njegovih svojstava

2) Nastaviti razvijati vještine i sposobnosti rješavanja geometrijskih problema;

3) Razvijanje kulture matematičkog govora

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak

(Slajd 1)

Slajd prikazuje izjavu Lewisa Carrolla. Učenici su upoznati sa svrhom nastave. Provjerava se spremnost učenika za nastavu.

2. Obnavljanje znanja

(Slajd 2)

Na ploči su zadaci za usmeni rad. Učitelj poziva učenike da razmisle o tim problemima i podignu ruke onima koji razumiju kako riješiti problem. Nakon što riješe dva zadatka, pred ploču se poziva učenik za dokazivanje teorema o zbroju kutova, koji samostalno gradi dodatne konstrukcije na crtežu i usmeno dokazuje teorem.

Učenici koriste formulu za zbroj kutova mnogokuta:

3. Glavni dio

(Slajd 3)

Definicija paralelograma na ploči. Učiteljica govori o nova figura te formulira definiciju dajući potrebna objašnjenja uz pomoć crteža. Zatim na kockastom dijelu prezentacije pomoću flomastera i ravnala pokazuje kako se crta paralelogram (moguće je više slučajeva)

(Slajd 4)

Učitelj formulira prvo svojstvo paralelograma. Poziva učenike da iz crteža razaznaju što je zadano, a što treba dokazati. Nakon toga se zadani zadatak pojavljuje na ploči. Učenici pogađaju (može i uz pomoć nastavnika) da se tražene jednakosti moraju dokazati kroz jednakosti trokuta koje se mogu dobiti crtanjem dijagonale (dijagonala se pojavljuje na ploči). Zatim učenici pogađaju zašto su trokuti jednaki i imenuju znak kojim su trokuti jednaki (pojavljuje se odgovarajući oblik). Verbalno komuniciraju činjenice koje su potrebne da bi trokuti bili jednaki (kako ih imenuju, pojavljuje se odgovarajuća vizualizacija). Zatim učenici formuliraju svojstvo sukladnih trokuta, ono se pojavljuje kao točka 3. dokaza, a potom samostalno usmeno dovršavaju dokaz teorema.

(Slajd 5)

Nastavnik formulira drugo svojstvo paralelograma. Na ploči se pojavljuje crtež paralelograma. Učiteljica predlaže pomoću slike reći što je zadano, a što treba dokazati. Nakon što učenici točno izvijeste što je zadano i što treba dokazati, pojavljuje se uvjet teorema. Učenici pogađaju da se jednakost dijelova dijagonala može dokazati kroz jednakost trokutaAOB I BAKALAR.. Koristeći prethodno svojstvo paralelograma, pretpostavlja se da su stranice jednakeAB I CD. Zatim razumiju da trebaju pronaći jednake kutove i koristeći svojstva paralelnih pravaca dokazati jednakost susjednih pravaca. ravnopravne stranke kutovi Ove faze su vizualizirane na slajdu. Istinitost teorema proizlazi iz jednakosti trokuta - učenici to izgovore i na slajdu se pojavi odgovarajuća vizualizacija.

(Slajd 6)

Nastavnik formulira treće svojstvo paralelograma. Ovisno o vremenu koje je preostalo do kraja sata, nastavnik može dati učenicima priliku da samostalno dokažu to svojstvo ili se ograničiti na njegovu formulaciju, a samo dokazivanje prepustiti učenicima domaća zadaća. Dokaz se može temeljiti na zbroju kutova upisanog mnogokuta, koji je ponovljen na početku lekcije, ili na zbroju unutarnjih jednakostraničkih kutova dvaju paralelnih pravaca.OGLAS I prije Krista, i sekans, na primjerAB.

4. Učvršćivanje materijala

U ovoj fazi učenici koriste prethodno naučene teoreme za rješavanje problema. Učenici samostalno odabiru ideje za rješavanje problema. Jer moguće opcije Dizajna ima puno i svi ovise o tome kako će učenici tražiti rješenje problema, nema vizualizacije rješenja zadataka, a učenici samostalno crtaju svaku fazu rješenja na posebnoj ploči s bilježenje rješenja u bilježnicu.

(Slajd 7)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dano" prema uvjetu. Nakon što učenici točno zapišu kratku tvrdnju uvjeta, na ploči se pojavljuje “Dano”. Postupak rješavanja problema može izgledati ovako:

Nacrtajmo visinu BH (vizualizirano)

Trokut AHB je pravokutni trokut. Kut A jednak je kutu C i iznosi 30 0 (prema svojstvu suprotnih kutova u paralelogramu). 2BH =AB (po svojstvu kraka koji leži nasuprot kutu od 30 0 in pravokutni trokut). Dakle, AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (prema svojstvu suprotnih stranica u paralelogramu) Dakle AB = CD = 13 cm. Kako je opseg paralelograma 50 cm, onda je BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Odgovor: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Slajd 8)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dano" prema uvjetu. Zatim se na ekranu pojavljuje "Given". Crvenim linijama označen je četverokut za koji treba dokazati da je paralelogram. Postupak rješavanja problema može izgledati ovako:

Jer BK i MD su okomiti na jedan pravac, tada su pravci BK i MD paralelni.

Preko susjednih kutova može se pokazati da je zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova na ravnima BM i KD i sekanti MD jednak 180 0. Dakle, ove su linije paralelne.

Kako četverokut BMDK ima nasuprotne stranice paralelne u parovima, onda je taj četverokut paralelogram.

5. Kraj lekcije. Ponašanje rezultata.

(Slajd 8)

Pitanja se pojavljuju na slajdu nova tema, na koje studenti odgovaraju.

Video tečaj “Get an A” uključuje sve teme potrebne za uspješan polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Na današnjem satu ponovit ćemo osnovna svojstva paralelograma, a zatim ćemo obratiti pozornost na razmatranje prva dva svojstva paralelograma i dokazati ih. U tijeku dokaza prisjetimo se korištenja testova za jednakost trokuta koje smo učili prošle godine i ponovili na prvom satu. Na kraju će se dati primjer primjene proučavanih karakteristika paralelograma.

Tema: Četverokuti

Lekcija: Znakovi paralelograma

Počnimo s prisjećanjem definicije paralelograma.

Definicija. Paralelogram- četverokut u kojem su sve dvije nasuprotne stranice paralelne (vidi sliku 1).

Riža. 1. Paralelogram

Prisjetimo se osnovna svojstva paralelograma:

Da biste mogli koristiti sva ova svojstva, morate biti sigurni da je dotični lik paralelogram. Da biste to učinili, morate znati činjenice kao što su karakteristike paralelograma. Danas ćemo razmotriti prva dva od njih.

Teorema. Prvi znak paralelograma. Ako su dvije nasuprotne stranice četverokuta jednake i paralelne, onda je i ovaj četverokut paralelogram. .

Riža. 2. Prvi znak paralelograma

Dokaz. Nacrtajmo dijagonalu u četverokut (vidi sl. 2), ona ga dijeli na dva trokuta. Zapišimo što znamo o ovim trokutima:

prema prvom kriteriju jednakosti trokuta.

Iz jednakosti navedenih trokuta slijedi da zbog paralelnosti pravaca kada se sijeku sa sekantom. Imamo to:

dokazano.

Teorema. Drugi znak paralelograma. Ako su u četverokutu sve dvije nasuprotne stranice jednake, onda je i ovaj četverokut jednak paralelogram. .

Riža. 3. Drugi znak paralelograma

Dokaz. Nacrtajmo dijagonalu u četverokut (vidi sl. 3), ona ga dijeli na dva trokuta. Zapišimo što znamo o ovim trokutima na temelju formulacije teorema:

po trećem kriteriju jednakosti trokuta.

Iz jednakosti trokuta slijedi da po principu paralelnosti pravaca kada se sijeku sa sekantom. Dobivamo:

paralelogram po definiciji. Q.E.D.

dokazano.

Pogledajmo primjer korištenja značajki paralelograma.

Primjer 1. U konveksnom četverokutu Odredite: a) kutove četverokuta; b) strana.

Riješenje. Prikažimo Sl. 4.

Riža. 4

paralelogram prema prvom znaku paralelograma.

Tema lekcije

• Svojstva dijagonala paralelograma.

Ciljevi lekcije

• Upoznajte nove definicije i prisjetite se nekih već proučenih.
• Navedite i dokažite svojstvo dijagonala paralelograma.
• Naučiti primijeniti svojstva oblika pri rješavanju zadataka.
• Razvojni – razvijati pažnju učenika, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.
• Edukativni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Testirajte vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja

1. Uvod.
2. Ponavljanje prethodno proučenog gradiva.
3. Paralelogram, njegova svojstva i značajke.
4. Primjeri zadataka.
5. Samoprovjera.

Uvod

"Veliki znanstveno otkriće daje rješenje veliki problem, ali u rješavanju bilo kojeg problema postoji zrno otkrića.”

Svojstvo suprotnih stranica paralelograma

Paralelogram ima nasuprotne stranice koje su jednake.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O.
Kako je Δ AOB = Δ COD po prvom kriteriju jednakosti trokuta (∠ AOB = ∠ COD, kao okomitih, AO=OC, DO=OB, po svojstvu dijagonala paralelograma), onda je AB=CD. Na isti način iz jednakosti trokuta BOC i DOA slijedi da je BC = DA. Teorem je dokazan.

Svojstvo nasuprotnih kutova paralelograma

U paralelogramu su suprotni kutovi jednaki.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O.
Iz dokazanog u teoremu o svojstvima suprotnih stranica paralelograma Δ ABC = Δ CDA na tri strane (AB=CD, BC=DA iz dokazanog, AC – općenito). Iz jednakosti trokuta slijedi ∠ ABC = ∠ CDA.
Također je dokazano da je ∠ DAB = ∠ BCD, što slijedi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Teorem je dokazan.

Svojstvo dijagonala paralelograma

Dijagonale paralelograma se sijeku iu točki presjeka raspolavljaju.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. Nacrtajmo dijagonalu AC. Označimo na njemu sredinu O na nastavku odsječka DO, ostavit ćemo odsječak OB 1 jednak DO.
Prema prethodnom teoremu, AB 1 CD je paralelogram. Stoga je pravac AB 1 paralelan s DC. Ali kroz točku A može se povući samo jedan pravac paralelan s DC. To znači da se pravac AB 1 podudara s pravcem AB.
Također je dokazano da se BC 1 podudara s BC. To znači da se točka C poklapa s C 1. paralelogram ABCD poklapa se s paralelogramom AB 1 CD. Zbog toga se dijagonale paralelograma sijeku iu točki presjeka prepolovljuju. Teorem je dokazan.

U udžbenicima za redovnim školama(npr. kod Pogorelova) dokazuje se ovako: dijagonale dijele paralelogram na 4 trokuta. Razmotrimo jedan par i saznajmo - oni su jednaki: njihove baze su suprotne strane, odgovarajući kutovi uz njega su jednaki, poput okomitih kutova s ​​paralelnim linijama. To jest, dijagonalni segmenti su jednaki u parovima. Svi.

Je li to sve?
Gore je dokazano da sjecište raspolavlja dijagonale - ako postoji. Gornje obrazloženje ni na koji način ne dokazuje samo njegovo postojanje. Odnosno, dio teorema "dijagonale paralelograma se sijeku" ostaje nedokazan.

Smiješno je to što je ovaj dio puno teže dokazati. Ovo, uzgred, slijedi iz općenitijeg rezultata: svaki konveksni četverokut će imati dijagonale koje se sijeku, ali bilo koji nekonveksni četverokut neće.

O jednakosti trokuta duž stranice i dva susjedna kuta (drugi znak jednakosti trokuta) i dr.

Thales je pronašao važan teorem o jednakosti dva trokuta duž stranice i dva susjedna kuta praktičnu upotrebu. U luci Mileta sagrađen je daljinomjer za određivanje udaljenosti do broda na moru. Sastojala se od tri zabijena klina A, B i C (AB = BC) i označene ravne crte SC, okomite na CA. Kada se brod pojavio na SK ravnoj liniji, našli smo točku D tako da su točke D, .B i E bile na istoj ravnoj liniji. Kao što je jasno iz crteža, udaljenost CD na tlu je željena udaljenost do broda.

Pitanja

1. Jesu li dijagonale kvadrata sjecišnom točkom podijeljene na pola?
   
2. Jesu li dijagonale paralelograma jednake?
3. Jesu li nasuprotni kutovi paralelograma jednaki?
4. Navedite definiciju paralelograma?
5. Koliko znakova ima paralelogram?
   
6. Može li romb biti paralelogram?
   

Popis korištenih izvora

1. Kuznetsov A.V., učitelj matematike (razredi 5-9), Kijev
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni i obučni materijali za pripremu učenika / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “Rješavanje glavnih problema natjecanja u matematici zbirke urednika M. I. Skanavija”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometrija, 7 – 9: udžbenik za obrazovne ustanove”

Radili smo na lekciji

Kuznjecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenij Petrov

Postavite pitanje o moderno obrazovanje, izraziti ideju ili riješiti gorući problem, možete Obrazovni forum, gdje na međunarodnoj razini okuplja se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja. Stvorivši blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog učitelja, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na suradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.

Predmeti > Matematika > Matematika 8.r

Da bi se utvrdilo je li određena figura paralelogram, postoji niz znakova. Pogledajmo tri glavne značajke paralelograma.

1 znak paralelograma

Ako su dvije stranice četverokuta jednake i paralelne, tada će taj četverokut biti paralelogram.

Dokaz:

Promotrimo četverokut ABCD. Neka su stranice AB i CD paralelne. I neka je AB=CD. Nacrtajmo u njemu dijagonalu BD. Podijelit će ovaj četverokut na dva jednaka trokuta: ABD i CBD.

Ovi trokuti su međusobno jednaki po dvjema stranicama i kutu između njih (BD - zajednička strana, AB = CD prema uvjetu, kut1 = kut2 kao poprečni kutovi s transverzalom BD paralelnih pravaca AB i CD.), pa je stoga kut3 = kut4.

I ti će kutovi ležati unakrsno kada se pravci BC i AD sijeku sa sekantom BD. Iz ovoga slijedi da su BC i AD međusobno paralelne. Imamo da su u četverokutu ABCD suprotne stranice po parovima paralelne, pa je stoga četverokut ABCD paralelogram.

Znak paralelograma 2

Ako su u četverokutu nasuprotne stranice u paru jednake, tada će taj četverokut biti paralelogram.

Dokaz:

Promotrimo četverokut ABCD. Nacrtajmo u njemu dijagonalu BD. Podijelit će ovaj četverokut na dva jednaka trokuta: ABD i CBD.

Ova dva trokuta bit će međusobno jednaka na tri stranice (BD je zajednička stranica, AB = CD i BC = AD prema uvjetu). Iz ovoga možemo zaključiti da je kut1 = kut2. Slijedi da je AB paralelan s CD. A kako je AB = CD i AB je paralelan sa CD, onda će prema prvom kriteriju paralelograma četverokut ABCD biti paralelogram.

3 znak paralelograma

Ako se dijagonale četverokuta sijeku i prepolove točkom presjeka, tada će taj četverokut biti paralelogram.

Promotrimo četverokut ABCD. Nacrtajmo u njoj dvije dijagonale AC i BD koje će se sijeći u točki O i tom točkom se dijele na dva dijela.

Trokuti AOB i COD bit će međusobno jednaki, prema prvom znaku jednakosti trokuta. (AO = OC, BO = OD prema uvjetu, kut AOB = kut COD kao okomiti kutovi.) Dakle, AB = CD i kut1 = kut 2. Iz jednakosti kutova 1 i 2 imamo da je AB paralelan s CD. Tada imamo da su u četverokutu ABCD stranice AB jednake CD i paralelne, te će prema prvom kriteriju paralelograma četverokut ABCD biti paralelogram.