Урок и презентация на тему: «Показательные уравнения и показательные неравенства»
Дополнительные материалыУважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 классаИнтерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия» Интерактивное пособие для 10–11 классов «Логарифмы»
Определение показательных уравнений
Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.
Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме «Показательная функция», можно ввести новую теорему:Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Примеры показательных уравнений
Пример.Решить уравнения:а) $3^{3x-3}=27$.б) ${(frac{2}{3})}^{2x+0,2}=sqrt{frac{2}{3}}$.в) $5^{x^2-6x}=5^{-3x+18}$.Решение.а) Мы хорошо знаем, что $27=3^3$.Перепишем наше уравнение: $3^{3x-3}=3^3$.Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению $3х-3=3$, решив это уравнение, получим $х=2$.Ответ: $х=2$.
Б) $sqrt{frac{2}{3}}={(frac{2}{3})}^{frac{1}{5}}$.Тогда наше уравнение можно переписать:${(frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(frac{2}{3})}^{frac{1}{5}}={(frac{2}{3})}^{0,2}$.$2х+0,2=0,2$.$х=0$.Ответ: $х=0$.
В) Исходное уравнение равносильно уравнению:$x^2-6x=-3x+18$.$x^2-3x-18=0$.$(x-6)(x+3)=0$.$x_1=6$ и $x_2=-3$.Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример. Решить уравнение: $frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.Решение:Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.Выполним ряд операций в левой части:1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(frac{1}{4})}^{x-0,5}$.2) $sqrt{4}=4^{frac{1}{2}}$.3) $frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{sqrt{4}}=frac{{(frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{frac{1}{2}}}=frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=frac{1}{4^x}={(frac{1}{4})}^x$.Перейдем к правой части:4) $16=4^2$.5) ${(0,0625)}^{x+1}=frac{1}{{16}^{x+1}}=frac{1}{4^{2x+2}}$.6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=frac{1}{4^{2x}}={(frac{1}{4})}^{2x}$.Исходное уравнение равносильно уравнению:${(frac{1}{4})}^x={(frac{1}{4})}^{2x}$.$x=2x$.$x=0$.Ответ: $х=0$.
Пример.Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.Решение:Перепишем наше уравнение:${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.В новых переменных уравнение примет вид:$a^2+9a-36=0$.$(a+12)(a-3)=0$.$a_1=-12$ и $a_2=3$.Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.Ответ: $х=1$.
Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований.$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.
Пример. Решить систему уравнений: $begin {cases} {27}^y*3^x=1, \ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. end {cases}$.Решение.Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:$27^y*3^x=1$.$3^{3y}*3^x=3^0$.$3^{3y+x}=3^0$.$x+3y=0$.Рассмотрим второе уравнение:$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.Тогда уравнение примет вид:$y^2-y-12=0$.$(y-4)(y+3)=0$.$y_1=4$ и $y_2=-3$.Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений.Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $begin {cases} x+3y=0, \ x+y=2. end {cases}$.Вычтем из первого уравнения второе, получим:$begin {cases} 2y=-2, \ x+y=2. end {cases}$.$begin {cases} y=-1, \ x=3. end {cases}$.Ответ: $(3;-1)$.
Показательные неравенства
Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.
Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.Если $0a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)
Пример.Решить неравенства:а) $3^{2x+3}>81$.б) ${(frac{1}{4})}^{2x-4}в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.Решение.а) $3^{2x+3}>81$.$3^{2x+3}>3^4$.Наше неравенство равносильно неравенству:$2x+3>4$.$2x>1$.$x>0,5$.
Б) ${(frac{1}{4})}^{2x-4}${(frac{1}{4})}^{2x-4}В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.$2x-4>2$.$x>3$.
В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:$x^2+6x≥4x+15$.$x^2+2x-15≥0$.$(x-3)(x+5)≥0$.Воспользуемся интервальным методом решения:Ответ: $(-∞;-5]U
Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:
[begin{align} & {{2}^{x}} gt 4;quad {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt{2}};quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01;quad {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}. \end{align}]
Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $fleft(x right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)
Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:
[{{9}^{x}}+8 gt {{3}^{x+2}}]
Или даже вот:
В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.
Решение простейших показательных неравенств
Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:
[{{2}^{x}} gt 4]
Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:
[{{2}^{x}} gt {{2}^{2}}]
И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:
[{{2}^{1}}=2;quad {{2}^{2}}=4;quad {{2}^{3}}=8;quad {{2}^{4}}=16;…]
Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:
[{{left(frac{1}{2} right)}^{1}}=frac{1}{2};quad {{left(frac{1}{2} right)}^{2}}=frac{1}{4};quad {{left(frac{1}{2} right)}^{3}}=frac{1}{8};…]
Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:
- Если основание степени $a gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
- И наоборот, если $0 lt a lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.
Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:
Если $a gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x gt n$. Если $0 lt a lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x lt n$.
Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.
Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $ale 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.
С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:
[{{left(-2 right)}^{x}} gt 4]
На первый взгляд, всё просто:
Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:
[begin{align} & x=4Rightarrow {{left(-2 right)}^{4}}=16 gt 4; \ & x=5Rightarrow {{left(-2 right)}^{5}}=-32 lt 4; \ & x=6Rightarrow {{left(-2 right)}^{6}}=64 gt 4; \ & x=7Rightarrow {{left(-2 right)}^{7}}=-128 lt 4. \end{align}]
Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{left(-2 right)}^{sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!
Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1ne a gt 0$. И тогда всё решается очень просто:
[{{a}^{x}} gt {{a}^{n}}Rightarrow left[ begin{align} & x gt nquad left(a gt 1 right), \ & x lt nquad left(0 lt a lt 1 right). \end{align} right.]
В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.
Примеры решения
Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:
[begin{align} & {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01; \ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}. \end{align}]
Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!
[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt{2}}]
Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!
Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:
[begin{align} & frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \ & sqrt[k]{a}={{a}^{frac{1}{k}}}. \end{align}]
Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.
Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:
[frac{1}{sqrt{2}}={{left(sqrt{2} right)}^{-1}}={{left({{2}^{frac{1}{3}}} right)}^{-1}}={{2}^{frac{1}{3}cdot left(-1 right)}}={{2}^{-frac{1}{3}}}]
Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:
[begin{align} & {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \ & frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \ & {{left({{a}^{x}} right)}^{y}}={{a}^{xcdot y}}. \end{align}]
Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:
[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow {{2}^{x-1}}le {{2}^{-frac{1}{3}}}]
Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:
[begin{align} & x-1le -frac{1}{3}Rightarrow xle 1-frac{1}{3}=frac{2}{3}; \ & xin left(-infty ;frac{2}{3} right]. \end{align}]
Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.
Рассмотрим второе неравенство:
[{{0,1}^{1-x}} lt 0,01]
Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:
[begin{align} & 0,1=frac{1}{10};quad 0,01=frac{1}{100}={{left(frac{1}{10} right)}^{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01Rightarrow {{left(frac{1}{10} right)}^{1-x}} lt {{left(frac{1}{10} right)}^{2}}. \end{align}]
Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:
[begin{align} & 1-x gt 2; \ & -x gt 2-1; \ & -x gt 1; \& x lt -1. \end{align}]
Получили окончательный ответ: $xin left(-infty ;-1 right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!
Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:
[frac{1}{10}={{10}^{-1}}Rightarrow {{left({{10}^{-1}} right)}^{1-x}} lt {{left({{10}^{-1}} right)}^{2}}Rightarrow {{10}^{-1cdot left(1-x right)}} lt {{10}^{-1cdot 2}}]
После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:
[begin{align} & -1cdot left(1-x right) lt -1cdot 2; \ & x-1 lt -2; \ & x lt -2+1=-1; \ & x lt -1. \end{align}]
Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)
[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16]
Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2 4 . Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:
[begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt {{2}^{4}}; \ & {{x}^{2}}-7x+14 lt 4; \ & {{x}^{2}}-7x+10 lt 0. \end{align}]
Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.
Нули функции на числовой прямой
Расставляем знаки функции $fleft(x right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $xin left(2;5 right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.
Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:
[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}]
Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:
[begin{align} & 0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5}={{5}^{-1}}Rightarrow \ & Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{left({{5}^{-1}} right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1cdot left(1+{{x}^{2}} right)}}end{align}]
В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:
[frac{1}{25}={{left(frac{1}{5} right)}^{2}}={{left({{5}^{-1}} right)}^{2}}={{5}^{-1cdot 2}}={{5}^{-2}}]
Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:
[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}Rightarrow {{5}^{-1cdot left(1+{{x}^{2}} right)}}ge {{5}^{-2}}]
Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:
[begin{align} & -1cdot left(1+{{x}^{2}} right)ge -2; \ & -1-{{x}^{2}}ge -2; \ & -{{x}^{2}}ge -2+1; \ & -{{x}^{2}}ge -1;quad left| cdot left(-1 right) right. \ & {{x}^{2}}le 1. \end{align}]
Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $xle 1Rightarrow xin left(-infty ;-1 right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:
[sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|]
Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:
$begin{align} & {{x}^{2}}-1le 0; \ & left(x-1 right)left(x+1 right)le 0 \ & {{x}_{1}}=1;quad {{x}_{2}}=-1; \end{align}$
Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:
Обратите внимание: точки закрашены
Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $xin left[ -1;1 right]$ — не интервал, а именно отрезок.
В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:
- Найти основание, к которому будем приводить все степени;
- Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
- Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a lt 1$.
По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)
Метод рационализации
Рассмотрим ещё одну партию неравенств:
[begin{align} & {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \ & {{left(2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1; \ & {{left(frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left(frac{1}{9} right)}^{16-x}}; \ & {{left(3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1. \end{align}]
Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?
А как возвести в степень число $2sqrt{3}-3$? Или $3-2sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)
На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2sqrt{3}-3$ и $3-2sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.
Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:
Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $left(x-n right)cdot left(a-1 right) gt 0$.
Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:
[begin{matrix} {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \ Downarrow \ left(x+7-left({{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left(text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \end{matrix}]
Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем [left(text{ }!!pi!!text{ }-1 right)]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:
[text{ }!!pi!!text{ }approx 3,14… gt 3Rightarrow text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 3-1=2]
В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:
[begin{align} & left(x+7-left({{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left(text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \ & x+7-left({{x}^{2}}-3x+2 right) gt 0; \ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 gt 0; \ & -{{x}^{2}}+4x+5 gt 0;quad left| cdot left(-1 right) right. \ & {{x}^{2}}-4x-5 lt 0; \ & left(x-5 right)left(x+1 right) lt 0. \end{align}]
Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:
Решаем неравенство методом интервалов
Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $xin left(-1;5 right)$. Вот и всё решение.:)
Перейдём к следующей задаче:
[{{left(2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1]
Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:
[begin{align} & {{left(2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1={{left(2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \ & {{left(2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt {{left(2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \end{align}]
Что ж, выполняем рационализацию:
[begin{align} & left({{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left(2sqrt{3}-3-1 right) lt 0; \ & left({{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left(2sqrt{3}-4 right) lt 0; \ & left({{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left(sqrt{3}-2 right) lt 0. \end{align}]
Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2left(sqrt{3}-2 right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:
[begin{matrix} sqrt{3} lt sqrt{4}=2 \ Downarrow \ 2left(sqrt{3}-2 right) lt 2cdot left(2-2 right)=0 \end{matrix}]
Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:
[begin{align} & left({{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left(sqrt{3}-2 right) lt 0; \ & {{x}^{2}}-2x-0 gt 0; \ & xleft(x-2 right) gt 0. \end{align}]
Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $fleft(x right)=xleft(x-2 right)$:
Случай, когда нас интересуют боковые интервалы
Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:
Переходим к следующему примеру:
[{{left(frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left(frac{1}{9} right)}^{16-x}}]
Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:
[begin{matrix} frac{1}{3}={{3}^{-1}};quad frac{1}{9}=frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \ Downarrow \ {{left({{3}^{-1}} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left({{3}^{-2}} right)}^{16-x}} \end{matrix}]
[begin{align} & {{3}^{-1cdot left({{x}^{2}}+2x right)}} gt {{3}^{-2cdot left(16-x right)}}; \ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} gt {{3}^{-32+2x}}; \ & left(-{{x}^{2}}-2x-left(-32+2x right) right)cdot left(3-1 right) gt 0; \ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x gt 0; \ & -{{x}^{2}}-4x+32 gt 0;quad left| cdot left(-1 right) right. \ & {{x}^{2}}+4x-32 lt 0; \ & left(x+8 right)left(x-4 right) lt 0. \end{align}]
Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $xin left(-8;4 right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:
[{{left(3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1]
Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:
[{{left(3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt {{left(3-2sqrt{2} right)}^{0}}]
Применяем рационализацию:
[begin{align} & left(3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left(3-2sqrt{2}-1 right) lt 0; \ & left(3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left(2-2sqrt{2} right) lt 0; \ & left(3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left(1-sqrt{2} right) lt 0. \end{align}]
Однако совершенно очевидно, что $1-sqrt{2} lt 0$, поскольку $sqrt{2}approx 1,4… gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:
[begin{matrix} left(3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left(1-sqrt{2} right) lt 0 \ Downarrow \end{matrix}]
[begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 gt 0; \ & 3x-{{x}^{2}} gt 0;quad left| cdot left(-1 right) right. \ & {{x}^{2}}-3x lt 0; \ & xleft(x-3 right) lt 0. \end{align}]
Переход к другому основанию
Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.
Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:
[begin{align} & {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}; \ & {{left(frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & {{left(0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left(6,25 right)}^{x}}ge 1; \ & {{left(frac{27}{sqrt{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81. \end{align}]
Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:
[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}]
Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:
Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:
[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{2}^{frac{8}{x}}}Rightarrow left(frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left(2-1 right) lt 0]
Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.
[begin{align} & left(frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left(2-1 right) lt 0; \ & left(frac{{{x}^{2}}-16}{2x} right)cdot 1 lt 0; \ & frac{{{x}^{2}}-16}{2x} lt 0. \end{align}]
Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:
Более сложный случай: три корня
Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:
Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.
Переходим к следующей задаче:
[{{left(frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}]
Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:
[begin{align} & {{left({{3}^{-1}} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}Rightarrow {{3}^{-frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & left(-frac{3}{x}-left(2+x right) right)cdot left(3-1 right)ge 0; \ & left(-frac{3}{x}-2-x right)cdot 2ge 0;quad left| :left(-2 right) right. \ & frac{3}{x}+2+xle 0; \ & frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}le 0. \end{align}]
Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.
Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $xin left(-infty ;0 right)$.
[{{left(0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left(6,25 right)}^{x}}ge 1]
А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:
[begin{align} & 0,16=frac{16}{100}=frac{4}{25}Rightarrow {{left(0,16 right)}^{1+2x}}={{left(frac{4}{25} right)}^{1+2x}}; \ & 6,25=frac{625}{100}=frac{25}{4}Rightarrow {{left(6,25 right)}^{x}}={{left(frac{25}{4} right)}^{x}}. \end{align}]
Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:
[frac{25}{4}={{left(frac{4}{25} right)}^{-1}}Rightarrow {{left(frac{25}{4} right)}^{x}}={{left({{left(frac{4}{25} right)}^{-1}} right)}^{x}}={{left(frac{4}{25} right)}^{-x}}]
Таким образом исходное неравенство можно переписать так:
[begin{align} & {{left(frac{4}{25} right)}^{1+2x}}cdot {{left(frac{4}{25} right)}^{-x}}ge 1; \ & {{left(frac{4}{25} right)}^{1+2x+left(-x right)}}ge {{left(frac{4}{25} right)}^{0}}; \ & {{left(frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left(frac{4}{25} right)}^{0}}. \end{align}]
Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:
[{{left(frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left(frac{4}{25} right)}^{0}}Rightarrow left(x+1-0 right)cdot left(frac{4}{25}-1 right)ge 0]
Заметим, что $frac{4}{25}-1=frac{4-25}{25} lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:
[begin{align} & x+1-0le 0Rightarrow xle -1; \ & xin left(-infty ;-1 right]. \end{align}]
Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:
[{{left(frac{27}{sqrt{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81]
В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:
[begin{align} & frac{27}{sqrt{3}}=frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{frac{1}{3}}}}={{3}^{3-frac{1}{3}}}={{3}^{frac{8}{3}}}; \ & 9={{3}^{2}};quad 81={{3}^{4}}. \end{align}]
С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:
[begin{align} & {{left({{3}^{frac{8}{3}}} right)}^{-x}} lt {{left({{3}^{2}} right)}^{4-2x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x+4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{4-4x}}. \end{align}]
Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.
Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:
[begin{align} & -frac{8x}{3} lt 4-4x; \ & 4x-frac{8x}{3} lt 4; \ & frac{4x}{3} lt 4; \ & 4x lt 12; \ & x lt 3. \end{align}]
Вот и всё. Окончательный ответ: $xin left(-infty ;3 right)$.
Выделение устойчивого выражения и замена переменной
В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.
Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:
[begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6; \ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90; \ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500; \ & {{left(0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768. \end{align}]
Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:
[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6]
Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:
Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:
[begin{align} & 5t+tge 6; \ & 6tge 6; \ & tge 1. \end{align}]
Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$), а заодно вспоминаем, что 1=5 0 . Имеем:
[begin{align} & {{5}^{x+1}}ge {{5}^{0}}; \ & x+1ge 0; \ & xge -1. \end{align}]
Вот и всё решение! Ответ: $xin left[ -1;+infty right)$. Переходим ко второму неравенству:
[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90]
Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}cdot {{3}^{2}}=9cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:
[begin{align} & {{3}^{x}}+9cdot {{3}^{x}}ge 90;quad left| {{3}^{x}}=t right. \ & t+9tge 90; \ & 10tge 90; \ & tge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge {{3}^{2}}; \ & xge 2Rightarrow xin left[ 2;+infty right). \end{align}]
Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.
Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:
[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500]
В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5 2 , поэтому первое слагаемое можно преобразовать:
[begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{left({{5}^{2}} right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}cdot 5. \end{align}]
Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:
[begin{align} & 5t-tge 2500; \ & 4tge 2500; \ & tge 625={{5}^{4}}; \ & {{5}^{2x+2}}ge {{5}^{4}}; \ & 2x+2ge 4; \ & 2xge 2; \ & xge 1. \end{align}]
И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $xin left[ 1;+infty right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:
[{{left(0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768]
Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:
[begin{align} & 0,5=frac{1}{2}={{2}^{-1}}Rightarrow {{left(0,5 right)}^{-4x-8}}={{left({{2}^{-1}} right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \ & 16={{2}^{4}}Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{left({{2}^{4}} right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} gt 768. \end{align}]
Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:
[begin{align} & 4t-t gt 768; \ & 3t gt 768; \ & t gt 256={{2}^{8}}; \ & {{2}^{4x+6}} gt {{2}^{8}}; \ & 4x+6 gt 8; \ & 4x gt 2; \ & x gt frac{1}{2}=0,5. \end{align}]
Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2 8 ? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:
[begin{align} & 256=128cdot 2= \ & =64cdot 2cdot 2= \ & =32cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =16cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =8cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =4cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & ={{2}^{8}}.end{align}]
То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:
[begin{align} & {{5}^{2}}=25; \ & {{5}^{3}}=125; \ & {{5}^{4}}=625; \ & {{5}^{5}}=3125. \end{align}]
Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.