Nađi izvod: algoritam i primjeri rješenja. Derivacija potencije (potencije i korijeni)

Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferenciranja. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja izvedenica bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu izvodnice i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije.

Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz ispod znaka premijera rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Dalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, ​​zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja. Tablica izvoda i pravila diferenciranja dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj.

Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija "x" jednaka jedinici, a derivacija sinusa jednaka kosinusu. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Diferenciramo kao izvod zbroja u kojem drugi član ima konstantan faktor, može se uzeti iz predznaka izvoda:

Ako se ipak pojave pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom derivacija i najjednostavnijim pravilima razlikovanja. Upravo sada prelazimo na njih.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek jednaka nuli. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti na duže vrijeme
3. Derivacija stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivacija varijable na potenciju -1
5. Izvedenica korijen
6. Derivacija sinusa
7. Derivacija kosinusa
8. Derivacija tangente
9. Derivacija kotangensa
10. Derivacija arcsinusa
11. Derivacija ark kosinusa
12. Derivacija arktangensa
13. Derivacija ark kotangensa
14. Derivacija prirodnog logaritma
15. Derivacija logaritamske funkcije
16. Derivacija eksponenta
17. Izvedenica eksponencijalna funkcija

Pravila razlikovanja

1. Derivacija zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom
3. Derivacija kvocijenta
4. Derivacija složene funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

diferencijabilne u nekoj točki, tada su funkcije diferencijabilne u istoj točki

i

oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantan član, tada su njihove derivacije jednake, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak diferencijabilan u istoj točki

i

oni. Derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge.

Korolar 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije:

Korolar 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilanu/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nekadašnji brojnik.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti više pravila razlikovanja odjednom, pa u članku ima više primjera na tim derivacijama"Derivacija umnoška i kvocijent funkcija".

Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovaj tipična greška, koji se javlja na početno stanje proučavajući izvedenice, ali dok rješavamo nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera prosječan student više ne radi ovu grešku.

A ako pri diferenciranju proizvoda ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je objašnjen u primjeru 10).

ostalo uobičajena pogreška- mehaničko rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije razlomaka s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedite lekciju “Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima.”

Ako imate zadatak poput , tada ćete uzeti lekciju “Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija s derivacijom one druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju drugi član ima predznak minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čija je derivacija jednaka jedinici, i konstantu (broj), čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 se pretvara u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnik, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika. Dobivamo:

Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u ovom primjeru, uzet s predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o izvodnicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugima trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda , onda lekcija za vas "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Koristeći pravilo diferenciranja umnoška i tablične vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferenciranja kvocijenata, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnu vrijednost derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Na kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a upoznali smo se i s pravilima diferenciranja te nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas za ozbiljno raspoloženje - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.

U praksi s izvedenim složena funkcija morate se suočiti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada vam se daju zadaci da pronađete izvedenice.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati ​​u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:

U u ovom primjeru Već je iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

Kada jednostavni primjeriČini se jasnim da je polinom ugrađen ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon što smo PRODANO s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila razlikovanja složenih funkcija .

Počnimo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, V u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule u konačnom obliku izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Odgonetnimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, trebate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat je primjene pravila za razlikovanje složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka(odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija :

Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradi i sve zapisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati kao neobična izopačenost. Ovdje tipičan primjer:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći izvod pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počnimo odlučivati

Prema pravilu Prvo morate uzeti izvod vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat je primjene pravila za diferenciranje složene funkcije Sljedeći.

Derivacija formule za izvod potencije (x na potenciju a). Razmatraju se derivacije iz korijena x. Formula za derivaciju funkcije višeg reda snage. Primjeri izračuna derivacija.

Derivacija x na potenciju a jednaka je a puta x na potenciju minus jedan:
(1) .

Derivacija n-tog korijena iz x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod potencije

Slučaj x > 0

Promotrimo funkciju snage varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljni realni broj. Razmotrimo prvo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije snage i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada nalazimo izvod koristeći:
;
.
ovdje .

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za derivaciju korijena stupnja n iz x na stupanj m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedeće forme:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju snage:
.
Usporedbom s formulom (3) vidimo da
.
Zatim
.

Pomoću formule (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe pamtiti formulu (2). Puno je prikladnije prvo transformirati korijene u funkcije potencije, a zatim pronaći njihove derivacije pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo izvod funkcije (3) u x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo se definicijom derivata:
.

Zamijenimo x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom mislimo na desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga je jasno da za , .
U , .
U , .
Ovaj se rezultat također dobiva iz formule (1):
(1) .
Stoga formula (1) vrijedi i za x = 0 .

Slučaj x< 0

Ponovno razmotrite funkciju (3):
(3) .
Za određene vrijednosti konstante a, također je definirana za negativne vrijednosti varijabla x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može prikazati kao nesvodivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajednički djelitelj.

Ako je n neparan, tada je funkcija snage također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, kada je n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen iz x:
.
Također je definirana za negativne vrijednosti varijable x.

Nađimo derivaciju funkcije snage (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da biste to učinili, zamislite x u sljedećem obliku:
.
zatim,
.
Derivaciju nalazimo stavljanjem konstante izvan predznaka derivacije i primjenom pravila za razlikovanje složene funkcije:

.
ovdje .
.
Ali
.
Zatim
.
Od tad
(1) .

Odnosno, formula (1) također vrijedi za:

Izvodnice višeg reda
(3) .
Nađimo sada derivacije višeg reda funkcije potencije
.

Već smo pronašli derivat prvog reda:
.
Uzimajući konstantu a izvan predznaka izvoda, nalazimo izvod drugog reda:
;

.

Slično, nalazimo izvedenice trećeg i četvrtog reda: Iz ovoga je jasno da izvod proizvoljnog n-tog reda
.

ima sljedeći oblik: primijeti da ako je prirodni broj
.
, tada je n-ti izvod konstantan:
,
Tada su sve sljedeće derivacije jednake nuli:

u .

Primjeri izračuna derivacija

Primjer
.

Pronađite izvod funkcije:

Riješenje
;
.
Pretvorimo korijene u potencije:
.

Tada izvorna funkcija ima oblik:
;
.
Nalaženje derivacija potencija:
.