Formule geometrijske progresije: kako pronaći q. Geometrijska progresija
Geometrijska progresija, uz aritmetiku, je važna serije brojeva, koji se proučava u školski tečaj algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku pogledati nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njezina svojstva.
Definicija geometrijske progresije
Prvo dajmo definiciju ovog niza brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.
Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) sa 2, dobit ćete 6. Ako pomnožite 6 sa 2, dobit ćete 12, i tako dalje.
Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.
Gornja definicija progresije može se matematičkim jezikom napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, te dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1 i opet dolazimo do definicije dotičnog niza brojeva. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.
Nazivnik geometrijske progresije
Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:
- b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će cijeli niz rasti samo u apsolutnoj vrijednosti, ali se smanjuje ovisno o predznaku brojeva.
- b = 1. Često se ovaj slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.
Formula za iznos
Prije nego pogledamo specifične zadatke Koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njenih prvih n elemenata. Formula izgleda ovako: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.
Beskonačno padajući niz
Gore je objašnjeno što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike potencije, to jest, b∞ => 0 ako je -1
Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.
Pogledajmo sada nekoliko zadataka gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na konkretnim brojevima.
Zadatak br. 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja
Za dana geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Čemu će biti jednak njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?
Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračunavanje elementa broj n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.
Upotrijebimo dobro poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Zadatak br. 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije
Neka -2 bude jednako nazivniku geometrijske progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.
Postavljeni problem ne može se izravno riješiti pomoću poznatih formula. Može se riješiti na 2 načina razne metode. Radi cjelovitosti prikaza teme donosimo obje.
Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veći zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u iznos koji treba izračunati prema uvjetima problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između m i n članova predmetnog niza. Radimo potpuno isto kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom iznosa. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Zadatak br. 3. Što je nazivnik?
Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.
Na temelju uvjeta problema nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za beskonačno opadajući zbroj progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje samo zamjena poznate vrijednosti i dobijemo traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333(3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne bi trebao prelaziti 1. Kao što se može vidjeti, |-1 / 3|
Zadatak br. 4. Obnavljanje niza brojeva
Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz tih podataka potrebno je rekonstruirati cijeli niz, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da biste riješili zadatak, morate prvo zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada podijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući peti korijen omjera članova poznatih iz izjave problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Tako smo pronašli nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.
Gdje se koriste geometrijske progresije?
Kad ne bi bilo praktične primjene ovog niza brojeva, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali takva aplikacija postoji.
Ispod su 3 najpoznatija primjera:
- Zenonov paradoks, u kojemu ga spretni Ahil ne može sustići spora kornjača, rješava se korištenjem koncepta beskonačno padajućeg niza brojeva.
- Ako za svaku ćeliju šahovska ploča stavite zrna pšenice tako da na 1. ćeliju stavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 i tako dalje, a zatim za popunjavanje svih ćelija na ploči trebat će vam 18446744073709551615 zrna!
- U igrici "Tower of Hanoi" za pomicanje diskova s jedne šipke na drugu potrebno je izvršiti 2n - 1 operacija, odnosno njihov broj eksponencijalno raste s brojem n upotrijebljenih diskova.
Matematika je štoljudi kontroliraju prirodu i sebe.
Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrijska progresija.
Uz zadatke o aritmetičkim progresijama, na prijemnim ispitima iz matematike česti su i zadaci vezani uz pojam geometrijske progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijskih progresija i dobro se koristiti njima.
Ovaj članak je posvećen prikazu osnovnih svojstava geometrijske progresije. Ovdje su također navedeni primjeri rješavanja tipičnih problema., posuđene iz zadataka prijamnih ispita iz matematike.
Zabilježimo najprije osnovna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i tvrdnji, vezano za ovaj koncept.
Definicija. Niz brojeva naziva se geometrijskom progresijom ako je svaki broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.
Za geometrijsku progresijuformule vrijede
, (1)
Gdje . Formula (1) naziva se formulom općeg člana geometrijske progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije podudara se s geometrijskom sredinom svojih susjednih članova i .
Bilješka, da se upravo zbog tog svojstva dotična progresija naziva “geometrijskom”.
Gornje formule (1) i (2) generaliziraju se kako slijedi:
, (3)
Za izračun iznosa prvi članovi geometrijske progresijeprimjenjuje se formula
Ako označimo , tada
Gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).
U slučaju kada i geometrijska progresijabeskonačno opada. Za izračun iznosasvih članova beskonačno padajuće geometrijske progresije koristi se formula
. (7)
Na primjer , pomoću formule (7) možemo pokazati, Što
Gdje . Te se jednakosti dobivaju iz formule (7) pod uvjetom da je , (prva jednakost) i , (druga jednakost).
Teorema. Ako tada
Dokaz. Ako tada
Teorem je dokazan.
Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".
Primjer 1. Zadano: , i . Pronaći .
Riješenje. Ako primijenimo formulu (5), tada
Odgovor: .
Primjer 2. Neka bude. Pronaći .
Riješenje. Kako je i koristimo formule (5), (6) i dobivamo sustav jednadžbi
Ako se druga jednadžba sustava (9) podijeli s prvom, zatim ili . Iz ovoga proizlazi da . Razmotrimo dva slučaja.
1. Ako, tada iz prve jednadžbe sustava (9) imamo.
2. Ako je , tada .
Primjer 3. Neka , i . Pronaći .
Riješenje. Iz formule (2) slijedi ili . Od , dakle ili .
Po stanju. Međutim, dakle. Od i onda ovdje imamo sustav jednadžbi
Ako se druga jednadžba sustava podijeli s prvom, tada je ili .
Budući da jednadžba ima jedinstven odgovarajući korijen. U ovom slučaju to proizlazi iz prve jednadžbe sustava.
Uzimajući u obzir formulu (7), dobivamo.
Odgovor: .
Primjer 4. Zadano: i . Pronaći .
Riješenje. Od tad.
Od , dakle ili
Prema formuli (2) imamo . S tim u vezi, iz jednakosti (10) dobivamo ili .
Međutim, po uvjetu, dakle.
Primjer 5. Poznato je da . Pronaći .
Riješenje. Prema teoremu imamo dvije jednakosti
Od , dakle ili . Jer dakle .
Odgovor: .
Primjer 6. Zadano: i . Pronaći .
Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo
Od tad. Od , i , tada .
Primjer 7. Neka bude. Pronaći .
Riješenje. Prema formuli (1) možemo pisati
Stoga imamo ili . Poznato je da i , dakle i .
Odgovor: .
Primjer 8. Pronađite nazivnik beskonačne padajuće geometrijske progresije ako
i .
Riješenje. Iz formule (7) slijedi I . Odavde i iz uvjeta problema dobivamo sustav jednadžbi
Ako je prva jednadžba sustava kvadrirana, a zatim dobivenu jednadžbu podijelite s drugom jednadžbom, onda dobivamo
Ili .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.
Riješenje. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .
Odavde dobivamo kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni i .
Provjerimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .
U prvom slučaju imamo i , a u drugom – i .
Odgovor: , .
Primjer 10.Riješite jednadžbu
, (11)
gdje i .
Riješenje. Lijeva strana jednadžbe (11) je zbroj beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj je i , ovisno o: i .
Iz formule (7) slijedi, Što . S tim u vezi, jednadžba (11) ima oblik ili . Prikladan korijen kvadratna jednadžba je
Odgovor: .
Primjer 11. P dosljednost pozitivni brojevi tvori aritmetičku progresiju, A – geometrijska progresija, kakve to ima veze s . Pronaći .
Riješenje. Jer aritmetički niz, To (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Jer, zatim ili . Iz čega slijedi , da geometrijska progresija ima oblik. Prema formuli (2), onda to zapisujemo .
Od i , dakle . U ovom slučaju izraz poprima oblik ili . Po uvjetu, pa iz jednadžbe.dobivamo jedina odluka problem koji se razmatra, tj. .
Odgovor: .
Primjer 12. Izračunajte zbroj
. (12)
Riješenje. Pomnožimo obje strane jednakosti (12) s 5 i dobijemo
Ako od dobivenog izraza oduzmemo (12)., To
ili .
Da bismo izračunali, zamijenimo vrijednosti u formulu (7) i dobijemo . Od tad.
Odgovor: .
Ovdje navedeni primjeri rješavanja zadataka bit će korisni pristupnicima prilikom pripreme za prijamne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, vezane za geometrijsku progresiju, može se koristiti nastavna sredstva s popisa preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakulteta / Ed. MI. Skanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatne sekcije školski plan i program. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Još uvijek imate pitanja?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije, tj. svaki član razlikuje se od prethodnog za q puta. (Pretpostavit ćemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula za n-ti član geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; članovi s brojevima b n i b m razlikuju se q n – m puta.Već unutra Drevni Egipt poznavao ne samo aritmetiku, nego i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, problema iz Rhind papirusa: “Sedam lica ima sedam mačaka; Svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš pojede sedam klasova, a iz svakog klasa ječma može izrasti sedam mjera ječma. Koliki su brojevi u ovom nizu i njihov zbroj?
 |
|
Riža. 1. Staroegipatski problem geometrijske progresije |
Taj se zadatak ponavljao mnogo puta s različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, u napisanom u 13. stoljeću. “Knjiga o abaku” Leonarda iz Pize (Fibonacci) ima problem u kojem se pojavljuje 7 starica na putu za Rim (očito hodočasnika), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka sadrži 7 kruhova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih svaki ima 7 korica. Problem je pitanje koliko ima objekata.
Zbroj prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, ovako: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Broju b 1 q n dodamo S n i dobijemo:
|
Odavde S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), i dobivamo potrebnu formulu.
Već na jednoj od glinenih pločica Stari Babilon koja datira iz 6. stoljeća. PRIJE KRISTA e., sadrži zbroj 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Istina, kao i u nizu drugih slučajeva, ne znamo kako je ta činjenica bila poznata Babiloncima .
Brzo povećanje geometrijske progresije u brojnim kulturama, posebice u indijskoj, opetovano se koristi kao vizualni simbol golemosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar njegovom izumitelju daje mogućnost da sam odabere nagradu, te traži broj zrna pšenice koja će se dobiti ako se jedno stavi na prvo polje šahovske ploče, dva na drugi, četiri na treći, osam na četvrti, itd., svaki put kad se broj udvostruči. Vladyka je mislio da je riječ o najviše nekoliko vrećica, ali se prevario. Lako je vidjeti da bi za sva 64 polja šahovske ploče izumitelj morao dobiti (2 64 - 1) zrna, što je izraženo kao 20-znamenkasti broj; čak i ako posijete cijelu površinu Zemlje, trebat će vam najmanje 8 godina da se prikupi potreban iznosžitarica Ova se legenda ponekad tumači kao naznaka praktički neograničenih mogućnosti skrivenih u igri šaha.
Lako je vidjeti da je ovaj broj stvarno 20-znamenkasti:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (točniji izračun daje 1,84∙10 19). Ali pitam se možete li saznati kojom znamenkom ovaj broj završava?
Geometrijska progresija može biti rastuća ako je nazivnik veći od 1 ili padajuća ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n za dovoljno velik n može postati proizvoljno mali. Dok rastuća geometrijska progresija raste neočekivano brzo, padajuća geometrijska progresija se smanjuje jednako brzo.
Što je n veći, to se broj q n slabije razlikuje od nule, a zbroj n članova geometrijske progresije S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) bliži je broju S = b 1 / ( 1 – q). (Tako je, primjerice, razmišljao F. Viet). Broj S naziva se zbrojem beskonačno padajuće geometrijske progresije. Međutim, stoljećima matematičarima nije bilo dovoljno jasno pitanje koji je smisao zbrajanja CIJELE geometrijske progresije, sa svojim beskonačnim brojem članova.
Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, na primjer, u Zenonovim aporijama "Pola diobe" i "Ahil i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je cijela cesta (uz pretpostavku duljine 1) zbroj beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je, naravno, slučaj od gledište ideja o konačnom zbroju beskonačna geometrijska progresija. Pa ipak - kako to može biti?
|
Riža. 2. Progresija s koeficijentom 1/2 |
U aporiji o Ahileju situacija je malo kompliciranija, jer ovdje nazivnik progresije nije 1/2, već neki drugi broj. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će tu udaljenost prijeći za vrijeme l/v, a za to vrijeme kornjača će prijeći udaljenost lu/v. Kada Ahilej pretrči ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače postat će jednaka l (u /v) 2, itd. Ispada da sustići kornjaču znači pronaći zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim članom l i nazivnik u /v. Ovaj zbroj - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do mjesta susreta s kornjačom - jednak je l / (1 – u /v) = lv / (v – u). No, opet, kako taj rezultat tumačiti i zašto on uopće ima smisla? dugo vremena nije bilo baš jasno.
|
Riža. 3. Geometrijska progresija s koeficijentom 2/3 |
Arhimed je koristio zbroj geometrijske progresije da odredi površinu segmenta parabole. Neka je taj isječak parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u točki D parabole paralelna s AB. Neka je C polovište AB, E polovište AC, F polovište CB. Povucimo pravce paralelne s DC kroz točke A, E, F, B; Neka tangenta povučena u točki D siječe te pravce u točkama K, L, M, N. Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka pravac EL siječe pravac AD u točki G, a parabolu u točki H; pravac FM siječe pravac DB u točki Q, a parabolu u točki R. Prema opća teorija konusni presjeci, DC – promjer parabole (odnosno segmenta paralelnog s njezinom osi); ona i tangenta u točki D mogu poslužiti kao koordinatne osi x i y, u kojima je jednadžba parabole zapisana kao y 2 = 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke zadanog promjera, y je duljina segment paralelan s danom tangentom od ove točke promjera do neke točke na samoj paraboli).
Na temelju jednadžbe parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, a kako je DK = 2DL, onda je KA = 4LH. Jer je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trokuta ΔADB i površinama segmenta AHD i DRB zajedno. S druge strane, površina segmenta AHD jednako je površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih možete izvesti istu operaciju - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:
Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovici površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku bazu AD, a visine se razlikuju 2 puta), što je pak jednako polovici površine trokuta ΔAKD, a time i polovice površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je jednoj četvrtini površine trokuta ΔDFB. Dakle, površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzeti zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ΔADB. Ponavljanje ove operacije kada se primijeni na segmente AH, HD, DR i RB od njih će odabrati trokute, čija će površina, uzeta zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzetih zajedno, i dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB. I tako dalje:
Stoga je Arhimed dokazao da “svaki segment između ravne linije i parabole čini četiri trećine trokuta koji ima istu osnovicu i jednaku visinu.”
>>Matematika: Geometrijska progresija
Radi praktičnosti čitatelja, ovaj je odlomak sastavljen točno prema istom planu koji smo slijedili u prethodnom odlomku.
1. Osnovni pojmovi.
Definicija. Brojevni niz čiji su svi članovi različiti od 0 i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva iz prethodnog člana množenjem s istim brojem, naziva se geometrijska progresija. U tom se slučaju broj 5 naziva nazivnik geometrijske progresije.
Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (b n) definiran rekurentno relacijama
Može li se promatrati brojčani niz i utvrditi radi li se o geometrijskoj progresiji? Limenka. Ako ste uvjereni da je omjer bilo kojeg člana niza prema prethodnom članu konstantan, tada imate geometrijsku progresiju.
Primjer 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Primjer 2.
Ovo je geometrijska progresija koja ima
Primjer 3.
Ovo je geometrijska progresija koja ima
Primjer 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 - 8, q = 1.
Imajte na umu da je ovaj niz također aritmetička progresija (vidi primjer 3 iz § 15).
Primjer 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 = 2, q = -1.
Očito, geometrijska progresija je rastući niz ako je b 1 > 0, q > 1 (vidi primjer 1), a padajući niz ako je b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Da bi se označilo da je niz (b n) geometrijska progresija, ponekad je prikladna sljedeća oznaka:
Ikona zamjenjuje izraz "geometrijska progresija".
Zabilježimo jedno zanimljivo i ujedno prilično očito svojstvo geometrijske progresije:
Ako slijed 
je geometrijska progresija, onda niz kvadrata, tj. 
je geometrijska progresija.
U drugoj geometrijskoj progresiji, prvi član je jednak i jednak q 2.
Ako u geometrijskoj progresiji odbacimo sve članove koji slijede b n , dobit ćemo konačnu geometrijsku progresiju 
U daljnjim odlomcima ovog odjeljka razmotrit ćemo najvažnija svojstva geometrijske progresije.
2. Formula za n-ti član geometrijske progresije.
Razmotrimo geometrijsku progresiju 
nazivnik q. Imamo:
Nije teško pogoditi da za svaki broj n jednakost vrijedi
Ovo je formula za n-ti član geometrijske progresije.
Komentar.
Ako čitate važna nota iz prethodnog odlomka i razumjeti ga, zatim pokušati dokazati formulu (1) koristeći metodu matematičke indukcije na isti način kao što je učinjeno za formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
Prepišimo formulu za n-ti član geometrijske progresije
i uvesti oznaku: Dobivamo y = mq 2, ili detaljnije, 
Argument x sadržan je u eksponentu, pa se ova funkcija naziva eksponencijalnom funkcijom. To znači da se geometrijska progresija može smatrati eksponencijalnom funkcijom definiranom na skupu N prirodnih brojeva. Na sl. 96a prikazan je graf funkcije Sl. 966 - graf funkcije 
U oba slučaja imamo izolirane točke (s apscisama x = 1, x = 2, x = 3 itd.) koje leže na određenoj krivulji (obje figure prikazuju istu krivulju, samo različito smještenu i prikazanu u različitim mjerilima). Ova krivulja se naziva eksponencijalna krivulja. Više detalja o eksponencijalnoj funkciji i njezinu grafu bit će riječi u kolegiju algebre za 11. razred.
Vratimo se na primjere 1-5 iz prethodnog paragrafa.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ovo je geometrijska progresija za koju je b 1 = 1, q = 3. Kreirajmo formulu za n-ti član 
2) 
Ovo je geometrijska progresija za koju napravimo formulu za n-ti član 
Ovo je geometrijska progresija koja ima 
Kreirajmo formulu za n-ti član 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ovo je geometrijska progresija za koju je b 1 = 8, q = 1. Kreirajmo formulu za n-ti član 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 = 2, q = -1. Kreirajmo formulu za n-ti član 
Primjer 6.
S obzirom na geometrijsku progresiju
U svim slučajevima rješenje se temelji na formuli n-tog člana geometrijske progresije
a) Stavljajući n = 6 u formulu za n-ti član geometrijske progresije, dobivamo
b) Imamo
Budući da je 512 = 2 9, dobivamo n - 1 = 9, n = 10.
d) Imamo
Primjer 7.
Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 48, zbroj petog i šestog člana progresije je također 48. Nađite dvanaesti član ove progresije.
Prva razina. Izrada matematičkog modela.
Uvjeti problema mogu se ukratko napisati na sljedeći način:
Koristeći formulu za n-ti član geometrijske progresije, dobivamo:
Tada se drugi uvjet zadatka (b 7 - b 5 = 48) može napisati kao
Treći uvjet zadatka (b 5 + b 6 = 48) može se napisati kao
Kao rezultat, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije varijable b 1 i q:
koji u kombinaciji s gore napisanim uvjetom 1) predstavlja matematički model problema.
Druga faza.
Rad s kompiliranim modelom. Izjednačavajući lijeve strane obje jednadžbe sustava, dobivamo:
(obje strane jednadžbe podijelili smo s izrazom koji nije nula b 1 q 4).
Iz jednadžbe q 2 - q - 2 = 0 nalazimo q 1 = 2, q 2 = -1. Zamjenom vrijednosti q = 2 u drugu jednadžbu sustava dobivamo 
Zamjenom vrijednosti q = -1 u drugu jednadžbu sustava dobivamo b 1 1 0 = 48; ova jednadžba nema rješenja.
Dakle, b 1 =1, q = 2 - ovaj par je rješenje sastavljenog sustava jednadžbi.
Sada možemo zapisati geometrijsku progresiju o kojoj se govori u zadatku: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Treća faza.
Odgovor na problemsko pitanje. Morate izračunati b 12. Imamo
Odgovor: b 12 = 2048.
3. Formula za zbroj članova konačne geometrijske progresije.
Neka je dana konačna geometrijska progresija
Označimo sa S n zbroj njegovih članova, tj.
Izvedimo formulu za pronalaženje tog iznosa.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je q = 1. Tada se geometrijska progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn sastoji od n brojeva jednakih b 1 , tj. progresija izgleda kao b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Zbroj ovih brojeva je nb 1.
Neka je sada q = 1 Da bismo pronašli S n, primijenit ćemo umjetnu tehniku: izvršit ćemo neke transformacije izraza S n q. Imamo:
Prilikom izvođenja transformacija, prvo smo koristili definiciju geometrijske progresije, prema kojoj (vidi treći redak razmišljanja); drugo, dodavali su i oduzimali, zbog čega se značenje izraza, naravno, nije promijenilo (vidi četvrti redak razmišljanja); treće, upotrijebili smo formulu za n-ti član geometrijske progresije:
Iz formule (1) nalazimo:
Ovo je formula za zbroj n članova geometrijske progresije (za slučaj kada je q = 1).
Primjer 8.
S obzirom na konačnu geometrijsku progresiju
a) zbroj članova progresije; b) zbroj kvadrata njegovih članova.
b) Gore (vidi str. 132) već smo primijetili da ako se svi članovi geometrijske progresije kvadriraju, tada dobivamo geometrijsku progresiju s prvim članom b 2 i nazivnikom q 2. Zatim će se izračunati zbroj šest članova nove progresije
Primjer 9.
Pronađite 8. član geometrijske progresije za koji
Zapravo, dokazali smo sljedeći teorem.
Numerički niz je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog njegovog člana, osim prvog teorema (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnog i sljedećeg člana (a karakteristično svojstvo geometrijske progresije).
upute
10, 30, 90, 270...
Morate pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Riješenje:
Opcija 1. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.
Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.
Prvi član padajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.
Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Riješenje:
Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Ispostavit će se:
2=1/(1-q), odakle – q=1/2.
Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s određenim brojem q koji se naziva nazivnik progresije.
upute
Ako su poznata dva susjedna geometrijska člana b(n+1) i b(n), da biste dobili nazivnik, morate broj s većim podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n+1)/b (n). To proizlazi iz definicije progresije i njezina nazivnika. Važan uvjet je nejednakost prvog člana i nazivnika progresije na nulu, inače se smatra neodređenim.
Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Pomoću formule b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojem su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaka od progresija jednaka je po modulu prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, gdje je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najjednostavniji eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x eksponent, a je određeni broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije podudara se s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti pojam progresije ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).