Zbrajanje s različitim nazivnicima. Kako naučiti oduzimati razlomke s različitim nazivnicima

Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, provjerite možete li skratiti razlomak koji ste dobili.

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima, primjeri:

,

,

Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.

Ako je potrebno od jedinice koja je prava oduzeti razlomak, jedinica se pretvara u oblik nepravog razlomka, čiji je nazivnik jednak nazivniku oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:

Nazivnik razlomka koji se oduzima = 7 , tj. jedan predstavljamo kao nepravi razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.

Pravila za oduzimanje razlomaka - ispravan od cijelog broja (prirodni broj):

• Zadane razlomke koji sadrže cjelobrojni dio pretvaramo u neprave. Dobivamo normalne uvjete (nije važno jesu li uz različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
• Zatim izračunavamo razliku između razlomaka koje smo dobili. Kao rezultat toga, gotovo ćemo pronaći odgovor;
• Izvodimo obrnutu transformaciju, odnosno rješavamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.

Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: prirodni broj predstavite kao mješoviti broj. Oni. Uzimamo jedinicu u prirodnom broju i pretvaramo je u oblik nepravog razlomka, a nazivnik je isti kao kod oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja razlomaka:

U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i od razlomka oduzeli razlomak.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Ili, drugim riječima rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.

Pravilo za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke najprije svesti na najmanji zajednički nazivnik (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi, koji su nazivnici ovih razlomaka.

Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Nepravi razlomak najbolje je prikazati kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjivanja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!

Postupak oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima.

• pronaći LCM za sve nazivnike;
• staviti dodatne faktore za sve razlomke;
• pomnožite sve brojnike dodatnim faktorom;
• Dobivene produkte upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički nazivnik ispod svih razlomaka;
• oduzmite brojnike razlomaka, a ispod razlike upišite zajednički nazivnik.

Na isti način se zbrajanje i oduzimanje razlomaka provodi ako u brojniku postoje slova.

Oduzimanje razlomaka, primjeri:

Oduzimanje mješovitih razlomaka.

Na oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomački dio se oduzima od razlomačkog dijela.

Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.

Ako su razlomački dijelovi isto nazivnici i brojnik razlomačkog dijela umanjenika (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomljenog dijela umanjenika (oduzimamo ga).

Na primjer:

Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.

Kada razlomački dijelovi drugačiji nazivnici. Za početak razlomljene dijelove dovedemo na zajednički nazivnik, a nakon toga od cijelog dijela oduzmemo cijeli dio, a od razlomljenog dijela razlomački dio.

Na primjer:

Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.

Razlomački dio umanjenika je manji od razlomljenog dijela umanjenika.

Primjer:

Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači da, kao i u drugoj opciji, obične razlomke prvo dovodimo na zajednički nazivnik.

Brojnik razlomačkog dijela umanjenika manji je od brojnika razlomačkog dijela umanjenika.3 < 14. To znači da uzimamo jedinicu iz cijelog dijela i tu jedinicu svodimo na oblik nepravog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.

U brojniku s desne strane upišemo zbroj brojnika, zatim u brojniku s desne strane otvorimo zagrade, odnosno sve pomnožimo i damo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. U nazivnicima je uobičajeno ostaviti proizvod. Dobivamo:

Brojnik, a ono s čime je podijeljeno je nazivnik.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojnik, zatim ispod broja povucite vodoravnu crtu, a ispod crte napišite nazivnik. Vodoravna crta koja razdvaja brojnik i nazivnik naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao koso "/" ili "∕". U tom slučaju brojnik se piše s lijeve strane retka, a nazivnik s desne strane. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojnik se obično piše na vrhu retka, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali umnožak razlomaka, prvo pomnožite brojnik s jedan razlomci brojniku je različit. Rezultat upiši u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, prvo pomnožite brojnik prvog s nazivnikom drugog. Učinite isto s drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije izvođenja svih radnji, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je prikladnije: nazivnik bi se trebao pojaviti umjesto brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende s novim nazivnikom djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Izvori:

• Problemi s osnovnim razlomcima

Frakcijski brojevi mogu se izraziti u u različitim oblicima točna vrijednost količine. Možete izvoditi iste matematičke operacije s razlomcima kao i s cijelim brojevima: oduzimanje, zbrajanje, množenje i dijeljenje. Da nauči odlučiti razlomci, moramo zapamtiti neke od njihovih značajki. Ovise o vrsti razlomci, prisutnost cijelog dijela, zajedničkog nazivnika. Neke aritmetičke operacije zahtijevaju da se razlomački dio rezultata smanji nakon izvršenja.

Trebat će vam

• - kalkulator

upute

Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima ima decimala i nepravilnih, ponekad je prikladnije prvo izvesti operacije s decimalama, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti razlomci u ovom obliku na početku, pišući vrijednost iza decimalne točke u brojniku i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako da brojeve iznad i ispod podijelite s jednim djeliteljem. Razlomke u kojima je izoliran cjelobrojni dio potrebno je pretvoriti u pogrešan oblik tako da ga pomnožite s nazivnikom i rezultatu dodate brojnik. Ova vrijednost će postati novi brojnik razlomci. Odabrati cijeli dio od prvobitno netočnog razlomci, potrebno je podijeliti brojnik nazivnikom. Napiši cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne mijenja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je posebno izvoditi akcije, prvo za cijeli, a zatim za razlomačke dijelove. Na primjer, zbroj 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno cijelih i razlomljenih dijelova članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih pomoću razdjelnika “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, smanjite dobiveni razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u u ovom slučaju. U ovom slučaju iznad i ispod crte moraju biti cijeli brojevi.

Bilješka

Nemojte izvoditi aritmetiku s razlomcima čiji su nazivnici različiti. Odaberite takav broj da kad njime pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka, rezultat bude da su nazivnici obaju razlomaka jednaki.

Koristan savjet

Prilikom snimanja razlomački brojevi Dividenda je ispisana iznad crte. Ova količina je označena kao brojnik razlomka. Ispod crte napisan je djelitelj ili nazivnik razlomka. Na primjer, jedan i pol kilogram riže kao razlomak bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimala. U ovom slučaju brojnik (dividenda) piše se desno od cijelog dijela, odvojen zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg računanja takav se razlomak uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krumpira. Radi pojednostavljenja, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako da ih podijelite s jednim cijelim brojem. U u ovom primjeru može se podijeliti s 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krumpira. Provjerite jesu li brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.

Djetetu je teško razumjeti razlomke. Većina ljudi ima poteškoća s. Prilikom proučavanja teme "zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima", dijete pada u stupor, teško mu je riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje mora se izvršiti niz izračuna. Na primjer, pretvorite razlomke ili pretvorite nepravi razlomak u pravi razlomak.

Objasnimo to jasno djetetu. Uzmimo tri jabuke od kojih će dvije biti cijele, a treću isjeći na 4 dijela. Od izrezane jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite uz dvije cijele voćke. S jedne strane dobijemo ¼ jabuke, a s druge 2 ¾. Ako ih spojimo, dobit ćemo tri jabuke. Pokušajmo 2 ¾ jabuke smanjiti za ¼, odnosno maknemo još jednu krišku, dobivamo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo pobliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:

Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za frakcijske izraze sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali to se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju pretvorbu.

Kako pronaći vrijednost izraza u kojem su nazivnici različiti

U nekim zadacima treba pronaći značenje izraza u kojem su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Pronađimo vrijednost ovog izraza pronalaženjem zajedničkog nazivnika za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3 to je 21. Cijele dijelove ostavljamo istima, a razlomke dovodimo do 21, za to prvi razlomak množimo s 3, drugi sa 7, dobivamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat toga dobivamo dva razlomka s istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbroj:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako je rezultat zbrajanja nepravi razlomak koji već ima cjelobrojni dio:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju zbrajamo cijele dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Pronalaženje zbroja je jasno, pogledajmo oduzimanje:

Iz svega rečenog slijedi pravilo za operacije s mješovitim brojevima:

• Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate predstaviti drugi broj kao razlomak; dovoljno je izvršiti operaciju samo na cijelim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:

Pogledajmo pobliže primjer pod slovom "m":

4 5/11-2 8/11, brojnik prvog razlomka manji je od drugog. Da bismo to učinili, posuđujemo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobivamo,
3 5/11+11/11=3 cijelo 16/11, oduzmite drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

• Budite oprezni pri izvršavanju zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, ističući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojnika s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojnik, na primjer:

19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.

Rezimirati:

Prije nego krenemo u zadatak vezan uz razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije je potrebno napraviti na razlomku da bi rješenje bilo točno. Potražite racionalnije rješenje. Nemojte ići težim putem. Isplanirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku bilježnicu.

Kako biste izbjegli zabunu pri rješavanju frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo dosljednosti. Sve odlučite pažljivo, bez žurbe.

Akcije s razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.

Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Sve ove radnje sa decimal rad s razlomcima ne razlikuje se od rada s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono što im je dobro, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.

Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.

Ali akcije sa obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.

Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da podsjetim one potpuno zaboravne: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:

Ukratko, u opći pogled:

Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (evo nam opet dobro dođe!), nazivnike učinimo istima! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. S jedinom svrhom da nazivnici budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je sasvim ok.

Usput, to je bit rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kad smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali prikladnija za rješavanje.

Još jedan primjer:

Situacija je slična. Ovdje činimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem u 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. Ovo se zove "svesti na zajednički nazivnik":

Wow! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!

Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik zajednički svim razlomcima i svesti svaki razlomak na taj isti nazivnik. Na primjer:

I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobit ćemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.

Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički nazivnik, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...

Sami dovršite primjer. Ne nekakav logaritam... Trebalo bi biti 29/16.

Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo dostupno je onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se otkriti novi rake, da...

Dakle, moramo zbrojiti dva razlomka:

Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! To je ono što nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga ne mogu X dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:

I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik na desnoj strani, shvaćamo: da biste dobili nazivnik x(x+1) u prvom razlomku, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x+1) . A u drugom razlomku - do x. Evo što dobivate:

Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo svi brojnik i svi nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo što množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:

Pa smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Kad riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojedobno savladali razlomke, sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!

I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zapnu na primjerima s cijeli brojevima. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa se obnovilo znanje o zbrajanju i oduzimanju razlomaka. Ponovljeno je pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete se i pregledati. Hoćemo li to malo riješiti?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/dijeljenje razlomaka – na sljedećem satu. Tu su i zadaci za sve operacije s razlomcima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Vaše dijete je donijelo domaća zadaća iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ova mini lekcija za vas!

Kako zbrajati decimale

Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu. Za izvođenje zbrajanja decimale, morate se pridržavati jednog jednostavnog pravila:

• Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.

Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetine i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada zbrajamo brojeve, zanemarujući zarez. Što učiniti sa zarezom? Zarez se premješta na mjesto gdje je stajao u kategoriji cijelog broja.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Da biste izvršili zbrajanje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati nazivnik nepromijenjenim, pronaći zbroj brojnika i dobiti razlomak koji će biti ukupni zbroj.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima metodom zajedničkog višekratnika

Prvo na što trebate obratiti pozornost su nazivnici. Nazivnici su različiti, bilo da je jedan djeljiv s drugim, bilo da su prosti brojevi. Prvo morate to dovesti do jednog zajedničkog nazivnika; postoji nekoliko načina da to učinite:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv s 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
• Pomnožimo faktore i zbrojimo dobivene brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.

• Da bismo nepravi razlomak pretvorili u pravi, brojnik podijelimo nazivnikom, dobijemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojnik, a 12 je nazivnik.

Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja

Za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima postoji još jedna metoda koja koristi formulu "križić na križić". Ovo je zajamčeni način izjednačavanja nazivnika; potrebno je pomnožiti brojnike s nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste upravo na početno stanje proučavanje razlomaka, onda je ova metoda najjednostavniji i najtočniji način za dobivanje točnog rezultata pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.