Площадь ромба с равными сторонами. Как найти площадь ромба

Ромб - это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD - длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а - сторона ромба;
h - высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α .

S = a 2 ∙ sinα

где, a - сторона ромба;
α - угол между сторонами.

4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.

S = 2 ∙ a ∙ r

где, a - сторона ромба;
r - радиус вписанной в ромб окружности.

Интересные факты
Слово ромб произошло от древнегреческого rombus, что в переводе означает «бубен». В те времена бубны действительно имели ромбовидную форму, а не круглую, как мы привыкли видеть их в настоящее время. С тех же времен произошло и название карточной масти «бубны». Очень широко ромбы различных видов используются в геральдике.

Ромб - это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.

Какая геометрическая фигура называется ромбом

Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.

Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.

Происхождение термина

Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.

В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.

Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры - Герона Александрийского.

Какими свойствами обладает эта геометрическая фигура

Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.

При каких условиях параллелограмм является ромбом

Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм - это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.

1. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом девяносто градусов.
2. Диагонали разделяют углы надвое, выступая в качестве их биссектрис.
3. Не только параллельные, но и смежные стороны имеют одинаковую длину. В этом, кстати, одно из основных различий между ромбом и параллелограммом, поскольку у второй фигуры одинаковы по длине лишь параллельные стороны, но не смежные.

При каких условиях ромб является квадратом

По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.

Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.

Как узнать площадь ромба с помощью его диагоналей

В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.

Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN - это диагонали ромба KLMN).

Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ - 10 см, а второй LN - 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см 2 .

Формула для вычисления площади параллелограмма

Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL - это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z - это длинна высоты, проведенной к данной стороне.

В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры - 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см - это и есть искомая длина стороны ромба.

Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см 2 .

Другие способы вычисления площади ромба

Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ 2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.

Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2.

Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.

В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга - 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба - далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.

В школьном курсе в геометрии среди основных задач значительное внимание уделено примерам вычисления площади и периметра ромба. Вспомним что ромб принадлежит к отдельному классу четырехугольников и выделяется среди них равными сторонами. Ромб также является частным случаем параллелограмма если у последнего все стороны равны AB=BC=CD=AD . Ниже приведен рисунок на котором изображен ромб.

Свойства ромба

Поскольку ромб занимает некоторую часть параллелограммов то свойства в них будут похожими.

• Противоположные углы ромба как и параллелограмма равны.
• Сумма углов ромба прилегающих к одной стороне равна 180°.
• Диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов.
• Диагонали ромба являются одновременно биссектрисами его углов.
• Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Признаки ромба

Все признаки ромба вытекают из его свойств и помогают различать его среди четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов.

• Параллелограмм у которого диагонали пересекаются под прямым углом является ромбом.
• Параллелограмм у которого диагонали является биссектрисами является ромбом.
• Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.
• Четырехугольник у которого все стороны равны является ромбом.
• Четырехугольник у которого диагонали является биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом является ромбом.
• Параллелограмм с одинаковыми высотами является ромбом.

Формула периметра ромба

Периметр по определению равен сумме всех сторон. Поскольку в ромба все стороны равны то его периметр вычисляем по формуле

Периметр вычисляется в единицах длины.

Радиус окружности вписанной в ромб

Одними из распространенных задач при изучении ромба является нахождение радиуса или диаметра вписанной окружности. На рисунке изображенном ниже приведены одни из распространенных формул радиуса вписанной окружности в ромб.

Первая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен произведению диагоналей разделенному на сумму всех сторон (4а ).

Другая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен половине высоты ромба

Вторая формула на рисунке является модификацией первой и применяется при исчислении радиуса окружности вписанной в ромб когда известны диагонали ромба, то есть неизвестные стороны.

Третья формула радиуса вписанной окружности фактически находит половину высоты малого треугольника, который образуется пересечением диагоналей.

Среди менее популярных формул для вычисления радиуса окружности вписанной в ромб можно еще привести такие

здесь D – диагональ ромба, alpha – угол который рассекает диагональ.

Если известна площадь (S) ромба и величина острого угла (alpha) то для вычисления радиуса вписанной окружности нужно найти квадратный корень из четверти произведения площади на синус острого угла:

Из приведенных формул Вы без проблем найдете радиус вписанной в ромб окружности, если в условиях примера будут необходимый набор данных.

Формула площади ромба

Формул для вычисления площади приведены на рисунке.

Простейшая выводится как сумма площадей двух треугольников на которые разделяет ромб его диагональ.

Вторая формула площади применяется к задачам в которых известны диагонали ромба. Тогда площадь ромба равна половине произведению диагоналей

Она достаточно проста для того чтобы запомнить, а также - для вычислений.

Третья формула площади имеет смысл когда известен угол между сторонами. Согласно ей площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла. Острый он или нет значения не имеет поскольку синус обоих углов принимает одинаковое значение.

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1 =5 см и d2 =4. Найдем площадь.

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .

Площади ромба через сторону и угол

Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача: Дан ромб, диагонали которого равны d1 =4 см,d2 =6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь: