Što znači izravno proporcionalna ovisnost? Lekcija "izravni i obrnuti proporcionalni odnosi"
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji nekoliko puta, drugi se smanji za isti iznos.
Odnos između takvih količina je izravno proporcionalan odnos. Primjeri izravne proporcionalne ovisnosti:
1) pri konstantnoj brzini, prijeđeni put je izravno proporcionalan vremenu;
2) opseg kvadrata i njegova stranica su ravni proporcionalne količine;
3) trošak proizvoda kupljenog po jednoj cijeni izravno je proporcionalan njegovoj količini.
Da biste razlikovali izravni proporcionalni odnos od obrnutog, možete upotrijebiti poslovicu: "Što dalje u šumu, to više drva za ogrjev."
Prikladno je rješavati probleme koji uključuju izravno proporcionalne količine pomoću proporcija.
1) Za izradu 10 dijelova potrebno je 3,5 kg metala. Koliko će metala ući u izradu 12 ovih dijelova?
(Razumiramo ovako:
1. U popunjeni stupac postavite strelicu u smjeru od više na manje.
2. Što je više dijelova, potrebno je više metala za njihovu izradu. To znači da je ovo izravno proporcionalan odnos.
Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Sastavljamo udio (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):
12:10=x:3,5
Da biste pronašli, trebate podijeliti umnožak ekstremnih članova s poznatim srednjim članom:
To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.
Odgovor: 4,2 kg.
2) Za 15 metara tkanine platili su 1680 rubalja. Koliko košta 12 metara takve tkanine?
(1. U popunjeni stupac postavite strelicu u smjeru od najvećeg prema najmanjem broju.
2. Što manje tkanine kupite, to je manje morate platiti. To znači da je ovo izravno proporcionalan odnos.
3. Dakle, druga strelica je u istom smjeru kao i prva).
Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Pravimo proporciju (od početka strelice do njenog kraja):
15:12=1680:x
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član udjela, podijelite umnožak srednjih članova s poznatim ekstremnim članom udjela:
To znači da 12 metara košta 1344 rublja.
Odgovor: 1344 rubalja.
Primjer
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.Faktor proporcionalnosti
Stalni odnos proporcionalnih veličina naziva se faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pripada jedinici druge.
Izravna proporcionalnost
Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj određena veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, te se varijable mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dva puta promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija dvaput mijenja u istom smjeru.
Matematički, izravna proporcionalnost se piše kao formula:
f(x) = ax,a = const
Obrnuta proporcionalnost
Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj porast nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje razmjerno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).
Matematički, obrnuta proporcionalnost se piše kao formula:
Svojstva funkcije:
Izvori
Zaklada Wikimedia. 2010. godine.
- Newtonov drugi zakon
- Coulombova barijera
Pogledajte što je "izravna proporcionalnost" u drugim rječnicima:
izravna proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Energetske teme općenito EN izravni omjer ... Vodič za tehničke prevoditelje
izravna proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. izravna proporcionalnost vok. direkte Proportionalität, f rus. izravna proporcionalnost, f pranc. proporcionalno direktno, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORCIONALNOST- (od lat. proporcionalis razmjeran, razmjeran). Proporcionalnost. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST lat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika
PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, razmjernost, mn. ne, žensko (knjiga). 1. sažetak imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost dijelova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između veličina kada su proporcionalne (vidi proporcionalne ... Rječnik Ushakova
Proporcionalnost- Dvije međusobno ovisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako omjer njihovih vrijednosti ostaje nepromijenjen. Sadržaj 1. Primjer 2. Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia
PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, ženski. 1. vidi proporcionalan. 2. U matematici: takav odnos između veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos. Ravna linija (s rezom s povećanjem za jednu vrijednost... ... Ozhegovov objašnjavajući rječnik
proporcionalnost- I; i. 1. prema proporcionalnom (1 znamenka); proporcionalnost. P. dijelovi. P. tjelesne građe. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Matematika. Ovisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Izravna linija (u kojoj s... ... enciklopedijski rječnik
Danas ćemo pogledati koje se veličine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf obrnute proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na nastavi matematike, već i izvan škole.
Tako različite proporcije
Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno ovisne.
Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Posljedično, odnosi među količinama opisani su izravnom i obrnutom proporcionalnošću.
Izravna proporcionalnost– to je takav odnos između dviju veličina u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.
Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su vaše ocjene veće. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vam ruksak biti teži za nošenje. Oni. Količina truda uloženog u pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari upakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.
Obrnuta proporcionalnost– ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta u neovisnoj vrijednosti (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje u zavisnoj vrijednosti (to se naziva funkcija).
Ilustrirajmo jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutom odnosu. Oni. Što više jabuka kupite, to će vam manje novca ostati.
Funkcija i njen graf
Funkcija obrnute proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.
Ova funkcija ima sljedeća svojstva:
- Njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(g): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Raspon su svi realni brojevi osim g= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
- Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Neperiodično.
- Njegov graf ne siječe koordinatne osi.
- Nema nula.
- Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija proporcionalno opada na svakom svom intervalu. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne su (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcije obrnute proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano na sljedeći način:
Problemi obrnute proporcionalnosti
Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je obrnuta proporcionalnost i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.
Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu vremena trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?
Možemo započeti zapisivanjem formule koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju obrnute proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.
Da bismo to provjerili, pronađimo V 2, koji je prema uvjetu 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.
Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od početne brzine, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.
Rješenje ovog problema također se može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Strelice označavaju obrnuto proporcionalni odnos. Također sugeriraju da se prilikom sastavljanja proporcija desna strana ploče mora okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje ćemo dobiti x = 60 * 6/120 = 3 sata.
Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadani obim posla mogu izvršiti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da obave istu količinu posla?
Zapišimo uvjete problema u obliku vizualnog dijagrama:
↓ 6 radnika – 4 sata
↓ 3 radnika – x h
Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. Dobivamo x = 6 * 4/3 = 8 sati. Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će provesti 2 puta više vremena radeći sav posao.
Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz tu cijev?
Za početak svedimo sve veličine koje su nam dane prema uvjetima zadatka na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen sporije puni kroz drugu cijev, to znači da je protok vode manji. Proporcionalnost je obrnuta. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Zatim sastavljamo omjer: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi; svedimo dobiveni odgovor na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadatak br. 4. Mala privatna tiskara tiska posjetnice. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi cijeli dan - 8 sati. Da je radio brže i ispisao 48 posjetnica u sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?
Slijedimo provjereni put i sastavljamo dijagram prema uvjetima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:
↓ 42 posjetnice/sat – 8 sati
↓ 48 posjetnica/h – x h
Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica zaposlenik tiskare otisne na sat, toliko će mu puta manje vremena trebati za isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.
Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, zaposlenik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.
Zaključak
Čini nam se da su ti zadaci obrnuta proporcionalnost stvarno jednostavno. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A glavna stvar je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina može biti korisno više puta.
Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremate na put, u shopping, odlučite malo dodatno zaraditi tijekom praznika itd.
Recite nam u komentarima koje primjere obrnutih i izravnih proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete koliko je to uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na u društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i kolege iz razreda mogu igrati.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Dovršio: Chepkasov Rodion
Učenica 6. razreda
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Voditelj: Bulykina O.G.
profesorica matematike
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Uvod. 1
Odnosi i proporcije. 3
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi. 4
Primjena izravne i obrnuto proporcionalne 6
ovisnosti pri rješavanju raznih problema.
Zaključak. jedanaest
Književnost. 12
Uvod.
Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, usklađenost dijelova (određeni međusobni omjer dijelova). Pitagorejci su u antičko doba visoko cijenili učenje o proporcijama. S proporcijama povezivali su misli o redu i ljepoti u prirodi, o suglasnim akordima u glazbi i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivali su glazbenim ili harmoničkim.
Čovjek je još u davnim vremenima otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u neprekidnom kretanju, mijeni i, kada se izrazi brojevima, otkriva nevjerojatne obrasce.
Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su numerički izraz za sve na svijetu. Otkrili su; da su matematičke proporcije u osnovi glazbe (omjer duljine žice i visine tona, odnos između intervala, omjer zvukova u akordima koji daju harmonijski zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta i tvrdili da su osnova svemira simetrični geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičku osnovu ljepote.
Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni znanstvenik Augustin nazvao je ljepotu "numeričkom jednakošću". Skolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, a proporcionalnost postoji prvenstveno u brojevima. Potrebno je da sve bude izbrojivo." Leonardo da Vinci je u svojoj raspravi o slikarstvu pisao o upotrebi proporcija u umjetnosti: "Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste uzorke skrivene u prirodi koje znanstvenik poznaje u obliku numeričkog zakona."
Proporcije su se koristile za rješavanje raznih problema kako u antici tako iu srednjem vijeku. Određene vrste problemi se sada lako i brzo rješavaju pomoću proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcija u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih odnosa između veličina različite dijelove zgrada, figura, skulptura ili drugo umjetničko djelo. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uvjet za pravilnu i lijepu konstrukciju i prikaz
U svom radu pokušao sam razmotriti korištenje izravnih i obrnutih proporcionalnih odnosa u razna područja okružujući život, pratiti veze s akademskim predmetima kroz zadatke.
Odnosi i proporcije.
Kvocijent dvaju brojeva naziva se stav ove brojevima.
Stav pokazuje, koliko je puta prvi broj veći od drugog ili koliki je dio prvog broja od drugog.
Zadatak.
U trgovinu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koliki udio donesenog voća čine kruške?
Riješenje . Nađimo koliko su voća donijeli: 2,4+3,6=6(t). Da bismo saznali koji dio donesenog voća čine kruške, napravimo omjer 2,4:6=. Odgovor se može napisati i u obrascu decimal ili kao postotak: = 0,4 = 40%.
Međusobno inverzno nazvao brojevima, čiji su umnošci jednaki 1. Prema tome odnos se naziva inverzom odnosa.
Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo omjer: 4,5:3=6:4.
Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = 
, gdje su a i d ekstremni uvjeti proporcije, c i b – prosječni članovi(svi članovi udjela različiti su od nule).
Osnovno svojstvo proporcije:
u ispravnom omjeru, umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih članova.
Primjenjujući svojstvo komutativnosti množenja, nalazimo da se u ispravnom omjeru ekstremni ili srednji članovi mogu međusobno zamijeniti. Dobiveni omjeri također će biti točni.
Koristeći osnovno svojstvo proporcije, možete pronaći njen nepoznati član ako su svi ostali članovi poznati.
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate pomnožiti prosječne članove i podijeliti s poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x = 
Da biste pronašli nepoznati srednji član proporcije, trebate pomnožiti krajnje članove i podijeliti s poznatim srednjim članom. a : b =x : d , x = 
.
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi.
Vrijednosti dviju različitih veličina mogu međusobno ovisiti jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata ovisi o duljini njegove stranice, i obrnuto - duljina stranice kvadrata ovisi o njegovoj površini.
Kaže se da su dvije količine proporcionalne ako, s povećanjem
(smanjiti) jedan od njih nekoliko puta, drugi povećati (smanjiti) isto toliko puta.
Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti tih veličina jednaki.
Primjer izravna proporcionalna ovisnost .
Na benzinskoj postaji 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će težiti 5 litara benzina?
Riješenje:
Težina kerozina proporcionalna je njegovom volumenu.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Odgovor: 4 kg.
Ovdje omjer težine i volumena ostaje nepromijenjen.
Dvije veličine nazivamo obrnuto proporcionalnima ako se jedna od njih nekoliko puta poveća (smanji) druga smanji (poveća) za isti iznos.
Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
P primjerobrnuto proporcionalan odnos.
Dva pravokutnika imaju istu površinu. Duljina prvog pravokutnika je 3,6 m, a širina drugog pravokutnika je 4,8 m.
Riješenje:
1 pravokutnik 3,6 m 2,4 m
2 pravokutnika 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Odgovor: 1,8 m.
Kao što vidite, problemi koji uključuju proporcionalne količine mogu se riješiti pomoću proporcija.
Nisu svake dvije veličine izravno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste s godinama, ali te vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se dob udvostruči, visina djeteta se ne udvostruči.
Praktična upotreba izravna i obrnuto proporcionalna ovisnost.
Zadatak br. 1
U školska knjižnica 210 udžbenika matematike, što je 15% cjelokupnog knjižničnog fonda. Koliko knjiga ima knjižnični fond?
Riješenje:
Ukupno udžbenika - ? - 100%
matematičari - 210 -15%
15% 210 akademski.
X = 100* 210 = 1400 udžbenika
100% x uč. 15
Odgovor: 1400 udžbenika.
Problem br. 2
Biciklist prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će vremena trebati biciklistu da istom brzinom prijeđe 125 km?
Riješenje:
3 h – 75 km
H – 125 km
Vrijeme i udaljenost su dakle izravno proporcionalne veličine
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odgovor: za 5 sati.
Zadatak br. 3
8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Koliko će minuta trebati da se napuni bazen s 10 takvih cijevi?
Riješenje:
8 lula – 25 minuta
10 cijevi - ? minuta
Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odgovor: za 20 minuta.
Problem broj 4
Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može izvršiti zadatak u 10 dana radeći pri istoj produktivnosti?
Riješenje:
8 radnih dana – 15 dana
Radnici - 10 dana
Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odgovor: 12 radnika.
Problem br. 5
Od 5,6 kg rajčice dobije se 2 litre umaka. Koliko se litara umaka može dobiti od 54 kg rajčice?
Riješenje:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? l
Broj kilograma rajčica izravno je proporcionalan količini dobivenog umaka, dakle
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Odgovor: 19 l.
Problem br. 6
Za grijanje školske zgrade ugljen je bio uskladišten 180 dana po potrošnji
0,6 tona ugljena dnevno. Koliko će dana trajati ta zaliha ako se dnevno troši 0,5 tona?
Riješenje:
Broj dana
Stopa potrošnje
Stoga je broj dana obrnuto proporcionalan stopi potrošnje ugljena
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Odgovor: 216 dana.
Problem broj 7
U željeznoj rudi, na svakih 7 dijelova željeza postoje 3 dijela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima ruda koja sadrži 73,5 tona željeza?
Riješenje:
Broj dijelova
Težina
Željezo
73,5
Nečistoće
Broj dijelova izravno je proporcionalan masi, dakle
7 : 73,5 = 3 : x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Odgovor: 31,5 t
Problem broj 8
Auto je prešao 500 km, potrošivši 35 litara benzina. Koliko će litara benzina biti potrebno da se prijeđe 420 km?
Riješenje:
Udaljenost, km
Benzin, l
Udaljenost je izravno proporcionalna potrošnji benzina, dakle
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Odgovor: 29,4 l
Problem br. 9
U 2 sata smo ulovili 12 karasa. Koliko će se karasa uloviti za 3 sata?
Riješenje:
Broj karasa ne ovisi o vremenu. Ove količine nisu ni izravno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.
Odgovor: Nema odgovora.
Problem broj 10
Rudarska tvrtka mora kupiti 5 novih strojeva za određeni iznos novca po cijeni od 12 tisuća rubalja po jednom. Koliko ovih strojeva poduzeće može kupiti ako cijena jednog stroja postane 15 tisuća rubalja?
Riješenje:
Broj automobila, kom.
Cijena, tisuća rubalja
Broj automobila obrnuto je proporcionalan trošku, dakle
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Odgovor: 4 automobila.
Problem br. 11
U gradu N na trgu P nalazi se trgovina čiji je vlasnik toliko strog da za kašnjenje oduzima od plaće 70 rubalja za 1 kašnjenje dnevno. Dvije djevojke Yulia i Natasha rade u jednom odjelu. Njihovo plaća ovisi o broju radnih dana. Julija je dobila 4100 rubalja za 20 dana, a Nataša je trebala dobiti više za 21 dan, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Natasha?
Riješenje:
Radni dani
Plaća, rub.
Julija
4100
Natasha
Plaća je upravno proporcionalna broju radnih dana, dakle
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Natasha ga je trebala dobiti.
4305 – 3 * 70 = 4095 (rub.)
Odgovor: Natasha će dobiti 4095 rubalja.
Problem br. 12
Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm ako je razmjer karte 1:250000.
Riješenje:
Označimo udaljenost između gradova na tlu s x (u centimetrima) i pronađimo omjer duljine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odgovor: 15 km.
Problem br. 13
4000 g otopine sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?
Riješenje:
Težina, g
Koncentracija, %
Riješenje
4000
Sol
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Odgovor: Koncentracija soli je 2%.
Problem br. 14
Banka daje kredit na 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko biste trebali vratiti banci u godinu dana?
Riješenje:
50 000 rub.
100%
x utrljati.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rub. iznosi 10%.
50 000 + 5000 = 55 000 (rub.)
Odgovor: za godinu dana banka će dobiti natrag 55.000 rubalja.
Zaključak.
Kao što možemo vidjeti iz navedenih primjera, izravni i obrnuti proporcionalni odnosi primjenjivi su u raznim područjima života:
Ekonomija,
Trgovina,
U proizvodnji i industriji,
Školski život,
Kuhanje,
Građevinarstvo i arhitektura.
Sportski,
Stočarstvo,
Topografije,
fizičari,
kemija itd.
U ruskom jeziku postoje i poslovice i izreke koje uspostavljaju izravne i obrnute odnose:
Kako se vrati, tako će i odgovoriti.
Što je panj viši, to je sjena viša.
Što više ljudi, to manje kisika.
I to je spremno, ali glupo.
Matematika je jedna od najstarijih znanosti; nastala je na temelju potreba i želja čovječanstva. Prošavši kroz povijest formacije od Drevna grčka, i dalje ostaje relevantan i neophodan u Svakidašnjica bilo tko. Koncept izravne i obrnute proporcionalnosti poznat je od davnina, budući da su zakoni proporcije motivirali arhitekte tijekom bilo koje gradnje ili stvaranja bilo koje skulpture.
Znanje o proporcijama široko se koristi u svim sferama ljudskog života i djelovanja - bez njega se ne može pri slikanju slika (krajolika, mrtve prirode, portreta itd.), a također je rašireno među arhitektima i inženjerima - općenito je teško zamisliti stvaranje bilo čega bez korištenja znanja o proporcijama i njihovim odnosima.
Književnost.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin i sur.
Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.
Matematika-9, GIA-9, uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Čulkov, A.B. Uedinov
Problemi iz matematike za razrede 4-5, I.V Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988
Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razreda, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. “Akvarij” 1997
Vrste ovisnosti
Pogledajmo punjenje baterije. Kao prvu količinu, uzmimo vrijeme potrebno za punjenje. Druga vrijednost je vrijeme koje će raditi nakon punjenja. Što dulje punite bateriju, to će dulje trajati. Proces će se nastaviti dok se baterija potpuno ne napuni.
Ovisnost vremena rada baterije o vremenu punjenja
Napomena 1
Ta se ovisnost naziva ravno:
Kako jedna vrijednost raste, tako raste i druga. Kako se jedna vrijednost smanjuje, tako se smanjuje i druga vrijednost.
Pogledajmo još jedan primjer.
Kako više knjiga učenik će čitati, zatim manje grešaka učinit će to u diktatu. Ili što se više popnete u planine, to će atmosferski tlak biti niži.
Napomena 2
Ta se ovisnost naziva obrnuti:
Kako jedna vrijednost raste, druga se smanjuje. Kako se jedna vrijednost smanjuje, druga vrijednost raste.
Dakle, u slučaju izravna ovisnost obje se veličine jednako mijenjaju (obje se ili povećavaju ili smanjuju), a u slučaju obrnuti odnos – suprotno (jedno se povećava, a drugo smanjuje, ili obrnuto).
Utvrđivanje ovisnosti između veličina
Primjer 1
Vrijeme potrebno za posjet prijatelju je $20$ minuta. Ako se brzina (prva vrijednost) poveća $2$ puta, saznat ćemo kako se mijenja vrijeme (druga vrijednost) koje će biti potrošeno na putu do prijatelja.
Očito, vrijeme će se smanjiti za $2$ puta.
Napomena 3
Ta se ovisnost naziva proporcionalan:
Koliko se puta promijeni jedna veličina, toliko se puta promijeni druga veličina.
Primjer 2
Za štruce kruha od 2$ u trgovini morate platiti 80 rubalja. Ako trebate kupiti štruce kruha od 4$ (količina kruha se povećava 2$ puta), koliko ćete puta više morati platiti?
Očito, trošak će također porasti $2$ puta. Imamo primjer proporcionalne ovisnosti.
U oba primjera razmatrane su proporcionalne ovisnosti. Ali u primjeru sa štrucama kruha, količine se mijenjaju u jednom smjeru, dakle, ovisnost je ravno. A u primjeru odlaska kod prijatelja, odnos između brzine i vremena je obrnuti. Stoga postoji izravno proporcionalni odnos I obrnuto proporcionalan odnos.
Izravna proporcionalnost
Razmotrimo proporcionalne količine od 2$: broj štruca kruha i njihovu cijenu. Neka štruce kruha od 2$ koštaju 80$ rubalja. Ako se broj peciva poveća 4$ puta ($8$ peciva), njihov ukupni trošak bit će 320$ rubalja.
Omjer broja peciva: $\frac(8)(2)=4$.
Omjer cijene peciva: $\frac(320)(80)=$4.
Kao što vidite, ovi odnosi su međusobno jednaki:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definicija 1
Jednakost dvaju omjera naziva se proporcija.
Uz izravno proporcionalnu ovisnost, odnos se dobiva kada se promjena prve i druge količine podudara:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definicija 2
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan, ako kada se jedna od njih promijeni (poveća ili smanji), druga vrijednost se također promijeni (poveća ili smanji, redom) za isti iznos.
Primjer 3
Auto je prešao 180$ km za 2$ sata. Nađite vrijeme za koje će on istom brzinom prijeći 2$ puta veću udaljenost.
Riješenje.
Vrijeme je izravno proporcionalno udaljenosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koliko puta će se povećati udaljenost, pri konstantnoj brzini, za toliko će se povećati vrijeme:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto je prešao 180$ km za 2$ sata
Automobil će prijeći $180 \cdot 2=360$ km – za $x$ sati
Što automobil dalje putuje, to će mu trebati više vremena. Prema tome, odnos između količina je izravno proporcionalan.
Napravimo proporciju:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 4$ sata.
Obrnuta proporcionalnost
Definicija 3
Riješenje.
Vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini:
$t=\frac(S)(v)$.
Za koliko se puta poveća brzina, pri istom putu, za isto se vrijeme smanji:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Napišimo stanje problema u obliku tablice:
Auto je prešao 60$ km - za 6$ sati
Automobil će prijeći 120$ km – za $x$ sati
Što brže automobil juri, to će mu trebati manje vremena. Prema tome, odnos između količina je obrnuto proporcionalan.
Napravimo proporciju.
Jer proporcionalnost je obrnuta, druga relacija u omjeru je obrnuta:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 3$ sata.