"zašto nula nije prirodan broj?" Cijeli brojevi. Nizovi prirodnih brojeva
Na pitanje: Je li 0 prirodan broj? dao autor Botos777 najbolji odgovor je Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva, koji se razlikuju dodavanjem nule prirodnim brojevima. Na ruskom školski programi U matematici nije uobičajeno klasificirati nulu kao prirodni broj.
Izvor: (broj)
Odgovor od rostra[guru]
Ne.
Odgovor od Serega[stručnjak]
Ne
Odgovor od Neuroza[novak]
Prirodni brojevi su brojevi koji prirodno nastaju pri prebrojavanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja) predmeta. Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva, koji se razlikuju dodavanjem nule prirodnim brojevima. Prema tome, prirodni brojevi definirani su kao
* brojevi koji se koriste pri nabrajanju (numeriranju) stavki: 1, 2, 3, ... (prvi, drugi, treći itd.). Ova je definicija općenito prihvaćena u većini zemalja, uključujući Rusiju.
* brojevi koji označavaju broj artikala: 0, 1, 2, ... (bez artikala, jedan artikl, dva artikla itd.). Ova je definicija popularizirana u radovima Bourbakija, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova.
Negativni i necijeli brojevi nisu prirodni brojevi. Skup prirodnih brojeva obično se označava math.
Prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo. Za svaki prirodni broj postoji prirodni broj veći od njega.
Odgovor od samoodržanje[novak]
Odgovor od Juslan Garajev[novak]
ne 0 nije prirodan broj
Odgovor od Artjom Artemenko[novak]
Ne
Odgovor od Olija Nikulina[novak]
Ne
Odgovor od Matvey Sokolov[aktivan]
da, prirodno
Odgovor od Lena[novak]
ne ali
Odgovor od Madina Mikailova[novak]
0 nije prirodan broj
Odgovor od Pavel Miščenko[novak]
U francuskoj tradiciji, koja datira još od djela N. Bourbakija, za razliku od drugih matematičkih škola, brojevi koji izražavaju broj objekata u skupini smatraju se prirodnim. Stoga se u ovoj tradiciji najmanji prirodni broj smatra nula ("0"), a ne jedan, pa prema tome francuski matematičari, za razliku od drugih, priznaju nulu kao prirodan broj. Ovaj je pristup također motiviran skupovno-teoretskim modelom prirodnog niza, u kojem se nula identificira s praznim skupom (O), a operacija pomicanja na sljedeći proizvodi skup koji se sastoji od svih prethodnih prirodnih brojeva (predstavljenih s setovi):
0? O
3? (O, (O), (O, (O)))
4 ? (O, (O), (O, (O)), (O, (O), (O, (O))))
itd. P.S. U Ruska Federacija Nula se ne smatra prirodnim brojem.
Odgovor od Aleksandra[novak]
nula nije prirodan broj
Odgovor od Anton Jašagin[novak]
ne nije
Odgovor od Dima Kovelin[novak]
postoje 2 pristupa prirodnim brojevima
brojanje (numeriranje) predmeta (prvi, drugi, treći, ...);
oznaka broja predmeta (bez predmeta, jedan predmet, dva predmeta, ...).
U prvom slučaju nula neće biti prirodan broj.
u drugom slučaju bit će.
Odgovor od Olesja Makuščenko[novak]
Dakle, prirodni brojevi počinju jedinicom, a najmanji od njih je broj 1. Iz toga slijedi da nula nije prirodan broj. Cijeli brojevi potrebno za račun. Nitko ne broji nule. Što se tiče Rusije, općenito je prihvaćeno da nula nije prirodan broj, jer se ne koristi u brojanju. Najmanji prirodni broj je jedan.
CIJELI BROJEVI
Ovi brojevi izražavaju mjere konačnog broja pojedinačnih predmeta, a izražavaju i red jednolikog jednosmjernog brojanja (svaki prirodni broj ima svoje “vlastito” mjesto - jedinstveni broj). U ruskoj matematičkoj literaturi nula obično nije uključena u skup prirodnih brojeva. Prirodni brojevi su potpuno uređeni: bilo koji njihov podskup imat će minimalni element. Već za cijele brojeve, ova se definicija krši upravo u “drugoj polovici slučajeva”, kada se negativ oduzima, dajući broj veći od prvog.
Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke.
Nula u smislu da ne sadrži nikakvu informaciju. 0 1 je jedna informacija.
Pojam prirodnog broja u matematici je jedan od osnovnih. Koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima? Prvi prirodni brojevi: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 itd.
Pri brojanju se ne koristi broj nula. Prirodni niz je beskonačan, u njemu ne postoji najveći prirodni broj.
Jedinice 5. klase su bilijuni, jedinice 6. klase su kvadrilijuni, jedinice 7. klase su kvintilijuni, jedinice 8. klase su seksilijuni, jedinice 9. klase su eptilijuni.
Hodati nula kilometara znači ne kretati se. Trčati brzinom od nula kilometara na sat znači stajati na mjestu. Da, općenito, ne uzrokuje nikakve poteškoće. Dodati ili oduzeti nulu znači niti dodati niti oduzeti ništa.
Velik Rječnik Kuznjecova (2009) navodi oba oblika: nula, nula - kao ekvivalent.
To je zbog činjenice da funkcija dviju varijabli u točki ima neuklonjiv diskontinuitet.
Plan rada: Pronađi u rječniku što je “broj”. 2. Najniža, loša ocjena (predrevolucionarni. Za vas je, možda, on ništavilo, nula. Čehov. Dvije nule (kolokvijalni vic) - toalet. Dahlov rječnik. Nula - m. nula; brojčani znak koji znači ništa, ništa (0); ali postavljeno iza druge znamenke (desno), povećava ga za deset, množi ga s deset.
Pripadnost prirodnim brojevima
Ako netko misli da nula pripada prirodnim brojevima, to je u redu. Ako se broj raspada u jedinice bez buke i prašine, takav je broj prirodan. Limenka razlomački broj biti prirodan? Ovo je matematika za plavuše i trebala bi biti a) točna, b) dostupna. U Rusiji nula obično nije uključena u skup prirodnih brojeva, osim ako nije drugačije navedeno. Već u davna vremena 0 se smatralo brojem, ali 0 nije broj. 0 je odsustvo broja, i ne samo, nego Sve-Sve. Samo što se u matematici koristi 0 kao broj prema matematičkoj logici, jer bilo koji rezultat matematičke operacije može se uzeti kao broj, i može se tretirati kao broj.
Općenito, ovo pitanje ne vrijedi vraga: to su samo suptilnosti terminologije. Zanimljiv. A kome je logično računati ispočetka?
Komutativnost množenja.
Odsutnost svake količine, praznina, početak i beskonačnost - filozofski stav prema ovim pojmovima bio je drugačiji u različite ere, u različitim svjetonazorskim sustavima. Takvi se sustavi nazivaju položajnim - značenje znamenki pri pisanju brojeva određeno je njihovim položajem ili znamenkom. Stoga je današnje značenje pitanja “koji je broj 0” bilo nedostižno za Arhimeda, Pitagoru ili Euklida, iako se simbol sličan nuli nalazi u tablicama velikog astronoma Ptolomeja. Stoga je nula u jednadžbama drevnih indijskih znanstvenika konačno postala ne samo simbol nepostojanja jedinica u odgovarajućoj znamenki, već i prirodni broj koji utječe na rezultat izračuna. Samo pisanje brojeva od 1 do 0 dobilo je svoj konačni oblik također zahvaljujući staroindijskim matematičkim traktatima, a one simbole koji se u Europi obično nazivaju arapskim, sami Arapi nazivaju indijskim.
Prirodni niz je izgrađen na način da svaki sljedeći broj 1 (jedinica) više od prethodne. Prirodni niz brojeva može se lako prikazati vizualno. Da biste to učinili, idite na stranicu “Tablica prirodnih brojeva” gdje su prikazani prirodni brojevi od 1 (jedan) do 120 (sto dvadeset). Ako dodate nožne prste, ruke i noge svojih susjeda za prepričavanje, dobit ćete vrlo veliki broj brojeva, a svi ti brojevi će biti prirodni brojevi. Zašto negativni brojevi nisu prirodni brojevi?
Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom (od lat. naturalis - prirodan). To bi znatno otežalo daljnju konstrukciju i primjenu teorije, jer u većini konstrukcija nula, kao i prazan skup, nije nešto zasebno. Jedna od prednosti prirodne nule je ta što čini polugrupu s jedinicom. Ako su baza i eksponent prirodni, tada će rezultat biti prirodan broj.
Ako su a(\displaystyle a) i b(\displaystyle b) prirodni brojevi, tada će rezultat biti prirodan broj.
U Drevna grčka broj 0 nije bio poznat. U astronomskim tablicama Klaudija Ptolemeja prazne ćelije su označene simbolom ο (slovo omikron, iz starogrčkog. Bez nule, decimalni položajni zapis brojeva, izumljen u Indiji, bio bi nemoguć. Pronađen je prvi nulti kod u indijskom zapisu iz 876. ima oblik koji nam je poznat u Europi dugo vremena 0 se smatrala konvencionalnim simbolom i nije bila prepoznata kao broj; Čak je u 17. stoljeću Wallis napisao: "Nula nije broj."
Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u Svakidašnjica za brojanje objekte, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.
Što je prirodni broj: prirodni brojevi imenovati brojeve koji se koriste brojanje predmeta ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg predmeta iz svih homogenih stavke.
Cijeli brojevi- ovo su brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.
Najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Pri prebrojavanju broja Nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.
Nizovi prirodnih brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Zapisivanje prirodnih brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
U prirodnom nizu svaki je broj jedan za jedan veći od prethodnog.
Koliko brojeva ima prirodni niz? Prirodni niz je beskonačan; najveći prirodni broj ne postoji.
Decimala budući da 10 jedinica bilo koje znamenke čini 1 jedinicu najviše znamenke. Pozicijski tako kako značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju, tj. iz kategorije u kojoj je napisano.
Klase prirodnih brojeva.
Bilo koji prirodni broj može se napisati s 10 arapskih brojeva:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prva brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisućica, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se njenapražnjenje.
Usporedba prirodnih brojeva.
Od 2 prirodna broja manji je onaj broj koji se prije zove pri brojanju. Na primjer, broj 7 manje 11 (napisano ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .
Tablica znamenki i klase brojeva.
|
jedinica 1. razreda |
1. znamenka jedinice 2. znamenka desetica 3. mjesto stotinke |
|
2. klasa tisuća |
1. znamenka jedinice tisućica 2. znamenka desetaka tisuća 3. kategorija stotine tisuća |
|
Milijuni 3. klase |
1. znamenka jedinice milijuna 2. kategorija deseci milijuna 3. kategorija stotine milijuna |
|
milijarde 4. klase |
1. znamenka jedinice milijardi 2. kategorija deseci milijardi 3. kategorija stotine milijardi |
|
Brojevi od 5. razreda naviše odnose se na veliki brojevi. Jedinice 5. razreda su bilijuni, 6 klasa - kvadrilijuni, 7. klasa - kvintilijuni, 8. klasa - sekstilijuni, 9. klasa - eptilioni. Osnovna svojstva prirodnih brojeva.
Operacije s prirodnim brojevima. 4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija obratna od množenja. Ako b ∙ c = a, To
Formule za dijeljenje: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Brojevni izrazi i brojevne jednakosti. Zapis gdje su brojevi povezani znakovima radnje je brojčani izraz. Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Zapisi u kojima su 2 numerička izraza kombinirana sa znakom jednakosti su brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu. Redoslijed izvođenja računskih operacija. Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja. Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, one se izvode sekvencijalno s lijeva na desno. Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje izvode prve drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja. Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama. Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Prirodno imenovati brojeve koji se koriste pri brojanju (numeriranju, popisivanju) predmeta. Drugim riječima, ovi su cijeli pozitivni brojevi. Negativni i necijeli brojevi ne smatraju se prirodnim brojevima.
Prirodni niz brojeva konstruiran je na temelju početnog prirodnog broja koji se naziva jedan (označenog "1") i operacije pomicanja na sljedeći. Ova operacija je primjenjiva na svaki prirodni broj, a njen rezultat se smatra prirodnim brojem koji slijedi nakon početnog.
Za svaki prirodni broj postoji samo jedan sljedbenik. Jedan je najmanji prirodni broj, jer ne postoji sličan prirodni broj za koji bi on bio naknadni. Ne postoji veći prirodni broj, jer je za svaki prirodni broj moguće konstruirati sljedeći. Formalno, struktura ogromnog broja prirodnih brojeva dana je s Peanovih pet aksioma.
Među matematičarima postoji neslaganje oko pitanja koji se broj smatra minimalnim u prirodnom nizu . U francuskoj tradiciji, koji datiraju iz djela N. Bourbakija, za razliku od drugih matematičkih škola, brojevi koji izražavaju broj objekata u skupini smatraju se prirodnim. Jer u ovoj tradiciji postoji minimalno nula se smatra prirodnim brojem("0"), a ne jedan, i, prema tome, francuski aritmetičari, za razliku od drugih, priznaju nulu kao prirodan broj. Ovaj pristup je također motiviran teoretskim modelom skupova prirodnog niza, u kojem se nula poistovjećuje s praznim obiljem (Ø), a operacija prelaska na sljedeću poistovjećuje se s formiranjem ogromne količine koja se sastoji od svih prethodnih prirodni brojevi (predstavljeni ogromnim količinama):
2 ≡ (Ø, (Ø))
3 ≡ (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)))
4 ≡ (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))))
Mora se naglasiti da se kod ove konstrukcije svaki prirodni broj poklapa s potencijom odgovarajuće ogromne veličine.
Narudžba. Na ogromnom broju prirodnih brojeva definirana je relacija reda “manje od” označena amblemom “ Dodatak. Na temelju operacije prijelaza na sljedeću određuje se operacija zbrajanja, označena amblemom “+”. Zbroj M+N 2 prirodna broja M i N je broj K dobiven iz broja M kao rezultat N-struke provedbe operacije prijelaza na sljedeći. Zbroj 2 prirodna broja uvijek je prirodan broj.
Oduzimanje. Na temelju operacije zbrajanja određuje se operacija oduzimanja, označena znakom “-”. Razlika M-N naziva se broj K koji, kada se pribroji N, daje M. Razlika ne postoji ni za koje prirodne brojeve M i N, već samo za slične koji su povezani relacijom “manje od”: N
Množenje. Na temelju operacije zbrajanja ogromnog broja prirodnih brojeva uvodi se operacija množenja koja se označava amblemom “·”. Umnožak M·N 2 prirodna broja M i N je broj K dobiven iz broja M kao rezultat (N-1)-strukog zbrajanja broja M s njim. Umnožak 2 prirodna broja je prirodan broj.
Podjela. Na temelju operacije množenja definira se operacija dijeljenja koja se označava simbolom “/”. Osobni M/N dvaju prirodnih brojeva M i N je broj K koji pomnožen s N daje M. Ni za jedan par prirodnih brojeva ne postoji osobni prirodni broj. U slučajevima kada postoji, kaže se da su dva prirodna broja djeljiva jedan s drugim.
Izvori:
Dodatno u bazi podataka stranice:
Priča
Prirodni brojevi i raznih sustava korišteni su za njihovo označavanje u drevnim civilizacijama: drevna Mezopotamija, Drevni Egipt, Stara Kina, u plemenima Maja. Koncept broja "nula" očito se pojavio kasnije od koncepta prirodnih brojeva u kasnom Babilonu i kod Maja.
Napomena 1
U najstarija vremena za brojanje su se koristili štapići. Ovaj način bilježenja sačuvan je u rimskom računu. Broj na ovoj snimci bio je zbroj ili razlika štapića, koji je bio napisan bez ikakvih znakova.
S razvojem brojevnih sustava počeli su se pojedini brojevi označavati slovima abecede. U moderni sustavi U zapisu, vrijednost svake znamenke broja određuje njezino mjesto u zapisu broja. Prvi takvi sustavi brojeva bili su babilonski (šezdeseti) i indijski (decimalni).
Indijska verzija decimalni sustav Sustav brojeva je moderni arapski sustav s tom razlikom što indijski sustav nije imao nulu. Broj $0$ izmislili su Arapi, nakon čega je brojevni sustav poprimio svoj moderni oblik.
Za izračunavanje vremena koristi se seksagezimalni sustav (temeljen na broju $60$): $1$ sat sadrži $60$ minuta, $1$ minuta sadrži $60$ sekundi.
Radovi matematičara Pierrea de Fermata postavili su temelje teoriji brojeva ili višoj aritmetici kao zasebnoj znanosti koja proučava čista, formalna svojstva prirodnih brojeva.
Cijeli brojevi. Skup prirodnih brojeva
Prirodni brojevi $1, 2, 3, \dots$ služe za brojanje (jedna kruška, dvije kruške, tri kruške itd.) ili za označavanje rednog broja predmeta među sličnim.
Prirodni brojevi obično se pišu arapskim brojevima: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Slika 1.
Definicija 1
Cijeli brojevi(ili prirodni brojevi) su brojevi koji prirodno nastaju prilikom brojanja nečega.
Primjer 1
Prirodni brojevi će biti: $3, 48, 157, 1089, $25556.
Posložimo li sve prirodne brojeve u rastućem redoslijedu, dobit ćemo prirodne serije.
Postoje dva pristupa određivanju prirodnih brojeva:
Brojevi koji nastaju prilikom brojanja (numeriranja) predmeta (na primjer, prvi, drugi, itd.).
Brojevi koji označavaju broj predmeta (bez stolice, jedna stolica, dvije stolice itd.).
U prvom pristupu prirodni niz počinje od jedinice, u drugom od nule.
Matematičari nisu došli do jednoglasnog zaključka treba li nulu smatrati prirodnim brojem. U većini ruskih izvora prvi pristup je tradicionalan. Drugi pristup široko se koristi u programiranju (na primjer, kod indeksiranja nizova, numeriranja bitova strojnog koda itd.).
Napomena 2
Prirodni brojevi ne uključuju negativne ili necijele brojeve.
Definicija 2
Skup svih prirodnih brojeva označava se s $N=\left\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\)$ i karakterizira ga beskonačnost, jer za svaki prirodni broj $n$ postoji prirodan broj koji će biti veći od $n$.
Primjer 2
Koji brojevi su prirodni brojevi?
\[-6;\ \ 5;\ \ 0,6;\ \ \ \frac(1)(2);\ \ \ \sqrt(5);\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12, 5; \\\4.\]
Odgovor: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$
Pri formuliranju i dokazivanju mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva zgodno je koristiti nulu, pa prvi pristup koristi koncept prošireni skup prirodnih brojeva, koji sadrži nulu i označava se $N_0$ ili $Z_0$.
Nula kao prirodan broj
U ruskoj literaturi uobičajeno je isključiti nulu iz broja prirodnih brojeva ($0\notin N$), a skup prirodnih brojeva s nulom označava se s $N_0$.
U međunarodnoj matematičkoj literaturi skup $\left\(1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\)$ obično se naziva skup pozitivnih cijelih brojeva i označavaju $Z+$. Skup $\lijevo\(0,\ \ 1,\ \ 2,\ \točke \desno\)$ obično se naziva skup nenegativnih cijelih brojeva i označavaju $Z(\ge 0)$.
Podijelite broj s desna na lijevo u grupe od $3$ znamenki.
Ime klase se preskače ako je grupa brojeva samo nula.
Slika 2.
Poziva se svaka znamenka klase razredni rang.
Manji prirodni broj je onaj koji se prvi koristi u izračunu. Na primjer, broj $9$ je manji od $20$ (napisano $9 55$.
Peanovi aksiomi za prirodne brojeve
Skup ćemo nazvati $N$ skup prirodnih brojeva, ako su neka jedinica elementa $1\in N$ i sljedeća funkcija $S:N\to N$ fiksni tako da su ispunjeni sljedeći uvjeti:
$1\u N$: jedan je prirodan broj.
Ako je $x\u N$, tada $S\lijevo(x\desno)\u N$: Ako je broj prirodan broj, onda je sljedeći broj iza njega također prirodan broj).
$\nepostoji x\u N\ \lijevo(S\lijevo(x\desno)=1\desno)$: Ne postoji prirodni broj koji dolazi ispred jedan).
Ako je $S\lijevo(b\desno)=a$ i $S\lijevo(c\desno)=a$, onda je $b=c$: Ako prirodan broj $a$ slijedi broj $b$ i broj $ c$, tada $b=c$.
Aksiom indukcije. Neka je $P\lijevo(n\desno)$ neki unarni predikat koji ovisi o prirodnom broju $n$. Zatim:
Ako je $P\lijevo(1\desno)$ i $\forall n\lijevo(P\lijevo(n\desno)\Longrightarrow P\lijevo(S\lijevo(n\desno)\desno)\desno)$, tada $\zasve n\ P\lijevo(n\desno)$:
Ako neka izjava$P$ je istinito za $n=1$ i za bilo koje $n$ istinitost $P\lijevo(n\desno)$ implicira istinitost $P\lijevo(n+1\desno)$, tada $P \left(n \right)$ vrijedi za svaki prirodni broj $n$.
Svi aksiomi odražavaju ideju prirodnog niza i brojevne linije.
Teorijska definicija prirodnih brojeva (Frege--Russell definicija)
Prema teoriji skupova, jedini objekt za konstruiranje bilo kojeg matematičkog sustava je skup.
Dakle, na temelju koncepta skupa, prirodni brojevi se uvode prema dva pravila:
- $0=\emptyset $
$S\lijevo(n\desno)=n\šalica \lijevo\(n\desno\)$
Tako zadane brojeve nazivamo redni ili redni.
Prvi redni brojevi i prirodni brojevi koji im odgovaraju opisani su na sljedeći način:
$1=\lijevo\(0\desno\)=\lijevo\(\emptyset \desno\)$
$2=\lijevo\(0,\ \ 1\desno\)=\lijevo\(\emptyset ,\ \ \lijevo\(\emptyset \desno\)\desno\)$
$3=\lijevo\(0,\ \ 1,\ \ 2\desno\)=\lijevo\(\emptyset ,\ \ \lijevo\(\emptyset \desno\),\ \ \lijevo\(\emptyset ,\ \ \lijevo\(\emptyset \desno\)\desno\)\desno\)$