Kako saznati bazu brojevnog sustava. Pretvaranje brojeva u binarni, heksadecimalni, decimalni, oktalni brojevni sustav. Pretvaranje brojeva: iz binarnih u decimalne

Pretvorba u decimalni brojevni sustav

Vježba 1. Kojem broju u decimalnom sustavu odgovara 24 16?

Riješenje.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Odgovor. 24 16 = 36 10

Zadatak 2. Poznato je da je X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Kolika je vrijednost X u decimalnom brojevnom sustavu?

Riješenje.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Pronađite broj: X = 6 + 4 + 5 = 15

Odgovor. X = 15 10

Zadatak 3. Izračunajte vrijednost zbroja 10 2 + 45 8 + 10 16 u decimalnom zapisu.

Riješenje.

Pretvorimo svaki član u decimalni brojevni sustav:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Zbroj je: 2 + 37 + 16 = 55

Pretvorba u binarni brojevni sustav

Vježba 1.Što je broj 37 u binarnom sistemu?

Riješenje.

Možete pretvoriti dijeljenjem s 2 i kombiniranjem ostataka obrnutim redoslijedom.

Drugi način je rastaviti broj na zbroj potencija dvojke, počevši od najveće, čiji je izračunati rezultat manji od zadanog broja. Prilikom pretvorbe nedostajuće potencije broja treba zamijeniti nulama:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Odgovor. 37 10 = 100101 2 .

Zadatak 2. Koliko značajnih nula ima u binarnom zapisu decimalnog broja 73?

Riješenje.

Rastavimo broj 73 na zbroj potencija dvojke, počevši od najveće, zatim potencije koje nedostaju množimo s nulama, a postojeće potencije s jedinicom:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Odgovor. Binarni prikaz decimalnog broja 73 ima četiri značajne nule.

Zadatak 3. Izračunajte zbroj brojeva x i y za x = D2 16, y = 37 8. Rezultat prikazati u binarnom brojevnom sustavu.

Riješenje.

Podsjetimo se da je svaka znamenka heksadecimalnog broja sastavljena od četiri binarne znamenke, a svaka znamenka oktalnog broja od tri:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Zbrojimo dobivene brojeve:

11010010 11111 -------- 11110001

Odgovor. Zbroj brojeva D2 16 i y = 37 8, predstavljen u binarnom brojevnom sustavu, iznosi 11110001.

Zadatak 4. dano: a= D7 16, b= 331 8 . Koji broj c, napisano u binarnom brojevnom sustavu, zadovoljava uvjet a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Riješenje.

Pretvorimo brojeve u binarni brojevni sustav:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Prve četiri znamenke svih brojeva su iste (1101). Stoga je usporedba pojednostavljena na usporedbu donje četiri znamenke.

Prvi broj s popisa jednak je broju b, dakle, nije prikladan.

Drugi broj je veći od b. Treći broj je a.

Prikladan je samo četvrti broj: 0111< 1000 < 1001.

Odgovor.Četvrta opcija (11011000) ispunjava uvjet a< c < b .

Zadaci za određivanje vrijednosti u raznim brojevnim sustavima i njihovim bazama

Vježba 1. Za kodiranje znakova @, $, &, % koriste se dvoznamenkasti sekvencijalni binarni brojevi. Prvi znak odgovara broju 00. Pomoću ovih znakova kodiran je sljedeći niz: $%&&@$. Dekodirajte ovaj niz i pretvorite rezultat u heksadecimalni brojevni sustav.

Riješenje.

1. Usporedimo binarne brojeve sa znakovima koje kodiraju:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Pretvorite binarni broj u heksadecimalni brojevni sustav:
0111 1010 0001 = 7A1

Odgovor. 7A1 16.

Zadatak 2. U vrtu 100 x voćke, od toga 33 x jabuke, 22 x kruške, 16 x šljive, 17 x trešnje. Što je baza brojevnog sustava (x).

Riješenje.

1. Imajte na umu da su svi pojmovi dvoznamenkasti brojevi. U bilo kojem brojevnom sustavu mogu se predstaviti na sljedeći način:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, gdje su a i b znamenke odgovarajućih znamenki broja.
Za troznamenkasti broj bit će ovako:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Uvjet problema je:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Zamijenimo brojeve u formule:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Idemo odlučiti kvadratna jednadžba:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Korijen od D je 11.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ili x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Negativan broj ne može biti baza brojevnog sustava. Stoga x može biti samo 9.

Odgovor. Tražena baza brojevnog sustava je 9.

Zadatak 3. U brojevnom sustavu s nekom bazom decimalni broj 12 zapisuje se kao 110. Pronađite tu bazu.

Riješenje.

Prvo ćemo broj 110 napisati kroz formulu za zapis brojeva u pozicijskim brojevnim sustavima kako bismo pronašli vrijednost u decimalnom brojevnom sustavu, a zatim ćemo grubom silom pronaći bazu.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Moramo dobiti 12. Pokušajmo 2: 2 2 + 2 = 6. Pokušaj 3: 3 2 + 3 = 12.

To znači da je baza brojnog sustava 3.

Odgovor. Tražena baza brojevnog sustava je 3.

Zadatak 4. U kojem bi brojevnom sustavu decimalni broj 173 bio predstavljen kao 445?

Riješenje.
Označimo nepoznatu bazu kao X. Napišemo sljedeću jednadžbu:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
S obzirom na to da bilo koji pozitivan broj na nultu potenciju jednaka 1, prepisat ćemo jednadžbu (nećemo označavati bazu 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Naravno, takva se kvadratna jednadžba može riješiti pomoću diskriminante, ali postoji jednostavnije rješenje. Oduzmite 4 od desne i lijeve strane
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 ili 13 2 = (2*X+1) 2
Odavde dobivamo 2*X +1 = 13 (odbacujemo negativni korijen). Ili X = 6.
Odgovor: 173 10 = 445 6

Zadaci nalaženja nekoliko baza brojevnih sustava

Postoji skupina zadataka u kojima treba nabrojati (uzlaznim ili silaznim redoslijedom) sve baze brojevnih sustava u kojima prikaz zadanog broja završava zadanom znamenkom. Ovaj problem je riješen vrlo jednostavno. Prvo trebate oduzeti zadanu znamenku od izvornog broja. Rezultirajući broj bit će prva baza brojevnog sustava. A sve ostale baze mogu biti samo djelitelji ovog broja. (Ova tvrdnja je dokazana na temelju pravila za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi - vidi paragraf 4). Samo zapamti to baza brojevnog sustava ne može biti manja od zadane znamenke!

Primjer
Odvojene zarezima, u rastućem redoslijedu, označavaju sve baze brojevnih sustava u kojima broj 24 završava s 3.

Riješenje
24 – 3 =21 je prva baza (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 je djeljiv sa 3 i 7. Broj 3 nije prikladan, jer Ne postoji znamenka 3 u sustavu brojeva s bazom 3.
Odgovor: 7, 21

U tečajevima informatike, bez obzira na školu ili fakultet, posebno se mjesto daje konceptu kao što su brojčani sustavi. U pravilu se za to izdvaja nekoliko lekcija ili praktičnih vježbi. Glavni cilj nije samo svladavanje osnovnih pojmova teme, proučavanje vrsta brojevnih sustava, već i upoznavanje s binarnom, oktalnom i heksadecimalnom aritmetikom.

Što to znači?

Počnimo s definiranjem osnovnog pojma. Kako se u udžbeniku "Informatika" navodi, brojevni sustav je zapis brojeva koji koristi posebnu abecedu ili određeni skup brojeva.

Ovisno o tome mijenja li se vrijednost znamenke ovisno o njezinu položaju u broju, razlikuju se dva: položajni i nepozicijski brojevni sustav.

U položajnim sustavima značenje znamenke mijenja se zajedno s njezinim položajem u broju. Dakle, ako uzmemo broj 234, tada broj 4 u njemu označava jedinice, ali ako uzmemo u obzir broj 243, tada će to već značiti desetice, a ne jedinice.

U nepozicijskim sustavima značenje znamenke je statično, bez obzira na njezin položaj u broju. Najupečatljiviji primjer je sustav štapića, gdje je svaka jedinica označena crticom. Nije važno gdje stavite štap, vrijednost broja će se promijeniti samo za jedan.

Nepozicijski sustavi

Nepozicijski brojčani sustavi uključuju:

1. Jedinični sustav koji se smatra jednim od prvih. Koristio je štapiće umjesto brojeva. Što ih je bilo više, to je broj bio veći. Primjer ovako zapisanih brojeva možete pronaći u filmovima gdje je riječ o ljudima izgubljenim u moru, zatvorenicima koji svaki dan obilježavaju uz pomoć zareza na kamenu ili drvetu.
2. Roman, u kojem su umjesto brojeva korištena latinična slova. Pomoću njih možete napisati bilo koji broj. Štoviše, njegova je vrijednost određena pomoću zbroja i razlike znamenki koje su činile broj. Ako je lijevo od broja bilo manji broj, tada je lijeva znamenka oduzeta od desne, a ako je znamenka s desne strane bila manja ili jednaka znamenki s lijeve strane, tada su njihove vrijednosti zbrajane. Na primjer, broj 11 je napisan kao XI, a 9 - IX.
3. Abecedni, u kojem su brojevi označeni abecedom određenog jezika. Jedan od njih se smatra slavenskim sustavom, u kojem je niz slova imao ne samo fonetičko, već i numeričko značenje.
4. u kojem su se za pisanje koristila samo dva zapisa – klinovi i strelice.
5. Egipat je također koristio posebne simbole za predstavljanje brojeva. Prilikom pisanja broja, svaki simbol se može koristiti najviše devet puta.

Sustavi položaja

U informatici se velika pažnja posvećuje položajnim brojevnim sustavima. To uključuje sljedeće:

• binarni;
• oktalni;
• decimal;
• heksadecimalni;
• sexagesimal, koristi se pri računanju vremena (na primjer, u minuti ima 60 sekundi, u satu 60 minuta).

Svaki od njih ima svoju abecedu za pisanje, pravila za prevođenje i izvođenje aritmetičkih operacija.

Dekadski sustav

Ovaj sustav nam je najpoznatiji. Za pisanje brojeva koristi brojeve od 0 do 9. Nazivaju se i arapskim. Ovisno o položaju znamenke u broju, može predstavljati različite znamenke - jedinice, desetice, stotine, tisuće ili milijune. Koristimo ga posvuda, znamo osnovna pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije s brojevima.

Binarni sustav

Jedan od glavnih brojevnih sustava u informatici je binarni. Njegova jednostavnost omogućuje računalu izvođenje glomaznih izračuna nekoliko puta brže nego u decimalnom sustavu.

Za pisanje brojeva koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Štoviše, ovisno o položaju 0 ili 1 u broju, njegova vrijednost će se promijeniti.

U početku su uz pomoć računala dobivali sve potrebne informacije. U ovom slučaju, jedan je značio prisutnost signala koji se prenosi pomoću napona, a nula je značila njegovu odsutnost.

Oktalni sustav

Još jedan dobro poznati računalni sustav brojeva, koji koristi brojeve od 0 do 7. Koristio se uglavnom u onim područjima znanja koja su povezana s digitalni uređaji. Ali u U posljednje vrijeme koristi se mnogo rjeđe, jer je zamijenjen heksadekadskim brojevnim sustavom.

Binarni decimalni sustav

Predstavljanje velikih brojeva u binarnom obliku prilično je kompliciran proces za ljude. Da bismo ga pojednostavili, razvijen je obično se koristi u elektroničkim satovima i kalkulatorima. U ovom sustavu ne pretvara se cijeli broj iz decimalnog sustava u binarni, već se svaka znamenka pretvara u odgovarajući skup nula i jedinica u binarnom sustavu. Pretvorba iz binarnog u decimalni se događa na sličan način. Svaka znamenka, predstavljena kao četveroznamenkasti skup nula i jedinica, pretvara se u znamenku decimalnog brojevnog sustava. U principu, nema ništa komplicirano.

Za rad s brojevima u u ovom slučaju bit će korisna tablica brojčanih sustava koja će pokazati korespondenciju između brojeva i njihovog binarnog koda.

Heksadecimalni sustav

Nedavno je heksadecimalni brojevni sustav sve popularniji u programiranju i informatici. Ne koristi samo brojeve od 0 do 9, već i niz latiničnih slova - A, B, C, D, E, F.

Istovremeno, svako od slova ima svoje značenje, pa tako A=10, B=11, C=12 itd. Svaki broj je predstavljen kao skup od četiri znaka: 001F.

Pretvaranje brojeva: iz decimalnog u binarni

Prijevod u brojevnim sustavima odvija se prema određenim pravilima. Najčešća konverzija je iz binarnog u decimalni sustav i obrnuto.

Da bi se broj iz decimalnog sustava preveo u binarni, potrebno ga je sekvencijalno podijeliti bazom brojevnog sustava, odnosno brojem dva. U tom slučaju mora se zabilježiti ostatak svakog dijeljenja. To će se događati sve dok ostatak dijeljenja ne bude manji ili jednak jedan. Najbolje je izvršiti izračune u stupcu. Dobiveni ostaci dijeljenja zatim se zapisuju u red obrnutim redoslijedom.

Na primjer, pretvorimo broj 9 u binarni:

Podijelimo 9, budući da broj nije djeljiv cjelinom, tada uzmemo broj 8, ostatak će biti 9 - 1 = 1.

Nakon dijeljenja 8 s 2 dobivamo 4. Podijelimo ga ponovno, budući da je broj djeljiv cijelim brojem - dobivamo ostatak 4 - 4 = 0.

Istu operaciju izvodimo s 2. Ostatak je 0.

Kao rezultat dijeljenja dobivamo 1.

Bez obzira na konačni brojevni sustav, pretvorba brojeva iz decimalnog u bilo koji drugi dogodit će se prema načelu dijeljenja broja s bazom položajnog sustava.

Pretvaranje brojeva: iz binarnih u decimalne

Prilično je lako pretvoriti brojeve u decimalni brojevni sustav iz binarnog. Da biste to učinili, dovoljno je znati pravila za podizanje brojeva na ovlasti. U ovom slučaju, na potenciju dva.

Algoritam prevođenja je sljedeći: svaka znamenka iz koda binarnog broja mora se pomnožiti s dva, a prve dvije će biti na potenciju m-1, druga - m-2 i tako dalje, gdje je m broj znamenki u kodu. Zatim zbrojite rezultate zbrajanja da dobijete cijeli broj.

Za školarce se ovaj algoritam može jednostavnije objasniti:

Za početak uzmemo i zapišemo svaku znamenku pomnoženu s dva, a zatim stavimo potenciju dva s kraja, počevši od nule. Zatim zbrajamo dobiveni broj.

Kao primjer, analizirat ćemo ranije dobiveni broj 1001, pretvarajući ga u decimalni sustav i istovremeno provjeriti ispravnost naših izračuna.

Izgledat će ovako:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Kada proučavate ovu temu, prikladno je koristiti tablicu s ovlastima dva. To će značajno smanjiti vrijeme potrebno za izvođenje izračuna.

Ostale mogućnosti prijevoda

U nekim slučajevima, prevođenje se može izvršiti između binarnog i oktalnog brojevnog sustava, binarnog i heksadecimalnog. U tom slučaju možete koristiti posebne tablice ili pokrenuti aplikaciju kalkulatora na računalu odabirom opcije “Programer” u kartici Pogled.

Aritmetičke operacije

Bez obzira na oblik u kojem je broj prikazan, može se koristiti za izvođenje nama poznatih izračuna. To može biti dijeljenje i množenje, oduzimanje i zbrajanje u brojevnom sustavu koji ste odabrali. Naravno, svaki od njih ima svoja pravila.

Dakle, za binarni sustav razvijene su vlastite tablice za svaku od operacija. Iste se tablice koriste iu drugim položajnim sustavima.

Nema potrebe da ih pamtite - jednostavno ih isprintajte i imajte pri ruci. Također možete koristiti kalkulator na računalu.

Jedan od najvažnije teme u informatici - brojevni sustav. Poznavanje ove teme, razumijevanje algoritama za pretvaranje brojeva iz jednog sustava u drugi je ključ činjenice da ćete moći razumjeti više teške teme, kao što su algoritmizacija i programiranje, te ćete moći sami napisati svoj prvi program.

Svrha usluge. Usluga je dizajnirana za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi mrežni način rada. Da biste to učinili, odaberite bazu sustava iz koje želite pretvoriti broj. Možete unijeti i cijele brojeve i brojeve sa zarezima.

Možete unijeti i cijele brojeve, na primjer 34, i razlomke, na primjer 637.333. Za razlomački brojevi Označena je točnost prijevoda nakon decimalne točke.

Sljedeće se također koristi s ovim kalkulatorom:

Načini predstavljanja brojeva

Binarni (binarni) brojevi - svaka znamenka označava vrijednost jednog bita (0 ili 1), najvažniji bit se uvijek piše lijevo, slovo “b” se stavlja iza broja. Radi lakše percepcije, bilježnice se mogu odvojiti razmacima. Na primjer, 1010 0101b.
Heksadecimalni (heksadecimalni) brojevi - svaka tetrada je predstavljena jednim simbolom 0...9, A, B, ..., F. Ovaj prikaz se može označiti na različite načine ovdje se koristi samo simbol “h” nakon zadnjeg heksadecimalnog broja broj. Na primjer, A5h. U programskim tekstovima, isti broj može biti označen kao 0xA5 ili 0A5h, ovisno o sintaksi programskog jezika. Početna nula (0) dodaje se lijevo od najznačajnije heksadecimalne znamenke predstavljene slovom kako bi se razlikovali brojevi i simbolička imena.
Decimal (decimalni) brojevi – svaki bajt (riječ, dvostruka riječ) predstavlja se kao običan broj, a znak decimalnog prikaza (slovo “d”) obično se izostavlja. Bajt u prethodnim primjerima ima decimalnu vrijednost 165. Za razliku od binarnog i heksadecimalnog zapisa, decimalni je teško mentalno odrediti vrijednost svakog bita, što je ponekad neophodno.
Oktalni (oktalni) brojevi - svaka trojka bitova (podjela počinje od najmanje značajnog) piše se kao broj 0–7, sa "o" na kraju. Isti bi broj bio zapisan kao 245o. Oktalni sustav je nezgodan jer se bajt ne može jednako podijeliti.

Algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sustav provodi se dijeljenjem broja s bazom novi sustav numeriranje sve dok ostatak ne ostane broj manji od baze novog brojevnog sustava. Novi broj zapisuje se kao ostatak dijeljenja, počevši od zadnjeg.
Prijevod ispravnog decimal na drugi PSS provodi se množenjem samo razlomačkog dijela broja s bazom novog brojevnog sustava sve dok sve nule ne ostanu u razlomačkom dijelu ili dok se ne postigne navedena točnost prevođenja. Kao rezultat svake operacije množenja nastaje jedna znamenka novog broja, počevši od najviše.
Neispravno prevođenje razlomaka provodi se prema pravilima 1 i 2. Cijeli i razlomački dio pišu se zajedno, odvojeni zarezom.

Primjer br. 1.



Pretvorba iz 2 u 8 u 16 brojevni sustav.
Ovi sustavi su višekratnici dva, stoga se prijevod provodi pomoću tablice korespondencije (vidi dolje).

Za pretvaranje broja iz binarnog brojevnog sustava u oktalni (heksadecimalni) brojevni sustav potrebno je binarni broj od decimalne točke desno i lijevo podijeliti u skupine od tri (četiri za heksadecimalni) znamenke, dopunjujući vanjske skupine s nulama ako je potrebno. Svaka skupina zamijenjena je odgovarajućom oktalnom ili heksadecimalnom znamenkom.

Primjer br. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ovdje 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Prilikom pretvaranja u heksadecimalni sustav morate podijeliti broj na dijelove od četiri znamenke, slijedeći ista pravila.
Primjer br. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ovdje 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Pretvorba brojeva od 2, 8 i 16 u decimalni sustav provodi se rastavljanjem broja na pojedinačne i množenjem s bazom sustava (iz koje je broj preveden) podignutom na potenciju koja odgovara njegovom rednom broju u broj koji se pretvara. U ovom slučaju brojevi se numeriraju lijevo od decimalnog zareza (prvi broj je označen s 0) s rastućim, a desno s opadajućim (tj. negativnim predznakom). Dobiveni rezultati se zbrajaju.

Primjer br. 4.
Primjer pretvorbe iz binarnog u decimalni brojevni sustav.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Primjer pretvorbe iz oktalnog u decimalni brojevni sustav. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Primjer pretvorbe iz heksadecimalnog u decimalni brojevni sustav. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Još jednom ponavljamo algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi PSS

1. Iz decimalnog brojevnog sustava:
   • podijeliti broj s bazom brojevnog sustava koji se prevodi;
   • pronaći ostatak pri dijeljenju cijelog dijela broja;
   • zapisati sve ostatke od dijeljenja obrnutim redom;
2. Iz binarnog brojevnog sustava
   • Za pretvorbu u decimalni brojevni sustav potrebno je pronaći zbroj umnožaka baze 2 s odgovarajućim stupnjem znamenke;
   • Da biste broj pretvorili u oktalni, morate ga podijeliti na trijade.
     Na primjer, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Da biste pretvorili broj iz binarnog u heksadecimalni broj, trebate podijeliti broj u grupe od 4 znamenke.
     Na primjer, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Sustav se naziva položajnim, za koje značaj ili težina znamenke ovisi o njezinom mjestu u broju. Odnos između sustava prikazan je tablicom.
Tablica korespondencije brojevnog sustava:

Binarni SS	Heksadecimalni SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tablica za pretvorbu u oktalni brojevni sustav

Primjer br. 2. Pretvorite broj 100,12 iz decimalnog brojevnog sustava u oktalni brojevni sustav i obrnuto. Objasnite razloge odstupanja.
Riješenje.
1. faza. .

Ostatak dijeljenja zapisujemo obrnutim redom. Dobivamo broj u 8. brojevnom sustavu: 144
100 = 144 8

Da bismo pretvorili razlomački dio broja, uzastopno množimo razlomački dio s bazom 8. Kao rezultat toga, svaki put zapisujemo cijeli dio umnoška.
0,12*8 = 0,96 (cijeli dio 0 )
0,96*8 = 7,68 (cijeli dio 7 )
0,68*8 = 5,44 (cijeli dio 5 )
0,44*8 = 3,52 (cijeli dio 3 )
Dobivamo broj u 8. brojevnom sustavu: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Faza 2. Pretvaranje broja iz decimalnog brojevnog sustava u oktalni brojevni sustav.
Obrnuta pretvorba iz oktalnog brojevnog sustava u decimalni.

Da biste preveli cijeli broj, trebate pomnožiti znamenku broja s odgovarajućim stupnjem znamenke.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Da biste pretvorili razlomački dio, trebate podijeliti znamenku broja s odgovarajućim stupnjem znamenke
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Razlika od 0,0001 (100,12 - 100,1199) objašnjava se pogreškom zaokruživanja pri pretvorbi u oktalni brojevni sustav. Ova greška se može smanjiti ako uzmemo veći broj znamenki (na primjer, ne 4, već 8).

Osnovni pojmovi o brojevnim sustavima

Brojevni sustav je skup pravila i tehnika za pisanje brojeva pomoću skupa digitalnih znakova. Broj znamenki potrebnih za zapis broja u sustavu naziva se baza brojevnog sustava. Osnova sustava ispisana je s desne strane broja u indeksu: ; ; itd.

Postoje dvije vrste brojčanih sustava:

položajni, kada je vrijednost svake znamenke broja određena njezinim položajem u zapisu broja;

nepozicijski, kada vrijednost znamenke u broju ne ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja.

Primjer nepozicijskog brojevnog sustava je rimski: brojevi IX, IV, XV itd. Primjer pozicijskog brojevnog sustava je decimalni sustav koji se koristi svaki dan.

Bilo koji cijeli broj u položajnom sustavu može se napisati u polinomnom obliku:

gdje je S baza brojevnog sustava;

Znamenke broja zapisane u zadanom brojevnom sustavu;

n je broj znamenki broja.

Primjer. Broj bit će napisan u polinomnom obliku na sljedeći način:

Vrste brojevnih sustava

Rimski brojevni sustav je nepozicijski sustav. Za pisanje brojeva koristi slova latinične abecede. U ovom slučaju slovo I uvijek znači jedan, slovo V znači pet, X znači deset, L znači pedeset, C znači sto, D znači pet stotina, M znači tisuću itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Pri pisanju brojeva u rimskom brojevnom sustavu, vrijednost broja je algebarski zbroj znamenki koje su u njemu uključene. Pri tome se znamenke u zapisu broja u pravilu nalaze u silaznom redoslijedu svojih vrijednosti, a nije dopušteno pisati više od tri jednake znamenke jedna do druge. Kada iza znamenke veće vrijednosti slijedi znamenka manje vrijednosti, njen doprinos vrijednosti broja kao cjeline je negativan. Tipični primjeri koji ilustriraju Opća pravila zapisi brojeva u rimskom brojčanom sustavu dati su u tablici.

Tablica 2. Zapisivanje brojeva u rimskom brojčanom sustavu

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Nedostatak rimskog sustava je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, sukladno tome, aritmetičkih operacija s višeznamenkasti brojevi. Zbog svoje nepogodnosti i velike složenosti, rimski brojevni sustav trenutno se koristi tamo gdje je to stvarno zgodno: u literaturi (numeriranje poglavlja), u pripremi dokumenata (serije putovnica, vrijednosni papiri itd.), u dekorativne svrhe na brojčaniku sata i u nizu drugih slučajeva.

Dekadski brojevni sustav trenutno je najpoznatiji i najkorišteniji. Izum decimalnog brojevnog sustava jedno je od glavnih dostignuća ljudske misli. Bez toga teško da bi postojao, a još manje nastao. Moderna tehnologija. Razlog zašto je decimalni brojevni sustav postao općeprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli računati u decimalnom brojevnom sustavu jer imaju 10 prstiju na rukama.

Drevna slika decimalnih znamenki (slika 1) nije slučajna: svaka znamenka predstavlja broj prema broju kutova u sebi. Na primjer, 0 - nema kutova, 1 - jedan kut, 2 - dva kuta, itd. Pisanje decimalnih brojeva doživjelo je značajne promjene. Oblik koji koristimo nastao je u 16. stoljeću.

Decimalni sustav se prvi put pojavio u Indiji oko 6. stoljeća nova era. Indijsko numeriranje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu za označavanje praznog mjesta. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas, brojevi su pisani obrnutim redoslijedom - najznačajniji broj bio je smješten s desne strane. No ubrzo je postalo pravilo da se takav broj stavlja s lijeve strane. Posebno značenje je dobio simbol nule, koji je uveden za sustav pozicijske oznake. Indijsko numeriranje, uključujući nulu, preživjelo je do danas. U Europi su se hinduističke metode decimalne aritmetike raširile početkom 13. stoljeća. zahvaljujući radu talijanskog matematičara Leonarda iz Pise (Fibonacci). Europljani su od Arapa posudili indijski brojevni sustav, nazvavši ga arapskim. Ovaj povijesni pogrešan naziv traje do danas.

Decimalni sustav koristi deset znamenki — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 — kao i simbole "+" i "–" za označavanje predznaka broja i zarez ili točka za odvajanje cijelih i decimalnih dijelova.

U računala koristi se binarni brojevni sustav čija je baza broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sustavu koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Suprotno uvriježenom pogrešnom mišljenju, binarni brojevni sustav nisu izumili inženjeri računalnog dizajna, već matematičari i filozofi davno prije pojave računala, još u 17. - 19. stoljeću. Prvu objavljenu raspravu o binarnom brojevnom sustavu vodi španjolski svećenik Juan Caramuel Lobkowitz (1670.). Opću pozornost na ovaj sustav privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. U njemu su objašnjene binarne operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio korištenje ovog sustava za praktične proračune, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. S vremenom binarni brojevni sustav postaje dobro poznat i razvija se.

Odabir binarnog sustava za korištenje u računalna tehnologija objašnjava se činjenicom da elektronički elementi- okidači koji čine računalne čipove mogu biti samo u dva radna stanja.

Pomoću binarnog sustava kodiranja možete zabilježiti bilo koji podatak i znanje. To je lako razumjeti ako se prisjetimo principa kodiranja i prijenosa informacija Morseovim kodom. Telegrafist, koristeći samo dva simbola ove abecede - točkice i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.

Binarni sustav je zgodan za računalo, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teški za pisanje i pamćenje. Naravno, možete pretvoriti broj u decimalni sustav i napisati ga u ovom obliku, a zatim, kada ga trebate pretvoriti natrag, ali svi ti prijevodi su radno intenzivni. Stoga se koriste brojevni sustavi srodni binarnom - oktalni i heksadecimalni. Za pisanje brojeva u ovim sustavima potrebno je 8 odnosno 16 znamenki. U heksadecimalnom obliku, prvih 10 znamenki je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalna znamenka A odgovara decimalnom broju 10, heksadecimalna B decimalnom broju 11 itd. Upotreba ovih sustava objašnjava se činjenicom da je prijelaz na zapis broja u bilo kojem od ovih sustava iz njegovog binarnog zapisa vrlo jednostavan. Ispod je tablica korespondencije između brojeva napisanih u različitim sustavima.

Tablica 3. Podudarnost brojeva upisanih u raznih sustava mrtvi obračun

Decimal	Binarni	Oktalni	Heksadecimalni
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Pravila za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi važan je dio strojne aritmetike. Razmotrimo osnovna pravila prevođenja.

1. Da biste binarni broj pretvorili u decimalni, potrebno ga je napisati u obliku polinoma koji se sastoji od umnoška znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 2, te ga izračunati prema pravilima decimalna aritmetika:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga dva:

Tablica 4. Potencije broja 2

n (stupanj)
											1024

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sustav.

2. Da bismo oktalni broj pretvorili u decimalni, potrebno ga je zapisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 8, te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga od osam:

Tablica 5. Potencije broja 8

n (stupanj)

Problemi na temu "Sustavi brojeva"

Primjeri rješenja

Zadatak br. 1. Koliko značajnih znamenki ima decimalni broj s bazom 3 357?Riješenje:Pretvorimo broj 35710 u ternarni brojevni sustav:Dakle, 35710 = 1110203. Broj 1110203 sadrži 6 značajnih znamenki.Odgovor: 6.

Zadatak br. 2. Zadano je A=A715, B=2518. Koji od brojeva C, zapisanih u binarnom sustavu, ispunjava uvjet A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Riješenje:Pretvorimo brojeve A=A715 i B=2518 u binarni brojevni sustav, zamjenjujući svaku znamenku prvog broja odgovarajućom tetradom, a svaku znamenku drugog broja odgovarajućom trijadom: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Uvjet a

Zadatak br. 3. Koja znamenka završava decimalnim brojem 123 u brojevnom sustavu s bazom 6?Riješenje:Pretvorimo broj 12310 u brojevni sustav s bazom 6:12310 = 3236. Odgovor: Broj 12310 u brojevnom sustavu s bazom 6 završava brojem 3.Zadaci za izvođenje aritmetičkih operacija nad brojevima prikazanima u različitim brojevnim sustavima

Zadatak br. 4. Izračunaj zbroj brojeva X i Y ako je X=1101112, Y=1358. Rezultat predstaviti u binarnom obliku.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Riješenje:Pretvorimo broj Y=1358 u binarni brojevni sustav, zamjenjujući svaku njegovu znamenku odgovarajućom trijadom: 001 011 1012. Izvršimo zbrajanje:Odgovor: 100101002 (opcija 2).

Zadatak br. 5. Odredite aritmetičku sredinu brojeva 2368, 6S16 i 1110102. Odgovor prikažite u decimalnom brojevnom sustavu.Riješenje:Pretvorimo brojeve 2368, 6S16 i 1110102 u decimalni brojevni sustav:
Izračunajmo aritmetičku sredinu brojeva: (158+108+58)/3 = 10810.Odgovor: aritmetička sredina brojeva 2368, 6C16 i 1110102 je 10810.

Zadatak br. 6. Izračunajte vrijednost izraza 2068 + AF16 ? 110010102. Računajte u oktalnom brojevnom sustavu. Pretvorite svoj odgovor u decimalni sustav.Riješenje:Pretvorimo sve brojeve u oktalni brojevni sustav:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Zbrojimo brojeve:Pretvorimo odgovor u decimalni sustav:Odgovor: 51110.

Zadaci na pronalaženje baze brojevnog sustava

Zadatak br. 7. U vrtu ima 100q voćaka: od toga 33q su jabuke, 22q kruške, 16q šljive i 17q trešnje. Nađi bazu brojevnog sustava u kojem se broje stabla.Riješenje:U vrtu ima ukupno 100q stabala: 100q = 33q+22q+16q+17q.Obrojimo znamenke i predstavimo te brojeve u proširenom obliku:
Odgovor: Stabla se broje u sustavu brojeva s bazom 9.

Zadatak br. 8. Odredite bazu x brojevnog sustava ako znate da je 2002x = 13010.Riješenje:Odgovor:4.

Zadatak br. 9. U brojevnom sustavu s nekom bazom decimalni broj 18 piše se kao 30. Odredite tu bazu.Riješenje:Uzmimo bazu nepoznatog brojevnog sustava kao x i konstruirajmo sljedeću jednakost:1810 = 30x;Obrojimo znamenke i zapišimo te brojeve u proširenom obliku:Odgovor: Decimalni broj 18 zapisuje se kao 30 u brojevnom sustavu s bazom 6.